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专题 24.7 切线长定理、三角形的内切圆【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用切线长定理求解】..............................................................................................................................1
【题型2 利用切线长定理证明】..............................................................................................................................2
【题型3 由三角形的内切圆求长度】......................................................................................................................4
【题型4 由三角形的内切圆求角度】......................................................................................................................5
【题型5 由三角形的内切圆求面积】......................................................................................................................6
【题型6 由三角形的内切圆求最值】......................................................................................................................7
【题型7 直角三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系】.............................................................................8
【题型8 圆外切四边形的计算】..............................................................................................................................9
【题型9 一般三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系】...........................................................................11
【题型10 三角形内切圆与外接圆的综合运用】.................................................................................................12
【知识点1 切线长定理】
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
【题型1 利用切线长定理求解】
【例1】（2023春·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，点P是半径为r的⊙O外一点，PA，PB分别切
⊙O于A，B点，若△PAB是边长为a的等边三角形，则（ ）
2√3
A．a=2r B．a=√3r C．a=√2r D．a= r
3
【变式1-1】（2023春·江苏南京·九年级统考期末）如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于
点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若CD=PB=2√3，则BE长为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】（2023春·天津河西·九年级统考期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是
⊙O的直径．
(1)若∠BAC=25°，求∠P的度数；
(2)若∠P=60°，PA=2，求⊙O的半径．
【变式1-3】（2023春·浙江·九年级期中）小明准备以“青山看日出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意
图，如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出，已知点B，E，C，F在同一条直线
上，且BE=EC=2CF，四边形ABEG和四边形GCFD的面积之差为7√3，则CF的长是 ；连结
AD，若⊙O是△ADG的内切圆，则圆心O到BF的距离是 ．
【题型2 利用切线长定理证明】
【例2】（2023春·天津河东·九年级天津市第四十五中学校考期末）如图，RtΔABC中，∠C=90°，以
BC为直径的⊙O交AB于E，OD⊥BC交⊙O于D，DE交BC于F，点P为CB延长线上的一点，PE延
长交AC于G，PE=PF，下列4个结论：①GE=GC；②AG=GE；③OG∥BE；④∠A=∠P．其中正
确的结论是 （填写所有正确结论的序号）【变式2-1】（2023春·全国·九年级统考期末）如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、
N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．
（1）求证：AB+CD=AD+BC
（2）求∠AOD的度数．
【变式2-2】（2023春·江苏南通·九年级校联考期中）如图，AB、CB、CD分别与⊙O切于E，F，G，且
AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．
（1）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径；
（2）求证：MN＝NG．
【变式2-3】（2023春·广东云浮·九年级统考期末）如图1所示，⊙O为△CDE的外接圆，CD为直径，
AD、BC分别与⊙O相切于点D、C（BC>AD）.E在线段AB上，连接DE并延长与直线BC相交于点
P，B为PC中点.(1)证明：AB是⊙O的切线.
(2)如图2，连接OA，OB，求证：OA⊥OB.
【知识点2 三角形的内切圆】
内切圆的圆心是
A
与三角形各边都 三角形三个内角 三角形的内心到
三角形内切圆 相切的圆叫做三 的角平分线的交 三角形三边的距
角形的内切圆 点，叫做三角形 离相等
的内心 I
B C
【题型3 由三角形的内切圆求解】
【例3】（2023春·天津西青·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，BC=12，若⊙O与
△ABC的三边分别相切于点D，E，F，且△ABC的周长为32，则DF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式3-1】（2023春·山东淄博·九年级统考期末）如图，△ABC中，∠C=90°，圆O是△ABC的内切
圆，D，E，F是切点．若AB=5，AC=3，则OD= ．【变式3-2】（2023春·天津河西·九年级校考期末）如图，⊙I是直角△ABC的内切圆，切点为D、E、
F，若AF=10，BE=3，则△ABC的面积为 ．
【变式3-3】（2023春·甘肃金昌·九年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，⊙O
是的内切圆，它与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F．求⊙O的半径．
【题型4 由三角形的内心的有关应用】
【例4】（2023春·江苏盐城·九年级统考期中）如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若
∠A=84°，则∠D的度数（ ）
A．42° B．66° C．76° D．82°
【变式4-1】（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考期中）如图，点I为△ABC的内切圆的圆心，
连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，连接BD．已知AD=5，BD=3，则AI的长为（ ）3 5
A．1 B． C．2 D．
2 2
【变式4-2】（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=50°，点I是△ABC的
内心，
（1）∠BIC= °；
（2）若BI的延长线与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点E，当∠ACB= °时，CE∥AB．
【变式4-3】（2023春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点A(0,6)，点B(8,0)，I是△OAB
的内心，则
（1）AB= ；
（2）点I关于x轴对称的点的坐标是 ．
【题型5 坐标系中的三角形内切圆】
【例5】（2023·山东日照·日照市田家炳实验中学校考一模）如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，
点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），点P是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿y轴的正方向作无滑动滚动．使它的三边依次与x轴重合．第一次滚动后，圆心为P，第二次滚动后圆心为P…依
1 2
次规律，第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P 的坐标是（ ）
2019
A．（673，1） B．（674，1） C．（8076，1） D．（8077，1）
【变式5-1】（2023春·湖北鄂州·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，
∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角边BC在x轴上，其内切圆的圆心坐标为I(0,1)，抛物线
y=ax2+2ax+1的顶点为A，则a= ．
【变式5-2】（2023春·全国·九年级统考期末）如图，△ABC中，A、B，C三点的坐标分别为A（0，
8），B（–6，0），C（15，0）．若△ABC内心为D，求点D的坐标．
【变式5-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，矩形OABC，B （-4，3 ），点 M 为 ABC 的内
心，将矩形绕点 C 顺时针旋转90°，则点M的对应点坐标为（ ） △A．（-2，6 ） B．（-6，1） C．（-1，1） D．（-1，6）
【题型6 由三角形的内切圆求最值】
【例6】（2023春•扬州月考）如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余
料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是 4 π cm 2 ． ．
【变式6-1】（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E、F分别是
AD、BC的中点，点P在线段EF上，△PAB内切圆半径的最大值是（ ）
6 5 4
A．1 B． C． D．
5 4 3
【变式6-2】（2023春·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）如图，矩形ABCD，AD＝6，AB
＝8，点P为BC边上的中点，点Q是△ACD的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的
最大值是 ．
【变式6-3】（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(-8,6)，⊙M是△AOC的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则
BP+PN的最小值是 ．
【题型7 直角三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系】
【例7】（2023·全国·九年级专题练习）Rt△ABC两直角边的长分别为3cm和4cm，则其内心与外心的距离
为（ ）
3 √3 √5
A．2 B． C． D．
2 2 2
【变式7-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则
△ABC的内切圆的半径r是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．无法判断
【变式7-2】（2023春·山东济宁·九年级校考期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切
于点D、E、F，且AB=8，BC=17，CA=15，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（ ）
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
【变式7-3】（2023春·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）如图，矩形ABCD，AD＝6，AB
＝8，点P为BC边上的中点，点Q是△ACD的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的
最大值是 ．【题型8 圆外切四边形的计算】
【例8】（2011·浙江温州·中考真题）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都
相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆
心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4
C．2+√2 D．2√2
【变式8-1】（2023春·九年级课时练习）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则
∠AOD＝ ．
【变式8-2】（2023春·浙江温州·九年级校考期末）如图，正方形EBFI，正方形MFCG和正方形HLGD
都在正方形ABCD内，且BF=HD．⊙O分别与AE，EI，HL，AH相切，点M恰好落在⊙O上，若
BF=4，则⊙O的直径为 ．【变式8-3】（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面
ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形．如图②，已知正方形ABCD与矩形EFGH满足如下条件：
正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O，矩形EFGH内接于这个圆O，EF=2EH．
（1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？
（2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方
米/小时，4小时后．把容器甲的注水流量增加a立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水
2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变．直到两
个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为t时，我们把容器甲的水位高度记为
h ，容器乙的水位高度记为h ，设h -h =h，已知h（米）关于注水时间t（小时）的函数图像如图③
甲 乙 乙 甲
所示，其中MN平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题：
①求a的值；
②求图③中线段PN所在直线的解析式．【题型9 一般三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系】
【例9】（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）若四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，△AOB
，△BOC，△COD，△DOA的周长相等，且△AOB，△BOC，△COD的内切圆半径分别为3，4，6，则
△DOA的内切圆半径是（ ）
9 3 7
A． B． C． D．以上答案均不正确
2 2 2
【变式9-1】（2023·湖南长沙·长沙市湘郡培粹实验中学校考三模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若
△ABC的周长为18，面积为9，则⊙O的半径是（ ）
A．1 B．√2 C．1.5 D．2
5
【变式9-2】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB+AC= BC，
3
R
AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（ ）
h3 2 1 1
A． B． C． D．
8 7 3 2
【变式9-3】（2023春·九年级课时练习）已知△ABC的周长为20，其内切圆半径R=5，则△ABC的面积
为 ．
【题型10 三角形内切圆与外接圆的综合运用】
【例10】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点I为的△ABC内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于
点D，若AI=2CD，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若IC=6，ID=5，则IE的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【变式10-1】（2023•游仙区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切
14√3
圆，其半径为√3，则△BIC的外接圆直径为 ．
3
【变式10-2】（2023春·山东聊城·九年级山东省聊城第三中学校考期中）如图所示，点I是△ABC的内心，
AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E，求证：（1）ID=BD
（2）BD2 =DA·ED
【变式10-3】（2023·浙江金华·九年级期末）已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm，腰长为50cm．
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径．
（2）用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？
（3）求这个等腰三角形的内心与外心的距离．
