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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 11 讲 对数与对数函数（精讲）
①对数式的化简与求值
②对数函数的图像与性质
③解对数方程与不等式
④对数型复合函数
⑤对数函数的综合应用
一、必备知识整合
一、对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果 且 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，
读作以 为底 的对数，其中 叫做对数的底数， 叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以 且 为底，记为 ，读作以 为底 的对数；
②常用对数：以 为底，记为 ；
③自然对数：以 为底，记为 ；
(3) 对数的性质和运算法则：
① ； ；其中 且 ； ② (其中 且 ， )；
③对数换底公式： ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ， ；
⑦ 和 ； ⑧ ；二、对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且 叫做对数函数．
对数函数的图象
y x=1 y x=1
log x
图象 a (1,0)
x
O (1,0) x O log x
a
定义域：
值域：
过定点 ，即 时，
性质
在 上增函数 在 上是减函数
当 时， ，当 时， 当 时， ，当 时，
在同一坐标系内，当 时，随 的增大，对数函数的图象愈靠近 轴；当 时，对数函数的图象
随 的增大而远离 轴．(见下图)
y
log x
a
1
a增大
1
loga x
2
x
O 1 loga x
3 a增大
logx
a
4
二、考点分类精讲
【题型一 对数式的化简与求值】
对数运算的一般思路
转化 ①利用ab＝N⇔b＝log N(a>0，且a≠1)对题目条件进行转化；
a②利用换底公式化为同底数的对数运算
恒等式 注意log 1＝0，log aN＝N，alog N＝N的应用
a a a
拆分 将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简
将对数式化为同底数对数的和、差、倍数形式，然后逆用对数的运算
合并
法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算
【典例1】（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) .
【典例2】（单选题）（2024·云南楚雄·一模）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和
搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解
率 与时间 （月）近似满足关系 （其中 、 为正常数），经过 个月，这种垃圾的分解率为 ，
经过 个月，这种垃圾的分解率为 ，则这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据：
）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024·河南开封·三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
2．（2024·山东聊城·二模）已知函数 为 上的偶函数，且当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·青海·模拟预测）若 ， ，则 （ ）A．1 B．－1 C．2 D．－2
4．（2024·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某
种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温
度从90℃开始，经过tmin后的温度为 ，可选择函数 来近似地刻画茶水温度随时
间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ）
（参考数据： ）
A． B． C．6min D．
5．（2024·全国·三模）若 ，则 的值是（ ）
A．零 B．正数 C．负数 D．以上皆有可能
二、多选题
6．（23-24高三上·河南焦作·阶段练习）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高三上·安徽六安·期末）地震释放的能量E与地震震级M之间的关系式为 ，
2022年9月18日我国台湾地区发生的6.9级地震释放的能量为 ，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9
级地震释放的能量为 ，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.7级地震释放的能量为 ，下
列说法正确的是（ ）
A． 约为 的10倍
B． 超过 的100倍
C． 超过 的10倍
D． 低于 的10倍三、填空题
8．（2024·北京海淀·一模）已知 ，则 .
9．（2024·陕西安康·模拟预测）若 ， ，则 .
10．（2024·河南郑州·三模）已知 ，则 的值为 ．
【题型二 对数函数的图像与性质】
1.利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值
域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
2.比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型 解题方法
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较
【典例1】（单选题）（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数 （ ，且 ）的图象如图所
示，则下列函数与图象对应正确的为（ ）A． B．
C． D．
【典例2】（单选题）（23-24高一上·云南昭通·期末） （ 且 ）的图象恒
过定点 ，幂函数 过点 ，则 为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例3】（单选题）（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）已知 ，则 的
大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东聊城·三模）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．3．（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南·一模）已知 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·广西南宁·模拟预测）已知函数 ，若 的最小值为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）函数 的定义域是 .
7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝ 设a＝ ，则f(f(a))＝ ．
8．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）函数 的最大值为 .
9．（2024·全国·模拟预测）若函数 ，且 的图象所过定点恰好在椭圆
上，则 的最小值为 .
【题型三 解对数方程与不等式】求解对数不等式的两种类型及方法
类型 方法
借助y＝log x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a
a
log x＞log b
a a
＜1两种情况讨论
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝log x的单调性求
a
log x＞b
a
解
【典例1】（单选题）已知 ，则x的值为（ ）
A．1 B．32 C．64 D．16
【典例2】（单选题）（2024·辽宁·三模）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知函数 ，若 的值域是 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高一上·湖北·阶段练习）已知函数 ，则方程 的解为（ ）A． B． 或 C． 或 D． 或
4．（23-24高一下·浙江温州·开学考试）宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学．2023年诺贝尔物理学奖
颁给了“阿秒光脉冲”，光速约为 阿秒等于 ．一尺之棰，日取其半，万世不竭，一根
米长的木棰，第一次截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，至少需要截（ ）次才能使其长度
小于光在 阿秒内走的距离．（参考数据： ）
A．30 B．31 C．32 D．33
二、填空题
5．（2024·北京西城·二模）函数 的定义域是 ．
6．（2024·内蒙古·三模）若 ，则 .
7．（23-24高三下·上海·阶段练习）方程 的解是 .
8．（23-24高一上·江苏连云港·期末）函数 是定义在 上的单调递减函数，则不等式 的
解集为 .
【题型四 对数型复合函数】
求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤
一求 求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论
判断对数函数的底数与1的关系，分a＞1与0＜a＜1两种情况
二判 判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原
则判断函数的单调性
【典例1】（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数 ．(1)若 过定点 ，求 的单调递减区间；
(2)若 值域为 ，求a的取值范围．
一、单选题
1．（23-24高二下·四川·期中）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）函数 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）已知函数 ，则 是（ ）
A．奇函数，且在 上是增函数 B．奇函数，且在 上是减函数
C．偶函数，且在 上是增函数 D．偶函数，且在 上是减函数
二、填空题
4．（23-24高三上·四川广安·阶段练习）已知函数 ，则 的值域是 .5．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数 的值域是 .
6．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知函数 在 单调递增，则 的取值
范围是 .
【题型五 对数函数的综合应用】
解决对数函数性质的综合问题的注意点
(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)．
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上
进行．
(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．
【典例1】（23-24高三上·山东德州·阶段练习）已知函数 为偶函数.
(1)解关于x的不等式 ；
(2)若 在区间 上恒成立，求a的取值范围.
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）已知函数 ，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．二、填空题
2．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）设 ，若函数 的值域为 ，则
的取值范围是 .
三、解答题
3．（23-24高一下·内蒙古·期中）已知函数 ．
(1)求 的定义域；
(2)求 的单调区间；
(3)求不等式 的解集．
4．（23-24高一下·甘肃白银·期中）已知函数 ．
(1)证明： 的定义域与值域相同．
(2)若 ， ， ，求m的取值范围．
5．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知奇函数 .
(1)求实数m的值；
(2)判断并证明 在区间 上的单调性；
(3)设 ，对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数a的取
值范围.
