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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 11 讲 对数与对数函数（精讲）
①对数式的化简与求值
②对数函数的图像与性质
③解对数方程与不等式
④对数型复合函数
⑤对数函数的综合应用
一、必备知识整合
一、对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果 且 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，
读作以 为底 的对数，其中 叫做对数的底数， 叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以 且 为底，记为 ，读作以 为底 的对数；
②常用对数：以 为底，记为 ；
③自然对数：以 为底，记为 ；
(3) 对数的性质和运算法则：
① ； ；其中 且 ； ② (其中 且 ， )；
③对数换底公式： ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ， ；
⑦ 和 ； ⑧ ；二、对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且 叫做对数函数．
对数函数的图象
y x=1 y x=1
log x
图象 a (1,0)
x
O (1,0) x O log x
a
定义域：
值域：
过定点 ，即 时，
性质
在 上增函数 在 上是减函数
当 时， ，当 时， 当 时， ，当 时，
在同一坐标系内，当 时，随 的增大，对数函数的图象愈靠近 轴；当 时，对数函数的图象
随 的增大而远离 轴．(见下图)
y
log x
a
1
a增大
1
loga x
2
x
O 1 loga x
3 a增大
logx
a
4
二、考点分类精讲
【题型一 对数式的化简与求值】
对数运算的一般思路
转化 ①利用ab＝N⇔b＝log N(a>0，且a≠1)对题目条件进行转化；
a②利用换底公式化为同底数的对数运算
恒等式 注意log 1＝0，log aN＝N，alog N＝N的应用
a a a
拆分 将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简
将对数式化为同底数对数的和、差、倍数形式，然后逆用对数的运算
合并
法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算
【典例1】（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)3
(2)2
【分析】根据对数的运算化简可得.
【详解】（1）
（2）
【典例2】（单选题）（2024·云南楚雄·一模）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和
搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率 与时间 （月）近似满足关系 （其中 、 为正常数），经过 个月，这种垃圾的分解率为 ，
经过 个月，这种垃圾的分解率为 ，则这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据：
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件可得出关于 、 的等式组，解出这两个量的值，可得出 的表达式，然后解方程
，求出 的值即可.
【详解】由题意，可得 ，解得 ，则 ，
这种垃圾完全分解，即分解率为 ，即 ，所以 ，
所以 ，则 ．
故选：B.
一、单选题
1．（2024·河南开封·三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】运用对数与指数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求得.
【详解】由 可得 ，即 ， ，故 .
故选：C.
2．（2024·山东聊城·二模）已知函数 为 上的偶函数，且当 时， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据偶函数的定义可得 ，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.
【详解】因为 为偶函数，所以 ，
则 .
故选：A
3．（2024·青海·模拟预测）若 ， ，则 （ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】A
【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用.
【详解】由 ，
所以
故选：A
4．（2024·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某
种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温
度从90℃开始，经过tmin后的温度为 ，可选择函数 来近似地刻画茶水温度随时
间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ）
（参考数据： ）
A． B． C．6min D．
【答案】B
【分析】令 ，则 ，两边同时取对将 代入即可得出答案.
【详解】由题可知，函数 ，
令 ，则 ，两边同时取对可得： ，即 ，
即 .
故选：B.
5．（2024·全国·三模）若 ，则 的值是（ ）
A．零 B．正数 C．负数 D．以上皆有可能
【答案】A
【分析】 ，则 ，代入已知利用指数、对数运算化简求解即可.
【详解】令 ，则 ，由 得 ，
所以 .
故选：A.
二、多选题
6．（23-24高三上·河南焦作·阶段练习）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
根据对数的运算性质计算逐项计算.
【详解】 ，A成立；
，B不成立；
，C成立；，D不成立.
故选：AC
7．（23-24高三上·安徽六安·期末）地震释放的能量E与地震震级M之间的关系式为 ，
2022年9月18日我国台湾地区发生的6.9级地震释放的能量为 ，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9
级地震释放的能量为 ，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.7级地震释放的能量为 ，下
列说法正确的是（ ）
A． 约为 的10倍
B． 超过 的100倍
C． 超过 的10倍
D． 低于 的10倍
【答案】BC
【分析】根据题意，结合对数运算公式，即可判断.
【详解】A. ，所以 ，故A错误；
B. ， ，故B正确；
C. ， ，故C项正确，D项错误.
故选：BC
三、填空题
8．（2024·北京海淀·一模）已知 ，则 .【答案】
【分析】直接利于对数的运算性质求解.
【详解】因为 ，
所以 .
故答案为： .
9．（2024·陕西安康·模拟预测）若 ， ，则 .
【答案】1
【分析】利用换底公式可得 ， ，再利用对数的运算性质可求得结果.
【详解】因为 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，
因此， .
故答案为：1
10．（2024·河南郑州·三模）已知 ，则 的值为 ．
【答案】 /0.5
【分析】根据对数的运算性质求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，可得 ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 .故答案为： .
【题型二 对数函数的图像与性质】
1.利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值
域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
2.比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型 解题方法
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较
【典例1】（单选题）（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数 （ ，且 ）的图象如图所
示，则下列函数与图象对应正确的为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】利用函数 经过点 ，求出 ，并代入选项，借助基本初等函数逐一判断即可.
【详解】从函数 （ ，且 ）的图象可知：该函数经过 ，
所以 ，即 ，解得 ，
对于选项A: ，由指数函数可知 在定义域上单调递减，故选项A错误；
对于选项B: ，当 时，则 ，
由幂函数可知 在 上单调递增且图象靠近 轴，故选项B错误；
对于选项C: 该函数为 ，可看成 的图象关于 轴对称，对称后在
单调递增，故选项C错误；
对于选项D: ，由幂函数可知 在 上单调递增且图象靠近 轴，故选项D正确.
故选：D.
【典例2】（单选题）（23-24高一上·云南昭通·期末） （ 且 ）的图象恒
过定点 ，幂函数 过点 ，则 为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据对数函数的性质可求得定点 ，由幂函数的概念设 ，由条件列式求出 ，进而
可得答案.【详解】 ，令 ，得 ， ，
则 （ 且 ）恒过定点 ，
设 ，则 ，即 ，即 ，∴ ，
故选：D.
【典例3】（单选题）（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）已知 ，则 的
大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性和不等式的性质可得 ，进而得 ，结合对数的运算性
质可得 ，即可求解.
【详解】由 ，得 ，
即 ，又 ，所以 .
，
所以 .
故选：A.
一、单选题
1．（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】通过分析正比例函数和对数函数的特征可得解.
【详解】函数 ，由对数函数可知， 且 ，
当 时， 为过原点的减函数， 为减函数，则B错误，D正确；
当 时， 为过原点的增函数， 为增函数，则A错误，C错误；
故选：D.
2．（2024·山东聊城·三模）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数运算性质及对数函数单调性比较大小即可.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
故 ，
又 ，
所以 .
故选：A
3．（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的单调性可得 且 ，解之即可求解.
【详解】易知函数 在 上单调递增，又函数 在 上单调递减，
所以 且 ，解得 ．即实数a的取值范围为
故选：B
4．（2024·云南·一模）已知 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据 将 进行转化，再利用 在 上为增函数进行判断即可.
【详解】由 得： ， ， ，
因为 在 上为增函数，
所以 ，
即 .
故选：B.
5．（2023·广西南宁·模拟预测）已知函数 ，若 的最小值为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复合函数单调性以及对数函数相关知识进行求解即可.
【详解】由 ，得 ，
所以函数 定义域为 ，
因为 由外层函数 和内层函数
复合而成，当 时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以 单调递减，
当 时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以 单调递增，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
故选：C
二、填空题
6．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）函数 的定义域是 .
【答案】
【分析】
由对数函数定义域及被开方数为非负解不等式即可得结果.
【详解】由 的解析式可得 ，
解得 ；
所以其定义域为 .
故答案为：
7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝ 设a＝ ，则f(f(a))＝ ．
【答案】
【详解】
解析：－1
