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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 11 讲 对数与对数函数（精讲）
①对数式的化简与求值
②对数函数的图像与性质
③解对数方程与不等式
④对数型复合函数
⑤对数函数的综合应用
一、必备知识整合
一、对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果 且 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，
读作以 为底 的对数，其中 叫做对数的底数， 叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以 且 为底，记为 ，读作以 为底 的对数；
②常用对数：以 为底，记为 ；
③自然对数：以 为底，记为 ；
(3) 对数的性质和运算法则：
① ； ；其中 且 ； ② (其中 且 ， )；
③对数换底公式： ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ， ；
⑦ 和 ； ⑧ ；二、对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且 叫做对数函数．
对数函数的图象
y x=1 y x=1
log x
图象 a (1,0)
x
O (1,0) x O log x
a
定义域：
值域：
过定点 ，即 时，
性质
在 上增函数 在 上是减函数
当 时， ，当 时， 当 时， ，当 时，
在同一坐标系内，当 时，随 的增大，对数函数的图象愈靠近 轴；当 时，对数函数的图象
随 的增大而远离 轴．(见下图)
y
log x
a
1
a增大
1
loga x
2
x
O 1 loga x
3 a增大
logx
a
4
二、考点分类精讲
【题型一 对数式的化简与求值】
对数运算的一般思路
转化 ①利用ab＝N⇔b＝log N(a>0，且a≠1)对题目条件进行转化；
a②利用换底公式化为同底数的对数运算
恒等式 注意log 1＝0，log aN＝N，alog N＝N的应用
a a a
拆分 将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简
将对数式化为同底数对数的和、差、倍数形式，然后逆用对数的运算
合并
法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算
【典例1】（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)3
(2)2
【分析】根据对数的运算化简可得.
【详解】（1）
（2）
【典例2】（单选题）（2024·云南楚雄·一模）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和
搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率 与时间 （月）近似满足关系 （其中 、 为正常数），经过 个月，这种垃圾的分解率为 ，
经过 个月，这种垃圾的分解率为 ，则这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据：
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件可得出关于 、 的等式组，解出这两个量的值，可得出 的表达式，然后解方程
，求出 的值即可.
【详解】由题意，可得 ，解得 ，则 ，
这种垃圾完全分解，即分解率为 ，即 ，所以 ，
所以 ，则 ．
故选：B.
一、单选题
1．（2024·河南开封·三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】运用对数与指数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求得.
【详解】由 可得 ，即 ， ，故 .
故选：C.
2．（2024·山东聊城·二模）已知函数 为 上的偶函数，且当 时， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据偶函数的定义可得 ，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.
【详解】因为 为偶函数，所以 ，
则 .
故选：A
3．（2024·青海·模拟预测）若 ， ，则 （ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】A
【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用.
【详解】由 ，
所以
故选：A
4．（2024·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某
种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温
度从90℃开始，经过tmin后的温度为 ，可选择函数 来近似地刻画茶水温度随时
间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ）
（参考数据： ）
A． B． C．6min D．
【答案】B
【分析】令 ，则 ，两边同时取对将 代入即可得出答案.
【详解】由题可知，函数 ，
令 ，则 ，两边同时取对可得： ，即 ，
即 .
故选：B.
5．（2024·全国·三模）若 ，则 的值是（ ）
A．零 B．正数 C．负数 D．以上皆有可能
【答案】A
【分析】 ，则 ，代入已知利用指数、对数运算化简求解即可.
【详解】令 ，则 ，由 得 ，
所以 .
故选：A.
二、多选题
6．（23-24高三上·河南焦作·阶段练习）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
根据对数的运算性质计算逐项计算.
【详解】 ，A成立；
，B不成立；
，C成立；，D不成立.
故选：AC
7．（23-24高三上·安徽六安·期末）地震释放的能量E与地震震级M之间的关系式为 ，
2022年9月18日我国台湾地区发生的6.9级地震释放的能量为 ，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9
级地震释放的能量为 ，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.7级地震释放的能量为 ，下
列说法正确的是（ ）
A． 约为 的10倍
B． 超过 的100倍
C． 超过 的10倍
D． 低于 的10倍
【答案】BC
【分析】根据题意，结合对数运算公式，即可判断.
【详解】A. ，所以 ，故A错误；
B. ， ，故B正确；
C. ， ，故C项正确，D项错误.
故选：BC
三、填空题
8．（2024·北京海淀·一模）已知 ，则 .【答案】
【分析】直接利于对数的运算性质求解.
【详解】因为 ，
所以 .
故答案为： .
9．（2024·陕西安康·模拟预测）若 ， ，则 .
【答案】1
【分析】利用换底公式可得 ， ，再利用对数的运算性质可求得结果.
【详解】因为 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，
因此， .
故答案为：1
10．（2024·河南郑州·三模）已知 ，则 的值为 ．
【答案】 /0.5
【分析】根据对数的运算性质求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，可得 ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 .故答案为： .
【题型二 对数函数的图像与性质】
1.利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值
域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
2.比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型 解题方法
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较
【典例1】（单选题）（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数 （ ，且 ）的图象如图所
示，则下列函数与图象对应正确的为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】利用函数 经过点 ，求出 ，并代入选项，借助基本初等函数逐一判断即可.
【详解】从函数 （ ，且 ）的图象可知：该函数经过 ，
所以 ，即 ，解得 ，
对于选项A: ，由指数函数可知 在定义域上单调递减，故选项A错误；
对于选项B: ，当 时，则 ，
由幂函数可知 在 上单调递增且图象靠近 轴，故选项B错误；
对于选项C: 该函数为 ，可看成 的图象关于 轴对称，对称后在
单调递增，故选项C错误；
对于选项D: ，由幂函数可知 在 上单调递增且图象靠近 轴，故选项D正确.
故选：D.
【典例2】（单选题）（23-24高一上·云南昭通·期末） （ 且 ）的图象恒
过定点 ，幂函数 过点 ，则 为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据对数函数的性质可求得定点 ，由幂函数的概念设 ，由条件列式求出 ，进而
可得答案.【详解】 ，令 ，得 ， ，
则 （ 且 ）恒过定点 ，
设 ，则 ，即 ，即 ，∴ ，
故选：D.
【典例3】（单选题）（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）已知 ，则 的
大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性和不等式的性质可得 ，进而得 ，结合对数的运算性
质可得 ，即可求解.
【详解】由 ，得 ，
即 ，又 ，所以 .
，
所以 .
故选：A.
一、单选题
1．（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】通过分析正比例函数和对数函数的特征可得解.
【详解】函数 ，由对数函数可知， 且 ，
当 时， 为过原点的减函数， 为减函数，则B错误，D正确；
当 时， 为过原点的增函数， 为增函数，则A错误，C错误；
故选：D.
2．（2024·山东聊城·三模）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数运算性质及对数函数单调性比较大小即可.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
故 ，
又 ，
所以 .
故选：A
3．（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的单调性可得 且 ，解之即可求解.
【详解】易知函数 在 上单调递增，又函数 在 上单调递减，
所以 且 ，解得 ．即实数a的取值范围为
故选：B
4．（2024·云南·一模）已知 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据 将 进行转化，再利用 在 上为增函数进行判断即可.
【详解】由 得： ， ， ，
因为 在 上为增函数，
所以 ，
即 .
故选：B.
5．（2023·广西南宁·模拟预测）已知函数 ，若 的最小值为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复合函数单调性以及对数函数相关知识进行求解即可.
【详解】由 ，得 ，
所以函数 定义域为 ，
因为 由外层函数 和内层函数
复合而成，当 时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以 单调递减，
当 时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以 单调递增，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
故选：C
二、填空题
6．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）函数 的定义域是 .
【答案】
【分析】
由对数函数定义域及被开方数为非负解不等式即可得结果.
【详解】由 的解析式可得 ，
解得 ；
所以其定义域为 .
故答案为：
7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝ 设a＝ ，则f(f(a))＝ ．
【答案】
【详解】
解析：－1<a＝log <0，则f(f(a))＝f( )＝log3 ＝ ．
8．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）函数 的最大值为 .【答案】
【分析】
判断函数的单调性，根据函数单调性即可求得答案.
【详解】
由题意，知 在 上单调递减， 在 上单调递减，
故 在 上单调递减，
则当 时该函数取到最大值 ，
故答案为：
9．（2024·全国·模拟预测）若函数 ，且 的图象所过定点恰好在椭圆
上，则 的最小值为 .
【答案】16
【分析】根据对数函数性质求出定点，根据定点在椭圆上，将定点代入椭圆方程，得到 与 的等量关系，
再利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意得，函数 ，且 的图象所过定点为 ，
则 ，
所以 ，
当且仅当 ，
即 时等号成立.
故答案为：16.
【题型三 解对数方程与不等式】
求解对数不等式的两种类型及方法类型 方法
借助y＝log x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a
a
log x＞log b
a a
＜1两种情况讨论
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝log x的单调性求
a
log x＞b
a
解
【典例1】（单选题）已知 ，则x的值为（ ）
A．1 B．32 C．64 D．16
【答案】C
【分析】由对数的性质求对数方程的解即可.
【详解】由题设 .
故选：C
【典例2】（单选题）（2024·辽宁·三模）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数式有意义、对数函数的单调性以及指数函数值域的解法，结合并集的定义即可求解.
【详解】要使函数 有意义，则 ，解得 ，
显然函数 在区间上 上单调递增，且 ，
所以 ，只需 ，解得
另函数 在区间 上单调递增，
则 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】取 ， 即可说明不充分，结合对数函数单调性解不等式也可说明不必要由此即可得解.
【详解】取 ， 可得 ，故充分性不成立；
若 ，根据对数函数的单调性可得 ，
故 ，得 ，并不能推出 ，所以必要性同样不成立，
故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
2．（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知函数 ，若 的值域是 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算
可得正确结果.
【详解】当 时， ，
因为 的值域是 ，又 在 上单调递减，
所以 .故选：C.
3．（22-23高一上·湖北·阶段练习）已知函数 ，则方程 的解为（ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】换底公式化简可得出关于 的等式，求出 的值，再利用对数式与指数式的互化可得出
的值.
【详解】因为 ，
由 可得 ，
得 或 ，
当 时， ；当 时， .
综上所述，原方程的解为 或 .
故选：C.
4．（23-24高一下·浙江温州·开学考试）宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学．2023年诺贝尔物理学奖
颁给了“阿秒光脉冲”，光速约为 阿秒等于 ．一尺之棰，日取其半，万世不竭，一根
米长的木棰，第一次截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，至少需要截（ ）次才能使其长度
小于光在 阿秒内走的距离．（参考数据： ）
A．30 B．31 C．32 D．33【答案】C
【分析】先求得光在 阿秒内走的距离，由此列不等式，结合对数运算求得正确答案.
【详解】光在 阿秒内走的距离为 ，
设需要截 次，则 ，两边取以 为底的对数得： ， ，
所以 ，
所以至少要截 次.
故选：C
二、填空题
5．（2024·北京西城·二模）函数 的定义域是 ．
【答案】
【分析】由题意可得出 ，结合对数函数的单调性求解即可.
【详解】函数 的定义域是：
，解得： .
故答案为： .
6．（2024·内蒙古·三模）若 ，则 .
【答案】 /0.25
【分析】根据对数式与指数式的互化可得 ，利用指数幂的运算可得结果.
【详解】由 ，可得 ，则 .故答案为： .
7．（23-24高三下·上海·阶段练习）方程 的解是 .
【答案】
【分析】根据对数的运算法则计算可得.
【详解】由方程 ，可得 ，
，解得 .
故答案为：
8．（23-24高一上·江苏连云港·期末）函数 是定义在 上的单调递减函数，则不等式 的
解集为 .
【答案】
【分析】
根据函数单调性直接求解即可.
【详解】 为定义在 的减函数， 由 得： ， ，
即不等式 的解集为 .
故答案为： .
【题型四 对数型复合函数】
求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤
一求 求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论
判断对数函数的底数与1的关系，分a＞1与0＜a＜1两种情况
二判
判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性
【典例1】（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数 ．
(1)若 过定点 ，求 的单调递减区间；
(2)若 值域为 ，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求得 ，得到 ，令 ，求得函数的定义域为
，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定法，即可求解；
（2）根据题意，转化为 ，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由函数 过定点 ，
可得 ，可得 ，解得 ，所以 ，
令 ，解得 或 ，即函数的定义域为 ，
设 ，则函数 在 上为单调递减函数，
又由函数 在定义域上为单调递增函数，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数 在 上单调递减，
所以函数 的递减区间为 .
（2）解：由函数 的值域为 ，即 为函数 值域的子集，即 ，
当 时，可得 ，此时函数 的值域为 ，符合题意；
当 时，则满足 ，解得 ，所以 ；
当 时，此时 的开口向下，显然不满足题意，
综上可得，实数 的取值范围为 .
一、单选题
1．（23-24高二下·四川·期中）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性判断即可.
【详解】由 ，则 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 ，
令 ，则 是增函数，
又 在 上单调递减，
所以 的单调递减区间是 .
故选：A.
2．（2024·全国·模拟预测）函数 的大致图象为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求 的定义域，判断奇偶性，再计算 的值，利用排除法即可选出正确的选项．
【详解】解：由题可知， 的定义域为 ，
，
是偶函数，排除A，B，
又 ，排除D，
故选：C．
3．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）已知函数 ，则 是（ ）
A．奇函数，且在 上是增函数 B．奇函数，且在 上是减函数
C．偶函数，且在 上是增函数 D．偶函数，且在 上是减函数
【答案】A
【分析】求出函数的定义域，利用奇偶函数的定义及复合函数的单调性法则判断即可.
【详解】若函数 有意义，则 ，解得 ，即函数 的定义域为 ，
因为 ，所以函数 是奇函数，
函数 ，
因为函数 在 上递增，函数 在定义域上递增，
所以函数 在 上是增函数.
故选：A
二、填空题
4．（23-24高三上·四川广安·阶段练习）已知函数 ，则 的值域是 .
【答案】
【分析】换元法，先求出 ，再结合对数函数单调性求值域即可.
【详解】
,
单调递增， ，
则 的值域是 。
故答案为：
5．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数 的值域是 .
【答案】
【分析】换元，令 ，可得 ，结合二次函数性质求值域.
【详解】令 ，则 ，因为 ，则 ，
且 的对称轴为 ，
可知 ，
所以 的值域是 .
故答案为： .
6．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知函数 在 单调递增，则 的取值
范围是 .
【答案】
【分析】根据对数复合型函数的单调性建立关于a的不等式组，解之即可求解.
【详解】设 ，因为 单调递增，
若 在 单调递增，则 在 单调递增，
则满足 ，即 ，解得 ，
故 的取值范围是 .
故答案为：
【题型五 对数函数的综合应用】
解决对数函数性质的综合问题的注意点
(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)．
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上
进行．(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．
【典例1】（23-24高三上·山东德州·阶段练习）已知函数 为偶函数.
(1)解关于x的不等式 ；
(2)若 在区间 上恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇偶性求m，然后解不等式可得；
（2）参变分离，将问题转化为函数最值问题，然后利用单调性求函数最值即可.
【详解】（1） ，由于函数 为偶函数，
所以 ，
即 ，即 ，
即 恒成立，∴ .
所以不等式为 ，解得： ，所以原不等式的解集是 .
（2）由题得 恒成立，即 恒成立，
因为 ，所以 ，所以 恒成立，
令 ，令 ，
则 ，因为 在 单调递增，
所以函数 在 上单调递减，故 .
∴ .
∵ 对任意的 恒成立，且 ，∴ .
∴实数a的取值范围是 .
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）已知函数 ，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数单调性和奇偶性即可求解.
【详解】由题意，易知 的定义域为 ，
而
所以
即 ，
所以 为 上的奇函数；
又因为 均为奇函数，且在 均为增函数，
所以 为 上的奇函数，且为增函数；
又因为 ，
所以 ，
，
，
故选：A．
二、填空题
2．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）设 ，若函数 的值域为 ，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数图像，分析函数的单调性，结合题目中函数的值域为 ，分析特殊点的横坐标，分类
讨论即可得解.
【详解】作出函数图像，
根据题意 ，
得 ，
令 ，
解得 或 ，所以结合
①若 ，则不合题意，舍去，
②若 ，则 ，此时 ；
③若 ，则 ，此时 ；
④若 ，则 ，
综上所述， ，
故答案为：
三、解答题
3．（23-24高一下·内蒙古·期中）已知函数 ．
(1)求 的定义域；
(2)求 的单调区间；
(3)求不等式 的解集．
【答案】(1) ；
(2)递减区间是 ，递增区间是 ；
(3) .
【分析】（1）利用对数函数的定义列出不等式，求解即得.
（2）利用二次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出单调区间.
（3）判断函数的奇偶性，借助奇偶性、单调性脱去法则求解不等式.
【详解】（1）函数 中，由 ，解得 ，
所以 的定义域为 .
（2）函数 在 上单调递增，在 上单调递减，函数 在 上单调递减，
所以 的递减区间是 ，递增区间是 .（3）由 ，得函数 为偶函数，
由（2）知， 在 上单调递增，则 ，
因此 ，即 ，解得 ，
所以原不等式的解集是 ．
4．（23-24高一下·甘肃白银·期中）已知函数 ．
(1)证明： 的定义域与值域相同．
(2)若 ， ， ，求m的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）由具体函数的定义域可得 ，解不等式即可求出 的定义域，再结合对数函数的
单调性即可求出 的值域.
（2）设 ，则 ，分别求出 ，即可得出答案.
【详解】（1）证明：由 ，得 ，
所以 的定义域为 ．
，
因为 在 上单调递增．所以 ，所以 的值域为 ，
所以 的定义域与值域相同．
（2）解：由（1）知 在 上单调递增，
所以当 时， ．
设 ，
当 ，即 时， 取得最小值，且最小值为 ．
因为 ， ， ，
所以 ，即m的取值范围为 ．
5．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知奇函数 .
(1)求实数m的值；
(2)判断并证明 在区间 上的单调性；
(3)设 ，对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数a的取
值范围.
【答案】(1)-1
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数为奇函数即可得结果；
（2）对a分类讨论，用函数单调性的定义即可证明结果；
（3）依题意，分别求出 的最小值，根据条件可得结果.【详解】（1）因为 为奇函数，所以 ，
即 ，
所以 ，解得 ，即 ，
经检验： 时不合题意，舍去，故 .
（2）当 时 在区间 上为减函数；
当 时 在区间 上为增函数；
证明如下:
由（1）可知 ，任取 ，
，
因为 ，所以 ，即 ，
当 时 ，即 ，
故 在区间 上为减函数；
当 时 ，即 ，
故 在区间 上为增函数；
综上：当 时 在区间 上为减函数；
当 时 在区间 上为增函数；（3）因为 ， 时为减函数，当 时 ，
由（1）可知，当 时 在区间 上为减函数，当 时 ，
当 时 在区间 上为增函数，当 时 ，
又对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，即 ，
所以： 或 ，即 或 ，
解得 或 ，
故实数a的取值范围为 .
