专题24.6类比归纳专题：切线证明的常用二种思路方法（教师版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_重难点专题提优-V8

专题 24.6 类比归纳专题：切线证明的常用二种思路方法 【考点导航】 目录 【典型例题】..................................................................................................................................................1 【类型一 有切点，连半径，证垂直】............................................................................................................1 【类型二 无切点，作垂直，证半径】..........................................................................................................13 【典型例题】 【类型一 有切点，连半径，证垂直】 例题：（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 中， ，点O在边 上，以点O为 圆心， 为半径的圆交边 于点D，交边 于点E，且 ． (1)求证： 是 的切线． (2)若 ， ，求 的半径． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）连接 ， ，证明 ，求出 ，再根据切线的判定定理得 出结论； （2）连接 ，根据切线长定理可得 ，利用勾股定理求出 ，然后设 的半径为r，则， ，在 中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接 ， ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是半径， ∴ 是 的切线； （2）解：如图2，连接 ， ∵ ， ∴ 是 的切线， ∵ 是 的切线， ， ， ∴ ， ， ∴ ， 设 的半径为r，则 ， ， ∵ ， ∴ ，∴ ， 解得： ， ∴ 的半径为 ． 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，切线长定理，勾股定理等知识，灵活运用所 学知识进行推理论证是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图， 是 的外接圆， 是 的直径， ． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ，垂足为 交 于点 ；求证： 是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接 ，由 是 的直径得到 ，进一步得到 ，再根据已知 条件 ，且 即可证明 进而求解； （2）证明 ，再由 ，得到 ，进而得到 ， 得到 ，进而得到 为等腰三角形． 【详解】（1）证明：连接 ， ， ，为圆 的直径， ， ， 又 ， ， ， 又 点 在圆 上， 是 的切线； （2）证明： ， ， ， ， ， 又 ， ， 是等腰三角形． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等，熟练掌握性质或定 理是解决此类题的关键． 2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 是 的直径， ， ， 相交于点E，过点C 作 ， 与 的延长线相交于点F，连接 ． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ， ，求 的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接 ，连接 交 于M，根据圆周角定理得出 ，根据垂径定理得出 ， ，最后根据 ，得出 ，即可求证 是 的切线； （2）设 ，易得 ，则 ，根据勾股定理得出 ， 列出方程，求解 ，根据三角形的中位线定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接 ，连接 交 于M， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴半径 ， ∴ 是 的切线； （2）解：设 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ 是 的中位线， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理，垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线求解． 3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在 中， ，以 为直径的 与 相交于点 ，过点 作 ，交 于点 ． (1)求证： 是 的切线； (2)若 的直径为 ， ，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接 ，根据等边对等角可得 ， ，推得 ，根据平行线 的判定和性质可得 ，即可证明； （2）连接 ，根据直径所对的圆周角是直角和等腰三角形三线合一的性质可得 ，根据勾股 定理求得 ，根据三角形的面积公式即可求得 ． 【详解】（1）证明：连接 ，如图1， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ 是 的切线； （2）解：连接 ，如图2， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ 的长是 ． 【点睛】本题考查了等边对等角，平行线的判定和性质，切线的判定，等腰三角形三线合一，勾股定理， 圆周角定理等，解决问题的关键是熟练掌握切线相关知识． 4．（2023秋·广西玉林·九年级统考期末）如图， 是 的直径，点 是 上的一点， 与 的延 长线交于点 ，已知： ， ． (1)求证： 是 的切线；(2)过点 作 于点 ，若 的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接 ，利用等边对等角求得 ， ，利用三角形内角和定理求得 ，即可证明 是 的切线； （2）证明 是 的中位线，利用 ，根据扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：连接 ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 是 的切线； （2）解： ，AD30，OCD90， OD2OC 4， 又OB2， BDOB2，即点B是OD的中点， 又BECD，则BE∥OC，则BE是OCD的中位线， 1 ∴ BE OC1 ， 2 CEDE 2212  3 ，S S S 阴 梯形OBEC 扇形OBC 12 6022   3 2 360 3 3 2   ． 2 3 【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理的应用等知识点，解答此题的关 键是理解过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线． 5．（2023春·云南昭通·九年级校考阶段练习）如图，ABC内接于O,B60,CD是O的直径，点P 是CD延长线上一点，且AP AC． (1)求证：AP是O的切线； (2)若PD3，当点B在CD下方运动时，求ABC内心的运动路线长． 【答案】(1)见解析 3 (2) 2 【分析】（1）根据圆周角定理可得ADO60，从而证明ADO是等边三角形，由AP AC可得 PACP30，则可求出OAP90，因此PA是O的切线． （2）设ABC的内切圆圆心为点M ，连接AM、CM、BM ，作AMC的外接圆N ，连接AN、CN ，连接 ON，先求得AMC 120， 进而求得AC 3 3，再证OCN 是等边三角形，得CN OC3，当B与D 重合时，CNB90，利用弧长公式即可得解． AO,AD 【详解】（1）证明：连接 ，CD是O的直径， CAD90， ∴ADCC 90， B60， ADC60，  AODO， AOD是等边三角形， OADADO60，  AP AC， PACP906030， PAD60P30， PAO306090， AOPA，  A在圆上， AP是O的切线； （2）解：设ABC的内切圆圆心为点M ，连接AM、CM、BM ， ABC 60， BACBCA120，  AM 平分BAC,CM 平分BCA， MACMCA60， AMC120， M 点在以AC为弦，AC弦所对的圆周角为120的圆上， PPAD30， PD AD3， CD2AD6， AC 3 3 ，作AMC的外接圆N ，连接AN、CN ， AMC 120， ANC120， ABCANC180， ∴点N 在O上， 连接ON， \ AN=CN， ∵OAOC，ON ON ， ∴AON≌CON ， CON ABC60， OCN 是等边三角形， CN OC3， ∵当B与D重合时，CNB90， 90 3 3  内心的运动路径长为 ． ABC 180 2 【点睛】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，圆周角定理 及弧长的计算，综合性较强．熟练掌握圆的相关性质及计算是解题的关键． 6．（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图，半圆O的直径AB10cm，射线AM 和BN 是它的两条切 线，D点在射线AM 上运动（且不与点A重合），E点在半圆O上，满足DE AD，连接DE并延长交射 线BN 于点C．(1)求证：CD是半圆O的切线； ADxcm BC  ycm (2)设 ， ． ①写出y与x的关系式； ②若CD10cm，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 25  25 (2)① y x ；② S 阴影   50 2   cm2 ． 【分析】（1）连接OE，OD，OC，利用圆的切线的性质和全等三角形的判定定理与性质定理解答即可； （2）①过点D作DF  BC于点F，利用（1）中的结论，利用勾股定理解答即可得出结论； S 2S S  ②依题意画出图形，利用 阴影 正方形OBCE 扇形OBE 解答即可． 【详解】（1）证明：连接OE，OD，OC，如图， ∵射线AM 是半圆O的切线，E点在半圆O上， ∴DA AB，OAOE， ∵DE AD，ODOD， OAD≌OEDSSS ∴ ． ∴DAODEO90， ∴CD是半圆O的切线；（2）解：①过点D作DF  BC于点F，如图， ∵CD、BN 是半圆O的两条切线， ∴CECB ycm， ∵DA AB，CB AB，DF BC， ∴四边形ADFB为矩形， ∴BF  ADxcm，DF  AB10cm． CF CBBF yxcm CDDEEC xycm ∴ ， ． 在Rt△CDF中， ∵DF2CF2 CD2， 102yx2 xy2 ∴ ， ∴xy25． 25 y ∴y与x之间的函数关系式为 ； x ②当CD10cm时， ∵DF  AB10cm， ∴FD与CD重合，此时四边形ABCD为矩形， 连接OE，则四边形OECB为正方形，如图， 1 ∴EOB90，OEOB AB5cm， 2∴ S 阴影 2S 正方形OBCE S 扇形OBE 2522 90 36  0 52     50 25 2    cm2 ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，正 方形，扇形的面积，依据题意添加适当的辅助线是解题的关键． 【类型二 无切点，作垂直，证半径】 例题：（2022春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考开学考试）如图，在 中， ， 是 的角平分线，以 为圆心， 为半径作 ，求证： 是 的切线． 【答案】证明过程见解析； 【分析】题目并没有说明直线 与 有没有交点，所以过点 作 于点 ，然后证明 即可． 【详解】证明：如图：过点 作 于点 ， 是 的角平分线， ， ，， 是 的切线． 【点睛】本题考查圆的切线的判定知识．结合角平分线的性质，正确构造辅助线是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋·广东河源·九年级校考期末）如图， 为 的角平分线上的一点， 于点 ，以 为圆心 为半径作 ，求证： 与 相切． 【答案】见解析 【分析】过点 作 于 ，根据 证明 ，推出 ，即可证明 与 相 切． 【详解】证明：如图，过点 作 于 ， 平分 ， ， 又 ， ， ， 在 与 中， ， ，， 点D在 上， 又 ， 与 相切于点 ． 【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定方法． 2．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图 中， ， 平分 交 于点 ， 以点 为圆心， 为半径作 交 于点 ． (1)求证： 与 相切； (2)若 ， ，试求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过 作 于 ，利用角平分线的性质定理可得 即可证明： 与 相切； （2）在Rt 中，由勾股定理可求出 的长，设圆的半径为 ，利用切线长定理可求出 ， 所以 ， ，利用勾股定理建立方程求出 ，进而求出 的长． 【详解】（1）证明：过 作 于 ， ， ， 平分 交 于点 ， ，与 相切； （2）解：设圆的半径为 ， ， ， ， ， ， 是圆的切线， ， ， ， ， 在Rt 中， ， 解得： ， ． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用，解题的关键是 构造直角三角形，利用勾股定理列方程． 3．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图， 是等腰直角三角形， ，点O为 的中点， 连接 交 于点E， 与 相切于点D． (1)求证： 是 的切线； (2)延长 交 于点G，连接 交 于点F，若 ，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2)【分析】（1）连接 ，过点O作 于点P，根据等腰三角形的性质得到 ， 推出 ，即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质求出 ， 的长，勾股定理求出 ，连接 ，过O作 于 点H，利用面积法求出 ，勾股定理求出 ，即可根据等腰三角形的性质求出 的长． 【详解】（1）证明：连接 ，过点O作 于点P， ∵ 与 相切于点D． ∴ ， ∵ 是等腰直角三角形， ，点O为 的中点， ∴ ， ∴ ，即 是 的半径， ∴ 是 的切线； （2）解：∵ ， ， ， ∴ ， ， ∵点O为 的中点， ∴ ， ∵ ∴ ， 在 中， 连接 ，过O作 于点H， ∴ ，∴ ∵ ， ∴ ． 【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌 握各知识点是解题的关键． 4．（2022秋·九年级单元测试）如图， 是 的直径， ， 分别切 于点 ， ， 交 ， 于点 ， ， 平分 ． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ， ，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过 点作 于点 ，根据切线的性质由 切 于点 可得 ，再根据角 平分线定理得到 ，然后根据切线的判定定理得到 是 的切线； （2）过 作 于 ，根据切线的性质得到 ，则得到四边形 为矩形， 得到 ，所以 ，再利用切线长定理得 ， ，所以，在 中，利用勾股定理计算出 ，则 ，所以 ，然后 中，利用勾股定理可计算出 ． 【详解】（1）证明：如图，过 点作 于点 ， ， 切 于点 ， ， 平分 ， ， 为 的半径， 是 的半径， 是 的切线； （2）解：如图，过 作 于 ， ， 是 的直径， ， 分别切 于点 ， ， ， ， 四边形 为矩形， ， ， ， ， 为 的切线， ， ， 在 中， ，， ， 在 中， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，也考查 了切线的性质、切线长定理、勾股定理． 5．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）如图，点 为正方形 对角线上一点，以 为圆心， 的长为半径的 与 相切于点 ． (1)求证： 与 相切； (2)若 的半径为 ，求正方形的边长． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）过O作 于H， 由正方形 ，可得 ， 证明 ， 再证明 从而可得结论； （2）先根据勾股定理求出 ，从而可得 ，再根据正方形的性质、勾股定理即可得答案． 【详解】（1）解：如下图，过O作 于H， 正方形 ， ，是⊙O的切线， ， ， 为 的半径， 为 的半径， 与 相切； （2） 的半径为 ， ， 由（1）可知， ， ， ， 四边形 是正方形， ， 则在 中， ，即 ， ， 解得： ， 故正方形 的边长为 ． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的切线的判定，勾股定理的应用，角平分线的性质，熟练掌握正 方形的判定与性质是解题关键．