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知识点 63：电场线等势线与带电粒子运动轨迹的综合问题
【知识思维方法技巧】
带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法：
（1）“运动与电场力两线法”：
①判断速度方向：画出带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
②判断电场力(或电场强度)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨
迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断电场强度的方向。
③判断电势高低：沿着电场线方向，电势越来越低；正电荷在电势能大处，电势高；负电
荷在电势能大处，电势低．等势线总是和电场线垂直，并且从电势高的等势面指向电势低
的等势面。
④判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功
电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。
（2）“三不知时要假设”：
电荷的正负、场强的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向，是题意中相互制约的三
个方面。若已知其中的任一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知，则要用
“假设法”分别讨论各种情况。
考点一：场源电荷模型+带电粒子运动轨迹
题型一：场源是一个点电荷模型
【典例1基础题】如图所示，带正电的点电荷固定于Q点，电子在库仑力作用下做顺时针
方向以Q点为焦点的椭圆运动，线段MN为椭圆的长轴，则电子在运动过程中( )
A．在M点的速率最小
B．在电子从M点向N点运动过程中电势能减小
C．电子从N点向M点运动库仑力做负功
D．电子在椭圆上经过N点时所受电场力最小
【典例1基础题】【答案】D
【解析】电子从M运动到N的过程中，库仑力对电子做负功，电子的动能减小，电势能增
大，所以电子在M点的动能最大，速率最大，在N点的电势能最大，故A、B均错误；电
子从N运动到M的过程中，库仑力对电子做正功，电子的动能增大，电势能减小，故C错
误；在整个椭圆轨迹中，N点到Q点的距离最远，根据库仑定律：F＝k，则电子在N点时
所受电场力最小，故D正确．
题型二：场源是等量异种点电荷模型
【典例2基础题】（多选）如图所示，a、b是x轴上关于O点对称的两点，c、d是y轴上
关于O点对称的两点，c、d两点分别固定一等量异种点电荷，带负电的检验电荷仅在电场
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学科网（北京）股份有限公司力作用下从a点沿曲线运动到b点，E为第一象限内轨迹上的一点，以下说法正确的是(
)
A．c点的电荷带正电
B．a点电势高于E点电势
C．E点场强方向沿轨迹在该点的切线方向
D．检验电荷从a到b过程中，电势能先增加后减少
【典例2基础题】【答案】BD
【解析】带负电的检验电荷仅在电场力的作用下从a点沿曲线运动到b点，合力指向曲线
的内侧，故上面的电荷带同种电荷，即c点电荷带负电，故A错误；从E点到b点电场力
做正功，电势能减小，由于是负电荷，故从E到b电势要升高，即b点的电势高于E点的
电势，又因为等量异号电荷的连线的中垂线是等势面，故a、b两点的电势相等，所以a点
电势高于E点电势，故B正确；E点的切线方向为速度方向，E点的场强方向应与电场力
方向在同一直线上，而曲线运动的受力与速度方向不可能在同一直线上，即E点场强方向
不可能是该点的切线方向，故C错误；检验电荷从a到b过程中，电场力先做负功后做正
功，故电势能先增加后减小，故D正确．故选B、D
考点二：电场线模型+带电粒子运动轨迹
题型一：某电场的电场线模型
【典例1基础题】如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的
粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，由此可
知( )
A．带电粒子在R点时的速度大小大于在Q点时的速度大小
B．带电粒子在P点时的电势能比在Q点时的电势能大
C．带电粒子在R点时的动能与电势能之和比在Q点时的小，比在P点时的大
D．带电粒子在R点时的加速度大小小于在Q点时的加速度大小
【典例1基础题】【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】粒子做曲线运动，电场力指向曲线的内侧，所以电场力的方向沿电场线向右，若
粒子从P运动到Q，电场力做负功，电势能增大，动能减小，R点速度大于Q点速度，若
粒子从Q运动到P，则电场力做正功，电势能减小，动能增大，Q点速度小于R点速度，
在P点时的电势能比在Q点时的电势能小，故A正确，B错误；只有电场力做功，电势能
和动能之和守恒，动能与电势能之和保持不变，故C错误；由电场线疏密可知R点场强比
Q点大，电场力大，加速度大，故D错误。
【典例1基础题对应练习】如图所示，实线表示电场线，虚线表示只受静电力作用的带电
粒子的运动轨迹．粒子先经过M点，再经过N点，以下说法正确的是( )
A．粒子在N点的加速度大于在M点的加速度
B．该带电粒子应该带负电
C．M点的电势低于N点的电势
D．粒子在M点的电势能小于在N点的电势能
【典例1基础题对应练习】【答案】A
【解析】电场线的疏密表示场强大小，由题图知粒子在M点的场强小于在N点的场强，在
N点的加速度大于在M点的加速度，故A正确；带电粒子的轨迹向下弯曲，则带电粒子所
受的静电力沿电场线切线向下，则知带电粒子带正电，故 B错误；沿电场线方向电势降低，
故M点的电势高于N点的电势，故C错误；静电力方向与速度方向的夹角为锐角，静电力
做正功，电势能减小，即粒子在M点的电势能大于在N点的电势能，故D错误．
题型二：一个点电荷的电场线模型
【典例2基础题】如图所示，MN是一负点电荷产生的电场中的一条电场线，某一带正电
的粒子(不计重力)从a点沿虚线运动到b点并经过这条电场线。下列判断正确的是( )
A.粒子从a点运动到b点的过程中动能逐渐减小
B.粒子在a点的电势能大于在b点的电势能
C.负点电荷一定位于M的左侧
D.粒子在a点的加速度大于在b点的加速度
【典例2基础题】【答案】B
【解析】根据带电粒子运动过程中受到的电场力指向运动轨迹的凹侧，可判断出电场线的
方向由M指向N，负点电荷在N点或N点的右侧，选项C错误；粒子从a点运动到b点的
过程中，电场力做正功，动能逐渐增大，电势能逐渐减小，则粒子在 a点的电势能大于在
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学科网（北京）股份有限公司b点的电势能，选项A错误，B正确；由于a点离负点电荷距离较远，故粒子在a点的加速
度小于在b点的加速度，选项D错误。
题型三：两个（多个）点电荷的电场线模型
【典例3基础题】5．P、Q两电荷形成的电场的电场线分布如图所示，a、b、c、d为电场
中的四个点．一个离子从a运动到b(不计重力)，轨迹如图中虚线所示，则下列判断正确的
是( )
A．离子带正电
B．c点电势低于d点电势
C．离子在a点时的加速度大于在b点时的加速度
D．离子在a点时的电势能大于在b点时的电势能
【典例3基础题】【答案】 C
【解析】根据图中电场线方向可以判断出，P电荷带正电，Q电荷带负电，由做曲线运动
的物体受到的合力指向曲线的内侧，可以判断离子从a运动到b，受到的电场力与电场线
方向相反，离子带负电，选项A错误；沿着电场线方向电势降低，c点电势高于d点电势，
选项B错误；a点的电场线比b点的电场线密，所以离子在a点受到的电场力大于在b点受
到的电场力，则离子在a点的加速度大于在b点的加速度，选项C正确；离子从a点运动
到b点，电场力做负功，电势能增大，在a点时的电势能小于在b点时的电势能，选项D
错误．
题型四：带电体的电场线模型
【典例4基础题】如图所示，在某静电除尘器产生的电场中，带等量负电荷的两颗微粒只
受电场力作用，分别从p点沿虚线pm、pn运动，被吸附到金属圆筒上。下列说法正确的
是( )
A．p点的电势高于n点的电势
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学科网（北京）股份有限公司B．微粒在p点的电势能小于在m点的电势能
C．微粒从p到n的动能变化量大于从p到m的动能变化量
D．微粒从p到n的电势能变化量等于从p到m的电势能变化量
【典例4基础题】【答案】D
【解析】沿着电场线，电势逐渐降低，则有 φ >φ ，故A错误；负电荷从p运动到m的过
n p
程中，电场力做正功，电势能减小，有E >E ，故B错误；两微粒从p到n和从p到m的
pp pm
过程中，均只受电场力而做正功，由动能定理有 qU＝ΔE ，因U ＝U ，电荷量q相等，
k pn pm
所以两微粒的动能变化量相等，C错误；由于W＝ΔE ，电场力做正功相等，所以微粒从p
p
到n和从p到m电势能的变化量相等，D正确。
题型五：匀强电场的电场线模型
【典例5基础题】如图所示，实线MN是某匀强电场中的一条电场线．一带正电粒子射入
电场后，仅在电场力作用下沿虚线ABC运动．下列说法中正确的是( )
A．粒子在A点的加速度比在C点的加速度大
B．粒子在A点的电势能比在C点的电势能小
C．M、N两点的电势：φ >φ
M N
D．电场线的方向水平向右
【典例5基础题】【答案】B
【解析】由于电场为匀强电场，可得到粒子在A点的加速度与C点的加速度大小相等，故
A错误；由题图可知，粒子在B点所受电场力方向向左，又因为粒子带正电，故电场线方
向向左，由沿着电场线方向电势降低，则φ >φ ，故带正电粒子从A点到C点电场力做负
N M
功，电势能增加，所以粒子在A点的电势能比在C点的电势能小，故B正确，C、D错误．
考点三：等势线模型+带电粒子运动轨迹
题型一：某电场的等势线模型
【典例1基础题】如图所示，虚线a、b、c代表某一电场中的三个等势面，相邻等势面之
间的电势差相等，实线为一带正电的粒子仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，
P、R、Q是这条轨迹上的三点，其中R在等势面b上．下列判断正确的是( )
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学科网（北京）股份有限公司A．三个等势面中，a的电势最低
B．带电粒子在P点的电势能比在Q点的小
C．带电粒子在P点的动能与电势能之和比在Q点的小
D．带电粒子在R点的加速度方向垂直于等势面b
【典例1基础题】【答案】D
【解析】带电粒子所受静电力指向轨迹弯曲的内侧，电场线与等势面垂直，且由于带电粒
子带正电，因此电场线指向下方，根据沿电场线电势降低，可知a等势线的电势最高，c等
势线的电势最低，故A错误；根据带电粒子受力情况可知，若粒子从 P向Q运动，静电力
做正功，动能增大，电势能减小，故带电粒子在P点具有的电势能比在Q点具有的电势能
大，故B错误；只有静电力做功，所以带电粒子在P点的动能与电势能之和与在Q点的相
等，故C错误；电场的方向总是与等势面垂直，所以R点的电场线的方向与该处的等势面
垂直，而带正电粒子受到的静电力的方向与电场线的方向相同，加速度的方向又与受力的
方向相同，所以带电粒子在R点的加速度方向垂直于等势面b，故D正确．
【典例1基础题对应练习】（多选）如图所示，虚线是某静电场的一簇等势线，边上标有
电势的值，一带电粒子只在电场力作用下恰能沿图中的实线从 A经过B运动到C.下列判断
正确的是( )
A．粒子一定带负电
B．A处场强大于C处场强
C．粒子在A处电势能小于在C处电势能
D．粒子从A到B电场力所做的功大于从B到C电场力所做的功
【典例1基础题对应练习】【答案】BC
【解析】根据电场线与等势面垂直且由高电势指向低电势，可知电场线方向大致向左，根
据粒子轨迹的弯曲方向可知，粒子所受的电场力方向大致向左，则知粒子一定带正电．故
A错误；等差等势面的疏密反映电场强度的大小，A处场强大于C处场强，故B正确；从
A点飞到C点，电场力方向与速度的夹角为钝角，电场力做负功，电势能增大，故C正确。
题型二：一个点电荷的等势线模型
【典例2基础题】(多选)如图，一带正电的点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，
两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆
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学科网（北京）股份有限公司的交点，不计重力。下列说法正确的是( )
A.M带负电荷，N带正电荷
B.M在b点的动能小于它在a点的动能
C.N在d点的电势能等于它在e点的电势能
D.N在从c点运动到d点的过程中克服电场力做功
【典例2基础题】【答案】ABC
【解析】由粒子运动轨迹可知，M受到的是吸引力，N受到的是排斥力，可知M带负电荷，
N带正电荷，故A正确；M从a到b点，库仑力做负功，根据动能定理知，动能减小，则
b点的动能小于在a点的动能，故B正确；d点和e点在同一等势面上，电势相等，则N在
d点的电势能等于在e点的电势能，故C正确；N从c到d，库仑斥力做正功，故D错误。
题型三：两个点电荷的等势线模型
【典例3基础题】如图所示，真空中M、N处放置两等量异种点电荷，a、b、c表示电场中
的三条等势线，d点和e点位于等势线a上，f点位于等势线c上，df平行于MN.已知一带
正电的试探电荷从d点移动到f点时，试探电荷的电势能增加，则以下判断正确的是( )
A．M点处放置的是正电荷
B．若将带正电的试探电荷沿图中虚线de由d点移动到e点，则电场力先做正功、后做负
功
C．d点的电势高于f点的电势
D．d点的场强与f点的场强完全相同
【典例3基础题】【答案】B
【解析】因正电荷由d到f电场力做负功，电势能增加，则电势升高．故f点电势高于d点
电势，则N点为正电荷，故A、C错误；将带正电的试探电荷沿直线由 d点移动到e点，
电势能先减小再增大到原来值，故电场力先做正功、后做负功．故B正确；d点与f点关于
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学科网（北京）股份有限公司两点电荷的中垂线对称，则场强大小相等但方向不同，故D错误．
题型四：匀强电场的等势线模型
【典例4基础题】如图中的一组平行线为匀强电场的等势线，曲线为正电荷在匀强电场中
的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，则下列说法正确的是 ( )
A.该电场的方向水平向左
B.b点的电势高于a点的电势
C.b点的电势能大于在a点的电势能
D.电荷在相同时间内速度变化量相同
【典例4基础题】【答案】D
【解析】根据曲线运动所受合力指向曲线的内侧且电场线与等势线垂直，所以粒子所受电
场力竖直向上，由于粒子带正电，所以电场线竖直向上，故A错误；根据沿电场线方向电
势逐渐降低可知，b点的电势低于a点的电势，且正电荷在电势高处电势能大，故B、C错
误；由于电荷在匀强电场中运动，所以电荷的加速度相同，电荷在相同时间内速度变化量
为Δv＝aΔt相同，故D正确。
题型五：电场线+等势线模型+带电粒子运动轨迹
【典例5基础题】如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线1、2、3分别为三条等
势线，三条等势线与其中一条电场线的交点依次为M、N、Q点，已知MN＝NQ，电荷量
相等的a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出，仅在电场力作用下，两
粒子的运动轨迹如图中虚线a′、b′所示，则( )
A．a粒子一定带正电，b粒子一定带负电
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学科网（北京）股份有限公司B．MN两点电势差|U |等于NQ两点电势差|U |
MN NQ
C．a粒子的加速度逐渐增大，b粒子的加速度逐渐减小
D．a粒子从出发到等势线3过程的动能变化量比b粒子从出发到等势线1过程的动能变化
量小
【典例5基础题】【答案】D
【解析】由图可知，a粒子的轨迹方向向右弯曲，a粒子所受电场力方向向右，b粒子的轨
迹向左弯曲，b粒子所受电场力方向向左，由于电场线方向未知，无法判断粒子的电性，
故A错误；由题可知，a所受电场力逐渐减小，加速度减小，b所受电场力增大，加速度增
大，故C错误；已知MN＝NQ，由于MN段场强大于NQ段场强，所以MN两点电势差|
U |大于NQ两点电势差|U |，故B错误；根据电场力做功公式W＝Uq，|U |＞|U |，a
MN NQ MN NQ
粒子从等势线2到3电场力做的功小于b粒子从等势线2到1电场力做的功，所以a粒子到
达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小，故D正确。
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学科网（北京）股份有限公司
