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知识点 63：电场线等势线与带电粒子运动轨迹的综合问题
【知识思维方法技巧】
带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法：
（1）“运动与电场力两线法”：
①判断速度方向：画出带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
②判断电场力(或电场强度)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨
迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断电场强度的方向。
③判断电势高低：沿着电场线方向，电势越来越低；正电荷在电势能大处，电势高；负电
荷在电势能大处，电势低．等势线总是和电场线垂直，并且从电势高的等势面指向电势低
的等势面。
④判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功
电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。
（2）“三不知时要假设”：
电荷的正负、场强的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向，是题意中相互制约的三
个方面。若已知其中的任一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知，则要用
“假设法”分别讨论各种情况。
考点一：场源电荷模型+带电粒子运动轨迹
题型一：场源是一个点电荷模型
【典例1拔尖题】如图所示，一带正电的粒子以一定的初速度进入某点电荷 Q产生的电场
中，沿图中弯曲的虚线轨迹先后经过电场中的a、b两点．其中a点的电场强度大小为E ，
a
方向与ab连线成30°角，b点的电场强度大小为E ，方向与ab连线成60°角．粒子只受静
b
电力的作用，下列说法中正确的是( )
A．点电荷Q带正电
B．a点的电势高于b点电势
C．从a到b，系统的电势能增加
D．粒子在a点的加速度大于在b点的加速度
【典例1拔尖题】【答案】B
【解析】带正电的粒子受力指向轨迹凹侧，则点电荷Q带负电，所以A错误；点电荷Q恰
好处于a、b两点电场线的交点处，根据负点电荷等势面的分布特点，离负点电荷越远的点
电势越高，由几何关系可知，a点离负点电荷较远，所以a点的电势高于b点电势，则B
正确；从a到b，静电力对带正电粒子做正功，所以系统的电势能减小，则 C错误；根据
场强公式E＝k，a点的场强小于b点，则粒子在a点受到的静电力小于在b点受到的静电
力，所以粒子在a点的加速度小于在b点的加速度，则D错误．
【典例1拔尖题对应练习】(多选)如图所示，一带正电的粒子以一定的初速度进入点电荷Q
1
学科网（北京）股份有限公司产生的电场中，沿图中弯曲的虚线轨迹先后经过电场中的a、b两点，其中a点的电场强度
大小为E ，方向与ab连线成30°角；b点的电场强度大小为E ，方向与ab连线成60°角，
a b
粒子只受电场力的作用。下列说法中正确的是( )
A．点电荷Q带负电
B．a点的电势低于b点电势
C．粒子在a点的电势能大于在b点的电势能
D．粒子在a点的加速度大于在b点的加速度
【典例1拔尖题对应练习】【答案】AC
【解析】如图所示，将E 、E 延长相交于一点，交点即为点电荷Q的位置，根据轨迹的弯
a b
曲方向，可知点电荷与带电粒子的电性相反，为库仑引力，故点电荷带负电，故 A正确；
由图中信息可知a点到点电荷的距离大于b点到点电荷的距离，根据负点电荷周围等势面
的分布情况，可知a点的电势高于b点电势，故B错误；根据电势能的定义式，有E ＝
p
qφ，q＞0，可知粒子在a点的电势能大于在b点的电势能，故C正确；根据牛顿第二定律，
有a＝，F ＝，r＞r，故粒子在a点的加速度小于在b点的加速度，故D错误。
库仑 a b
题型二：场源是等量异种点电荷模型
【典例2拔尖题】(多选)如图所示，在坐标系xOy中，弧BDC是以A点为圆心、AB为半
径的一段圆弧，AB＝L，AO＝，D点是圆弧跟y轴的交点。当在O点和A点分别固定电荷
量为－Q 和＋Q 的点电荷后，D点的电场强度恰好为零。下列说法正确的是( )
1 2
2
学科网（北京）股份有限公司A.Q＝4Q
2 1
B.圆弧BDC上的各点相比较，D点的电势最高
C.电子沿着圆弧从B点运动到C点的过程中，电势能先减小后增大
D.电子沿着圆弧从B点运动到C点的过程中，电势能先增大后减小
【典例2拔尖题】【答案】AD
【解析】D点的电场强度恰好为零，则k＝k，解得Q ＝4Q ，故A正确；对Q 来说圆弧是
2 1 2
一个等势面，所以各点电势高低，由Q 决定，根据沿电场线方向电势降低，离负电荷越近，
1
电势越低，故D点电势最低，故B错误；电子沿着圆弧从B点运动到C点的过程中，电势
先降低后升高，E ＝φq，故电势能先增大后减小，故D正确，C错误。
p
考点二：电场线模型+带电粒子运动轨迹
题型一：某电场的电场线模型
【典例1拔尖题】如图所示，实线表示某电场的电场线，虚线表示一带正电的粒子只在电
场力作用下的运动轨迹，设A和B点的电势分别为φ 和φ ，粒子在A、B两点加速度大小
A B
分别为a 和a ，速度大小为v和v，电势能分别为E 和E ，下列判断正确的是( )
A B A B pA pB
A．vE
A B pA pB
【典例1拔尖题】【答案】C
【解析】带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，粒子从A到B过程，电场力方向与速
度方向成钝角，电场力做负功，动能减小，速度减小，电势能增加，故带电粒子通过 A点
时的速度比通过B点时的速度大，即v >v ，E E ，根据F＝Eq和牛顿第二定律可知，a >a ，选项B错误；根据沿着电场线方
A B A B
向，电势逐渐降低，故φ <φ ，选项C正确．
A B
【典例1拔尖题对应练习】空间某区域内存着电场，电场线在竖直平面上的分布如图所示．
一个质量为m、电荷量为q的带电小球在该电场中运动，小球经过A点时的速度大小为
3
学科网（北京）股份有限公司v，方向水平向右；运动至B点时的速度大小为v，运动方向与水平方向之间的夹角为
1 2
α，A、B两点间的高度差为h、水平距离为s，则以下判断正确的是( )
A．A、B两点的电场强度和电势关系为E v，则电场力一定做正功
2 1
C．A、B两点间的电势差为(v－v)
D．小球从A点运动到B点的过程中电场力做的功为mv－mv－mgh
【典例1拔尖题对应练习】【答案】D
【解析】由电场线的方向和疏密可知A点电场强度小于B点，但A点电势高于B点，A错
误．若v>v 说明合外力对小球做正功，但电场力不一定做正功，B错误．由于有重力做功，
2 1
A、B两点间电势差不是(v－v)，C错误．小球从A点运动到B点过程中由动能定理得W
电
＋mgh＝mv－mv，所以W ＝mv－mv－mgh，D正确．
电
题型二：一个点电荷的电场线模型
【典例2拔尖题】(多选)如图所示，为某一点电荷所形成的一簇电场线，a\，b\，c三条虚
线为三个带电粒子以相同的速度从O点射入电场的运动轨迹，其中b虚线为一圆弧，AB的
长度等于BC的长度，且三个粒子的电荷量大小相等，不计粒子重力，则以下说法正确的
是( )．
A．a一定是正粒子的运动轨迹，b和c一定是负粒子的运动轨迹
B．由于AB的长度等于BC的长度，故U ＝U
AB BC
C．a虚线对应的粒子的加速度越来越小，c虚线对应的粒子的加速度越来越大，b虚线对
应的粒子的加速度大小不变
D．b虚线对应的粒子的质量大于c虚线对应的粒子的质量
【典例2拔尖题】【答案】CD
【解析】由于电场线没有明确方向，因此无法确定三个带电粒子的电性；由于该电场不是
匀强电场，虽然AB的长度等于BC的长度，但AB段与BC段对应的电场强度不等，由点
电荷等差等势面的分布特点，不难判断U m，即m>m，故D选项正确．
c b c
题型三：两个（多个）点电荷的电场线模型
【典例3拔尖题】如图所示，实线为三个点电荷A、B、C产生的电场的电场线，虚线是电
子的运动轨迹，M、N是虚线上两点，则下列判断正确的是( )
C
B
M
N
A
F
A．A一定带负电，B、C均带正电
B．M点的场强大于N点的场强
C．M点的电势小于N点的电势
D．电子在M点的动能大于在N点的动能
【典例3拔尖题】【答案】D
【解析】根据曲线运动需要指向凹处的向心力以及电场力方向与电场线的切线方向平行”
可知，电子在N点时受到的电场力F方向如图所示，电子受到的电场力与场强方向相反，
即N点的场强方向与图示F的方向相反，根据电场线方向由正电荷出发终止于负电荷可知
A一定带正电，B、C均带负电，A错误；根据电场线的疏密表示电场强度的大小可知，M
点的场强小于N点的场强，选项B错误；根据根据等势线与电场线垂直，画出过M点的等
势线如图所示，根据沿电场线方向电势逐渐降低可知，M点的电势大于N点的电势，C错
误；根据动能定理有–eU = E –E ，又U = φ –φ > 0，得E > E ，D正确。
MN kN kM MN M N kM kN
【典例3拔尖题对应练习】位于正方形四角上的四个等量点电荷的电场线分布如图所示，
ab、cd分别是正方形两条边的中垂线，O点为中垂线的交点，P、O分别为cd、ab上的点。
则下列说法正确的是 ( )
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学科网（北京）股份有限公司A．P、O两点的电势关系为φ <φ
P O
B．P、Q两点电场强度的大小关系为E E ,B错；四个点电荷在O点的合场强为零,C对.
P Q
题型四：带电体的电场线模型
【典例4拔尖题】(多选)如图所示是利用高压电场干燥中药的基本原理图，在大导体板MN
上铺一薄层中药材，针状电极O和平板电极MN接高压直流电源，其间产生非匀强电场
E；水分子是极性分子，可以看成棒状带电体，一端带正电荷，另一端带等量负电荷；水
分子在电场力的作用下会加速从中药材中分离出去，在鼓风机的作用下飞离电场区域从而
达到快速干燥的目的。已知虚线ABCD是某一水分子从A处由静止开始的运动轨迹，则下
列说法正确的是( )
A．水分子在B处时，带正电荷一端受到的电场力与带负电荷一端受到电场力大小不相等
B．水分子沿轨迹ABCD运动过程中电场力始终做正功
C．水分子沿轨迹ABCD运动过程中电势能先减少后增加
D．如果把高压直流电源的正负极反接，水分子从A处开始将向下运动
【典例4拔尖题】【答案】AC
【解析】水分子在B处时，水分子带正电荷一端所在处电场强度小，水分子受到的电场力
小，带负电荷一端所在处电场强度大，水分子受到的电场力大，A正确；水分子向针状电
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学科网（北京）股份有限公司极O靠近时电场力做正功，远离针状电极O时电场力做负功，C正确，B错误；如果把高
压直流电源的正负极反接，水分子从A处仍会向上运动，只不过带正电荷一端在上方，即
水分子带正电荷一端受到的电场力大于带负电荷一端受到的电场力，D错误。
题型五：匀强电场的电场线模型
【典例5拔尖题】如图所示，矩形区域内有水平方向的匀强电场，一个带负电的粒子从A
点以某一速度v射入电场中，最后以另一速度v从B点离开电场，不计粒子所受的重力，
A B
A、B两点的位置如图所示，则下列判断中正确的是( )．
A．电场强度的方向水平向左
B．带电粒子在A点的电势能小于在B点的电势能
C．粒子在电场中运动的全过程中，电势能最大处为B点
D．粒子在电场中运动的全过程中，动能最大处为B点
【典例5拔尖题】【答案】D
【解析】根据力和运动的关系，可判定电场强度的方向水平向右，A错；粒子在电场中运
动的全过程中，电场力先做负功，后做正功，电势能先增大后减小，所以带电粒子在A点
的电势能大于在B点的电势能，粒子在电场中运动的全过程中，电势能最大处应在A点的
右下方，粒子在电场中运动的全过程中，动能最大处应为B点，故D对，B、C错．
考点三：等势线模型+带电粒子运动轨迹
题型一：某电场的等势线模型
【典例1拔尖题】(多选)如图所示，虚线a、b、c是电场中的三个等势面，实线为一个带负
电的质点仅在电场力作用下的运动轨迹，P、Q是轨迹上的两点。下列说法正确的是( )
A.质点在Q点时的电势能比P点时小
B.质点在Q点时的加速度方向与等势面a垂直
C.三个等势面中等势面a的电势最低
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学科网（北京）股份有限公司D.质点在Q点时的加速度比P点时大
【典例1拔尖题】【答案】AB
【解析】质点带负电，曲线运动所受合力指向轨迹的凹侧，结合电场线与等势面处处垂直
大致画出电场线如图实线，沿电场线方向电势降低，所以 φ ＞φ ，根据电势能E ＝qφ可
Q P p
知E ＜E ，A正确；质点在Q点受力方向与电场线在该点的切线方向相反，电场线和等
pQ pP
势面处处垂直，根据牛顿第二定律可知质点在Q点时的加速度方向与等势面a垂直，B正
确；沿电场线方向，电势降低，所以等势面a的电势最大，C错误；电场线的疏密程度表
示电场强度的弱强，则E ＜E ，电荷在电场强度大的位置受到的电场力大，加速度大，D
Q P
错误。
【典例1拔尖题对应练习】某平面区域内一静电场的等势线分布如图中虚线所示，一正电
荷仅在电场力作用下由a运动至b，设a、b两点的电场强度分别为E 、E ，电势分别为
a b
φ、φ，该电荷在a、b两点的速度分别为v、v，电势能分别为E 、E ，则( )
a b a b pa pb
A．E >E B．φ＞φ
a b a b
C．v>v D．E >E
a b pa pb
【典例1拔尖题对应练习】【答案】C
【解析】等势面的疏密反映电场强度的大小，所以 E ＜E ，A错误；如图所示，运动轨迹
a b
与等势面的交点A处，电场线与等势面垂直，物体做曲线运动合外力指向凹侧，所以A点
所受电场力水平向左，又因为带正电，所以A点的电场线水平向左，从而判断出电场线指
向左侧，所以φ ＞φ ，B错误；正电荷在电势高的地方电势能大，所以在 b点的电势能大
b a
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学科网（北京）股份有限公司于a点的电势能，则E a>a，v>v>v B．a>a>a，v>v>v
a b c a c b a b c b c a
C．a>a>a，v>v>v D．a>a>a，v>v>v
b c a b c a b c a a c b
【典例2拔尖题】【答案】D
【解析】由库仑定律 F＝可知，粒子在a、b、c 三点受到的电场力的大小关系为
F >F>F ，由a＝，可知a>a>a。根据粒子的轨迹可知，粒子Q与场源电荷P的电性相同，
b c a b c a
二者之间存在斥力，由c→b→a整个过程中，电场力先做负功再做正功，且W >|W |，结
ba cb
合动能定理可知，v>v>v，故选项D正确。
a c b
题型三：两个点电荷的等势线模型
【典例3拔尖题】（多选）两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图中虚线所
示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹如图中实线所示，若粒子只
受电场力作用，则下列关于带电粒子的判断正确的是( )
A．带正电 B．速度先增大后减小
C．电势能先增大后减小 D．经过b点和d点时的速度大小相同
【典例3拔尖题】【答案】CD
【解析】根据粒子的运动轨迹及等势面分布可知，粒子带负电，选项 A错误；粒子从a到
c再到e的过程中电场力先做负功后做正功，速度先减小后增大，电势能先增大后减小，选
项B错误，C正确；因为b、d两点在同一等势面上，所以粒子在b、d两点的电势能相同，
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学科网（北京）股份有限公司所以粒子经过b点和d点时的速度大小相同，选项D正确．
题型四：匀强电场的等势线模型
【典例4拔尖题】(多选)如图所示，a、b、c、d为匀强电场中的等势面，一个质量为m，
电荷量为q的带正电的粒子在A点以大小为v 的速度射入电场，沿如图轨迹到达B点时速
1
度大小为v 且速度与等势面平行，A、B连线长为L，连线与等势面间的夹角为θ，不计粒
2,
子受到的重力，则( )
A．粒子在A点的动能大于在B点的动能
B．等势面b的电势比等势面c的电势高
C．粒子从A运动到B所用时间为
D．匀强电场的电场强度大小为
【典例4拔尖题】【答案】ACD
【解析】由粒子的运动轨迹可知，粒子受向上的电场力，所以从A到B电场力做负功，动
能减小，则粒子在A点的动能大于在B点的动能，故选项A正确；粒子带正电，受向上的
电场力，所以电场强度的方向向上，等势面b的电势比等势面c的电势低，故选项B错误；
粒子在水平方向不受力，所以在水平方向做匀速运动，速度为v，则从A到B的时间为t
2
＝，故选项C正确；由A到B根据动能定理有－qELsin θ＝mv 2－mv 2，解得E＝，故选项
2 1
D正确。
题型五：电场线+等势线模型+带电粒子运动轨迹
【典例5拔尖题】(多选)如图所示，虚线A、B、C表示某固定点电荷电场中的三个等势面，
相邻两等势面间的距离相等，实直线表示电场中的三条没标明方向的电场线，a、b是一带
正电粒子只在电场力作用下运动轨迹上的两点．则( )
A．粒子经过a点的加速度大于经过b点的加速度
B．AB间的电势差大小小于BC间的电势差大小
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学科网（北京）股份有限公司C．场源电荷是负电荷
D．带正电荷的粒子在b点的电势能大于在a点的电势能
【典例5拔尖题】【答案】ACD
【解析】点电荷形成的电场中，离点电荷越近场强越大，粒子加速度越大，选项A正确；
A、B间的电势差大小大于B、C间的电势差大小，选项B错误；根据运动轨迹可知带正电
的粒子受到场源电荷的库仑力是引力，所以场源电荷是负电荷，选项C正确；b点电势高
于a点电势，故带正电荷的粒子在b点的电势能大于在a点的电势能，选项D正确．
11
学科网（北京）股份有限公司
