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知识点 63：电场线等势线与带电粒子运动轨迹的综合问题
【知识思维方法技巧】
带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法：
（1）“运动与电场力两线法”：
①判断速度方向：画出带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
②判断电场力(或电场强度)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨
迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断电场强度的方向。
③判断电势高低：沿着电场线方向，电势越来越低；正电荷在电势能大处，电势高；负电
荷在电势能大处，电势低．等势线总是和电场线垂直，并且从电势高的等势面指向电势低
的等势面。
④判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功
电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。
（2）“三不知时要假设”：
电荷的正负、场强的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向，是题意中相互制约的三
个方面。若已知其中的任一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知，则要用
“假设法”分别讨论各种情况。
考点一：场源电荷模型+带电粒子运动轨迹
题型一：场源是一个点电荷模型
【典例1提高题】（多选）在固定的带负电点电荷Q产生的电场中，一带电粒子q(不计重
力)绕Q做椭圆运动，轨迹如图中虚线所示，轨迹上有a、b两点，a点离Q最近，b点离Q
最远。下列说法正确的是( )
A．a点的电势高于b点的电势
B．a点的电场强度大于b点的电场强度
C．粒子q过a点时，粒子所受电场力做功的功率最大
D．粒子q由a运动到b的过程中，电势能增大
【典例1提高题】【答案】BD
【解析】根据“电场线与等势面垂直”和“沿电场线方向电势逐渐降低”可知，a点的电
势低于b点的电势，故A错误；由E＝k可知，a点的电场强度大于b点的电场强度，故B
正确；粒子q经过a点时所受电场力的方向与速度方向垂直，电场力做功的功率为零，故
C错误；粒子q由a点运动到b点的过程中所受电场力的方向与速度方向的夹角为钝角，
电场力做负功，电势能增大，故D正确。
【典例1提高题对应练习】(多选)如图所示，一带电荷量为Q的点电荷固定在椭圆的焦点F
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学科网（北京）股份有限公司处，另一质量为m，电荷量为q的试探电荷仅在彼此间的库仑引力作用下绕Q做椭圆运动。
MN是椭圆的长轴，SL是椭圆的短轴，则( )
A.从M点到N点电势逐渐减小
B.试探电荷从M点到N点电势能增大
C.试探电荷在M点时的加速度比在N点时的加速度大
D.试探电荷从S点经过N到L点与从L点经过M到S点时间相等
【典例1提高题对应练习】【答案】BC
【解析】由于无法确定Q带何种电荷，因此从M点到N点电势如何变化不能确定，A错误；
从M到N电场力做负功，因此电势能增大，B正确；由库仑定律可知，在M点受电场力
比N点大，根据牛顿第二定律，可知试探电荷在M点时的加速度比在N点时的加速度大，
C正确；从S点经过N到L点先减速运动再加速运动；而从L点经过M到S点先加速运动
再减速运动，S点与L点速度大小相同，因此两段平均速率不同，虽然路程相同，但所用
时间不同，D错误。
题型二：场源是等量异种点电荷模型
【典例2提高题】如图，两个带等量正电的点电荷，分别固定在绝缘水平桌面上的A、B
两点，一绝缘圆形细管水平固定在桌面A、B两点间，且圆形细管圆心O位于A、B连线
的中点。细管与A、B连线及中垂线交点分别为C、E、D、F。一个带负电的小球在细管
中按顺时针方向做完整的圆周运动。不计一切摩擦，下列说法正确的是( )
A.小球从C运动到D的过程中，速度先减小后增大
B.在两个带正电的点电荷产生的电场中，C点的电势比F点的电势低
C.小球在C、E两点的速度大小相等，有相同的电势能
D.小球在D、F两点所受的电场力相同
【典例2提高题】【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】由两正点电荷电场线的分布特点知，φ ＝φ >φ ＝φ ，B错误；因φ ＝φ ，故小球
C E D F C E
在C、E两点的电势能相等，动能相等，速度大小相等，C正确；小球从C点运动到D点
的过程中，电势能增加，动能减小，A错误；小球在D、F两点所受的电场力方向相反，D
错误。
考点二：电场线模型+带电粒子运动轨迹
题型一：某电场的电场线模型
【典例1提高题】如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的
粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设 M点和N点的电势分别为φ 、φ ，粒子在M和N
M N
时加速度大小分别为a 、a ，速度大小分别为v 、v ，电势能分别为E 、E 。下列判断
M N M N pM pN
正确的是( )
A．v <v ，a <a B．v <v ，φ <φ
M N M N M N M N
C．φ <φ ，E <E D．a <a ，E <E
M N pM pN M N pM pN
【典例1提高题】【答案】D
【解析】由粒子的轨迹知电场力的方向偏向右，因粒子带负电，故电场线方向偏向左，由
沿电场线方向电势降低，可知φ <φ ，E <E 。N点电场线比M点的密，故场强E <E ，
N M pM pN M N
由加速度a＝知a <a 。粒子若从N点运动到M点，电场力做正功，动能增加，故v >v 。
M N M N
综上所述，选项D正确。
【典例1提高题对应练习】如图所示，虚线1、2、3，为某电场中的三条电场线，实线表
示某带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，则下列说法正确的是(
)
A．粒子在a点的加速度大于在b点的加速度
B．粒子在a点的电势能大于在b点的电势能
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学科网（北京）股份有限公司C．粒子在a点的速度大于在b点的速度
D．a点的电势高于b点的电势
【典例1提高题对应练习】【答案】B
【解析】利用电场线的疏密可比较各点电场强度的大小，a点处的电场线相对b点较为稀
疏，所以E <E ，根据牛顿第二定律可知a ＜a ，选项A错误；假设粒子从a点向b点运动，
a b a b
在a点，粒子速度方向与受力方向如图所示，所以粒子从 a点到b点，电场力做正功，电
势能减小，同理，若粒子从b点向a点运动，电场力做负功，电势能增加，所以粒子在 a
点的电势能大于在b点的电势能，选项B正确；粒子运动过程中仅受电场力，则电势能和
动能相互转化，因为粒子在a点的电势能大于在b点的电势能，则E ＜E ，根据E ＝mv2
ka kb k
可知v ＜v ，选项C错误；粒子的电性和电场线的方向均未知，所以无法比较a、b两点电
a b
势的高低，选项D错误。
【典例1拔尖题对应练习】空间某区域内存着电场，电场线在竖直平面上的分布如图 6324
所示．一个质量为m、电荷量为q的带电小球在该电场中运动，小球经过A点时的速度大
小为v，方向水平向右；运动至B点时的速度大小为v，运动方向与水平方向之间的夹角
1 2
为α，A、B两点间的高度差为h、水平距离为s，则以下判断正确的是( )
A．A、B两点的电场强度和电势关系为E <E 、φ <φ
A B A B
B．如果v>v，则电场力一定做正功
2 1
C．A、B两点间的电势差为(v－v)
D．小球从A点运动到B点的过程中电场力做的功为mv－mv－mgh
【典例1拔尖题对应练习】【答案】D
【解析】由电场线的方向和疏密可知A点电场强度小于B点，但A点电势高于B点，A错
误．若v>v 说明合外力对小球做正功，但电场力不一定做正功，B错误．由于有重力做功，
2 1
A、B两点间电势差不是(v－v)，C错误．小球从A点运动到B点过程中由动能定理得W
电
＋mgh＝mv－mv，所以W ＝mv－mv－mgh，D正确．
电
题型二：一个点电荷的电场线模型
【典例2提高题】如图所示，MN是由一个正点电荷Q产生的电场中的一条电场线，一个
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学科网（北京）股份有限公司带正电的粒子＋q飞入电场后，在电场力的作用下沿一条曲线运动，先后通过a、b两点，
不计粒子的重力，则( )
A．粒子在a点的加速度小于在b点的加速度
B．a点电势φ 小于b点电势φ
a b
C．粒子在a点的动能E 小于在b点的动能E
ka kb
D．粒子在a点的电势能E 小于在b点的电势能E
pa pb
【典例2提高题】【答案】C
【解析】由题图可知粒子受力应向左方，因粒子带正电，故电场线的方向应向左，故正点
电荷Q应在N一侧，故a处的场强大于b处的场强，故粒子在a处的电场力大于b处电场
力，故a点的加速度大于b处的加速度，故A错误；沿电场线的方向电势降低，故a点的
电势大于b点的电势，故B错误；粒子由a到b过程中，电场力做正功，故动能增大，故a
点的动能小于b点的动能，故C正确；电场力做正功，故电势能减小，故a点的电势能E
pa
大于在b点的电势能E ，故D错误。
pb
【典例2提高题对应练习】（多选）如图所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一
条方向未标出的电场线，虚线 AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹。设电子在
A、B两点的加速度大小分别为a 、a ，电势能分别为E 、E 。下列说法正确的是(
A B pA pB
)
A．电子一定从A向B运动
B．若a >a ，则Q靠近M端且为正电荷
A B
C．无论Q为正电荷还是负电荷一定有E <E
pA pB
D．B点电势可能高于A点电势
【典例2提高题对应练习】【答案】BC
【解析】若Q在M端，由电子运动的轨迹可知Q为正电荷，电子从A向B运动或从B向
A运动均可，由于r <r ，故E >E ，F >F ，a >a ，φ >φ ，E <E ；若Q在N端，由电
A B A B A B A B A B pA pB
子运动的轨迹可知Q为负电荷，且电子从A向B运动或从B向A运动均可，由r >r ，故
A B
φ >φ ，E <E 。综上所述选项A、D错误，选项B、C正确。
A B pA pB
题型三：两个（多个）点电荷的电场线模型
【典例3提高题】真空中某静电场电场线的分布如图所示，图中P、Q两点关于点电荷q
1
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学科网（北京）股份有限公司水平对称。P、Q两点电场强度的大小分别为E 、E ，电势分别为φ 、φ 。一个带电粒子
P Q P Q
沿虚线轨迹从M移动至N。以下选项正确的是( )
A．φ ＜φ
P Q
B．E ＞E
Q P
C．此带电粒子带负电，它的电势能先变大后变小
D．此带电粒子带正电，它的电势能先变大后变小
【典例3提高题】【答案】C
【解析】根据电场线的分布情况，可知φ ＞φ ，A错误；根据电场线的疏密比较电场强度
P Q
的大小，可知P点电场线密，电场强度大，E ＞E ，B错误；根据电场线的特点，可知此
P Q
电场是由不等量的异种电荷产生的，其中q 带负电，q 带正电，粒子从M点运动到N点，
1 2
轨迹向左弯曲，受到了库仑斥力，所以此带电粒子带负电，电势先降低后升高，所以负电
荷的电势能先变大后变小，C正确，D错误。
题型四：带电体的电场线模型
【典例4提高题】某静电除尘设备集尘板的内壁带正电，设备中心位置有一个带负电的放
电极，它们之间的电场线分布如图所示，虚线为某带电烟尘颗粒(重力不计)的运动轨迹，
A、B是轨迹上的两点，C点与B点关于放电极对称，下列说法正确的是( )
A．A点电势低于B点电势
B．A点电场强度小于C点电场强度
C．烟尘颗粒在A点的动能小于在B点的动能
D．烟尘颗粒在A点的电势能小于在B点的电势能
【典例4提高题】【答案】AC
【解析】由沿电场线方向电势降低可知，A点电势低于B点电势，A正确；由图可知，A
点处电场线比C点处密集，因此A点的场强大于C点场强，B错误；烟尘颗粒带负电，从
A到B的过程中，电场力做正功，动能增加，烟尘颗粒在 A点的动能小于在B点的动能，
电势能减小，烟尘颗粒在A点的电势能大于在B点的电势能，C正确，D错误．
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学科网（北京）股份有限公司【典例4提高题对应练习】如图所示为某静电除尘装置的原理图，废气先经过机械过滤装
置再进入静电除尘区。图中虚线是某一带负电的尘埃(不计重力)仅在电场力作用下向集尘
极迁移并沉积的轨迹，A、B两点是轨迹与电场线的交点．若不考虑尘埃在迁移过程中的相
互作用和电荷量变化，则以下说法正确的是( )
A．A点电势高于B点电势
B．尘埃在A点的加速度大于在B点的加速度
C．尘埃在迁移过程中做匀变速运动
D．尘埃在迁移过程中电势能始终在增大
【典例4提高题对应练习】【答案】B
【解析】沿电场线方向电势降低，由图可知，B点的电势高于A点的电势，A错误；由图
可知，A点电场线比B点密集，因此A点的场强大于B点的场强，故尘埃在A点受到的电
场力大于在B点受到的电场力，则尘埃在A点的加速度大于在B点的加速度，B正确；放
电极与集尘极间建立非匀强电场，尘埃所受的电场力是变化的，故尘埃不可能做匀变速运
动，C错误；由图可知，尘埃进入静电除尘区时，速度方向与电场力方向的夹角为钝角，
电场力做负功，电势能增大；后来变为锐角，电场力做正功，电势能减小；对于全过程而
言，根据电势的变化可知，电势能减小，D错误。
题型五：匀强电场的电场线模型
【典例5提高题】如图所示，实线表示一匀强电场的电场线，电场方向未知．一电子以一
定的初速度由A点射入电场，虚线为电子的运动轨迹，B点是运动轨迹上的一点，则(
)
A．A点电势高于B点电势
B．电子在B点的电势能大于在A点的电势能
C．电子在A点的速度大于在B点的速度
D．电子由A到B，电场力先做负功后做正功
【典例5提高题】【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】由曲线运动的知识可知：电子所受的电场力向左，由于电子的受力与场强方向相
反，可知电场线向右，结合沿着电场线电势逐渐降低得 φ >φ ，故A错误；电子从A到B
B A
点过程中，电场力先与速度方向成钝角做负功，后与速度方向成锐角力做正功，D项正确；
由A到B，电场力做的总功为正功，则电子的电势能减小，即 B点的电势能小于A点的电
势能，动能增大，则B点的速度大于A点速度，故B、C错误．
【典例5提高题对应练习】如图所示，一带负电粒子以某速度进入水平向右的匀强电场中，
在电场力作用下形成图中所示的运动轨迹。M和N是轨迹上的两点，其中M点是轨迹的最
右点，不计粒子受到的重力，下列说法正确的是( )
A．粒子在电场中的加速度先增大后减小
B．粒子所受电场力的方向沿轨迹方向
C．粒子在M点的速率最大
D．粒子在电场中的电势能先增大后减小
【典例5提高题对应练习】【答案】D
【解析】粒子在匀强电场中所受的电场力不变，则加速度不变，选项A错误；带负电的粒
子所受电场力的方向水平向左，选项B错误；从N到M电场力做负功，则粒子在M点的
速率最小，选项C错误；粒子从N到M电场力做负功，电势能增加；然后从M向左下方
运动，电场力做正功，电势能减小，所以粒子在电场中的电势能先增大后减小，选项 D正
确。
考点三：等势线模型+带电粒子运动轨迹
题型一：某电场的等势线模型
【典例1提高题】如图所示，图中虚线为某静电场中的等差等势线，实线为某带电粒子在
该静电场中的运动轨迹，a、b、c为粒子的运动轨迹和等势线的交点，粒子只受静电力作
用，以下说法正确的是( )
A．a点的电场强度大于b点的电场强度
B．粒子在a点的动能比在b点的动能小
C．粒子在a点和c点的速度相同
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学科网（北京）股份有限公司D．粒子在b点的电势能比在c点的电势能大
【典例1提高题】【答案】D
【解析】根据等差等势线越密，场强越强的特点，则a点的电场强度小于b点的电场强度，
所以A错误；由曲线运动的特点知合外力指向轨迹弯曲的一面，所以粒子从 a到b过程中，
静电力做负功，则粒子在a点的动能比在b点的动能大，所以B错误；a点与c点处于同一
等势线上，粒子在a点和c点的速度大小相等，但是方向不同，所以C错误；粒子从b到
c，静电力做正功，粒子在b点的电势能比在c点的电势能大，所以D正确．
【典例1提高题对应练习】如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势
面之间的电势差相等，即U ＝U ，实线为一带负电的质点仅在电场力的作用下通过该区
ab bc
域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知( )
A．三个等势面中，c的电势最高
B．带电质点通过P点的电势能比Q点大
C．带电质点通过P点的动能比Q点大
D．带电质点通过P点时的加速度比Q点小
【典例1提高题对应练习】【答案】B
【解析】电荷所受电场力指向轨迹内侧，由于电荷带负电，因此电场线指向左上方，沿电
场线方向电势降低，故c等势面的电势最低，a等势面的电势最高，故A错误；P点电势小
于Q点电势，粒子带负电，则带电质点通过P点的电势能比Q点的电势能大，根据能量守
恒可知，带电质点通过P点的动能比Q点的动能小，故B正确，C错误；等势线密的地方
电场强度大，加速度大，故质点通过P点时的加速度较大，故D错误。
题型二：一个点电荷的等势线模型
【典例2提高题】如图所示，虚线为位于O位置的点电荷形成电场中的等势面，已知三个
等势面的电势差关系为φ －φ ＝φ －φ ，图中的实线为一带负电的粒子进入该电场后的运
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动轨迹，与等势面相交于图中的a、b、c、d四点，已知该粒子仅受电场力的作用，则下列
说法正确的是( )
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学科网（北京）股份有限公司A.该粒子只有在a、d两点的动能与电势能之和相等
B.场源电荷是正电荷
C.φ＞φ＞φ
1 2 3
D.电场力对该粒子先做负功后做正功
【典例2提高题】【答案】D
【解析】该粒子仅受电场力的作用，粒子的动能与电势能之和始终不变，故A项错误；据
粒子轨迹可知，粒子受到场源电荷的排斥力，则场源电荷是负电荷，故 B项错误；场源电
荷是负电荷，电场线指向负电荷，则φ ＜φ ＜φ ，故C项错误；粒子受到场源电荷的排斥
1 2 3
力，粒子运动方向先与排斥力成钝角后与排斥力成锐角，则电场力对该粒子先做负功后做
正功，故D项正确。
题型三：两个点电荷的等势线模型
【典例3提高题】如图所示，在两等量异种点电荷连线上有 D、E、F三点，且DE＝
EF.K、M、L分别为过D、E、F三点的等势面．一不计重力的带负电粒子，从a点射入电
场，运动轨迹如图中实线所示，以|W |表示该粒子从a点到b点电场力做功的数值，以|W |
ab bc
表示该粒子从b点到c点电场力做功的数值，则( )
A．|W |＝|W |
ab bc
B．|W |＜|W |
ab bc
C．粒子由a点到b点，动能减少
D．a点的电势较b点的电势低
【典例3提高题】【答案】C
【解析】由等量异种点电荷的电场线特点可知靠近电荷处电场强度大，类比公式U＝Ed知|
U |＞|U |，而W＝qU，所以|W |＞|W |，则A、B均错误；从带负电粒子的运动轨迹可知
ab bc ab bc
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学科网（北京）股份有限公司该粒子从a点到c点受到大体向左的作用力，故左侧为正电荷，从左向右电势降低，则 D
错误；粒子由a点到b点，电场力做负功，电势能增加，动能减少，则C正确．
题型四：匀强电场的等势线模型
【典例4提高题】(多选)图中虚线1、2、3、4表示匀强电场的等势面．一带正电的粒子只
在电场力的作用下从a点运动到b点，轨迹如图中实线所示．下列说法中正确的是( )
A．等势面1电势最低
B．粒子从a运动到b，动能减小
C．粒子从a运动到b，电势能减小
D．粒子从a运动到b的过程中电势能与动能之和不变
【典例4提高题】【答案】CD
【解析】电场线与等势面垂直，正电荷所受电场力的方向与场强方向相同，曲线运动所受
合力指向曲线的凹侧；带正电的粒子只在电场力的作用下，从a点运动到b点，轨迹如图
中实线所示，可画出速度和电场线及受力方向如图所示，则电场力的方向向右，电场线的
方向向右，顺着电场线电势降低，等势面1电势最高，故选项A错误；粒子从a运动到
b，只受电场力作用，电场力的方向与运动方向成锐角，电场力做正功，粒子的动能增大，
电势能减小，故选项B错误，C正确；粒子从a运动到b的过程中，只受电场力作用，粒
子的电势能与动能之和不变，故选项D正确．
【典例4提高题对应练习】如图所示，三条平行等间距的虚线表示电场中的三个等势面，
电势值分别为10 V、20 V、30 V，实线是一带电粒子(不计重力)在该区域内的运动轨迹，
a、b、c是轨迹上的三个点，下列说法正确的是( )
A．粒子在三点所受的电场力不相等
B．粒子必先过a，再到b，然后到c
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学科网（北京）股份有限公司C．粒子在三点所具有的动能大小关系为E >E >E
kb ka kc
D．粒子在三点的电势能大小关系为E <E <E
pc pa pb
【典例4提高题对应练习】【答案】D
【解析】根据电场线与等势面垂直，沿着电场线电势逐渐降低，可知粒子带负电，电场为
匀强电场，则粒子在三点所受的电场力相等．因速度方向未知，则粒子不一定必先过a，
再到b，然后到c，也可以反之；粒子无论是先从a到b再到c，还是先从c到b再到a，电
场力均先做负功，再做正功，动能先减少后增加，电势能先增加后减少，故D正确．
题型五：电场线+等势线模型+带电粒子运动轨迹
【典例5提高题】（多选）如图所示是阴极射线示波管的聚焦电场，实线为电场线，虚线
为等差等势线，a、b、c为一个从左侧进入聚焦电场的电子运动轨迹上的三点，不计电子
的重力，则( )
A．电场中a点的电势高于c点的电势
B．电子在a点的动能大于在c点的动能
C．电子在b点的加速度大于在c点的加速度
D．电子在b点的电势能大于在c点的电势能
【典例5提高题】【答案】CD
【解析】沿电场线方向电势降低，由图中电场线方向可知c点电势高，A错误，电子带负
电，受电场力方向与电场线方向相反，速度方向沿轨迹切线方向，从 a到c电场力与速度
方向夹角小于90°，电场力做正功，动能增大，电势能减小，B错误，D正确；电场线越密
集处电场强度越大，由题图可知 b点场强大于c点，则电子在b点受电场力大，加速度大，
C正确．
12
学科网（北京）股份有限公司
