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知识点 68： 带电粒子(体)在电场中的直线运动
【知识思维方法技巧】
（1）带电粒子(体)在电场中重力的处理方法：
①基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不考
虑重力(但并不忽略质量)
②带电体：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽
略重力。
（2）带电粒子(体)做直线运动的条件：
①粒子所受合外力F ＝0，粒子静止或做匀速直线运动。
合
②粒子所受合外力F ≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做变速直线运动，
合
用动能定理qU＝mv2－mv求解。若电场为匀强电场，则带电粒子做匀变速直线运动，用动
力学观点a＝，E＝，v2－v＝2ad或动能定理qU＝mv2－mv。
考点一：带电粒子在电场中的直线运动
题型一：带电粒子在匀强电场中的直线运动
【典例1提高题】如图所示，水平虚线MN上、下方空间分别存在场强方向相反、大小相
等的匀强电场。以虚线MN处电势为零，A、B是位于两电场中同一竖直线上的两点，且到
MN的距离均为d，一电荷量为q、质量为m的带正电粒子从A点由静止释放，已知粒子在
运动过程中的最大电势能为E ，不计粒子重力。求：
max
(1)匀强电场的场强大小；
(2)粒子从释放到第一次返回A点所需的时间。
【典例1提高题】【答案】(1) (2)4d
【解析】(1)粒子释放后，在MN上方电场中，电场力做正功，电势能减小，在MN下方电
场中，电场力做负功，电势能增大。由能量守恒和对称性可知，粒子在 A、B两点间做往
返运动，且在A、B处时电势能最大。MN处电势为零，设A到MN间电势差为U，A点电
势为φ ，电场强度大小为E，则有U＝φ －0＝φ ，E ＝qφ ，U＝Ed，联立解得E＝。
A A A max A
(2)粒子从A到MN做匀加速直线运动，设经历的时间为t，到MN时粒子速度为v，加速度
为a，则有v＝at，qE＝ma，从A到MN由能量守恒有E ＝mv2，联立解得t＝d，由对称
max
性可得，粒子第一次返回A点所需时间为4t＝4d。
【典例1提高题对应练习】反射式速调管是常用的微波器械之一，它利用电子团在电场中
的振荡来产生微波，其震荡原理与下述过程类似。如图所示，在虚线MN两侧分别存在着
方向相反的两个匀强电场，一带电微粒从A点由静止开始，在电场力作用下沿直线在A、
1
学科网（北京）股份有限公司B两点间往返运动。已知电场强度的大小分别是E ＝2.0×103 N/C和E ＝4.0×103 N/C，方
1 2
向如图所示，带电微粒质量m＝1.0×10－20 kg，电荷量q＝－1.0×10－9 C，A点距虚线MN
的距离d＝1.0 cm，不计带电微粒的重力，忽略相对论效应。求：
1
（1）B点距虚线MN的距离d；
2
（2）带电微粒从A点运动到B点所经历的时间t。
【典例1提高题对应练习】【答案】(1)0.50 cm (2)1.5×10－8 s
【解析】(1)带电微粒由A运动到B的过程中，由动能定理有|q|E d －|q|E d ＝0，解得d ＝
1 1 2 2 2
d ＝0.50 cm。(2)设微粒在虚线MN两侧的加速度大小分别为a 、a ，有|q|E ＝ma ， |q|E
1 1 2 1 1 2
＝ma 设微粒在虚线MN两侧运动的时间分别为t 、t ，有d ＝at2，d ＝at2。又t＝t ＋t
2 1 2 1 11 2 22 1 2
联立解得t＝1.5×10－8 s。
题型二：带电粒子在平行板电容器中的直线运动
【典例2提高题】(多选)如图，一平行板电容器连接在直流电源上，电容器的极板水平；
两微粒a、b所带电荷量大小相等、符号相反，使它们分别静止于电容器的上、下极板附近，
与极板距离相等。现同时释放a、b，它们由静止开始运动。在随后的某时刻t，a、b经过
电容器两极板间下半区域的同一水平面。a、b间的相互作用和重力可忽略。下列说法正确
的是( )
A．a的质量比b的大
B．在t时刻，a的动能比b的大
C．在t时刻，a和b的电势能相等
D．在t时刻，a和b的动量大小相等
【典例2提高题】【答案】BD
【解析】经时间t，a、b经过电容器两极板间下半区域的同一水平面，则x＞x，根据x＝
a b
at2＝t2知，m＜m，故A错误。电场力做功W＞W，由动能定理知，a的动能比b的动能
a b a b
大，故B正确。a、b处在同一等势面上，根据E ＝qφ，a、b的电势能绝对值相等，符号
p
2
学科网（北京）股份有限公司相反，故C错误。根据动量定理知a、b的动量大小相等，故D正确。
【典例2提高题对应练习】如图所示，M、N是在真空中竖直放置的两块平行金属板，板
间有匀强电场，质量为m、电荷量为－q的带电粒子，以初速度v 由小孔进入电场，当
0
M、N间电压为U时，粒子刚好能到达N板，如果要使这个带电粒子能到达M、N两板间
距的处返回，重力可忽略则下述措施能满足要求的是( )．
A．使初速度减为原来的
B．使M、N间电压提高到原来的2倍
C．使M、N间电压提高到原来的4倍
D．使初速度和M、N间电压都减为原来的
【典例2提高题对应练习】【答案】BD
【解析】在粒子刚好到达N板的过程中，由动能定理得－qEd＝0－mv，所以d＝，令带电
粒子离开M板的最远距离为x，则使初速度减为原来的，x＝；使M、N间电压提高到原来
的2倍，电场强度变为原来的2倍，x＝；使M、N间电压提高到原来的4倍，电场强度变
为原来的4倍，x＝；使初速度和M、N间电压都减为原来的，电场强度变为原来的一半，
x＝.
题型三：带电粒子在交变电场中的直线运动
【知识思维方法技巧】
（1）常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等．
（2）粒子可以做单向直线运动和做往返直线运动。
（3）解题技巧：
①按周期性分段研究，化变为恒。
②抓住运动具有周期性和对称性的特征，将――→a－t图像――→v－t图像
【典例3提高题】如图甲所示，两平行金属板竖直放置，左极板接地，中间有小孔。右极
板电势随时间变化的规律如图乙所示。电子原来静止在左极板小孔处(不计重力作用)，下
列说法中正确的是( )
A.从t＝0时刻释放电子，电子必将始终向右运动，直到打到右极板上
B.从t＝0时刻释放电子，电子可能在两极板间振动
C.从t＝时刻释放电子，电子必将在两极板间振动
3
学科网（北京）股份有限公司D.从t＝时刻释放电子，电子必将从左极板上的小孔中穿出
【典例3提高题】【答案】A
【解析】分析电子在一个周期内的运动情况，从t＝0时刻释放电子，前T内，电子受到的
电场力向右，电子向右做匀加速直线运动；后T内，电子受到向左的电场力作用，电子向
右做匀减速直线运动，t＝T时速度恰好为零。接着周而复始，所以电子一直向右做单向直
线运动，直到打在右极板上，选项A正确，B错误；从t＝时刻释放电子，在～内，电子向
右做匀加速直线运动；在～T内，电子受到的电场力向左，电子继续向右做匀减速直线运
动，T时刻速度为零；在T～T内电子受到向左的电场力，向左做初速度为零的匀加速直线
运动，在T～T内电子受到向右的电场力，向左做匀减速运动，在T时刻速度减为零，接
着重复。可知若两极板距离足够大，电子可能在两极板间振动，若极板间距较小，电子可
能打在右极板上，选项C错误；用同样的方法分析从t＝T时刻释放电子的运动情况，电子
先向右运动，后向左运动，若极板间距离较小，电子能直接打在右极板上。若极板间距离
较大，由于一个周期内向左运动的位移大于向右运动的位移，所以电子最终可能从左极板
的小孔离开电场，选项D错误。
【典例3提高题对应练习】如图甲所示，真空中相距d＝5 cm的两块平行金属板A、B与
电源连接(图中未画出)，其中B板接地(电势为零)，A板电势变化的规律如图乙所示。将一
个质量m＝2.0×10－27 kg、电荷量q＝＋1.6×10－19 C的带电粒子从紧邻B板处释放，不计
粒子重力。求：
(1)在t＝0时刻释放该带电粒子，释放瞬间粒子加速度的大小；
(2)若A板电势变化周期T＝1.0×10－5 s，在t＝0时将带电粒子从紧邻B板处无初速度释放，
粒子到达A板时速度的大小；
(3)A板电势变化频率多大时，在t＝到t＝时间内从紧邻B板处无初速度释放该带电粒子，
粒子不能到达A板。
【典例3提高题对应练习】【答案】(1)4.0×109 m/s2 (2)2×104 m/s (3)大于5×104 Hz
【解析】(1)带电粒子所受电场力大小为
F＝qE＝
由牛顿第二定律得
a＝＝＝4.0×109 m/s2。
(2)由位移公式计算粒子在0～时间内运动的距离为x＝a()2＝5.0×10－2 m
4
学科网（北京）股份有限公司由此可见带电粒子在t＝时恰好到达A板。再由运动学公式可得
v＝a＝2×104 m/s。
(3)分析可知，在～内，电场力方向、速度方向均向右，带电粒子向A板做匀加速运动；同
理，在～内，则向A板做匀减速运动，速度减为零后再返回。由于运动具有“对称性”，
即先、后两段位移大小相等，得粒子向A板运动可能的最大位移为x ＝2×a()2＝aT2。因
max
题目要求粒子不能到达A板，故必有x ＜d, 根据频率和周期的关系为f＝，由以上三式即
max
可求出电势变化频率应满足条件f＞＝5×104 Hz。
考点二：带电体在电场中的直线运动
题型一：带电体在匀强电场中的直线运动
类型一：匀强电场模型
【典例1a提高题】(多选)如图所示，一个质量为m、电荷量为q的带正电油滴，在平行于
纸面的匀强电场中由静止沿斜向右下方做直线运动，其轨迹与竖直方向的夹角为 θ，重力
加速度大小为g，不计空气阻力，则下列判断正确的是( )
A．电场强度的最小值等于
B．电场强度的最大值等于
C．带电油滴的机械能可能增加
D．电场力可能对带电油滴不做功
【典例1a提高题】【答案】C
【解析】带电油滴的运动轨迹为直线，在电场中受到重力mg和电场力F，其合力必定沿此
直线向下，根据三角形定则作出示意图，由图可知，当电场力 F与油滴运动轨迹垂直时，
电场力F最小，电场强度最小，则有F＝qE ＝mgsin θ，得到E ＝，电场强度无最大值，
min min
故A、B错误；当E＝时，电场力方向与速度方向垂直，电场力不做功，故D正确；当E
5
学科网（北京）股份有限公司＞且电场力方向与速度方向成锐角时，电场力做正功，带电油滴的机械能增加，故C正确。
【典例1a提高题对应练习】(多选)如图，在竖直平面内有一匀强电场，一带电荷量为＋
q、质量为m的小球在力F(大小可以变化)的作用下沿图中虚线由A至B做竖直向上的匀速
运动．已知力F和AB间夹角为θ，A、B间距离为d，重力加速度为g.则( )
A．力F大小的取值范围只能在0～
B．电场强度E的最小值为
C．小球从A运动到B电场力可能不做功
D．若电场强度E＝时，小球从A运动到B电势能变化量大小可能为2mgdsin 2θ
【典例1a提高题对应练习】【答案】BCD
【解析】小球受到重力mg、力F与电场力qE，因为小球做匀速直线运动，合力为零，则
F与qE的合力与mg大小相等、方向相反，作出F与qE的合力，如图所示，
可知，当电场力qE沿水平方向时，F＝，电场力qE可以继续增大，F也能继续增大，F可
以大于，A错误；当电场力qE与F垂直时，电场力最小，此时场强也最小，则得：qE
min
＝mgsin θ，所以电场强度的最小值为：E ＝，B正确；若电场强度E＝，电场力qE可能
min
与AB方向垂直，如图位置1，小球从A运动到B电场力不做功，电势能变化量为0，也可
能电场力位于位置2方向，则电场力做功为2mgdsin 2θ，C、D正确．
类型二：组合匀强电场模型
【典例1b提高题】如图所示，第一象限中有沿x轴的正方向的匀强电场，第二象限中有沿
y轴负方向的匀强电场，两电场的电场强度大小相等．一个质量为m，电荷量为－q的带电
质点以初速度v 从x轴上P(－L，0)点射入第二象限，已知带电质点在第一和第二象限中都
0
做直线运动，并且能够连续两次通过y轴上的同一个点Q(未画出)，重力加速度g为已知量．
求：
（1）初速度v 与x轴正方向的夹角；
0
（2）P、Q两点间的电势差U ；
PQ
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学科网（北京）股份有限公司（3）带电质点在第一象限中运动所用的时间．
【典例1b提高题】【答案】(1)45° (2)－ (3)
【解析】(1)由题意知，带电质点在第二象限做匀速直线运动，有qE＝mg，设初速度v 与x
0
轴正方向的夹角为θ，且由带电质点在第一象限做直线运动，有tan θ＝，解得θ＝45°。
(2)P到Q的过程，由动能定理有qEL－mgL＝0， W ＝qEL，解得U ＝＝－.
PQ PQ
(3)带电质点在第一象限做匀变速直线运动，由牛顿第二定律有mg＝ma，即a＝g，v＝at
0
解得t＝，带电质点在第一象限中往返一次所用的时间T＝2t＝。
题型二：带电体在平行板电容器中的直线运动
【典例2提高题】(多选)如图所示，在真空中倾斜平行放置着两块带有等量异号电荷的金
属板A、B，一个电荷量q＝1.41×10－4 C、质量m＝1 g的带电小球自A板上的孔P以大小
为0.1 m/s的水平速度v飞入两板之间的电场，经0.02 s后又回到P点，其间未与B板相碰，
0
g取10 m/s2，则( )
A.板间电场强度大小为100 V/m
B.板间电场强度大小为141 V/m
C.板与水平方向的夹角θ＝30°
D.板与水平方向的夹角θ＝45°
【典例2提高题】【答案】AD
【解析】对带电小球进行受力分析，如图所示，小球的加速度a＝＝＝ m/s2＝－10 m/s2，
根据几何关系得
tan θ＝＝＝＝＝1，故θ＝45°，F ＝＝mg＝qE，解得E＝100 V/m，故A、D正确，B、C
电
错误。
【典例2提高题对应练习】在真空中水平放置平行板电容器，两极板间有一个带电油滴，
电容器两极板间距为d，当平行板电容器的电压为U 时，油滴保持静止状态，如图所示。
0
7
学科网（北京）股份有限公司当给电容器突然充电使其电压增加ΔU 时，油滴开始向上运动；经时间Δt后，电容器突然
1
放电使其电压减少ΔU ，又经过时间Δt，油滴恰好回到原来位置。假设油滴在运动过程中
2
所带电荷量不变，充电和放电的过程均很短暂，这段时间内油滴的位移可忽略不计。重力
加速度为g。求：
(1)带电油滴所带电荷量与质量之比；
(2)第一个Δt与第二个Δt时间内油滴运动的加速度大小之比；
(3)ΔU 与ΔU 之比。
1 2
【典例2提高题对应练习】【答案】(1) (2)1∶3 (3)
【解析】(1)油滴静止时，由平衡条件得mg＝q，则＝。
(2)设第一个Δt内油滴的位移为x ，加速度为a ，第二个Δt内油滴的位移为x ，加速度为
1 1 2
a，则x＝aΔt2，x＝vΔt－aΔt2，且v＝aΔt，x＝－x，解得a∶a＝1∶3。
2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2
(3)油滴向上加速运动时q－mg＝ma ，即q＝ma ，油滴向上减速运动时
1 1
mg－q＝ma ，即q＝ma ，则＝，解得＝。
2 2
题型三：带电体在非匀强电场中的直线运动
【典例3提高题】如图所示，在A点固定一正电荷，电荷量为Q，在离A高度为H的C处
由静止释放某带同种电荷的液珠，开始运动瞬间的加速度大小恰好为重力加速度g.已知静
电常量为k，两电荷均可看成点电荷，不计空气阻力．求：
(1)液珠的比荷；
(2)液珠速度最大时离A点的距离h；
(3)若已知在点电荷Q的电场中，某点的电势可表示成φ＝，其中r为该点到Q的距离(选无
限远的电势为零)．求液珠能到达的最高点B离A点的高度r .
B
【典例3提高题】【答案】(1) (2)H (3)2H
【解析】(1)设液珠的电量为q，质量为m，有－mg＝mg解得比荷得＝
(2)当液珠速度最大时有＝mg解得h＝H.
(3)设CB间的电势差为U ，有U ＝φ －φ ＝－
CB CB C B
根据动能定理有qU －mg(r －H)＝0解得r ＝2H
CB B B
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学科网（北京）股份有限公司
