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知识点 71：在电场中运动带电体的力与功能关系的问题
【知识思维方法技巧】
（1）带电体在电场中运动的分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平
衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，然后选用恰当的规律如牛顿运动定律、运动学公
式、动能定理、能量守恒定律解题．电场力的特点：F＝Eq，正电荷受到的电场力与场强
方向相同
（2）带电体动力学规律：牛顿运动定律结合运动学公式。能量规律：动能定理或能量守恒
定律。其中电场力做功的特点：W ＝FL cosθ＝qU ＝E －E 。
AB AB AB pA pB
（3）对于受变力作用的带电体的运动，必须借助能量观点来处理。即使都是恒力作用的问
题，用能量观点处理也常常更简捷。用能量守恒定律处理带电体的运动，列式的方法常有
两种：
①利用初、末状态的能量相等(即E ＝E )列方程．
1 2
②利用某些能量的减少等于另一些能量的增加列方程．
③两个结论：若带电粒子只在静电力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变。若带电
粒子只在重力和静电力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变。
考点一：带电体在点电荷电场中的运动
题型一：带电体在绝缘水平轨道上的运动
【典例1基础题】 (多选)如图所示，在绝缘光滑水平面上固定两个等量同种电荷A、B，在
AB连线上的P点由静止释放一带电滑块，则滑块会在A、B之间往复运动，则以下判断正
确的是( )．
A．滑块一定带的是与A、B异种的电荷
B．滑块一定带的是与A、B同种的电荷
C．滑块在由P向B运动过程中，电势能一定是先减小后增大
D．滑块的动能与电势能之和一定减小
【典例1基础题】【答案】BC
【解析】根据从P点由静止释放的带电滑块在A、B之间往复运动可以判断，开始时A对
滑块向右的作用力大于B向左的作用力，所以滑块一定带与A、B相同的电荷，选项A错
B对；由于A、B带等量同种电荷，所以其连线中点场强为零，滑块在由P向B运动过程
中，电场力先做正功后做负功，电势能一定是先减小后增大，选项C正确；在整个运动过
程中只有电场力做功，所以滑块的动能与电势能之和一定不变，D选项错．
1
学科网（北京）股份有限公司题型二：带电体在绝缘斜面轨道上的运动
【典例2基础题】(多选)如图所示，斜面粗糙绝缘，A点处固定一点电荷甲，将一带电小物
块乙从斜面上B点处由静止释放，乙沿斜面运动到C点时静止．则( )
A．乙在B点的电势能一定大于在C点的电势能
B．甲、乙有可能带异种电荷
C．从B到C的过程中，乙可能做匀减速运动
D．从B到C的过程中，乙的机械能的损失量一定小于克服摩擦力做的功
【典例2基础题】【答案】AD
【解析】乙沿斜面下滑时，甲、乙之间的距离增大，而电荷量都不变，根据库仑定律可知
乙所受到的库仑力逐渐减小．若两者是异种电荷，乙下滑的加速度将增大，速度不断增大，
不可能到C处静止，所以得知甲、乙一定带同种电荷，电场力对乙做正功，电势能减小，
则乙在B点的电势能一定大于在C点的电势能，故A正确，B错误；由于乙所受的库仑力
不断减小，合外力在变化，所以乙不可能做匀减速运动，故C错误；从B到C的过程中，
库仑力对，乙做正功，摩擦力做负功，重力做正功，根据功能关系可知：乙的机械能的损
失量与系统电势能的损失量之和等于克服摩擦力做的功，则乙的机械能的损失量一定小于
克服摩擦力做的功，故D正确．
【典例2基础题对应练习】（多选） 如图所示，粗糙程度均匀的绝缘斜面下方O点处有一
正点电荷，带负电的小物体以初速度v 从M点沿斜面上滑，到达N点时速度为零，然后下
1
滑回到M点，此时速度为v(v＜v)．若小物体电荷量保持不变，OM＝ON，则( )
2 2 1
A．小物体上升的最大高度为
B．从N到M的过程中，小物体的电势能逐渐减小
C．从M到N的过程中，电场力对小物体先做负功后做正功
D．从N到M的过程中，小物体受到的摩擦力和电场力均是先增大后减小
【典例2基础题对应练习】【答案】AD
【解析】设斜面倾角为θ，上升过程沿斜面运动的最大距离为L.因为OM＝ON，则M、N
两点电势相等，小物体从M到N、从N到M电场力做功均为0.上滑和下滑经过同一个位
置时，垂直斜面方向上电场力的分力相等，则经过相同的一小段位移在上滑和下滑过程中
电场力分力对应的摩擦力所做的功均为相等的负功，所以上滑和下滑过程克服电场力产生
2
学科网（北京）股份有限公司的摩擦力所做的功相等，并设为W.在上滑和下滑过程，对小物体，摩擦力做功相等，则
1
应用动能定理分别有：－mgLsin θ－W－W＝－和mgLsin θ－W－W＝，以上两式相减可
f 1 f 1
得h＝Lsin θ＝，A正确；由OM＝ON，可知电场力对小物体先做正功后做负功，电势能先
减小后增大，B、C错；从N到M的过程中，小物体受到的电场力垂直斜面的分力先增大
后减小，而重力分力不变，则摩擦力先增大后减小，在此过程中小物体到O的距离先减小
后增大，根据库仑定律可知小物体受到的电场力先增大后减小，D正确．
题型三：带电体在绝缘细杆上的运动
【典例3基础题】（多选）如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以电荷＋Q为圆心的
某一圆周交于H、L两点，从圆心到K点的连线垂直于细杆。质量为 m、带电荷量为－
q(q≪Q)的有孔小球套在杆上，从F点由静止开始下滑。则带电小球从 H点运动到L点的
过程中，下列说法正确的是( )
A．到达K点的加速度是g
B．整个过程中机械能守恒
C．电势能的变化量不为零
D．电场力先做正功后做负功
【典例3基础题】【答案】AD
【解析】到达K点时，小球水平方向受合力为零，竖直方向受合力为向下的mg，则小球的
加速度是g，选项A正确；整个过程中库仑力对小球先做正功后做负功，则机械能先增大
后减小，选项B错误，D正确；因H和L两点电势相等，则从H点到L点小球的电势能的
变化量为零，选项C错误。
题型四：带电体在绝缘圆弧轨道中的运动
【典例4基础题】（多选）如图所示，在绝缘水平面上固定着一光滑绝缘的圆形槽，在某
一过直径的直线上有 O、A、D、B四点，其中O为圆心，D在圆上，半径OC垂直于
OB。A点固定电荷量为Q的正电荷，B点固定一个未知电荷，使得圆周上各点电势相等。
有一个质量为m，电荷量为－q的带电小球在滑槽中运动，在C点受的电场力指向圆心，
根据题干和图示信息可知( )
3
学科网（北京）股份有限公司A．固定在B点的电荷带正电
B．固定在B点的电荷电荷量为Q
C．小球在滑槽内做匀速圆周运动
D．C、D两点的电场强度大小相等
【典例4基础题】【答案】BC
【解析】由小球在C点处恰好与滑槽内、外壁均无挤压且无沿切线方向的加速度知：小球
在C点的合力方向一定沿CO，且指向O点。
A对小球吸引，B对小球排斥，因此小球带负电、B带负电，故A错误；由∠ABC＝
∠ACB＝30°知：∠ACO＝30°，AB＝AC＝L；BC＝2AB cos 30°＝L
由力的合成可得F ＝F 即k＝k
1 2
Q ＝Q，故B正确；圆周上各点电势相等，小球在运动过程中电势能不变，根据能量守恒
B
得知，小球的动能不变，小球做匀速圆周运动，故C正确；由库仑定律及场强的叠加知，
D点的电场强度大于C点，故D错误。故选B、C。
考点二：带电体在匀强电场中的运动
【知识思维方法技巧】
要善于把电学问题转化为力学问题，建立带电粒子在电场中加速和偏转的模型，能够从带
电粒子的受力与运动的关系及功能关系两条途径进行分析与研究．
题型一：带电体在绝缘水平轨道上的运动
【典例1基础题】在一个水平面上建立x轴，在过原点O垂直于x轴的平面的右侧空间有
一个匀强电场，场强大小E＝6.0×105 N/C，方向与x轴正方向相同．在O点处放一个带电
荷量q＝－5.0×10－8 C，质量m＝1.0×10－2 kg的绝缘物块．物块与水平面间的动摩擦因数
μ＝0.20，沿x轴正方向给物块一个初速度v＝2.0 m/s，如图所示．(g取10 m/s2)求：
0
(1)物块向右运动的最大距离；
4
学科网（北京）股份有限公司(2)物块最终停止的位置．
【典例1基础题】【答案】(1)0.4 m (2)O点左侧0.2 m处
【解析】(1)设物块向右运动的最大距离为x ，由动能定理得－μmgx －E|q|x ＝0－mv 2，
m m m 0
解得x ＝0.4 m.
m
(2)因E|q|>μmg，物块不可能停止在O点右侧，设物块最终停在O点左侧且离O点为x处．
由动能定理得E|q|x －μmg(x ＋x)＝0，解得x＝0.2 m.
m m
题型二：带电体在绝缘斜面轨道上的运动
【典例2基础题】如图所示，长为L、倾角为θ的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场
中．一电荷量为＋q，质量为m的小球，以初速度v由斜面底端的M点沿斜面上滑，到达
0
斜面顶端N的速度仍为v，则( )
0
A．电场强度等于
B．电场强度等于
C．M、N两点的电势差为
D．小球在N点的电势能大于在M点的电势能
【典例2基础题】【答案】AC
【解析】小球受到重力、电场力、支持力三个恒力作用，沿斜面匀速运动，必有mgsin θ＝
Eqcos θ，解得：E＝，A正确，B错误；U ＝E·Lcos θ＝，C正确；因电场力对小球做正
MN
功，小球的电势能减少，故小球在N点的电势能小于在M点的电势能，D错误．
【典例2基础题对应练习】（多选）如图所示，在水平向右的匀强电场中有一绝缘斜面，
斜面上有一带电金属块沿斜面滑下。已知在金属块滑下的过程中动能增加了 12 J，金属块
克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J，则以下判断正确的是( )
A．金属块带正电荷
B．金属块的机械能减少12 J
C．金属块克服电场力做功8 J
5
学科网（北京）股份有限公司D．金属块的电势能减少4 J
【典例2基础题对应练习】【答案】AB
【解析】在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8.0 J，重力做功
24 J，根据动能定理得：W ＝W ＋W ＋W＝ΔE ，解得：W ＝－4 J，所以金属块克服
总 G 电 f k 电
电场力做功4.0 J，金属块的电势能增加4 J，由于金属块下滑，电场力做负功，所以电场
力应该水平向右，所以金属块带正电荷，故A正确，C、D错误；在金属块滑下的过程中
重力做功24 J，重力势能减小24 J，动能增加了12 J，所以金属块的机械能减少12 J，故
B正确。
题型三：带电体在绝缘圆弧轨道上的运动
【典例3基础题】（多选）如图所示，一绝缘光滑半圆环轨道放在竖直向下的匀强电场中，
场强为E.在与环心等高处放有一质量为m、带电荷量＋q的小球，由静止开始沿轨道运动，
下述说法正确的是( )
A．小球经过环的最低点时速度最大
B．小球在运动过程中机械能守恒
C．小球经过环的最低点时对轨道的压力为mg＋qE
D．小球经过环的最低点时对轨道的压力为3(mg＋qE)
【典例3基础题】【答案】AD
【解析】根据动能定理知，在运动到最低点的过程中，电场力和重力一直做正功，到达最
低点的速度最大，故A正确；小球在运动的过程中除了重力做功以外，还有电场力做功，
机械能不守恒，故B错误；根据动能定理得：mgR＋qER＝mv2，根据牛顿第二定律得：F
N
－qE－mg＝m，解得：F ＝3(mg＋qE)，则球对轨道的压力为3(mg＋qE)，故C错误，D
N
正确．
题型四：带电体的组合运动
【典例4基础题】如图所示，在光滑的水平桌面上，水平放置的粗糙直线轨道AB与水平
放置的光滑圆弧轨道BCD相切于B点，整个轨道位于水平桌面内，圆心角∠BOC＝37°，
线段OC垂直于OD，圆弧轨道半径为R，直线轨道AB长为L＝5R。整个轨道处于电场强
度为E的匀强电场中，电场强度方向平行于水平桌面所在的平面且垂直于直线OD。现有
一个质量为m、带电荷量为＋q的小物块P从A点无初速度释放，小物块P与AB之间的动
6
学科网（北京）股份有限公司摩擦因数μ＝0.25，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，忽略空气阻力。求：
（1）小物块第一次通过C点时对轨道的压力大小F ；
NC1
（2）小物块第一次通过D点后离开D点的最大距离；
（3）小物块在直线轨道AB上运动的总路程。
【典例4基础题】【答案】(1)5.4qE (2)R (3)15R
【解析】(1)设小物块第一次到达C点时的速度大小为v，根据动能定理有
C1
qE[Lsin 37°＋R(1－cos 37°)]－μqELcos 37°＝mv－0，解得v ＝，在C点根据向心力公式
C1
得F ′－qE＝m，解得F ′＝5.4qE，根据牛顿第三定律得F ＝5.4qE
NC1 NC1 NC1
(2)设小物块第一次到达D点时的速度大小为v ，根据动能定理有qE(Lsin 37°－Rcos 37°)
D1
－μqELcos 37°＝mv－0，解得v
D1
＝，小物块第一次到达D点后先以速度v
D1
沿电场方向做
匀减速直线运动，设运动的最大距离为x ，根据动能定理得－qEx ＝0－mv，解得x ＝R
m m m
(3)分析可知小物块最终会在圆弧轨道上做往复运动，到达B点的速度恰好为零时，动能和
电势能之和不再减小。设小物块在直线轨道AB上运动的总路程为s，则根据功能关系得
qELsin 37°＝μqEscos 37°，解得s＝＝15R
【典例4基础题对应练习】如图所示，在竖直平面内固定一光滑圆弧轨道AB，轨道半径为
R＝0.4 m，轨道最高点A与圆心O等高．有一倾角θ＝30°的斜面，斜面底端C点在圆弧轨
道B点正下方、距B点H＝1.5 m．圆弧轨道和斜面均处于场强大小E＝100 N/C、竖直向
下的匀强电场中．现将一个质量为m＝0.02 kg、带电荷量为＋2×10－3 C的带电小球从A
点由静止释放，小球通过B点离开圆弧轨道沿水平方向飞出，当小球运动到斜面上D点时
速度方向恰与斜面垂直，并刚好与一个以一定初速度从斜面底端上滑的物块相遇．若物块
与斜面间的动摩擦因数μ＝，空气阻力不计，g取10 m/s2，小球和物块都可视为质点．求：
(1)小球经过B点时对轨道的压力F ；
NB
(2)B、D两点间电势差U ；
BD
(3)物块上滑初速度v满足条件的最小值．
0
7
学科网（北京）股份有限公司【典例4基础题对应练习】【答案】(1)1.2 N，竖直向下 (2)120 V (3)3.10 m/s
【解析】(1)设小球到达B点的速度大小为v ，从A到B的过程只有重力和静电力做功，根
B
据动能定理有：mgR＋qER＝mv 2－0，得v ＝4 m/s，B点是圆周运动最低点，合力提供向
B B
心力即F ′－(mg＋qE)＝m，得F ′＝1.2 N，根据牛顿第三定律，小球对轨道压力大小等
NB NB
于轨道对其弹力大小，即F ＝1.2 N，方向竖直向下．
NB
(2)设小球由B点到D点的运动时间为t，受到竖直向下的重力和静电力，竖直方向做初速
度0的匀加速直线运动，加速度为a，水平方向做匀速直线运动．下落高度为h的过程，根
据速度合成有＝tan θ，竖直方向由牛顿第二定律有Eq＋mg＝ma，h＝at2，U ＝Eh，联立
BD
解得U ＝120 V
BD
(3)设C、D间的距离为x，由几何关系有：x＝，设物块上滑加速度为a′，由牛顿运动定律
有：mgsin θ＋μmgcos θ＝ma′，根据题意，要使物块与小球相遇，v 的最小值满足：v2＝
0 0
2a′x，联立解得：v＝ m/s≈3.10 m/s.
0
考点三：带电体在重力场和水平电场中的圆周运动
【知识思维方法技巧】
（1）等效重力场
物体在匀强电场和重力场中的运动，可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合
场”来代替，可形象称之为“等效重力场”。
（2）方法应用
①求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个等效重力。
②将a＝视为等效重力加速度。
③小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的点为“等效
最高点”；
注意：这里的最高点不一定是几何最高点。
④将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解。
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学科网（北京）股份有限公司题型一：带电体在竖直圆周轨道上的运动
【典例1基础题】如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O，半径为r，内
壁光滑，A、B两点分别是圆轨道的最低点和最高点．该区间存在方向水平向右的匀强电场，
一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经过C点时速度
最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g.
(1)求小球所受的静电力大小；
(2)求小球在A点的速度v为多大时，小球经过B点时对圆轨道的压力最小．
0
【典例1基础题】【答案】(1)mg (2)2
【解析】(1)小球在C点时速度最大，则静电力与重力的合力沿DC方向，如图所示，
所以小球受到的静电力的大小F＝mgtan 60°＝mg.
(2)要使小球经过B点时对圆轨道的压力最小，则必须使小球经过D点时的速度最小，即在
D点小球对圆轨道的压力恰好为零，在D点，有＝m，解得v＝，在小球从圆轨道上的A点
运动到D点的过程中，有mgr(1＋cos 60°)＋Frsin 60°＝mv 2－mv2，解得v＝2.
0 0
【典例1基础题对应练习】(多选)如图所示，在水平向右的匀强电场中，将一内壁光滑、
半径为R的固定绝缘圆轨道放置在竖直平面内，AB为圆轨道的水平直径，CD为竖直直径．
一个质量为m、电荷量为＋q的带电小球从轨道的最低点C获得一定的初速度后，能够在
9
学科网（北京）股份有限公司轨道内做圆周运动．已知重力加速度为g，匀强电场的电场强度为E＝ ，不计空气阻力，
下列说法正确的是( )
A. 小球运动到B点时的电势能最大
B. 小球运动到D点时的动能最小
C. 小球运动到A、D两点时的动能相等
D. 若小球恰能在轨道内做圆周运动，则小球运动过程中对轨道的最大压力为6 mg
【典例1基础题对应练习】【答案】CD
【解析】小球带正电，小球运动到B点时静电力做正功最多，电势能最小，小球运动到A
点时电势能最大，A错误；小球在等效重力场中做变速圆周运动，M点为等效最低点，N
点为等效最高点，如图所示，
设等效重力加速度的方向与竖直方向的夹角为θ，有tanθ＝ ＝1，即θ＝45°，故在等效
重力场中构成绳—球模型，在等效最高点的速度最小，动能最小，即小球运动到N点时的
动能最小，B错误；A、D两点关于等效重力场最高点对称，故从N点分别运动到A、D点
时合外力做功相同，故小球运动到A、D两点时的动能相等，C正确；在等效重力场中的
等效重力加速度为g ＝ ＝ g，小球恰好能够沿着轨道做圆周运动，则在等效最高点
效
N时由等效重力提供向心力，有mg ＝m ，可得v ＝ ＝ ，在等效最低点M点
效 N
时速度最大，轨道对球的支持力最大，球对轨道的压力也最大，由N点到M点由动能定理
mg 2R＝ mv 2－ mv 2，在M点由牛顿第二定律，有F －mg ＝m ，解得F ＝6
效 M N NM 效 NM
mg，由牛顿第三定律可知小球运动过程中对轨道的最大压力为6 mg，D正确．
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学科网（北京）股份有限公司题型二：带电体直线运动+竖直圆周运动
【典例2基础题】如图所示，水平绝缘光滑轨道AB的B端与处于竖直平面内的半圆弧形
光滑绝缘轨道BCD平滑连接，半圆弧的半径R＝0.50 m。轨道所在空间存在水平向右的匀
强电场，电场强度E＝1.0×104 N/C。现将一质量m＝0.06 kg的带电小球(可视为质点)放在
水平轨道上与B端距离s＝1.0 m的位置，由于受到电场力的作用，带电小球由静止开始运
动。已知带电小球所带的电荷量q＝8.0×10－5 C，取g＝10 m/s2，问：
(1)小球能否到达半圆弧最高点D?
(2)半圆弧轨道对小球的支持力的最大值为多少？
【典例2基础题】【答案】(1)小球能到达半圆弧最高点D (2)5 N
【解析】(1)假设小球能到达D点，且速度为v ，从A到D过程，由动能定理得qEs－
D
mg·2R＝mv 2，可得小球在D点所需要的向心力为F ＝＝0.8 N，而重力G＝mg＝0.6 N，
D n
F ＞G，故小球能到达半圆弧最高点D。
n
(2)小球在电场中受到的电场力和重力的合力大小为F＝＝1 N，方向与竖直方向的夹角正切
值为tan θ＝＝，当F的方向通过圆心O向外时，小球速度达到最大，设此位置为P，小球
从开始运动到P点的过程，由动能定理得qE(s＋Rsin θ)－mg(R－Rcos θ)＝mv 2，在P点，
P
由牛顿第二定律得N－F＝，解得N＝5 N。
【典例2基础题对应练习】如图所示，粗糙程度不均匀的水平面ABC与半径为R的竖直光
滑半圆轨道CDM相切于C点，CM为半圆的直径，O为圆心，D点是弧CM的中点，在半
圆CDM下半部分有水平向左的匀强电场，电场强度大小 E＝(g为重力加速度)。现把可视
为质点、质量为2m的小物块P置于水平面的A点，并在水平恒力F(大小未知)的作用下由
静止向左运动，运动到B点撤掉水平恒力F，小物块P恰好运动到C点静止。现把与小物
块P材料相同、质量是小物块P质量一半、带电荷量为＋q的绝缘小物块Q同样置于A点，
在同样水平恒力F作用下也从静止开始向左运动，到B点撤掉水平恒力F，带电小物块Q
离开水平面BC后沿着圆弧轨道CDM运动恰好能过最高点M。求：
(1)小物块Q经过水平面C点时的速度大小；
(2)小物块Q在半圆轨道CDM上运动过程中对轨道的最大压力；
11
学科网（北京）股份有限公司(3)小物块Q在运动过程中所受摩擦力做的功。
【典例2基础题对应练习】【答案】(1) (2)(3＋1)mg，方向与竖直方向夹角为45°斜向左
下方 (3)－mgR
【解析】(1)小物块Q在最高点M由牛顿第二定律得mg＝m，从C点到M点的过程中，对
Q由动能定理得qER－mg·2R＝mv－mv，解得v ＝。
C
(2)根据题意并结合受力分析知，小物块 Q运动到与圆心的连线和竖直方向的夹角为 45°的
位置时，对轨道的压力最大，设此位置小物块Q对应的速度为v，根据动能定理得qERsin
45°－mgR(1－cos 45°)＝mv2－mv，由牛顿第二定律有F －＝，联立解得F ＝(3＋1)mg，
N N
由牛顿第三定律得，小物块Q对轨道的最大压力为F ′＝(3＋1)mg，方向与竖直方向夹角
N
为45°斜向左下方。
(3)设小物块Q从A到C过程中所受摩擦力做的功为W，对小物块P，由功能关系得W ＋
f F
2W＝0，对小物块Q有W ＋W＝mv，解得W＝－mv＝－mgR。
f F f f
12
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