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知识点 71：在电场中运动带电体的力与功能关系的问题
【知识思维方法技巧】
（1）带电体在电场中运动的分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平
衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，然后选用恰当的规律如牛顿运动定律、运动学公
式、动能定理、能量守恒定律解题．电场力的特点：F＝Eq，正电荷受到的电场力与场强
方向相同
（2）带电体动力学规律：牛顿运动定律结合运动学公式。能量规律：动能定理或能量守恒
定律。其中电场力做功的特点：W ＝FL cosθ＝qU ＝E －E 。
AB AB AB pA pB
（3）对于受变力作用的带电体的运动，必须借助能量观点来处理。即使都是恒力作用的问
题，用能量观点处理也常常更简捷。用能量守恒定律处理带电体的运动，列式的方法常有
两种：
①利用初、末状态的能量相等(即E ＝E )列方程．
1 2
②利用某些能量的减少等于另一些能量的增加列方程．
③两个结论：若带电粒子只在静电力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变。若带电
粒子只在重力和静电力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变。
考点一：带电体在点电荷电场中的运动
题型一：带电体在绝缘水平轨道上的运动
【典例1提高题】如图所示，一个电荷量为－Q的点电荷甲，固定在绝缘水平面上的O点．
另一个电荷量为＋q、质量为m的点电荷乙，从A点以初速度v 沿它们的连线向甲运动，
0
运动到B点时的速度为v，且为运动过程中速度的最小值．已知点电荷乙受到的阻力大小
恒为F，A、B间距离为L，静电力常量为k，则下列说法正确的是( )
f 0
A．点电荷乙从A点向甲运动的过程中，加速度逐渐增大
B．点电荷乙从A点向甲运动的过程中，其电势能先增大再减小
C．OB间的距离为
D．在点电荷甲形成的电场中，AB间电势差U ＝
AB
【典例1提高题】【答案】C
【解析】点电荷乙从A点向甲运动的过程中，受向左的静电力和向右的摩擦力，两球靠近
过程中静电力逐渐增大，小球先减速后加速，所以加速度先减小后增大，故 A错误；在小
球向左运动过程中静电力一直做正功，因此电势能一直减小，故 B错误；当速度最小时有：
F＝F＝k，可得：r＝，故C正确；点电荷从A运动到B过程中，根据动能定理有：U q
f AB
－FL＝mv2－mv 2，计算得出，U ＝，故D错误．
f 0 0 AB
【典例1提高题对应练习】（多选）如图所示，在绝缘水平地面上固定两个等量同种点电
荷A、B，在AB连线上的P点由静止释放一带电滑块(可视为质点)，则滑块会由静止开始
一直向右运动到AB连线上的一点M而停下．则以下判断正确的是( )
1
学科网（北京）股份有限公司A．滑块一定带的是与A、B异种的电荷
B．滑块的电势能一定是先减小后增大
C．滑块的动能与电势能之和一定减小
D．AP间距一定小于BM间距
【典例1提高题对应练习】【答案】CD
【解析】滑块受到的电场力是两点电荷对它作用力的合力，滑块向右运动，合力向右，滑
块一定带与A、B同种的电荷，否则滑块将向左运动，A错误．滑块运动可能有两种情况：
1.滑块受到的电场力先向右后向左，电场力先做正功，再做负功，电势能先减小后增加；2.
滑块受到的电场力合力始终向右，在到达AB中点前停止，电场力始终做正功，电势能始
终减小，B错误．根据能量守恒，滑块的电势能、动能、内能之和不变，阻力做负功，内
能增大，则动能与电势能之和一定减小，C正确．若没有摩擦力，AP＝BM；因为水平面
不光滑，水平方向受到摩擦力作用，运动到速度为0的位置在P点关于AB中点对称点的
左侧，所以APR≥ m或R≤ m
【解析】(1)在A点，竖直分速度v＝vtan 53°＝4 m/s
y 0
带电粒子在平行板中运动时间 t＝＝0.2 s，v ＝at，得a＝20 m/s2，又mg＋E′q＝ma，E′
y
＝，得U＝10 V
(2)在A点速度v ＝＝5 m/s
A
①若小球不超过圆心等高处，则有mv≤(mg＋qE)Rcos 53°，得R≥ m，故3 m>R≥ m
②若小球能到达最高点 C，则有 mv＝(mg＋qE)R·(1＋cos 53°)＋mv，在 C 点：mg＋
Eq≤m，可得v ≥，联立解得：R≤ m，故圆弧轨道半径R的取值条件为：3 m>R≥ m或R≤
C
m
【典例4提高题对应练习】如图所示，在E＝103 V/m的竖直匀强电场中，有一光滑半圆形
绝缘轨道QPN与一水平绝缘轨道MN在N点平滑相接，半圆形轨道平面与电场线平行，
其半径R＝40 cm，N为半圆形轨道最低点，P为QN圆弧的中点，一带负电q＝10－4 C的
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学科网（北京）股份有限公司小滑块质量m＝10 g，与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.15，位于N点右侧1.5 m的M处，
取g＝10 m/s2，求：
(1)要使小滑块恰能运动到圆轨道的最高点Q，则小滑块应以多大的初速度v 向左运动？
0
(2)这样运动的小滑块通过P点时对轨道的压力是多大？
【典例4提高题对应练习】【答案】(1)7 m/s (2)0.6 N
【解析】(1)设小滑块到达Q点时速度为v，由牛顿第二定律得mg＋qE＝①
小滑块从开始运动至到达Q点过程中，由动能定理得
－mg·2R－qE·2R－μ(mg＋qE)x＝mv2－mv②
联立方程①②，解得v＝7 m/s
0
(2)设小滑块到达P点时速度为v′，则从开始运动至到达P点过程中，由动能定理得
－(mg＋qE)R－μ(qE＋mg)x＝mv′2－mv③
又在P点时，由牛顿第二定律得F ＝m④
N
代入数据，
解得F ＝0.6 N⑤
N
由牛顿第三定律得小滑块对轨道的压力大小为F ′＝F ＝0.6 N⑥
N N
考点三：带电体在重力场和水平电场中的圆周运动
【知识思维方法技巧】
（1）等效重力场
物体在匀强电场和重力场中的运动，可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合
场”来代替，可形象称之为“等效重力场”。
（2）方法应用
①求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个等效重力。
②将a＝视为等效重力加速度。
③小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的点为“等效
最高点”；
注意：这里的最高点不一定是几何最高点。
④将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解。
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学科网（北京）股份有限公司题型一：带电体在竖直圆周轨道上的运动
【典例1提高题】如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为 O、半径为r、内
壁光滑，A、B两点分别是圆轨道的最低点和最高点．该区间存在方向水平向右的匀强电场，
一质量为m的带电小球(可视为质点)恰好能静止在C点．若在C点给小球一个初速度使它
在轨道内侧恰好能做完整的圆周运动(小球的电荷量不变)．已知C、O、D在同一直线上，
它们的连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g.求：
(1)小球所受的电场力F的大小；
(2)小球做圆周运动，在D点的速度大小及在A点对轨道压力的大小．
【典例1提高题】【答案】(1)mg (2) 9mg
【解析】(1)小球在C点静止，受力分析如图所示
由平衡条件得F＝mgtan 60°，解得：F＝mg
(2)小球在光滑轨道内侧恰好做完整的圆周运动，在D点小球速度最小，对轨道的压力为零，
则＝m，解得小球在D点的速度v ＝，小球由轨道上A点运动到D点的过程，根据动能定
D
理得－mgr(1＋cos θ)－Frsin θ＝mv 2－mv 2，解得小球在A点的速度v ＝2，小球在A点，
D A A
根据牛顿第二定律得：F －mg＝m，解得：F ＝9mg，根据牛顿第三定律得：小球对轨
NA NA
道的压力大小为F ′＝9mg.
NA
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学科网（北京）股份有限公司【典例1提高题对应练习】（多选）如图所示，竖直平面内有固定的半径为R的光滑绝缘
圆形轨道，匀强电场的方向平行于轨道平面水平向左，P、Q分别为轨道上的最高点、最低
点，M、N是轨道上与圆心O等高的点．质量为m、电荷量为q的带正电小球(可视为质点)
在轨道内运动，已知重力加速度为g，电场强度E＝，要使小球能沿轨道做完整的圆周运
动，则下列说法正确的是( )
A．小球在轨道上运动时，动能最小的位置，电势能最大
B．小球在轨道上运动时，机械能最大的位置一定在M点
C．小球过Q、P点时所受轨道弹力大小的差值为6mg
D．小球过Q、P点时所受轨道弹力大小的差值为7.5mg
【典例1提高题对应练习】【答案】BC
【解析】根据等效场知识可得，电场力与重力的合力大小为mg ＝＝mg，故等效重力加速
等
度为g ＝g，如图所示，tan θ＝＝，即θ＝37°，若小球刚好能通过C点关于圆心O对称的
等
D点，那么小球就能做完整的圆周运动．小球在D点时的动能最小，但D点并非是其电势
能最大的位置，小球电势能最大的位置在N点，选项A错误；小球在轨道上运动的过程中
遵守能量守恒定律，小球在轨道上M点的电势能最小，机械能最大，选项B正确；小球过
Q点和P点时，由牛顿第二定律可得F －mg＝m，F ＋mg＝m，小球从Q点到P点，由动
Q P
能定理可得－2mgR＝mv 2－mv 2，联立解得F －F ＝6mg，选项C正确，D错误．
P Q Q P
题型二：带电体直线运动+竖直圆周运动
【典例2提高题】如图所示，在xOy平面内竖直固定一个“9字型”轨道，圆形部分的半
径R＝0.2 m，圆心位于C点；直线轨道AB与圆形部分相切于B点，其长度L＝3R，CB
连线与竖直方向的夹角为53°；在x>0区域有范围很大的匀强电场，场强大小E＝5×104
N/C，方向沿x轴正方向。现在A点处由静止释放质量m＝0.1 kg、带电荷量q＝＋2×10－
5C的小物块(可看作质点)，已知sin 53°＝0.8，不计物块与“9字型”轨道的摩擦，g取10
m/s2。求：
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学科网（北京）股份有限公司(1)物块滑到圆周轨道最低点O处时受到的支持力大小；
(2)物块在圆周轨道上速度最大的位置P；(可用PC连线与竖直方向夹角表示)
(3)物块在圆周轨道上运动一圈后，从O′点滑出(轨道B′O′与BO段错开且靠近)，其后的水
平面上铺设了一种特殊的材料，材料不同位置处的动摩擦因数满足μ＝0.2＋x(x为所在处的
横坐标值)，物块在材料面上滑行过程的最大动能是多少？
【典例2提高题】【答案】(1)6.6 N (2)45° (3)0.88 J
【解析】(1)物块从A滑至O过程，由机械能守恒定律得mgh＝mv，其中h＝Lsin 53°＋R(1
－cos 53°)＝2.8 R，圆周最低点O处F －mg＝m，代入得F ＝6.6mg＝6.6 N。
N N
(2)设物块在圆周轨道(右半侧)P点处的速度最大，PC与竖直方向的夹角为θ，此时有mgsin
θ＝qEcos θ，tan θ＝＝1，θ＝45°。
(3)分析知，在水平面上a＝0时，即qE－μmg＝0，解得μ＝1代入μ＝0.2＋x，解得x＝0.8
m(速度最大)，据动能定理W －W＝E －E 其中W ＝qE·x＝0.8 J，W＝f·x＝×1×0.8 J
电 f km kO 电 f
＝0.48 J代入数据，得E ＝0.88 J。
km
【典例2提高题对应练习】如图所示，一半径为R的绝缘圆形轨道竖直放置，圆轨道最低
点B点与一条水平轨道相连，轨道是光滑的，轨道所在空间存在水平向右、场强为E的匀
强电场，从水平轨道上的A点由静止释放一质量为m带正电的小球，设A、B间的距离为
s.已知小球受到的静电力大小等于小球重力的倍，C点为圆形轨道上与圆心O的等高点．
(重力加速度为g)
(1)若s＝2R，求小球运动到C点时对轨道的压力大小；
(2)为使小球刚好在圆轨道内完成圆周运动，求s的值．
【典例2提高题对应练习】【答案】(1) (2)
【解析】(1)当小球从A点释放，在静电力作用下运动，从A到C点静电力做正功，重力做
负功，应用动能定理得：qE·3R－mgR＝mv 2，到达C点时，小球受到的支持力和静电力
C
提供向心力，即：F －qE＝m，由牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小与小球受到的支
N
持力大小相等，则F ′＝F ＝
N N
(2)为了使小球刚好在圆周轨道内运动，小球到达D点时恰好仅重力和静电力，如图所示，
此时有：
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学科网（北京）股份有限公司F＝＝mg，F＝m，从A点到D点时据动能定理有：qE(s－0.6R)－mg(1.8R)＝mv2，则可以
计算得：s＝.
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