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考点 05 一元二次不等式
【命题解读】
2021年独立考查的内容将是不等式的性质或基本不等式的应用问题，不等式的解法将与集合、函数等
其它知识点综合考查
.因此下面几点：1、掌握简单的含参一元二次不等式求解．
2、理解与一元二次不等式相关的恒成立问题的求解．
3、了解一元二次不等式在实际问题中的应用．
【基础知识回顾】
1、 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx
＋c(a＞0)的图象
一元二次方程
有两相异实数根x ， 有两相等实数根x ＝
1 1
ax2＋bx＋c＝0 没有实数根
x (x ＜x ) x ＝－
2 1 2 2
(a＞0)的根
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＞0 {x|x＜x 或x＞x } R
1 2
(a＞0)的解集
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＜0 {x|x ＜x＜x } ∅ ∅
1 2
(a＞0)的解集
2、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法
（1）.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔
（2）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔
3、．简单分式不等式
(1)≥0⇔
(2)>0⇔f(x)g(x)>01、 (2020·北京市海淀区期末)不等式x2＋2x－3<0的解集为( )
A．{x|x<－3或x>1} B．{x|x<－1或x>3}
C．{x|－1<x<3} D．{x|－3<x<1}
【答案】D
【解析】 由x2＋2x－3<0得(x＋3)(x－1)<0，解得－3<x<1.故选D.
2、若集合 ，则 =（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意， ， ，则 ，
故答案为C。
3、(2020·黄冈调研)关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集
是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【答案】C
【解析】；关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，
∴a>0，且－＝1，
4、“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是( )
A．m> B．m<
C．m<1 D．m>1
【答案】：A
【解析】∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，
∴Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，
又∵m>，∴Δ＝1－4m<0，
∴“m>”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件．故选A.
5、下列四个解不等式，正确的有( )
A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}
B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是
C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是3
D．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q,1)，则p＋q的值为－1
【答案】：BCD【解析】：对于A，∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，
解得x>1或x<－，
∴不等式的解集为.故A错误；
对于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，
∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥或x≤－.故B正确；
对于C，由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．∴a－8a＋21＝0，∴a＝3.故C正确；
对于D，依题意q,1是方程x2＋px－2＝0的两根，
q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正确．
考向一 一元二次不等式及简单不等式的解法
例1、求下列不等式的解集：
x-1
(1)－x2＋8x－3>0；(2) ≤0
2x+1
( 1 ] ( 1 ]
【答案】（1） - ,1 （ ） - ,1 .
2 2
【解析】(1)因为Δ＝82－4×2 (－1)×(－3)＝52>0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x＝4－，x＝4＋.
1 2
又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为{x|4－<x<4＋}.
x-1 {x-1≤0, {x-1≥0,
（2）方法一: ≤0等价于 ①或 ②
2x+1 2x+1>0, 2x+1<0.
1
解①得- <x≤1,解②得x∈⌀,
2
( 1 ]
所以原不等式的解集为 - ,1 .
2
x-1 {(x-1)(2x+1)≤0,
方法二:不等式 ≤0⇔
2x+1 2x+1≠0,
1
{- ≤x≤1,
所以由二次不等式知 2 所以-1<x≤1.
1 2
x≠− ,
2
( 1 ]
所以原不等式的解集为 - ,1 .
2
变式1、解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；
(2)0＜x2－x－2≤4.【解析】 (1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于⇔
⇔⇔
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为.
变式2、（1）解不等式
（2）已知函数 则不等式 的解集为________．
【答案】1． 2．
【解析】：1．不等式化为 ，化为 ，
∴ ，解集为 ．
2．由题意知 解得：x＞1．故原不等式的解集为
变式3、若关于 的不等式 的解集为 ，则关于x的不等式 的解集为________．
【答案】
【解析】：由已知 的解集为 ，可知 ，且 ＝ ，将不等式 两边同除以
，得 ，即 ，解得 ，故不等式 的解集为 ．
方法总结： 解一元二次不等式的一般方法和步骤
(1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.
(2)计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅).求出对
应的一元二次方程的根.
(3)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集
考向二 含参不等式的讨论例1、(1)解关于实数 的不等式： ．
(2)解关于实数 的不等式： ．
【解析】（1）由 得 ，
∴ ，
① 当 时， 的解集为 ，
② 当 时， 的解集为 ，
③当 时， 的解集为 ．
（2）对方程 ，当 即 时
不等式的解集为
当 即 或 时
的根为
不等式的解集为
变式1、求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集
【解析】原不等式可化为12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x＝－，x＝.
1 2
当a＞0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a＜0时，不等式的解集为∪.
变式2、解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)。
【解析】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1.
③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当＜－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a＞0时，不等式的解集为；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为.
方法总结：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，
若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论
二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
考向三 恒成立问题
例3、设函数 ．
(1)若对于一切实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若对于 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】：(1)要使 恒成立，
若 ，显然 ；
若 ，则 解得 ．
所以实数m的取值范围是 ．
(2)有以下两种方法：
法一 由 ，得， ，
即 ，
因为 ，
所以 ．
因为函数 在 上的最小值为 ，所以只需 即可．
所以， 的取值范围是 ．法二 由 ，得 ，
即 ，
令
当 时， 在 上是增函数，
所以 ，
所以 ，则 ；
当 时， 恒成立；
当 时， 在 上是减函数，
所以 ，
所以 ，所以 ．
综上所述， 的取值范围是 ．
变式1、若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[－2,2]
C．(－2,2] D．(－∞，－2)
【答案】 C
【解析】当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－2<a<2.
∴实数a的取值范围是(－2,2]．
变式 2、已知函数 ，若对任意 恒成立，则实数 a 的取值范围是
________．
【答案】
【解析】∵ 时， 恒成立，即 恒成立．
即当 时， 恒成立．
而 在 上单调递减，
∴ ，故 ．
∴实数 的取值范围是 ．方法总结：(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部
在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函
数的最值或用分离参数法求最值.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范
围，谁就是参数.
(3)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义
求解参数的值(或范围)．
(4)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x) ≥a，即m≥a；
min
f(x)≤a恒成立⇒f(x) ≤a，即n≤a.
max
考向四 一元二次不等式的应用
例4、某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品 (百台)，
总成本为 (万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成
本＋生产成本)；销售收入 (万元)满足： 假定该产品产销平衡，
那么根据上述统计规律求下列问题．
(1) 要使工厂有赢利，产量 应控制在什么范围内？
(2) 工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？
【解析】：
依题意， ，设利润函数为 ，则
(1) 要使工厂有赢利，即解不等式 ，
当 时，解不等式 ，
即 ，得 ，
∴ ．
当 时，解不等式 ，得 ，
∴
综上所述，要使工厂赢利， 应满足 ，即产品产量应控制在大于 台，小于 台的范围
内．
(2) 时， ，
故当 时， 有最大值 ；
而当 时，因为
所以，当工厂生产 台产品时，赢利最多．
变式、某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 万元/辆，出厂价为 万元/辆，年销售量为 辆．本
年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为
，则出厂价相应地提高比例为 ，同时预计年销售量增加的比例为 ，已知年利润＝(出
厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润 与投入成本增加的比例 的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 应在什么范围内？
【解析】
(1)
即 ．
(2)上年利润为
∴ ，即 ，
∴ ，即x的范围为 ．
为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 ．
方法总结解不等式应用题的要注意：
(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．
1、（2018年高考全国I卷理数）已知集合 ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解不等式x2−x−2>0得x<−1或x>2，所以A={x|x<−1或x>2}，所以可以求得，故选B．
x x2 2ax8a2 0 a0 (x ,x )
2、（2013重庆）关于 的不等式 （ ）的解集为 1 2 ，
x x 15
且 2 1 ，则a
5 7 15 15
． 2 B．2 C． 4 D． 2
A
【答案】A
x2 2ax8a2 0 a0
【 解 析 】 ∵ 由 ( ) ， 得 ， 即 ， ∴
，∵ ，∴ ．故选A．
3、（2014江苏）已知函数 f(x)x2 mx1, 若对于任意 x[m,m1] ，都有 f(x)0 成立，则实数m的取
值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可得 对于 上恒成立，即 ，解得
．
4、（2012江西）不等式 的解集是___________．
(3,2)(3,)
【答案】
(x3)(x2)(x3)0
【解析】不等式可化为 采用穿针引线法解不等式即可
5、已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集为________．
【答案】(2,3)
【解析】由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两根，
所以由根与系数的关系得
解得
不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，解集为(2,3)．
6、解关于x的不等式
【解析】：若 ，原不等式等价于 ，解得 ．若 ，原不等式等价于 ，解得 或 ．
若 ，原不等式等价于 ．
①当 时， ， 无解；
②当 时， ，解 得 ；
③当 时， ，
解 得 ．
综上所述：当 时，解集为 或 ；
当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当
时，解集为 ．
7、（1）若 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
（2）设 ，求使 ，且 恒成立的 的取值范围．
【答案】 （1） （2）
m2x1
0
【解析】 由题 是 mx1 解集的子集
当 时， ，当 时，解集可能是 或 ，也可能是 或
．因为不等式对一切 恒成立，所以 不能满足，因此 且 ，
所以 ．本题恒成立问题，从不等式出发，利用解集形式得出不等关系．
（2）将不等式 整理成关于 的不等式为 ．令 ．则 即
解得 ，
即 的取值范围为 ．
