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知识点 69：带电粒子在电场的偏转运动
【知识思维方法技巧】
（1）带电粒子在电场中类平抛运动的处理方法：用分解的思想来处理，即将带电粒子的
运动分解为沿电场力方向上的匀加速直线运动和垂直电场力方向上的匀速直线运动，根据
运动的合成与分解的知识解决有关问题。
（2）计算粒子打到屏上的位置离屏中心的距离的方法：
①y＝y＋Ltan θ(L为屏到偏转电场的水平距离)；
0
②y＝(＋L)tan θ(l为电场宽度)；
③y＝y＋v·；④根据三角形相似＝.
0 y
考点一：带电粒子在匀强电场中的类平抛运动
题型一：带电粒子在匀强电场中的类平抛运动
【典例1基础题】如图所示，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v 从MN连线上
0
的P点水平向右射入电场强度大小为E、方向竖直向下的匀强电场中。已知 MN与水平方
向成45°角，粒子的重力可以忽略，则粒子到达MN连线上的某点时( )
A．所用时间为
B．速度大小为3v
0
C．与P点的距离为
D．速度方向与竖直方向的夹角为30°
【典例1基础题】【答案】C
【解析】粒子从P点垂直电场方向出发到达MN连线上某点时，沿水平方向和竖直方向的
位移大小相等，即vt＝at2，a＝，解得t＝，A项错误；在该点，粒子沿电场方向的速度v
0 y
＝at＝2v ，所以合速度大小为v＝＝v ，B项错误；该点到P点的距离s＝x＝vt＝，C项正
0 0 0
确；由平行四边形定则可知，在该点速度方向与竖直方向夹角的正切值 tan θ＝＝，则
θ≠30°，D项错误。
【典例1基础题对应练习】一匀强电场的方向竖直向上。t＝0时刻，一带电粒子以一定初
速度水平射入该电场，电场力对粒子做功的功率为P，不计粒子重力，则P－t关系图象是(
)
1
学科网（北京）股份有限公司【典例1基础题对应练习】【答案】A
【解析】设粒子带正电，运动轨迹如图所示，水平方向，粒子不受力，v＝v。
x 0
沿电场方向：受电场力F ＝qE，则加速度a＝＝，经时间t，粒子沿电场方向的速度v＝
电 y
at＝，电场力做功的功率P＝F
电
v
y
＝qE·＝＝kt∝t，选项A正确。
题型二：带电粒子在组合电场中的加速+类平抛运动模型
【典例2基础题】如图所示，虚线PQ、MN间存在如图所示的水平匀强电场，一带电粒子
质量为m＝2.0×10－11 kg、电荷量为q＝＋1.0×10－5 C，从a点由静止开始经电压为U＝
100 V的电场加速后，垂直于匀强电场进入匀强电场中，从虚线MN上的某点b(图中未画
出)离开匀强电场时速度与电场方向成30°角．已知PQ、MN间距离为20 cm，带电粒子的
重力忽略不计．求：
(1)带电粒子刚进入匀强电场时的速率v；
1
(2)匀强电场的场强大小；
(3)ab两点间的电势差．
【典例2基础题】【答案】(1)104 m/s (2)1.73×103 N/C (3)400 V
【解析】(1)由动能定理得：qU＝mv，
代入数据得v＝104 m/s.
1
(2)因粒子重力不计，则进入PQ、MN间电场中后，做类平抛运动，有
粒子沿初速度方向做匀速直线运动：d＝vt
1
粒子沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动：v＝at
y
由题意得：tan30°＝
由牛顿第二定律得：qE＝ma
联立以上相关各式并代入数据得：
E＝×103 N/C＝1.73×103 N/C
(3)由动能定理得：qU ＝mv2＝m(v＋v)
ab
联立以上相关各式代入数据得：U ＝400 V
ab
【典例2基础题对应练习】 如图所示，在两条平行的虚线内存在着宽度为L、电场强度为
E的匀强电场，在与右侧虚线相距也为L处有一与电场平行的屏．现有一电荷量为＋q、质
2
学科网（北京）股份有限公司量为m的带电粒子(重力不计)，以垂直于电场线方向的初速度v射入电场中，v方向的延
0 0
长线与屏的交点为O.试求：
(1)粒子从射入到打到屏上所用的时间；
(2)粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值tan α；
(3)粒子打到屏上的点P到O点的距离x.
【典例2基础题对应练习】【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)根据题意，粒子在垂直于电场线的方向上做匀速直线运动，所以粒子从射入到
打到屏上所用的时间t＝.
(2)设粒子射出电场时沿平行电场线方向的速度为v，根据牛顿第二定律，粒子在电场中的
y
加速度为：a＝，所以v＝a＝，所以粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的
y
正切值为tan α＝＝.
(3)法一 设粒子在电场中的偏转距离为y，则y＝a＝
又x＝y＋Ltan α，解得：x＝
法二 x＝v＋y＝.
y
法三 由＝得：x＝3y＝.
考点二：带电粒子在平行板电容器中的类平抛运动
题型一：带电粒子在平行板电容器中的类平抛运动
【典例1基础题】如图，带电粒子P所带的电荷量是带电粒子Q的5倍，它们以相等的速
度v 从同一点出发，沿着跟电场强度垂直的方向射入匀强电场，分别打在M、N点，若
0
OM＝MN，则P和Q的质量之比为(不计重力)( )
A．2∶5 B．5∶2 C．4∶5 D．5∶4
【典例1基础题】【答案】D
【解析】粒子在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，
两粒子的初速度相等，水平位移比为1∶2，由l＝vt可知运动时间比为1∶2，由y＝at2得
0
3
学科网（北京）股份有限公司加速度之比为4∶1，根据牛顿第二定律得a＝，因为电荷量比为5∶1，则质量比为5∶4，
故D正确，A、B、C错误．
【典例1基础题对应练习】如图所示，平行板电容器的两极板水平放置，滑动变阻器的阻
值为R，定值电阻的阻值为R 。闭合开关S，当R＝0.5R 时，极板带电荷量为Q ，一电子
0 0 0
水平射入电容器两极板之间的匀强电场，经水平距离x 后打到极板上；当R＝2R 时，极板
0 0
带电荷量为Q，电子仍以相同速度从同一点射入电场，经水平距离x后打到极板上。不计
电子重力以下关系正确的是( )
A.Q＜Q，x＞x B.Q＞Q，x＞x
0 0 0 0
C.Q＜Q，x＜x D.Q＞Q，x＜x
0 0 0 0
【典例1基础题对应练习】【答案】D
【解析】当R＝0.5R 时由闭合电路欧姆定律有I ＝，电容器两端电压为U ＝I·＝×＝，电
0 0 0 0
荷量为Q ＝CU ＝C，同理可得R＝2R 时，Q＝CU＝C，则Q＞Q ，由于U＞U ，则板间
0 0 0 0 0
场强关系为E＞E ，加速度a＝＞a ＝，两种情况下电场力方向上运动的位移相等，由公式
0 0
h＝at2可知，第一种情况下的时间更长，初速度方向有x＝vt可知x ＞x，故D正确，A、
0 0
B、C错误。
题型二：带电粒子在组合平行板电容器中的加速+类平抛运动（示波器模型）
【典例2基础题】示波器是一种多功能电学仪器，由加速电场和偏转电场组成。如图所示，
电子在电压为U 的电场中由静止开始加速，然后射入电压为U 的平行金属板间的电场中，
1 2
入射方向与极板平行，在满足电子能射出平行电场区域的条件下，下述情况一定能使电子
偏转角度θ变大的是( )
A．U 变大，U 变大
1 2
B．U 变小，U 变大
1 2
C．U 变大，U 变小
1 2
4
学科网（北京）股份有限公司D．U 变小，U 变小
1 2
【典例2基础题】【答案】B
【解析】电子通过加速电场时有eU＝mv 2，电子在偏转电场中，垂直于电场线的方向上做
1 0
匀速直线运动，则运动时间t＝；平行于电场线的方向上做初速度为零的匀加速直线运动，
加速度a＝，末速度v＝at＝，偏转角tan θ＝＝，所以θ∝，B正确。
y
【典例2基础题对应练习】喷墨打印机的结构原理如图所示，其中墨盒可以发出半径为
1×10－5 m的墨汁微粒，此微粒经过带电室时被带上负电，带电的多少由计算机按字体笔
画高低位置输入信号加以控制。带电后的微粒以一定的初速度进入偏转电场，经过偏转电
场发生偏转后，打到纸上，显示出字体。无信号输入时，墨汁微粒不带电，沿直线通过偏
转电场而注入回流槽流入墨盒。设偏转极板长L ＝1.6 cm，两板间的距离d＝0.50 cm，偏
1
转板的右端到纸的距离L ＝2.4 cm。若一个墨汁微粒的质量为1.6×10－10 kg，所带电荷量
2
为1.25×10－12 C，以20 m/s的初速度垂直进入偏转电场，打到纸上的点距原入射方向的距
离是1.0 mm(不计空气阻力和墨汁微粒的重力，可以认为偏转电场只局限在平行板电容器
内部，忽略边缘电场的不均匀性)( )
A．墨汁从进入偏转电场到打在纸上，做类平抛运动
B．两偏转板间的电压是2.0×103 V
C．两偏转板间的电压是5.0×102 V
D．为了使纸上的字体放大10%，可以把偏转电压降低10%
【典例2基础题对应练习】【答案】C
【解析】墨汁在偏转电场中做类平抛运动，出偏转电场后做匀速直线运动，选项 A错误；
墨汁出偏转电场后做匀速直线运动，且反向延长线交水平位移的中点，如图所示
由图可知tan θ＝，tan θ＝，又v ＝at＝t，t＝联立解得两偏转板间的电压是U＝5.0×102
y
V，选项B错误，C正确；由以上式子整理得y＝，为了使纸上的字体放大10%，可以把偏
转电压提高10%，选项D错误。
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学科网（北京）股份有限公司考点三：带电粒子在匀强电场（径向电场）中的偏转运动
题型一：带电粒子在匀强电场中的偏转运动
【知识思维方法技巧】
带电粒子在电场类斜抛运动的处理方法：
（1）常规分解法：将带电粒子的运动分解为沿电场力方向上的匀加速直线运动和垂直电场
力方向上的匀速直线运动，根据运动的合成与分解的知识解决有关问题．
（2）逆向思维法：把带电粒子的运动看做从最高点开始的反向的类平抛运动。类斜抛运动
可以从最高点分段研究，后半段相当于类平抛运动，前半段相当于反向的类平抛运动，且
两段运动时间、位移和速度具有对称性．
【典例1基础题】如图，一质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子在匀强电场中运动，A、B
为其运动轨迹上的两点，A、B水平距离为L，运动轨迹在竖直平面内，已知该粒子在A点
的速度大小为v，方向与竖直方向夹角为60°，它运动到B点时速度v大小为v，方向竖
0 0
直向上，不计重力。求匀强电场的场强。
【典例1基础题】【答案】
【解析】由题意知初速度与竖直方向夹角为，初速度v 。可以分解为水平方向v ＝v·sin＝
0 x 0
v ，竖直方向v＝v·cos＝v ，由于竖直方向速度不变可以知道电场力方向水平向右，电场
0 y 0 0
强度方向也是水平向右，由A向B运动过程为水平方向匀减速运动。竖直方向匀速直线运
动，利用动能定理有：
－EqL＝m2－m(v)2，联立上式解得：E＝。
0
【典例1基础题对应练习】如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板 M、N间存在
匀强电场，板长为L(不考虑边界效应)．t＝0时刻，M板中点处的粒子源发射两个速度大小
为v的相同粒子，垂直M板向右的粒子，到达N板时速度大小为v；平行M板向下的粒
0 0
子，刚好从N板下端射出．不计重力和粒子间的相互作用，则( )
A．M板电势高于N板电势
B．两个粒子的电势能都增加
C．粒子在两板间的加速度为a＝
D．粒子从N板下端射出的时间t＝
【典例1基础题对应练习】【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】由于不知道两粒子的电性，故不能确定M板和N板的电势高低，故A错误；根据
题意垂直M板向右的粒子到达N板时速度增加，动能增加，则电场力做正功，电势能减小，
则平行M板向下的粒子到达N板时电场力也做正功，电势能同样减小，故B错误；设两板
间距离为d，对于平行M板向下的粒子刚好从N板下端射出，在两板间做类平抛运动，有
＝vt，d＝at2，对于垂直M板向右的粒子，在板间做匀加速直线运动，因两粒子相同，则
0
在电场中加速度相同，有(v)2－v2＝2ad，联立解得t＝，a＝，故C正确，D错误．
0 0
题型二：带电粒子在径向电场中的偏转运动
【典例2基础题】(多选)如图所示的直角坐标系中，第一象限内分布着均匀辐向的电场，
坐标原点与四分之一圆弧的荧光屏间电压为U；第三象限内分布着竖直向下的匀强电场，
场强大小为E.大量电荷量为－q(q>0)、质量为m的粒子，某时刻起从第三象限不同位置连
续以相同的初速度v沿x轴正方向射入匀强电场．若粒子只能从坐标原点进入第一象限，
0
其他粒子均被坐标轴上的物质吸收并导出而不影响原来的电场分布．不计粒子的重力及它
们间的相互作用．下列说法正确的是( )
A．能进入第一象限的粒子，在匀强电场中的初始位置分布在一条直线上
B．到达坐标原点的粒子速度越大，入射速度方向与y轴的夹角θ越大
C．能打到荧光屏上的粒子，进入O点的动能必须大于或等于qU
D．若U<，荧光屏各处均有粒子到达而被完全点亮
【典例2基础题】【答案】CD
【解析】能进入第一象限的粒子，必须有－x＝vt，－y＝t2，所以有y＝－x，在匀强电场
0 0 0 0
中的初始位置分布在一条抛物线上，选项A错误；因为sin θ＝，所以到达坐标原点的粒子
速度越大，入射速度方向与y轴的夹角θ越小，选项B错误；能打到荧光屏上的粒子末动
能必须大于或等于零，即mv2－qU≥0，则mv2≥qU，选项C正确；若U<，即－Uq>0，到
达O点的粒子均可到达荧光屏，到达O点的粒子速度方向满足0°<θ <90°，荧光屏各处均
有粒子到达而被完全点亮，选项D正确．
考点四：带电粒子在交变电场中的偏转运动
【知识思维方法技巧】
带电粒子在交变电场中运动的处理技巧：分段研究，化变为恒．
（1）粒子做偏转运动：一般根据交变电场特点分段研究，应用牛顿运动定律结合运动学公
式或者动能定理等求解。
（2）当粒子垂直于电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场力方
7
学科网（北京）股份有限公司向的分运动可能具有周期性.
（3）可以作出粒子在某一方向上的v－t图象，借助图象、结合轨迹，使运动过程更直观。
转换思路如下：――→a－t图象――→v－t图象
题型一：带电粒子在方波电场中的偏转运动
【典例1基础题】图甲是一对长度为L的平行金属板，板间存在如图乙所示的随时间周期
性变化的电场，电场方向与两板垂直．在t＝0时刻，一带电粒子沿板间的中线OO′垂直
电场方向射入电场，2t 时刻粒子刚好沿下极板右边缘射出电场．不计粒子重力．则( )
0
A．粒子带负电
B．粒子在平行板间一直做曲线运动
C．粒子射入电场时的速度大小为
D．若粒子射入电场时的速度减为一半，射出电场时的速度垂直于电场方向
【典例1基础题】【答案】C
【解析】粒子向下偏转，可知粒子带正电，选项A错误；粒子在平行板间在0～t 时间内做
0
曲线运动；在t ～2t 时间内不受任何力，则做直线运动，选项B错误；粒子在水平方向一
0 0
直做匀速运动，可知射入电场时的速度大小为 v ＝，选项C正确；若粒子射入电场时的速
0
度减为一半，由于粒子在电场中受向下的静电力，有向下的加速度，射出电场时有沿电场
方向的速度，则射出电场时的速度不可能垂直于电场方向，选项D错误．
【典例1基础题对应练习】如图甲所示，两水平平行金属板A、B间距为d，在两板右侧装
有荧光屏MN(绝缘)，O为其中点．在两板A、B上加上如图乙所示的电压，电压最大值为
U.现有一束带正电的离子(比荷为k)，从两板左侧中点以水平初速度v连续不断地射入两
0 0
板间的电场中，所有离子均能打到荧光屏MN上，已知金属板长L＝2vt ，忽略离子间相
00
互作用和荧光屏MN的影响，则在荧光屏上出现亮线的长度为( )
A．kdUt2 B. C. D.
00
【典例1基础题对应练习】【答案】C
8
学科网（北京）股份有限公司【解析】离子在两板间运动，沿水平方向做匀速运动，运动时间t＝＝2t，所有离子运动时
0
间都等于电场变化的周期，作出各个时刻射入电场的离子在板间沿静电力方向上运动的 v
y
－t图像，如图所示，由图像可知，离子离开两板间时沿电场方向的速度 v 均相同，v－t
y y
图像中图线与t轴围成的面积表示沿电场方向的位移，由图像可知0时刻进入电场的离子
沿电场方向的位移最大，t 时刻进入电场的离子沿电场方向的位移最小．电压为U 时，离
0 0
子在电场中运动的加速度a＝＝，离子离开两板间时沿电场方向的速度为 v＝at ＝，由图
y 0
像面积可得，离子沿电场方向运动的最大位移y ＝(t ＋2t)at ＝，离子沿电场方向运动的
max 0 0 0
最小位移为y ＝t·at＝，屏上亮线的长度为Δy＝y －y ＝，C正确．
min 0 0 max min
题型二：带电粒子在锯齿波（正弦波）电场中的偏转运动
【知识思维方法技巧】
对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，一般来说题中会直接或间接提到“粒子在其
中运动时电场为恒定电场”，故带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动．
【典例2基础题】如图甲所示，电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加
速电压为U，电容器板长l＝10 cm，板间距离d＝10 cm，下极板接地，电容器右端到荧光
0
屏的距离也是L＝10 cm，在电容器两极板间接一交变电压，上极板的电势随时间变化的图
像如图乙所示。(每个电子穿过平行板的时间都极短，可以认为电子穿过平行板的过程中电
压是不变的)求：
（1）在t＝0.06 s时刻，电子打在荧光屏上的何处；
（2）荧光屏上有电子打到的区间有多长？
【典例2基础题】【答案】（1）O点上方13.5 cm处（2）30 cm
【解析】（1）设电子经电压U 加速后的速度为v，根据动能定理得：eU＝mv 2，设偏转
0 0 0 0
电场的场强为E，则有：E＝，设电子经时间t通过偏转电场，偏离轴线的侧向位移为y，
则有：在中心轴线方向上：t＝，在轴线侧向有： a＝，y＝at2＝，设电子通过偏转电场过
程中产生的侧向速度为v，偏转角为θ，则电子通过偏转电场时有：v＝at, tan θ＝，电子
y y
在荧光屏上偏离O点的距离为Y＝y＋Ltan θ＝＝
由题图知t＝0.06 s时刻U＝1.8U，代入数据解得Y＝13.5 cm。
0
（2）由题知电子偏移量y的最大值为d/2，所以当偏转电压超过2U 时，电子就打不到荧
0
光屏上了。代入上式得：Y＝l所以荧光屏上电子能打到的区间长为：2Y＝3l＝30 cm。
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