文档内容
知识点 72：在电场中运动带电连接体的力与功能关系的
问题
考点一：带电轻绳连接体的力与功能关系的问题
题型一：带电轻绳连接体在竖直匀强电场中的运动
【典例1提高题】如图所示，用绝缘细线拴一带负电小球，在竖直平面内做圆周运动，匀
强电场方向竖直向下，则( )
A．当小球运动到最高点a时，线的张力一定最小
B．当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大
C．当小球运动到最高点a时，小球的电势能最小
D．小球在运动过程中机械能守恒
【典例1提高题】【答案】C
【解析】若qE＝mg，小球做匀速圆周运动，球在各处对细线的拉力一样大．若qEmg，球在a处速度最大，对细线的拉力最
大．故A、B错．a点电势最高，负电荷在电势最高处电势能最低，故C正确．小球在运
动过程中除重力外，还有电场力做功，机械能不守恒，D错误．
【典例1提高题对应练习】(多选)如图所示，长为L的细线拴一个带电荷量为＋q、质量为
m小球，重力加速度为g，球处在竖直向下的匀强电场中，电场强度为E，小球恰好能够在
竖直平面内做圆周运动，则( )
A．小球在最高点的速度大小为
B．当小球运动到最高点时电势能最小
C．小球运动到最低点时，机械能最大
D．小球运动到最低点时，动能为(mg＋qE)L
【典例1提高题对应练习】【答案】CD
【解析】小球恰好能够在竖直平面内做圆周运动，则在最高点由重力和静电力的合力提供
向心力，则有mg＋Eq＝m，解得v＝，故A错误；小球向上运动时，静电力做负功，电势
1
学科网（北京）股份有限公司能增加，当小球运动到最高点时电势能最大，故B错误；小球向下运动时，静电力做正功，
机械能增大，运动到最低点时，小球的机械能最大，故C正确；从最高点到最低点的过程
中，根据动能定理得E －mv2＝(mg＋Eq)·2L，解得E ＝(mg＋Eq)L，故D正确．
k k
题型二：带电轻绳连接体在水平匀强电场中静止释放运动模型
【典例2提高题】 (多选)如图，一根不可伸长绝缘的细线一端固定于O点，另一端系一带
电小球，置于水平向右的匀强电场中，现把细线水平拉直，小球从A点由静止释放，经最
低点B后，小球摆到C点时速度为0，则( )
A．小球在B点时速度最大
B．小球从A点到B点的过程中，机械能一直在减少
C．小球在B点时的细线拉力最大
D．从B点到C点的过程中小球的电势能一直增加
【典例2提高题】【答案】BD
【解析】小球所受重力和电场力恒定，重力和电场力的合力恒定，小球相当于在重力和电
场力的合力及细线的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动。当小球运动到重力和电场力的
合力和细线的拉力共线时(不是B点)，小球的速度最大，此时细线的拉力最大，故A、C
错误；从A点到C点的过程中，因为重力做正功，小球摆到C点时速度为0，所以电场力
对小球做负功，小球从A点到B点的过程中，机械能一直在减少，B正确；从B点到C点
的过程中，小球克服电场力做功，小球的电势能一直增加，D正确。
【典例2提高题对应练习】(多选)如图所示，空间存在一水平向右的匀强电场，长为L且
不可伸长的绝缘细绳一端固定于O点，另一端系有一带正电小球，小球静止于B点，此时
绳与竖直方向的夹角为45°。现将小球拉至与O点同高度的A点，由静止释放，小球沿圆
弧经B点运动到O点正下方的C点。不计空气阻力，下列关于小球的叙述正确的是( )
A.每下降相同高度，电势能的增加量都相等
B.每下降相同高度，重力势能的减少量都相等
2
学科网（北京）股份有限公司C.A到B的过程中，重力势能的减少量大于动能的增加量
D.A到C的过程中，克服电场力做的功小于重力势能的减少量
【典例2提高题对应练习】【答案】BC
【解析】设小球开始下降高度h时细绳与水平方向夹角为 θ，则水平方向的距离为x＝L
－，则可知，每下降相同高度，水平方向发生距离不相等，则电场力对小球做功不等，所
以电势能的增加量不相等，故A错误；每下降相同高度，重力对小球做正功相同，则重力
势能的减少量都相等，故B正确；由题意可知，小球在B点的速度最大，从A到B的过程
中，由能量守恒可知，重力势能的减小量等电势能的增加量与动能增加量之和，则重力势
能的减少量大于动能的增加量，故C正确；由对称性可知，小球达到C点时的速度为0，
从A到C的过程中，由能量守恒可知，重力势能的减小量等于电势能的增加量，故D错误。
题型三：带电轻绳连接体水平匀强电场中作完整圆周运动的问题
【知识思维方法技巧】
带电轻绳连接体在水平匀强电场中作完整圆周运动的处理方法：等效方法
（1）等效最“高”点与最“低”点的寻找：
确定重力和电场力的合力的大小和方向，然后过圆周圆心作等效重力作用线的反向延长线
反向延长线交圆周上的那个点即为圆周的等效最“高”点，延长线交圆周的那个点为等效
最“低”点。
（2）带电体在等效最“高”点运动情况，用类比“绳球”“杆球”模型临界值的情况进行
分析解答。
【典例3提高题】(多选)如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量
为＋q的小球，系在一根长为L的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动．
AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径．已知重力加速度为g，电场强度E＝.下列说法正
确的是( )
A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为
B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大
C．若将小球在A点由静止开始释放，它将在ACBD圆弧上往复运动
D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够到达B点
【典例3提高题】【答案】BD
【解析】因为电场强度E＝，所以小球所受静电力大小也为 mg，故小球所受合力大小为
mg，方向斜向右下方，与竖直方向夹角为45°，故小球通过圆弧AD的中点时速度最小，
3
学科网（北京）股份有限公司此时满足mg＝m，因此小球在竖直面内做圆周运动的最小速度v ＝，A项错误；由功能
min
关系知，小球机械能的变化等于除重力之外的力所做的功，小球在竖直平面内绕 O点做圆
周运动，运动到B点时，静电力做功最多，故运动到B点时小球的机械能最大，B项正确
小球在A点由静止开始释放后，将沿合外力方向做匀加速直线运动，C项错误；若将小球
以的速度竖直向上抛出，由对称性知经时间t＝回到相同高度，其水平位移s＝·t2＝2L，故
小球刚好运动到B点，D项正确．
【典例3提高题对应练习】（多选）如图所示，在水平的匀强电场中，一个质量为 m、电
荷量为＋q的小球，系在一根长为L的绝缘细线一端，小球可以在竖直平面内绕O点做圆
周运动，AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径．已知重力加速度为 g，电场强度E＝，
不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大
B．若将小球在A点由静止开始释放，它将沿着ACBD圆弧运动
C．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动过程中的最小速度为
D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够到达D点
【典例3提高题对应练习】【答案】AC
【解析】除重力和弹力外其它力做功等于机械能增加量，小球到 B点时，电场力做功最多，
故到B点时机械能最大，A正确；小球所受合力方向与电场方向夹角45°斜向下，由静止
释放，将沿合力方向做匀加速直线运动，B错误；重力和电场力合力为mg，根据mg＝m
得，小球在等效最高点v＝ ，C正确；由于A点速度小于等效最高点的速度，故小球不可
能从A到达等效最高点到D点，D错误，故选AC.
考点二：带电轻杆连接体的力与功能关系的问题
题型一：带电轻杆连接体的转动模型
【典例1提高题】（多选）如图所示，绝缘轻杆的两端固定带有等量异号电荷的小球(不计
重力)。开始时，两小球分别静止在A、B位置。现外加一匀强电场E，在静电力作用下，
小球绕轻杆中点O转到水平位置。取O点的电势为0。下列说法正确的有( )
A．电场E中A点电势低于B点 B．转动中两小球的电势能始终相
4
学科网（北京）股份有限公司等
C．该过程静电力对两小球均做负功 D．该过程两小球的总电势能增加
【典例1提高题】【答案】AB
【解析】沿电场线方向电势降低，则B点的电势比A点的电势高，A正确；由对称性可知，
两小球所处位置的电势的绝对值始终相等，则由E ＝qφ可知两小球的电势能始终相等，B
p
正确；该过程中，带正电荷的小球所受的电场力方向向右，带负电荷的小球所受的电场力
方向向左，则电场力对两小球均做正功，C错误；电场力做正功，电势能减少，所以该过
程中两小球的总电势能减少，D错误。
题型二：带电轻杆连接体的平动模型
【典例2提高题】初始时刻，由轻质刚性杆连接的质量相等的A、B两个小球静止于光滑
的水平面上，杆平行于 轴，整个体系处于平行于 轴的均强电场中，如果小球A、B带电
量均为 ，稳定状态下体系的总能量和总动量分别为 ， ；若小球A带电量为 ，小
球B不带电，则稳定状态下体系的总能量和总动量分别为 ， ，请分析两种状态下体
系的动量与能量关系，并证明。
【典例2提高题】【答案】见解析
【解析】若A、B两球所带电荷电性相同，则稳定匀加速运动，则稳定时速度为零，则动
量和动能都为零，无异议，若A、B两球所带电荷电性相反，以A、B整体为研究对象，可
知稳定时，A、B做匀速直线运动，如图所示
5
学科网（北京）股份有限公司或
设杆与水平方向的夹角为 ，设杆的长度为 ，由几何关系得 则由动能定理得
则 若小球A带电量为 ，小球B不带电，对A、B组
成系统受力分析可知，则稳定状态下，A、B一起做匀加速直线运动，稳定时，加速度
则杆对B水平方向的分力
如图所示
由几个关系可知，杆与水平方向的夹角仍然为 ，则 由动能定理得
则此时的总动量为 对系统，由于两种过程中
仅有电场力和重力做功，则机械能和电势能之和相等，联立可得 ；
可得 ；
6
学科网（北京）股份有限公司考点三：带电轻弹簧连接体的力与功能关系的问题
题型一：弹簧伸长模型
【典例1提高题】(多选)如图所示，竖直向上的匀强电场中，一竖直绝缘轻弹簧的下端固
定在地面上，上端连接一带正电小球，小球静止时位于N点，弹簧恰好处于原长状态．保
持小球的带电荷量不变，现将小球提高到M点由静止释放．则释放后小球从M运动到N
的过程中( )
A．小球的机械能与弹簧的弹性势能之和保持不变
B．小球重力势能的减少量等于小球电势能的增加量
C．弹簧弹性势能的减少量等于小球动能的增加量
D．小球动能的增加量等于静电力和重力做功的代数和
【典例1提高题】【答案】BC
【解析】由于有静电力做功，故小球的机械能与弹簧的弹性势能之和是改变的，故A错误；
由题意，小球受到的静电力与重力大小相等，在小球从 M运动到N过程中，重力做了多少
正功，重力势能就减少多少，静电力做多少负功，电势能就增加了多少，又两力做功一样
多，可知B正确；由动能定理可知，弹力对小球做的功等于小球动能的增加量，又弹力做
的功等于弹簧弹性势能的减少量，故C正确；静电力和重力做功的代数和为零，故D错误．
【典例1提高题对应练习】如图所示，不带电物体A和带电的物体B用跨过定滑轮的绝缘
轻绳连接，A、B的质量分别为2m和m，劲度系数为k的轻弹簧一端固定在水平面上，另
一端与物体A相连，倾角为θ斜面处于沿斜面向上的匀强电场中，整个系统不计一切摩擦。
开始时，物体B在一沿斜面向上的外力 的作用下保持静止且轻绳恰好伸直，
然后撤去外力F，直到物体B获得最大速度，且弹簧未超过弹性限度（已知弹簧形变量为
x时弹性势能为 为），则在此过程中（ ）
7
学科网（北京）股份有限公司A．物体B带负电，受到的电场力大小为
B．物体B的速度最大时，弹簧的伸长量为
C．撤去外力F的瞬间，物体B的加速度为
D．物体B的最大速度为
【典例1提高题对应练习】【答案】D
【解析】当施加外力时，对B分析可知 解得 沿斜面向下，
故B带负电，故A错误；当B受到的合力为零时，B的速度最大，由 解
得 故B错误；当撤去外力瞬间，弹簧弹力还来不及改变，即弹簧的弹力仍为
零，当撤去外力F的瞬间物体AB受到的合外力为 解得
故C错误；设物体B的最大速度为 ，由功能关系可得
解得 故D正确。
题型二：弹簧压缩模型
【典例2提高题】如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，
一质量为m的带正电小球在外力F的作用下静止于图示位置，小球与弹簧不连接，弹簧处
于压缩状态．现撤去F，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电场力、弹簧
弹力对小球做的功分别为W、W 和W，不计空气阻力，则上述过程中( )
1 2 3
8
学科网（北京）股份有限公司A．小球与弹簧组成的系统机械能守恒
B．小球重力势能的变化为W
1
C．小球动能的变化为W＋W＋W
1 2 3
D．小球机械能的变化为W＋W＋W
1 2 3
【典例2提高题】【答案】C
【解析】由于电场力做功，小球与弹簧组成的系统机械能不守恒，选项A错误．重力对小
球做的功为W，小球重力势能的变化为－W，选项B错误．由动能定理可知，小球动能
1 1
的变化为W＋W＋W，选项C正确．由功能关系可知，小球机械能的变化为W，选项D
1 2 3 2
错误．
【典例2提高题对应练习】（多选）A、B两物体质量均为m，其中A带正电，电荷量为＋
q，B不带电，通过劲度系数为k的绝缘竖直轻质弹簧相连放在水平面上，如图2所示，开
始时A、B都处于静止状态．现在施加竖直向上的匀强电场，电场强度E＝，式中g为重力
加速度，若不计空气阻力，不考虑 A物体电荷量的变化，则以下判断正确的是(
)
A．刚施加电场的瞬间，A的加速度大小为2g
B．从施加电场开始到B刚要离开地面的过程中，A物体速度大小一直增大
C．从施加电场开始到B刚要离开地面的过程中，A物体的机械能增加量始终等于A物体
电势能的减少量
D．B刚要离开地面时，A的速度大小为2g
【典例2提高题对应练习】【答案】ABD
【解析】在未施加电场时，A物体处于平衡状态，当施加电场的瞬间，A物体受到的合力
为A所受的电场力，故qE＝ma，解得a＝2g，方向向上，故A正确；B刚要离开地面时，
地面对B弹力为0，即F ＝mg，对A物体Eq＝mg＋F ，即A物体所受合力为0，因此
弹 弹
从施加电场开始到B刚要离开地面过程，A物体做加速度逐渐变小的加速运动，即A物体
速度大小一直增大，故B正确；从施加电场开始到弹簧恢复原长的过程，A物体的机械能
增加量等于电势能的减少量与弹性势能的减少量之和，从弹簧恢复原长到 B刚要离开地面
的过程，A物体的机械能增加量等于电势能的减少量与弹性势能的增加量之差，故C错误；
当B刚要离开地面时，此时B受到弹簧的弹力等于B的重力，从施加电场到B离开地面，
9
学科网（北京）股份有限公司弹簧的弹力做功为零，A上升的距离为x＝，根据动能定理可知qEx－mgx＝mv2，解得v＝
2g，故D正确．
10
学科网（北京）股份有限公司
