文档内容
知识点 41：轻弹簧连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学和能量观点解决连接体问题的技巧：
（1）做好四个分析：受力分析、运动分析、做功分析和能量的转化分析．
（2）规律的选择：
①物体受到恒力作用发生运动状态的改变求某一时刻的力、加速度或求时间时，一般选择
动力学方法（牛顿运动定律）解题；
②当涉及功、能和位移时，若研究某一个物体时，一般用动能定理去解决问题。若研究的
对象为连接体时，一般选用功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优
先选择能量守恒定律；
（3）使用能量守恒定律解题选用表达式的技巧：
①解题时，首先确定初、末状态，然后分清有多少种形式的能在转化，再分析状态变化过
程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加。
②无外力做功的表达式：ΔE ＝ΔE ，减少的那些能量的减少量等于增加的那些能量的增
减 增
加量。E ＝E ，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
初 末
③有外力做功的表达式：W ＝ΔE，ΔE为能量的增加量。
F
考点一：轻弹簧释放物体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
（1）从动力学角度分析：
用胡克定律F＝kx结合牛顿第二定律F ＝ma分析加速度和运动过程，注意弹力是变力，
合
且注意三个位置：自然长度位置、平衡位置（a＝0，v最大）、形变量最大（伸长最长或
压缩最短）的位置。
（2）从功能关系的角度分析：
轻弹簧问题一般根据能量守恒定律或动能定理列方程分析，弹力做功与弹性势能的关系：
W ＝－ΔE ，轻弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相
弹 p
同的速度，弹性势能最大。对同一根轻弹簧而言，无论是处于伸长状态还是压缩状态，只
要在弹性限度内形变量相同，其储存的弹性势能就相同，轻弹簧先后经历两次相同的形变的
过程中，弹性势能的变化相同。
题型一：轻弹簧释放物体+直线运动模型
【典例1提高题】如图所示，固定斜面倾角为θ.一轻弹簧的自然长度与斜面长度相同，都
为L，弹簧一端固定在斜面的底端，将一个质量为m的小球放在斜面顶端与弹簧另一端接
触但不相连，用力推小球使其挤压弹簧并缓慢移到斜面的中点，松手后，小球最后落地的
速度大小为v，不计空气阻力和一切摩擦，重力加速度为g，则该过程中，人对小球做的功
W及小球被抛出后离地面的最大高度H分别为( )
A.mv2－mgLsin θ；
B.mv2；
C.mv2－mgLsin θ；
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学科网（北京）股份有限公司D.mv2－mgLsin θ；
【典例1提高题】【答案】A
【解析】对人从开始挤压弹簧到小球落地的整个过程，由动能定理得W＋mgLsin θ＝mv2
－0，则W＝mv2－mgLsin θ；设小球离开斜面时的速度为v.对小球做斜抛运动的过程，由
0
动能定理得mgLsin θ＝mv2－mv 2；从最高点到落地点的过程，由动能定理得mgH＝mv2－
0
m(vcos θ)2，联立解得：H＝.
0
【典例1提高题对应练习】 (多选)如图所示，光滑水平面OB与足够长粗糙斜面BC交于B
点．轻弹簧左端固定于竖直墙面，现将质量为m 的滑块压缩弹簧至D点，然后由静止释放，
1
滑块脱离弹簧后经B点滑上斜面，上升到最大高度，并静止在斜面上．不计滑块在B点的
机械能损失．换用相同材料质量为m 的滑块(m ＞m)压缩弹簧至同一点D后，重复上述过
2 2 1
程，下列说法正确的是( )
A．两滑块到达B点的速度相同
B．两滑块沿斜面上升的最大高度相同
C．两滑块上升到最高点过程克服重力做的功相同
D．两滑块上升到最高点过程机械能损失相同
【典例1提高题对应练习】【答案】CD
【解析】两滑块到B点的动能相同，但速度不同，故A错误；两滑块在斜面上运动时加速
度相同，由于质量不同，则在B点时的速度不同，故上升的最大高度不同，故B错误；滑
块上升到斜面最高点过程克服重力做的功为 mgh，由能量守恒定律得E ＝mgh＋μmgcos
p
θ·，则mgh＝，故两滑块上升到斜面最高点过程克服重力做的功相同，故C正确；由能量
守恒定律得E ＝μmgcos θ·＝，结合C可知D正确．
损
题型二：轻弹簧释放物体+直线运动+曲线模型
【典例2提高题】如图所示，在距水平地面高h＝1.2 m的光滑水平台面上，一个质量m＝
1
1 kg的小物块压缩弹簧后被锁定．现解除锁定，小物块与弹簧分离后以一定的水平速度 v
1
向右从A点滑离平台，并恰好从B点沿切线方向进入竖直面内的光滑圆弧轨道 BC.已知B
点距水平地面的高度h ＝0.6 m，圆弧轨道BC的圆心O与水平台面等高，C点的切线水平，
2
并与长L＝2.8 m的水平粗糙直轨道CD平滑连接，小物块恰能到达D处．重力加速度g＝
10 m/s2，空气阻力不计．求：
(1)小物块由A到B的运动时间t；
(2)解除锁定前弹簧所储存的弹性势能E ；
p
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学科网（北京）股份有限公司【典例2提高题】【答案】(1) s (2)2 J (3)0.5
【解析】(1)小物块由A到B的过程中做平抛运动，竖直方向上有h－h＝ gt2，代入数据
1 2
可得t＝ s.
(2)由几何关系可知cos∠BOC＝ ，解得∠BOC＝60°，则有tan 60°＝ ，解得v＝2
1
m/s，由能量守恒定律可知，E ＝ mv 2，解得E ＝2 J.
p 1 p
(3)对整个运动过程，由功能关系可知：E ＋mgh ＝μmgL，代入数据可得μ＝0.5.
p 1
【典例2提高题对应练习】如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、
竖直圆轨道(在最低点E分别与水平轨道EO和EA相连)、高度h可调的斜轨道AB组成．
游戏时滑块从O点弹出，经过圆轨道并滑上斜轨道．全程不脱离轨道且恰好停在B端则视
为游戏成功．已知圆轨道半径r＝0.1 m，OE长L＝0.2 m，AC长L＝0.4 m，圆轨道和AE
1 2
光滑，滑块与AB、OE之间的动摩擦因数μ＝0.5.滑块质量m＝2 g且可视为质点，弹射时
从静止释放且弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能．忽略空气阻力，各部分平滑连接．求：
（1）滑块恰好能过圆轨道最高点F时的速度v 大小；
F
（2）当h＝0.1 m且游戏成功时，滑块经过E点对圆轨道的压力F 大小及弹簧的弹性势能
N
E ；
p0
（3）要使游戏成功，弹簧的弹性势能E 与高度h之间满足的关系．
p
【典例2提高题对应练习】【答案】（1）1 m/s（2）0.14 N，8.0×10－3 J
（3）E ＝2×10－3(10h＋3) J 其中0.05 m≤h≤0.2 m.
p
【解析】(1)滑块恰过F点的条件为mg＝m解得v ＝1 m/s(2)滑块从E点到B点，由动能定
F
理得－mgh－μmgL ＝0－mv 2，在E点由牛顿第二定律得F －mg＝m解得F ＝0.14 N，从
2 E N N
O点到B点E －mgh－μmg(L＋L)＝0解得E ＝8.0×10－3 J
p0 1 2 p0
(3)滑块恰能过F点的弹性势能E ＝2mgr＋μmgL ＋mv 2＝7.0×10－3 J，到B点减速到0，
p1 1 F
E －mgh －μmg(L ＋L)＝0解得h ＝0.05 m，设斜轨道的倾角为θ，若滑块能停在B点，
p1 1 1 2 1
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学科网（北京）股份有限公司则μmgcos θ＝mgsin θ，解得tan θ＝0.5，此时h ＝0.2 m，从O点到B点E ＝mgh＋
2 p
μmg(L＋L)＝2×10－3(10h＋3) J其中0.05 m≤h≤0.2 m.
1 2
考点二：物体压缩轻弹簧模型的力与能量问题
题型一：物体压轻弹簧+直线运动模型
【典例1提高题】如图所示，在地面上竖直固定了刻度尺和轻质弹簧，弹簧原长时上端与
刻度尺上的A点等高．质量m＝0.5 kg的篮球静止在弹簧正上方，其底端距 A点的高度h
1
＝1.10 m，篮球静止释放，测得第一次撞击弹簧时，弹簧的最大形变量x＝0.15 m，第一次
1
反弹至最高点，篮球底端距A点的高度h＝0.873 m，篮球多次反弹后静止在弹簧的上端，
2
此时弹簧的形变量x ＝0.01 m，弹性势能为E ＝0.025 J．若篮球运动时受到的空气阻力大
2 p
小恒定，忽略篮球与弹簧碰撞时的能量损失和篮球形变，弹簧形变在弹性限度范围内，g
取10 m/s2.求：
(1)弹簧的劲度系数；
(2)篮球在运动过程中受到的空气阻力大小；
(3)篮球在整个运动过程中通过的路程；
(4)篮球在整个运动过程中速度最大的位置．
【典例1提高题】【答案】(1)500 N/m (2)0.5 N (3)11.05 m (4)第一次下落至A点下方
0.009 m处速度最大
【解析】(1)由最后静止的位置可知kx＝mg，所以k＝500 N/m
2
(2)由动能定理可知，在篮球由静止下落到第一次返弹至最高点的过程中 mgΔh－F·L＝mv 2
f 2
－mv 2整个过程动能变化为0，重力做功mgΔh＝mg(h －h)＝1.135 J空气阻力恒定，作用
1 1 2
距离为L＝h＋h＋2x＝2.273 m，解得F≈0.5 N
1 2 1 f
(3)整个运动过程中，空气阻力一直与运动方向相反，根据动能定理有mgΔh′＋W＋W ＝
f 弹
mv ′2－mv 2，整个过程动能变化为0，重力做功W＝mgΔh′＝mg(h＋x)＝5.55 J，弹力做功
2 1 1 2
W ＝－E ＝－0.025 J，解得s＝11.05 m.
弹 p
(4)速度最大的位置是第一次下落到合力为零的位置，此时 mg＝F＋kx ，得x ＝0.009 m，
f 3 3
即球第一次下落至A点下方0.009 m处速度最大．
【典例1提高题对应练习】如图所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A
点以初速度v＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端挡板位置B点的距离AB＝4 m．当物体到达B
0
点后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高
位置为D点，D点距A点的距离AD＝3 m．挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝
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学科网（北京）股份有限公司0.6，求：(结果均保留三位有效数字)
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)弹簧的最大弹性势能E .
pm
【典例1提高题对应练习】【答案】(1)0.521 (2)24.4 J
【解析】(1)物体从A点到被弹簧弹到D点的过程中，弹簧弹性势能没有发生变化，机械能
的减少量全部用来克服摩擦力做功，即：mv 2＋mgAD·sin θ＝μmgcos θ·(AB＋2BC＋BD)，
0
代入数据解得：μ≈0.521.
(2)物体由A到C的过程中，动能减少量ΔE ＝mv 2，重力势能减少量ΔE ＝mgsin θ·AC，
k 0 p
摩擦产生的热量Q＝μmgcos θ·AC，由能量守恒定律可得弹簧的最大弹性势能为：
E ＝ΔE ＋ΔE －Q≈24.4 J.
pm k p
题型二：物体压轻弹簧+直线运动+曲线运动模型
【典例2提高题】某游乐场的游乐装置可简化为如图所示的竖直面内轨道BCDE，左侧为
半径R＝0.8 m的光滑圆弧轨道BC，轨道的上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角α
＝30°，下端点C与粗糙水平轨道CD相切，DE为倾角θ＝30°的光滑倾斜轨道，一轻质弹
簧上端固定在E点处的挡板上．现有质量为m＝1 kg的小滑块P(可视为质点)从空中的A点
以v ＝ m/s的初速度水平向左抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道
0
运动到C点之后继续沿水平轨道CD滑动，经过D点(不计经过D点时的能量损失)后沿倾
斜轨道向上运动至F点(图中未标出)，弹簧恰好压缩至最短．已知C、D之间和D、F之间
距离都为1 m，滑块与轨道CD间的动摩擦因数为μ＝0.5，重力加速度g＝10 m/s2，不计空
气阻力．求：
(1)小滑块P经过圆弧轨道上B点的速度大小；
(2)小滑块P到达圆弧轨道上的C点时对轨道压力的大小；
(3)弹簧的弹性势能的最大值；
(4)试判断滑块返回时能否从B点离开，若能，求出飞出B点的速度大小；若不能，判断滑
块最后位于何处．
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学科网（北京）股份有限公司【典例2提高题】【答案】(1)2 m/s (2)50 N (3)6 J (4)不能 离D点0.2 m(或离C点0.8
m)
【解析】(1)设滑块P经过B点的速度大小为v ，由平抛运动知识v ＝v sin 30°，得v ＝2
B 0 B B
m/s
(2)滑块P从B点到达最低点C点的过程中，由机械能守恒定律
mg(R＋Rsin 30°)＋mv 2＝mv 2，解得v ＝4 m/s，经过C点时受轨道的支持力大小F ，有
B C C N
F －mg＝m，解得F ＝50 N，由牛顿第三定律可得滑块在C点时对轨道的压力大小F ＝
N N 压
50 N
(3)设弹簧的弹性势能最大值为E ，滑块从C到F点过程中，根据动能定理有－μmgL－
p
mgLsin 30°－E ＝0－mv 2，代入数据可解得E ＝6 J
p C p
(4)设滑块返回时能上升的高度为h，根据动能定理有mgLsin 30°＋E －μmgL＝mgh
p
代入数据可解得h＝0.6 m，因为h
