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知识点 41：轻弹簧连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学和能量观点解决连接体问题的技巧：
（1）做好四个分析：受力分析、运动分析、做功分析和能量的转化分析．
（2）规律的选择：
①物体受到恒力作用发生运动状态的改变求某一时刻的力、加速度或求时间时，一般选择
动力学方法（牛顿运动定律）解题；
②当涉及功、能和位移时，若研究某一个物体时，一般用动能定理去解决问题。若研究的
对象为连接体时，一般选用功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优
先选择能量守恒定律；
（3）使用能量守恒定律解题选用表达式的技巧：
①解题时，首先确定初、末状态，然后分清有多少种形式的能在转化，再分析状态变化过
程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加。
②无外力做功的表达式：ΔE ＝ΔE ，减少的那些能量的减少量等于增加的那些能量的增
减 增
加量。E ＝E ，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
初 末
③有外力做功的表达式：W ＝ΔE，ΔE为能量的增加量。
F
考点一：轻弹簧释放物体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
（1）从动力学角度分析：
用胡克定律F＝kx结合牛顿第二定律F ＝ma分析加速度和运动过程，注意弹力是变力，
合
且注意三个位置：自然长度位置、平衡位置（a＝0，v最大）、形变量最大（伸长最长或
压缩最短）的位置。
（2）从功能关系的角度分析：
轻弹簧问题一般根据能量守恒定律或动能定理列方程分析，弹力做功与弹性势能的关系：
W ＝－ΔE ，轻弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相
弹 p
同的速度，弹性势能最大。对同一根轻弹簧而言，无论是处于伸长状态还是压缩状态，只
要在弹性限度内形变量相同，其储存的弹性势能就相同，轻弹簧先后经历两次相同的形变的
过程中，弹性势能的变化相同。
题型一：轻弹簧释放物体+直线运动模型
【典例1提高题】如图所示，固定斜面倾角为θ.一轻弹簧的自然长度与斜面长度相同，都
为L，弹簧一端固定在斜面的底端，将一个质量为m的小球放在斜面顶端与弹簧另一端接
触但不相连，用力推小球使其挤压弹簧并缓慢移到斜面的中点，松手后，小球最后落地的
速度大小为v，不计空气阻力和一切摩擦，重力加速度为g，则该过程中，人对小球做的功
W及小球被抛出后离地面的最大高度H分别为( )
A.mv2－mgLsin θ；
B.mv2；
C.mv2－mgLsin θ；
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学科网（北京）股份有限公司D.mv2－mgLsin θ；
【典例1提高题】【答案】A
【解析】对人从开始挤压弹簧到小球落地的整个过程，由动能定理得W＋mgLsin θ＝mv2
－0，则W＝mv2－mgLsin θ；设小球离开斜面时的速度为v.对小球做斜抛运动的过程，由
0
动能定理得mgLsin θ＝mv2－mv 2；从最高点到落地点的过程，由动能定理得mgH＝mv2－
0
m(vcos θ)2，联立解得：H＝.
0
【典例1提高题对应练习】 (多选)如图所示，光滑水平面OB与足够长粗糙斜面BC交于B
点．轻弹簧左端固定于竖直墙面，现将质量为m 的滑块压缩弹簧至D点，然后由静止释放，
1
滑块脱离弹簧后经B点滑上斜面，上升到最大高度，并静止在斜面上．不计滑块在B点的
机械能损失．换用相同材料质量为m 的滑块(m ＞m)压缩弹簧至同一点D后，重复上述过
2 2 1
程，下列说法正确的是( )
A．两滑块到达B点的速度相同
B．两滑块沿斜面上升的最大高度相同
C．两滑块上升到最高点过程克服重力做的功相同
D．两滑块上升到最高点过程机械能损失相同
【典例1提高题对应练习】【答案】CD
【解析】两滑块到B点的动能相同，但速度不同，故A错误；两滑块在斜面上运动时加速
度相同，由于质量不同，则在B点时的速度不同，故上升的最大高度不同，故B错误；滑
块上升到斜面最高点过程克服重力做的功为 mgh，由能量守恒定律得E ＝mgh＋μmgcos
p
θ·，则mgh＝，故两滑块上升到斜面最高点过程克服重力做的功相同，故C正确；由能量
守恒定律得E ＝μmgcos θ·＝，结合C可知D正确．
损
题型二：轻弹簧释放物体+直线运动+曲线模型
【典例2提高题】如图所示，在距水平地面高h＝1.2 m的光滑水平台面上，一个质量m＝
1
1 kg的小物块压缩弹簧后被锁定．现解除锁定，小物块与弹簧分离后以一定的水平速度 v
1
向右从A点滑离平台，并恰好从B点沿切线方向进入竖直面内的光滑圆弧轨道 BC.已知B
点距水平地面的高度h ＝0.6 m，圆弧轨道BC的圆心O与水平台面等高，C点的切线水平，
2
并与长L＝2.8 m的水平粗糙直轨道CD平滑连接，小物块恰能到达D处．重力加速度g＝
10 m/s2，空气阻力不计．求：
(1)小物块由A到B的运动时间t；
(2)解除锁定前弹簧所储存的弹性势能E ；
p
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学科网（北京）股份有限公司【典例2提高题】【答案】(1) s (2)2 J (3)0.5
【解析】(1)小物块由A到B的过程中做平抛运动，竖直方向上有h－h＝ gt2，代入数据
1 2
可得t＝ s.
(2)由几何关系可知cos∠BOC＝ ，解得∠BOC＝60°，则有tan 60°＝ ，解得v＝2
1
m/s，由能量守恒定律可知，E ＝ mv 2，解得E ＝2 J.
p 1 p
(3)对整个运动过程，由功能关系可知：E ＋mgh ＝μmgL，代入数据可得μ＝0.5.
p 1
【典例2提高题对应练习】如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、
竖直圆轨道(在最低点E分别与水平轨道EO和EA相连)、高度h可调的斜轨道AB组成．
游戏时滑块从O点弹出，经过圆轨道并滑上斜轨道．全程不脱离轨道且恰好停在B端则视
为游戏成功．已知圆轨道半径r＝0.1 m，OE长L＝0.2 m，AC长L＝0.4 m，圆轨道和AE
1 2
光滑，滑块与AB、OE之间的动摩擦因数μ＝0.5.滑块质量m＝2 g且可视为质点，弹射时
从静止释放且弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能．忽略空气阻力，各部分平滑连接．求：
（1）滑块恰好能过圆轨道最高点F时的速度v 大小；
F
（2）当h＝0.1 m且游戏成功时，滑块经过E点对圆轨道的压力F 大小及弹簧的弹性势能
N
E ；
p0
（3）要使游戏成功，弹簧的弹性势能E 与高度h之间满足的关系．
p
【典例2提高题对应练习】【答案】（1）1 m/s（2）0.14 N，8.0×10－3 J
（3）E ＝2×10－3(10h＋3) J 其中0.05 m≤h≤0.2 m.
p
【解析】(1)滑块恰过F点的条件为mg＝m解得v ＝1 m/s(2)滑块从E点到B点，由动能定
F
理得－mgh－μmgL ＝0－mv 2，在E点由牛顿第二定律得F －mg＝m解得F ＝0.14 N，从
2 E N N
O点到B点E －mgh－μmg(L＋L)＝0解得E ＝8.0×10－3 J
p0 1 2 p0
(3)滑块恰能过F点的弹性势能E ＝2mgr＋μmgL ＋mv 2＝7.0×10－3 J，到B点减速到0，
p1 1 F
E －mgh －μmg(L ＋L)＝0解得h ＝0.05 m，设斜轨道的倾角为θ，若滑块能停在B点，
p1 1 1 2 1
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学科网（北京）股份有限公司则μmgcos θ＝mgsin θ，解得tan θ＝0.5，此时h ＝0.2 m，从O点到B点E ＝mgh＋
2 p
μmg(L＋L)＝2×10－3(10h＋3) J其中0.05 m≤h≤0.2 m.
1 2
考点二：物体压缩轻弹簧模型的力与能量问题
题型一：物体压轻弹簧+直线运动模型
【典例1提高题】如图所示，在地面上竖直固定了刻度尺和轻质弹簧，弹簧原长时上端与
刻度尺上的A点等高．质量m＝0.5 kg的篮球静止在弹簧正上方，其底端距 A点的高度h
1
＝1.10 m，篮球静止释放，测得第一次撞击弹簧时，弹簧的最大形变量x＝0.15 m，第一次
1
反弹至最高点，篮球底端距A点的高度h＝0.873 m，篮球多次反弹后静止在弹簧的上端，
2
此时弹簧的形变量x ＝0.01 m，弹性势能为E ＝0.025 J．若篮球运动时受到的空气阻力大
2 p
小恒定，忽略篮球与弹簧碰撞时的能量损失和篮球形变，弹簧形变在弹性限度范围内，g
取10 m/s2.求：
(1)弹簧的劲度系数；
(2)篮球在运动过程中受到的空气阻力大小；
(3)篮球在整个运动过程中通过的路程；
(4)篮球在整个运动过程中速度最大的位置．
【典例1提高题】【答案】(1)500 N/m (2)0.5 N (3)11.05 m (4)第一次下落至A点下方
0.009 m处速度最大
【解析】(1)由最后静止的位置可知kx＝mg，所以k＝500 N/m
2
(2)由动能定理可知，在篮球由静止下落到第一次返弹至最高点的过程中 mgΔh－F·L＝mv 2
f 2
－mv 2整个过程动能变化为0，重力做功mgΔh＝mg(h －h)＝1.135 J空气阻力恒定，作用
1 1 2
距离为L＝h＋h＋2x＝2.273 m，解得F≈0.5 N
1 2 1 f
(3)整个运动过程中，空气阻力一直与运动方向相反，根据动能定理有mgΔh′＋W＋W ＝
f 弹
mv ′2－mv 2，整个过程动能变化为0，重力做功W＝mgΔh′＝mg(h＋x)＝5.55 J，弹力做功
2 1 1 2
W ＝－E ＝－0.025 J，解得s＝11.05 m.
弹 p
(4)速度最大的位置是第一次下落到合力为零的位置，此时 mg＝F＋kx ，得x ＝0.009 m，
f 3 3
即球第一次下落至A点下方0.009 m处速度最大．
【典例1提高题对应练习】如图所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A
点以初速度v＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端挡板位置B点的距离AB＝4 m．当物体到达B
0
点后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高
位置为D点，D点距A点的距离AD＝3 m．挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝
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学科网（北京）股份有限公司0.6，求：(结果均保留三位有效数字)
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)弹簧的最大弹性势能E .
pm
【典例1提高题对应练习】【答案】(1)0.521 (2)24.4 J
【解析】(1)物体从A点到被弹簧弹到D点的过程中，弹簧弹性势能没有发生变化，机械能
的减少量全部用来克服摩擦力做功，即：mv 2＋mgAD·sin θ＝μmgcos θ·(AB＋2BC＋BD)，
0
代入数据解得：μ≈0.521.
(2)物体由A到C的过程中，动能减少量ΔE ＝mv 2，重力势能减少量ΔE ＝mgsin θ·AC，
k 0 p
摩擦产生的热量Q＝μmgcos θ·AC，由能量守恒定律可得弹簧的最大弹性势能为：
E ＝ΔE ＋ΔE －Q≈24.4 J.
pm k p
题型二：物体压轻弹簧+直线运动+曲线运动模型
【典例2提高题】某游乐场的游乐装置可简化为如图所示的竖直面内轨道BCDE，左侧为
半径R＝0.8 m的光滑圆弧轨道BC，轨道的上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角α
＝30°，下端点C与粗糙水平轨道CD相切，DE为倾角θ＝30°的光滑倾斜轨道，一轻质弹
簧上端固定在E点处的挡板上．现有质量为m＝1 kg的小滑块P(可视为质点)从空中的A点
以v ＝ m/s的初速度水平向左抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道
0
运动到C点之后继续沿水平轨道CD滑动，经过D点(不计经过D点时的能量损失)后沿倾
斜轨道向上运动至F点(图中未标出)，弹簧恰好压缩至最短．已知C、D之间和D、F之间
距离都为1 m，滑块与轨道CD间的动摩擦因数为μ＝0.5，重力加速度g＝10 m/s2，不计空
气阻力．求：
(1)小滑块P经过圆弧轨道上B点的速度大小；
(2)小滑块P到达圆弧轨道上的C点时对轨道压力的大小；
(3)弹簧的弹性势能的最大值；
(4)试判断滑块返回时能否从B点离开，若能，求出飞出B点的速度大小；若不能，判断滑
块最后位于何处．
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学科网（北京）股份有限公司【典例2提高题】【答案】(1)2 m/s (2)50 N (3)6 J (4)不能 离D点0.2 m(或离C点0.8
m)
【解析】(1)设滑块P经过B点的速度大小为v ，由平抛运动知识v ＝v sin 30°，得v ＝2
B 0 B B
m/s
(2)滑块P从B点到达最低点C点的过程中，由机械能守恒定律
mg(R＋Rsin 30°)＋mv 2＝mv 2，解得v ＝4 m/s，经过C点时受轨道的支持力大小F ，有
B C C N
F －mg＝m，解得F ＝50 N，由牛顿第三定律可得滑块在C点时对轨道的压力大小F ＝
N N 压
50 N
(3)设弹簧的弹性势能最大值为E ，滑块从C到F点过程中，根据动能定理有－μmgL－
p
mgLsin 30°－E ＝0－mv 2，代入数据可解得E ＝6 J
p C p
(4)设滑块返回时能上升的高度为h，根据动能定理有mgLsin 30°＋E －μmgL＝mgh
p
代入数据可解得h＝0.6 m，因为h<R，故无法从B点离开，又mv 2＝μmgx，代入数据可解
C
得x＝3.2 m，滑块最后静止时离D点0.2 m(或离C点0.8 m)．
【典例2提高题对应练习】如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面AB与水平面BC平滑连
接于B点，BC右端连接内、外壁光滑、半径r＝0.2 m的四分之一细圆管CD，管口D端正
下方直立一根劲度系数为k＝100 N/m的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口D端平
齐．一个质量为1.0 kg的小滑块(可视为质点)放在曲面AB上，现从距BC的高度为h＝0.6
m处由静止释放小滑块，它与BC间的动摩擦因数μ＝0.5，小滑块进入管口C端时，它对
上管壁有F ＝2.5mg的相互作用力，通过CD后，在压缩弹簧过程中小滑块速度最大时弹
N
簧的弹性势能为E ＝0.5 J．取重力加速度g＝10 m/s2.求：
p
（1）小滑块在C处受到的向心力大小；
（2）在压缩弹簧过程中小滑块的最大动能E ；
km
（3）小滑块最终停止的位置．
【典例2提高题对应练习】【答案】(1)35 N (2)6 J (3)距B点0.2 m
【解析】(1)小滑块进入管口C端时它与圆管外管壁有大小为F ＝2.5mg的相互作用力，故
N
小滑块在C点受到的向心力大小为F ＝2.5mg＋mg＝35 N.
向
(2)在压缩弹簧过程中小滑块速度最大时，所受合力为零．设此时小滑块离 D端的距离为
x，则有kx＝mg解得x＝＝0.1 m，在C点合外力提供向心力，有F ＝m得
0 0 0 向
v＝7 m2/s2，小滑块从C点运动到速度最大位置的过程中，由机械能守恒定律得mg(r＋x)
0
＋mv＝E ＋E 联立解得E ＝mg(r＋x)＋mv－E ＝6 J.
km p km 0 p
(3)小滑块从A点运动到C点过程，由动能定理得mgh－μmgs＝mv
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学科网（北京）股份有限公司解得B、C间的距离s＝0.5 m，小滑块与弹簧作用后返回C处动能不变，小滑块的动能最终
消耗在与BC水平面相互作用的过程中，设之后小滑块在BC上的运动路程为s′，
由动能定理有：－μmgs′＝0－mv，解得s′＝0.7 m，故最终小滑块在距离B点为(0.7－0.5)
m＝0.2 m处停下．
考点三：轻弹簧连接体模型的力与能量问题
题型一：轻弹簧连接体在水平面运动模型
【典例1提高题】（多选）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为
弹簧在原长时物块的位置。物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最
远到达B点。在从A到B的过程中，物块( )
A．加速度先减小后增大 B．经过O点时的速度最大
C．所受弹簧弹力始终做正功 D．所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功
【典例1提高题】【答案】AD
【解析】对物块受力分析，当弹簧处于压缩状态时，由牛顿第二定律可得kx－f＝ma，x减
小，a减小，当a＝0时，物块速度最大，此时，物块在O点左侧，选项B错误；从加速度
a＝0处到O点过程，由牛顿第二定律得f－kx＝ma，x减小，a增大，当弹簧处于伸长状态
时，由牛顿第二定律可得kx＋f＝ma，x增大，a继续增大，可知物块的加速度先减小后增
大，选项A正确；物块所受弹簧的弹力对物块先做正功，后做负功，选项C错误；从A到
B的过程，由动能定理可得W －W＝0，选项D正确。
弹 f
题型二：轻弹簧连接体在杆上运动模型
【典例2提高题】(多选)如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔
的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小
球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到
最低点D点，OB垂直于杆，则下列结论正确的是( )
A．小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g
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学科网（北京）股份有限公司B．小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大
C．小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大
D．小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大
【典例2提高题】【答案】AD
【解析】小球从B点运动到C点的过程中，弹簧处于压缩状态，小球竖直方向受到重力和
弹簧压力的竖直分力，所以合力大于重力，加速度大于重力加速度g，因此，其最大加速
度一定大于重力加速度g，故A正确；小球位于图中的C点时，弹簧处于原长，则小球从
B点运动到C点的过程，弹簧的弹性势能减小，小球的重力势能也减小，则小球的重力势
能和弹簧的弹性势能之和一定减小，故B错误；在C点小球的合力等于重力，小球要继续
向下加速，小球从C点运动到D点的过程中，弹簧的拉力沿杆向上的分力先小于重力，后
大于重力，合力先向下后向上，小球先加速后减速，所以在CD间的某点速度最大，重力
对其做功的功率最大，故C错误；小球从A点运动到D点的过程中，只有重力和弹簧的弹
力做功，系统的机械能守恒，即小球的重力势能、动能和弹簧的弹性势能之和保持不变，
在D点，小球的重力势能和动能都最小，则弹簧的弹性势能最大，故D正确。
【典例2提高题对应练习】（多选）如图所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固
定于O点，另一端与小球相连．现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N
点．已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<.在小球从M
点运动到N点的过程中( )
A．弹力对小球先做正功后做负功
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
【典例2提高题对应练习】【答案】BCD
【解析】因M和N两点处弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<，知小球在M
处时弹簧处于压缩状态，在N处时弹簧处于伸长状态，则弹簧的弹力对小球先做负功后做
正功再做负功，选项A错误；当弹簧水平时，小球在竖直方向受到的力只有重力，加速度
为g；当弹簧处于原长位置时，小球只受重力，加速度为 g，则有两个时刻小球的加速度大
小等于g，选项B正确；弹簧长度最短时，即弹簧水平，弹力方向与速度方向垂直，弹力
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学科网（北京）股份有限公司对小球做功的功率为零，选项C正确；由动能定理得，W ＋W ＝ΔE ，因小球在M和N
F G k
两点处弹簧对小球的弹力大小相等，弹性势能相等，则由弹力做功特点知W ＝0，即W ＝
F G
ΔE ，选项D正确．
k
考点四：轻弹簧连接体+组合模型的力与能量问题
题型一：轻弹簧连接体+直接接触体组合模型
【典例1提高题】如图所示，倾角37°的斜面上，轻弹簧一端固定在A点，自然状态时另
一端位于B点．斜面上方有一半径R＝1 m、圆心角等于143°的竖直圆弧形光滑轨道与斜面
相切于D处，圆弧轨道的最高点为M且切线水平．用质量为m＝6.3 kg的物块将弹簧缓慢
1
压缩至C点，静止释放后物块到B点速度恰好减小为0.用同种材料、质量为m ＝0.3 kg的
2
另一小物块将弹簧缓慢压缩到C点后由静止释放，物块经过B点后的位移与时间的关系为
x＝8t－4t2(x单位：m；t单位：s)，若物块经过D点后恰能到达M点，重力加速度g＝10
m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)物块与斜面间的动摩擦因数；
(2)BD间的距离；
(3)弹簧被压缩至C点的弹性势能．
【典例1提高题】【答案】(1) 0.25 (2) m (3)10.08 J
【解析】(1)由物块m 经过B点后的位移与时间的关系为x＝8t－4t2，可知，物块m 经过B
2 2
点时的速度为v ＝8 m/s，从B到D的过程中加速度大小为a＝8 m/s2，根据牛顿第二定律，
B
有mgsin 37°＋μm gcos 37°＝ma，解得μ＝0.25
2 2 2
(2)设物块m 经过M点时的速度大小为v ，由牛顿第二定律得mg＝，物块m 从D到M的
2 M 2 2
过程中，根据机械能守恒定律得mv 2＝mgR(1＋cos 37°)＋mv 2，物块从B到D的过程中，
2 D 2 2 M
有v 2－v 2＝－2al ，解得l ＝ m
D B BD BD
(3)物块m 从C点到B点，由功能关系得E ＝(mgsin θ＋μm gcos θ)l ，物块m 从C点到
1 p 1 1 BC 2
B点，由功能关系得E ＝(mgsin θ＋μm gcos θ)l ＋mv 2 ，解得E ＝10.08 J.
p 2 2 BC 2 B p
【典例1提高题对应练习】如下图所示，一竖直轻弹簧上有两个物体A和 ，质量均为 ，
其中 与弹簧上端固定连接，弹簧下端固定在水平地面上， 叠放在A上面，轻弹簧的劲
度系数为 ，系统开始处于静止状态， 点为弹簧的原长位置．现对 施加一个竖直向上
的力使其向上做加速度为 的匀加速直线运动，两个物体可视为质点，重力加速度为 ，
求：
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学科网（北京）股份有限公司（1）在 脱离A之前拉力 与 位移关系式；
（2）从 开始运动到 分开的时间；
（3）若 做匀加速直线运动的加速度大小可以变化，则当加速度 为多少时，从 开始运
动到 分开的过程中拉力对 做功有最大值，并计算这个功（用 ， ， 表示）。
【典例1提高题对应练习】【答案】（1） ；（2） ；（3）
，
【解析】（1）由于两个物块开始处于静止状态，设弹簧的压缩量为 ，则由胡克定律得
，设某一时间内A的位移为 ，竖直拉力为 ，把A和 作为一个整体，由牛顿
第二定律得 ，联立可得
（2）设两个物体恰好分开时，A的位移为 ，则有A与 之间的相互作用力为零，对于A
物体，由牛顿第二定律得， ，联立得 ，设运动时间为 ，
则有 ，联立得
（3）由于拉力 与A的位移呈线性变化，拉力的最大值和最小值分别为 ，
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学科网（北京）股份有限公司，则拉力 做功为 ，联立得 ，由数
学知识可知 ，则有 ，当
时，拉力的功有最大值，则有 ，拉力的功有最大值为
题型二：轻弹簧连接体+轻绳连接体组合模型
【典例2提高题】(多选)如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固
定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在
水平地面上，现用手控制住A，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、
右侧细线与斜面平行，已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线
与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。释放A后，A沿斜面下滑至速度
最大时C恰好离开地面。下列说法正确的是( )
A.斜面倾角α＝30°
B．A获得的最大速度为2g
C．C刚离开地面时，B的加速度最大
D．从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球组成的系统机械能守恒
【典例2提高题】【答案】AB
【解析】C球刚离开地面时，弹簧被拉长，对C有kx ＝mg，此时A获得最大速度，而
C
A、B的速度大小始终相等，故此时A、B加速度均为零(最小值)，对B有T－mg－kx ＝
C
0，对A有4mg sin α－T＝0，联立解得sin α＝0.5，则α＝30°，选项A正确，C错误；开
始时弹簧被压缩，对B有kx ＝mg，又kx ＝mg，故当C刚离开地面时，B上升的距离以
B C
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学科网（北京）股份有限公司及A沿斜面下滑的距离均为h＝x ＋x ，由于开始时和C刚离开地面时弹簧的弹性势能相
C B
等，故以A、B及弹簧组成的系统为研究对象，由机械能守恒定律得4mg·h sin α－mgh＝
(4m＋m)v 2，联立解得v ＝2g ，选项B正确；从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B
m m
两小球以及弹簧构成的系统机械能守恒，但A、B两小球组成的系统机械能不守恒，选项
D错误。
【典例2提高题对应练习】如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A与斜面之间的动摩
擦因数μ＝，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点，用一根不可伸
长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子与斜面平行，A的质量为
2m＝4 kg，B的质量为m＝2 kg，初始时物体A到C点的距离为L＝1 m，现给A、B一初
速度v＝3 m/s，使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰
0
好能弹到C点．已知重力加速度取g＝10 m/s2，不计空气阻力，整个过程中轻绳始终处于
伸直状态，求此过程中：
(1)物体A向下运动刚到达C点时的速度大小；
(2)弹簧的最大压缩量；
(3)弹簧中的最大弹性势能．
【典例2提高题对应练习】【答案】(1)2 m/s (2)0.4 m (3)6 J
【解析】(1)物体A沿斜面向下运动刚到C点的过程中，对A、B组成的系统应用能量守恒
定律可得2mgLsin θ＋·3mv＝mgL＋μ·2mgcos θ·L＋·3mv2，解得v＝2 m/s.
(2)在物体A由C点将弹簧压缩到最大压缩量，又返回到C点的过程中，A、B组成的系统
动能的减少量等于因摩擦产生的热量，即·3mv2－0＝μ·2mgcos θ·2x，其中x为弹簧的最大
压缩量，解得x＝0.4 m.
(3)设弹簧的最大弹性势能为E ，物体A由C点沿斜面向下运动到最低点的过程中，对
pm
A、B组成的系统，由能量守恒定律可得·3mv2＋2mgxsin θ＝mgx＋μ·2mgcos θ·x＋E ，解
pm
得E ＝6 J.
pm
题型三：轻弹簧连接体+轻杆连接体组合模型
【典例3提高题】如图所示，有质量为2m、m的小滑块P、Q，P套在固定竖直杆上，Q
放在水平地面上。P、Q间通过铰链用长为L的刚性轻杆连接，一轻弹簧左端与Q相连，
右端固定在竖直杆上，弹簧水平，α＝30°时，弹簧处于原长。当α＝30°时，P由静止释放，
下降到最低点时α变为60°，整个运动过程中，P、Q始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性
限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则P下降过程中( )
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学科网（北京）股份有限公司A．P、Q组成的系统机械能守恒
B．当α＝45°时，P、Q的速度相同
C．弹簧弹性势能最大值为(－1)mgL
D．P下降过程中动能达到最大前，Q受到地面的支持力小于3mg
【典例3提高题】【答案】CD
【解析】对于P、Q组成的系统，由于弹簧对Q要做功，所以系统的机械能不守恒。但对
P、Q、弹簧组成的系统，只有重力或弹簧弹力做功，系统的机械能守恒，故A错误；当α
＝45°时，根据P、Q沿轻杆方向的分速度相等得v cos 45°＝v cos 45°，可得v ＝v ，
Q P P Q
但速度方向不同，所以P、Q的速度不同，故B错误；根据系统机械能守恒可得：E ＝
p
2mgL(cos 30°－cos 60°)，弹性势能的最大值为E ＝(－1)mgL，故C正确；P下降过程中
p
动能达到最大前，P加速下降，对P、Q整体，在竖直方向上根据牛顿第二定律有3mg－N
＝2ma，则有N<3mg，故D正确。
【典例3提高题对应练习】(多选)如图所示，有质量分别为3m、m的小滑块P、Q，P套
在固定竖直杆上，Q放在水平地面上．P、Q间通过铰链用长为L的刚性轻杆连接，一轻弹
簧右端与Q相连，左端固定在竖直挡板上，弹簧水平，α＝30°时，弹簧处于原长．当α
＝30°时，P由静止释放，下降到最低点时α变为60°，整个运动过程中，P、Q始终在
同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为 g.则P下降过程中(
)
A. P、Q和弹簧组成的系统机械能守恒
B. 当α＝45°时，P、Q的速度大小相等
C. 弹簧弹性势能的最大值为 mgL
D. P下降过程中动能达到最大时，Q受到地面的支持力等于4mg
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学科网（北京）股份有限公司【典例3提高题对应练习】【答案】ABD
【解析】由于忽略一切摩擦，所以P、Q和弹簧组成的系统机械能守恒，故A选项正确；
当α＝45°时，分别将P、Q的速度进行分解，由于沿杆速度大小相等，可得P、Q的速度
大小相等，故B选项正确；当α＝60°时，P下降到最低点，此时的弹簧弹性势能最大，根
据机械能守恒可得E ＝3mg( － )，故C选项错误；当P速度最大时，P的加速度为
弹
0，在竖直方向上轻杆对P向上的分力大小为3mg，则轻杆对Q的竖直向下的分力也为
3mg，可得Q受到地面的支持力等于4mg，故D选项正确．
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