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知识点 41：轻弹簧连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学和能量观点解决连接体问题的技巧：
（1）做好四个分析：受力分析、运动分析、做功分析和能量的转化分析．
（2）规律的选择：
①物体受到恒力作用发生运动状态的改变求某一时刻的力、加速度或求时间时，一般选择
动力学方法（牛顿运动定律）解题；
②当涉及功、能和位移时，若研究某一个物体时，一般用动能定理去解决问题。若研究的
对象为连接体时，一般选用功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优
先选择能量守恒定律；
（3）使用能量守恒定律解题选用表达式的技巧：
①解题时，首先确定初、末状态，然后分清有多少种形式的能在转化，再分析状态变化过
程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加。
②无外力做功的表达式：ΔE ＝ΔE ，减少的那些能量的减少量等于增加的那些能量的增
减 增
加量。E ＝E ，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
初 末
③有外力做功的表达式：W ＝ΔE，ΔE为能量的增加量。
F
考点一：轻弹簧释放物体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
（1）从动力学角度分析：
用胡克定律F＝kx结合牛顿第二定律F ＝ma分析加速度和运动过程，注意弹力是变力，
合
且注意三个位置：自然长度位置、平衡位置（a＝0，v最大）、形变量最大（伸长最长或
压缩最短）的位置。
（2）从功能关系的角度分析：
轻弹簧问题一般根据能量守恒定律或动能定理列方程分析，弹力做功与弹性势能的关系：
W ＝－ΔE ，轻弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相
弹 p
同的速度，弹性势能最大。对同一根轻弹簧而言，无论是处于伸长状态还是压缩状态，只
要在弹性限度内形变量相同，其储存的弹性势能就相同，轻弹簧先后经历两次相同的形变的
过程中，弹性势能的变化相同。
题型一：轻弹簧释放物体+直线运动模型
【典例1提高题】如图所示，固定斜面倾角为θ.一轻弹簧的自然长度与斜面长度相同，都
为L，弹簧一端固定在斜面的底端，将一个质量为m的小球放在斜面顶端与弹簧另一端接
触但不相连，用力推小球使其挤压弹簧并缓慢移到斜面的中点，松手后，小球最后落地的
速度大小为v，不计空气阻力和一切摩擦，重力加速度为g，则该过程中，人对小球做的功
W及小球被抛出后离地面的最大高度H分别为( )
A.mv2－mgLsin θ；
B.mv2；
C.mv2－mgLsin θ；
1
学科网（北京）股份有限公司D.mv2－mgLsin θ；
【典例1提高题对应练习】 (多选)如图所示，光滑水平面OB与足够长粗糙斜面BC交于B
点．轻弹簧左端固定于竖直墙面，现将质量为m 的滑块压缩弹簧至D点，然后由静止释放，
1
滑块脱离弹簧后经B点滑上斜面，上升到最大高度，并静止在斜面上．不计滑块在B点的
机械能损失．换用相同材料质量为m 的滑块(m ＞m)压缩弹簧至同一点D后，重复上述过
2 2 1
程，下列说法正确的是( )
A．两滑块到达B点的速度相同
B．两滑块沿斜面上升的最大高度相同
C．两滑块上升到最高点过程克服重力做的功相同
D．两滑块上升到最高点过程机械能损失相同
题型二：轻弹簧释放物体+直线运动+曲线模型
【典例2提高题】如图所示，在距水平地面高h＝1.2 m的光滑水平台面上，一个质量m＝
1
1 kg的小物块压缩弹簧后被锁定．现解除锁定，小物块与弹簧分离后以一定的水平速度 v
1
向右从A点滑离平台，并恰好从B点沿切线方向进入竖直面内的光滑圆弧轨道 BC.已知B
点距水平地面的高度h ＝0.6 m，圆弧轨道BC的圆心O与水平台面等高，C点的切线水平，
2
并与长L＝2.8 m的水平粗糙直轨道CD平滑连接，小物块恰能到达D处．重力加速度g＝
10 m/s2，空气阻力不计．求：
(1)小物块由A到B的运动时间t；
(2)解除锁定前弹簧所储存的弹性势能E ；
p
【典例2提高题对应练习】如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、
竖直圆轨道(在最低点E分别与水平轨道EO和EA相连)、高度h可调的斜轨道AB组成．
游戏时滑块从O点弹出，经过圆轨道并滑上斜轨道．全程不脱离轨道且恰好停在B端则视
为游戏成功．已知圆轨道半径r＝0.1 m，OE长L＝0.2 m，AC长L＝0.4 m，圆轨道和AE
1 2
光滑，滑块与AB、OE之间的动摩擦因数μ＝0.5.滑块质量m＝2 g且可视为质点，弹射时
从静止释放且弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能．忽略空气阻力，各部分平滑连接．求：
（1）滑块恰好能过圆轨道最高点F时的速度v 大小；
F
（2）当h＝0.1 m且游戏成功时，滑块经过E点对圆轨道的压力F 大小及弹簧的弹性势能
N
2
学科网（北京）股份有限公司E ；
p0
（3）要使游戏成功，弹簧的弹性势能E 与高度h之间满足的关系．
p
考点二：物体压缩轻弹簧模型的力与能量问题
题型一：物体压轻弹簧+直线运动模型
【典例1提高题】如图所示，在地面上竖直固定了刻度尺和轻质弹簧，弹簧原长时上端与
刻度尺上的A点等高．质量m＝0.5 kg的篮球静止在弹簧正上方，其底端距 A点的高度h
1
＝1.10 m，篮球静止释放，测得第一次撞击弹簧时，弹簧的最大形变量x＝0.15 m，第一次
1
反弹至最高点，篮球底端距A点的高度h＝0.873 m，篮球多次反弹后静止在弹簧的上端，
2
此时弹簧的形变量x ＝0.01 m，弹性势能为E ＝0.025 J．若篮球运动时受到的空气阻力大
2 p
小恒定，忽略篮球与弹簧碰撞时的能量损失和篮球形变，弹簧形变在弹性限度范围内，g
取10 m/s2.求：
(1)弹簧的劲度系数；
(2)篮球在运动过程中受到的空气阻力大小；
(3)篮球在整个运动过程中通过的路程；
(4)篮球在整个运动过程中速度最大的位置．
【典例1提高题对应练习】如图所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A
点以初速度v＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端挡板位置B点的距离AB＝4 m．当物体到达B
0
点后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高
位置为D点，D点距A点的距离AD＝3 m．挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝
0.6，求：(结果均保留三位有效数字)
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)弹簧的最大弹性势能E .
pm
3
学科网（北京）股份有限公司题型二：物体压轻弹簧+直线运动+曲线运动模型
【典例2提高题】某游乐场的游乐装置可简化为如图所示的竖直面内轨道BCDE，左侧为
半径R＝0.8 m的光滑圆弧轨道BC，轨道的上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角α
＝30°，下端点C与粗糙水平轨道CD相切，DE为倾角θ＝30°的光滑倾斜轨道，一轻质弹
簧上端固定在E点处的挡板上．现有质量为m＝1 kg的小滑块P(可视为质点)从空中的A点
以v ＝ m/s的初速度水平向左抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道
0
运动到C点之后继续沿水平轨道CD滑动，经过D点(不计经过D点时的能量损失)后沿倾
斜轨道向上运动至F点(图中未标出)，弹簧恰好压缩至最短．已知C、D之间和D、F之间
距离都为1 m，滑块与轨道CD间的动摩擦因数为μ＝0.5，重力加速度g＝10 m/s2，不计空
气阻力．求：
(1)小滑块P经过圆弧轨道上B点的速度大小；
(2)小滑块P到达圆弧轨道上的C点时对轨道压力的大小；
(3)弹簧的弹性势能的最大值；
(4)试判断滑块返回时能否从B点离开，若能，求出飞出B点的速度大小；若不能，判断滑
块最后位于何处．
【典例2提高题对应练习】如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面AB与水平面BC平滑连
接于B点，BC右端连接内、外壁光滑、半径r＝0.2 m的四分之一细圆管CD，管口D端正
下方直立一根劲度系数为k＝100 N/m的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口D端平
齐．一个质量为1.0 kg的小滑块(可视为质点)放在曲面AB上，现从距BC的高度为h＝0.6
m处由静止释放小滑块，它与BC间的动摩擦因数μ＝0.5，小滑块进入管口C端时，它对
上管壁有F ＝2.5mg的相互作用力，通过CD后，在压缩弹簧过程中小滑块速度最大时弹
N
簧的弹性势能为E ＝0.5 J．取重力加速度g＝10 m/s2.求：
p
（1）小滑块在C处受到的向心力大小；
（2）在压缩弹簧过程中小滑块的最大动能E ；
km
（3）小滑块最终停止的位置．
4
学科网（北京）股份有限公司考点三：轻弹簧连接体模型的力与能量问题
题型一：轻弹簧连接体在水平面运动模型
【典例1提高题】（多选）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为
弹簧在原长时物块的位置。物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最
远到达B点。在从A到B的过程中，物块( )
A．加速度先减小后增大 B．经过O点时的速度最大
C．所受弹簧弹力始终做正功 D．所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功
题型二：轻弹簧连接体在杆上运动模型
【典例2提高题】(多选)如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔
的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小
球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到
最低点D点，OB垂直于杆，则下列结论正确的是( )
A．小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g
B．小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大
C．小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大
D．小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大
【典例2提高题对应练习】（多选）如图所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固
定于O点，另一端与小球相连．现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N
5
学科网（北京）股份有限公司点．已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<.在小球从M
点运动到N点的过程中( )
A．弹力对小球先做正功后做负功
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
考点四：轻弹簧连接体+组合模型的力与能量问题
题型一：轻弹簧连接体+直接接触体组合模型
【典例1提高题】如图所示，倾角37°的斜面上，轻弹簧一端固定在A点，自然状态时另
一端位于B点．斜面上方有一半径R＝1 m、圆心角等于143°的竖直圆弧形光滑轨道与斜面
相切于D处，圆弧轨道的最高点为M且切线水平．用质量为m＝6.3 kg的物块将弹簧缓慢
1
压缩至C点，静止释放后物块到B点速度恰好减小为0.用同种材料、质量为m ＝0.3 kg的
2
另一小物块将弹簧缓慢压缩到C点后由静止释放，物块经过B点后的位移与时间的关系为
x＝8t－4t2(x单位：m；t单位：s)，若物块经过D点后恰能到达M点，重力加速度g＝10
m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)物块与斜面间的动摩擦因数；
(2)BD间的距离；
(3)弹簧被压缩至C点的弹性势能．
【典例1提高题对应练习】如下图所示，一竖直轻弹簧上有两个物体A和 ，质量均为 ，
其中 与弹簧上端固定连接，弹簧下端固定在水平地面上， 叠放在A上面，轻弹簧的劲
度系数为 ，系统开始处于静止状态， 点为弹簧的原长位置．现对 施加一个竖直向上
的力使其向上做加速度为 的匀加速直线运动，两个物体可视为质点，重力加速度为 ，
求：
6
学科网（北京）股份有限公司（1）在 脱离A之前拉力 与 位移关系式；
（2）从 开始运动到 分开的时间；
（3）若 做匀加速直线运动的加速度大小可以变化，则当加速度 为多少时，从 开始运
动到 分开的过程中拉力对 做功有最大值，并计算这个功（用 ， ， 表示）。
题型二：轻弹簧连接体+轻绳连接体组合模型
【典例2提高题】(多选)如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固
定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在
水平地面上，现用手控制住A，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、
右侧细线与斜面平行，已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线
与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。释放A后，A沿斜面下滑至速度
最大时C恰好离开地面。下列说法正确的是( )
A.斜面倾角α＝30°
B．A获得的最大速度为2g
C．C刚离开地面时，B的加速度最大
D．从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球组成的系统机械能守恒
【典例2提高题对应练习】如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A与斜面之间的动摩
擦因数μ＝，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点，用一根不可伸
长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子与斜面平行，A的质量为
2m＝4 kg，B的质量为m＝2 kg，初始时物体A到C点的距离为L＝1 m，现给A、B一初
速度v＝3 m/s，使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰
0
好能弹到C点．已知重力加速度取g＝10 m/s2，不计空气阻力，整个过程中轻绳始终处于
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学科网（北京）股份有限公司伸直状态，求此过程中：
(1)物体A向下运动刚到达C点时的速度大小；
(2)弹簧的最大压缩量；
(3)弹簧中的最大弹性势能．
题型三：轻弹簧连接体+轻杆连接体组合模型
【典例3提高题】如图所示，有质量为2m、m的小滑块P、Q，P套在固定竖直杆上，Q
放在水平地面上。P、Q间通过铰链用长为L的刚性轻杆连接，一轻弹簧左端与Q相连，
右端固定在竖直杆上，弹簧水平，α＝30°时，弹簧处于原长。当α＝30°时，P由静止释放，
下降到最低点时α变为60°，整个运动过程中，P、Q始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性
限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则P下降过程中( )
A．P、Q组成的系统机械能守恒
B．当α＝45°时，P、Q的速度相同
C．弹簧弹性势能最大值为(－1)mgL
D．P下降过程中动能达到最大前，Q受到地面的支持力小于3mg
【典例3提高题对应练习】(多选)如图所示，有质量分别为3m、m的小滑块P、Q，P套
在固定竖直杆上，Q放在水平地面上．P、Q间通过铰链用长为L的刚性轻杆连接，一轻弹
簧右端与Q相连，左端固定在竖直挡板上，弹簧水平，α＝30°时，弹簧处于原长．当α
＝30°时，P由静止释放，下降到最低点时α变为60°，整个运动过程中，P、Q始终在
同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为 g.则P下降过程中(
)
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学科网（北京）股份有限公司A. P、Q和弹簧组成的系统机械能守恒
B. 当α＝45°时，P、Q的速度大小相等
C. 弹簧弹性势能的最大值为 mgL
D. P下降过程中动能达到最大时，Q受到地面的支持力等于4mg
9
学科网（北京）股份有限公司
