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考向 46 随机事件的概率
1．（2020·海南·高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%
的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例
是（ ）
A．62% B．56%
C．46% D．42%
【答案】C
【分析】
记“该中学学生喜欢足球”为事件 ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 ，则“该中学学生喜欢足球或游
泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，然后根据积事件的概率公式
可得结果.
【详解】
记“该中学学生喜欢足球”为事件 ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 ，则“该中学学生喜欢足球或游
泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，
则 ， ， ，
所以
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.
2．（2020·天津·高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不
影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
【答案】
【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的
概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.
【详解】
甲、乙两球落入盒子的概率分别为 ，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为 ，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .
故答案为： ； .
【点睛】
本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.
1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；
(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
2．判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有
且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
3.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映
随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
4．利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常
数，这个常数就是概率．
5.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．
6．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥
的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由 P(A)＝1－P(A)求解．当题目涉
及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法．
7.概率的一般加法公式与互斥事件的概率加法公式在限制条件上的区别：在公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)中，
事件A，B是互斥事件；在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，事件A，B可以是互斥事件，也可以不
是互斥事件.
8.应用概率的一般加法公式解决问题的关键在于理解两个事件A，B的交事件A∩B的含义，准确求出其概率.
1.概率与频率
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f(A)会逐渐稳定于事
n
件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率f(A)估计概率P(A).
n
2.事件的运算
定义 表示法 图示
事件A与事件B至少有一个
发生，称这个事件为事件A
并事件 A ∪ B(或A＋B)
与事件B的并事件(或和事
件)
事件A与事件B同时发生，
交事件 称这样一个事件为事件A与 A ∩ B(或AB)
事件B的交事件(或积事件)
3.事件的关系
定义 表示法 图示
若事件A发生，事件B一
包含 定发生，称事件B包含事
B A(或A B)
关系 件A(或事件A包含于事件
B)
⊇ ⊆
如果事件A与事件B不能
互斥 若A∩B＝∅，则A与B互
同时发生，称事件A与事
事件 斥
件B互斥(或互不相容)
如果事件A和事件B在任
何一次试验中有且仅有一
对立 若A∩B＝∅，且A∪B＝
个发生，称事件A与事件
事件 Ω，则A与B对立
B互为对立，事件A的对
立事件记为A
4.概率的基本性质
一般地，概率有如下性质：
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ).
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝ 1 － P (A )，P(A)＝1－P(B).
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B).
性质6：设A，B⊆是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
【常用结论】1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
2．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
P(A∪A∪…∪A)＝P(A)＋P(A)＋…＋P(A)．
1 2 n 1 2 n
1．（2021·山东肥城·模拟预测）某公司为了促进技术部门之间良好的竞争风气，公司决定进行一次信
息化技术比赛，三个技术部门分别为麒麟部，龙吟部，鹰隼部，比赛规则如下：①每场比赛有两个部门参
加，并决出胜负；②每场比赛获胜的部门与未参加此场比赛的部门进行下一场的比赛；③在比赛中，若有
一个部门首先获胜两场，则本次比赛结束，该部门就获得此次信息化比赛的“优胜部门”．已知在每场比
赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为 ，麒麟部胜鹰隼部的概率为 ，龙吟部胜鹰隼部的概率为 ．当麒麟部
与龙吟部进行首场比赛时，麒麟部获得“优胜部门”的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·甘肃·天水市第一中学模拟预测（文））我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”
问题；“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十
四粒内有谷二十八颗，凡粒米率每勺三百，今欲知米内杂谷多少”，其大意是，粮仓开仓收粮，有人送来
米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．153石 B．154石 C．169石 D．170石
3．（2021·上海黄浦·二模）已知随机事件 和 相互独立，若 ， （ 表示事件
的对立事件），则 __________4．（2021·天津和平·一模）甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为 ，乙同
学一次投篮命中的概率为 ，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命
中的概率是___________.
1．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（文））“辽宁舰”是中国人民解放军海军第一艘可
以搭载固定翼飞机的航空母舰，在“辽宁舰”的飞行甲板后部有四条拦阻索，降落的飞行员须捕捉钩挂上
其中一条，则为“成功着陆”，舰载机白天挂住第一条拦阻索的概率为18%，挂住第二条、第三条拦阻索
的概率为62%，捕捉钩未挂住拦阻索需拉起复飞的概率约为5%，现有一架歼15战机白天着舰演练20次均
成功，则其被第四条拦阻索挂住的次数约为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．4
2．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））已知从甲袋内摸出1个红球的概率是 ，从乙袋内摸出1个红
球的概率是 ，从两袋内各摸出1个球，则2个球中至少有1个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·河南·郸城县第一高级中学一模（文））某同学做立定投篮训练，共 场，每场投篮次数和命
中的次数如表中记录板所示．
第一场 第二场 第三场
投篮次数
投中次数
根据图中的数据信息，该同学 场投篮的命中率约为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·吉林长春·一模（理））医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外
三层. 内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），
外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）. 国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率
. 若生产状态正常，有如下命题：
甲： ；
乙： 的取值在 内的概率与在 内的概率相等；
丙： ；
丁：记 表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于 的数量，则 .
（参考数据：若 ，则 ， ，
； ）
其中假命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2021·陕西·千阳县中学模拟预测（理））甲、乙两人进行投壶比赛，比赛规则：比赛中投中情况
分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，
“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，投不中算“零筹”，进行三场比赛后
得筹数最多者获胜．假设每场比赛中甲投中“有初”的概率为 ，投中“贯耳”的概率为 ，投中“散
射”的概率为 ，投中“双耳”的概率为 ，投中“依竿”的概率为 ，乙的投掷水平与甲相同，且甲，
乙两人投掷相互独立．比赛第一场，两人平局，第二场，甲投中“贯耳”，乙投中“双耳”，则三场比赛
结束时，甲获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·安徽宣城·二模（理））围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善
之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进
入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军（假设没有平局），比赛结束假设每
局比赛乙胜甲的概率都为 ，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为
（ ）
A． B． C． D．7．（2021·江苏·盐城中学模拟预测）从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红球的概率
是 ，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A． 个球都是红球的概率为 B． 个球不都是红球的概率为
C．至少有 个红球的概率为 D． 个球中恰有 个红球的概率为
8．（2020·天津·耀华中学一模）现有 ， 两队参加关于“十九大”的知识问答竞赛，每队3人，每人
回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分. 队中每人答对的概率均为 ， 队中每人答对的概率
分别为 ， ， ，且各答题人答题正确与否之间互无影响.若事件 表示“ 队得2分”，事件 表示
“ 队得1分”，则 ___________.
9．（2022·天津北辰·模拟预测）已知甲、乙两名篮球运动员投篮投中的概率分别为0.5和0.8，且甲、
乙两人投篮的结果互不影响．若甲、乙两人各投篮一次，则至少有一人投中的概率为_____．
10．（2021·安徽郎溪·模拟预测（理））公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫 向另
一位著名的数学家帕斯卡 提请了一个问题，帕斯卡和费马 讨论了这个问题，后来惠更
斯 也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题
如下：设两名赌徒约定谁先赢 局，谁便赢得全部赌注 元.每局甲赢的概率为 ，
乙赢的概率为 ，且每局赌博相互独立.在甲赢了 局，乙赢了 局时，赌博意外终止赌注
该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢 局则赌博意外终止的情况，甲、乙便
按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比 分配赌注.
（1）甲、乙赌博意外终止，若 ，则甲应分得多少赌注？（2）记事件 为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当 时赌博继续进行下去甲
赢得全部赌注的概率 ，并判断当 时，事件 是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件
发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.
11．（2021·吉林·白城一中模拟预测（文））企业在商业活动中有依法纳税的基本义务，不依法纳税叫
做逃税，是一种违法行为．某地区有2万家企业，政府部门抽取部分企业统计其去年的收入，得到下面的
频率分布表．根据当地政策综合测算，企业应缴的税额约为收入的5%，而去年该地区企业实际缴税的总额
为291亿元．
收入（千万元）
频率 0.3 0.5 0.12 0.06 0.02
（1）估计该地区去年收入大于等于4千万元的企业数量；
（2）估计该地区企业去年的平均收入，并以此估计该地区逃税的企业数量；
注：每组数据以区间中点值为代表，假设逃税的企业缴税额为0，未逃税的企业都足额缴税．
12．（2021·青海西宁·三模（文））某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某
学校师生对学校教学管理的满意度﹐分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生﹐进行评分(满分
分)，绘制如下频率分布直方图(分组区间为 ， ， ， ， ， )，
并将分数从低到高分为四个等级：
满意度评分
满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意
已知满意度等级为基本满意的有 人．
（1）求表中 的值及不满意的人数﹔（2）记 表示事件“满意度评分不低于 分”，估计 的概率﹔
（3）若师生的满意指数不低于 ，则该校可获评“教学管理先进单位”．根据你所学的统计知识﹐判断
该校是否能获评“教学管理先进单位”?并说明理由．(注：满意指数 )
1．（2010·辽宁·高考真题（理））两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为 和 ，
两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
A． B． C． D．
2．（2009·福建·高考真题（文））一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表
组别
频数 12 13 24 15 16 13 7
则样本数据落在 上的频率为
A．0.13 B．0.39 C．0.52 D．0.64
3．（2015·湖北·高考真题（文））我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，
有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
4．（2018·全国·高考真题（文））若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用
非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
5．（2016·天津·高考真题（文））甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，
则甲不输的概率为A． B． C． D．
6．（2011·上海·高考真题（文））随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是
_________ （默认每月天数相同，结果精确到 ）．
7．（2011·江西·高考真题（理））小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷
一点，若此点到圆心的距离大于 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则去打篮球；否则，
在家看书.则小波周末不在家看书的概率为_________.
8．（2013·上海·高考真题（理））盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意
取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）
9．（2020·全国·高考真题（文））某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为
A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50
元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分
厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分
厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接
加工业务?
10．（2012·全国·高考真题（文））乒乓球比赛规则规定，一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发
球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，
每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（I） 求开球第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（II） 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．11．（2012·全国·高考真题（文））某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每
枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的
函数解析式．
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利
润不少于75元的概率.
（命题意图）本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的和概率，是简
单题.
12．（2015·北京·高考真题（文））某超市随机选取 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种
商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
甲 乙 丙 丁
√ × √ √
× √ × √
√ √ √ ×
√ × √ ×
√ × × ×
× √ × ×
（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 种商品的概率；
（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？1．【答案】D
【分析】
由题设，麒麟部与龙吟部进行首场比赛且麒麟部获得“优胜部门”的情况有：
1、首场麒麟部胜，第二场麒麟部胜；
2、首场麒麟部胜，第二场鹰隼部胜，第三场龙吟部胜，第四场麒麟部胜；
3、首场龙吟部胜，第二场鹰隼部胜，第三场麒麟部胜，第四场麒麟部胜；
再由独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求概率即可.
【详解】
设事件 ：麒麟部与龙吟部先比赛麒麟部获胜；
由于在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为 ，麒麟部胜鹰隼部的概率为 ，龙吟部胜鹰隼部的概率为
，
∴麒麟部获胜的概率分别是： ，
故选：D．
2．【答案】C
【分析】
这批米内夹谷约为 石，则 ，由此能求出这批米内夹谷数量.
【详解】
这批米内夹谷约为 石,根据题意可得
解得
故选：C3．【答案】
【分析】
求出 的值，再利用独立事件的概率乘法公式可求得 的值.
【详解】
由对立事件的概率公式可得 ，
由独立事件的概率乘法公式可得 ，因此， .
故答案为： .
4．【答案】
【分析】
考虑两个人都不命中的概率，从而可求至少有一个人命中的概率.
【详解】
两个都不命中的概率为 ，
故至少有一人命中的概率是 ，
故答案为： .
1．【答案】B
【分析】
先算出舰载机每次被第四条拦阻索挂住的概率，再乘以总体20次即可.
【详解】
解：由题意知，
舰载机被第四条拦阻索挂住的概率为：
故舰载机被第四条拦阻索挂住的次数约为：
故选：B.
2．【答案】C【分析】
应用独立事件的乘法公式及对立事件概率的求法，求从两袋内各摸出1个球，则2个球中至少有1个红球
的概率.
【详解】
从甲袋内摸出1个红球的概率是 ，从乙袋内摸出1个红球的概率是 ，
∴从两袋内各摸出1个球，2个球中至少有1个红球的概率为 ．
故选：C．
3．【答案】B
【分析】
根据题意由总的投中次数除以总的投篮次数，可得答案.
【详解】
该同学3场投篮的命中率为 ，
故选：B．
4．【答案】B
【分析】
根据 可判断甲；根据两个区间长度相等，对称轴落在区间 可判
断乙；根据概率的对称性可判断丙；求出1只口罩的的过滤率大于 的概率，再由二项分布的概率以
及对立事件的概率即可判断丁，进而可得正确答案.
【详解】
由 知， ， ，
对于甲：由正态分布曲线可得： ，故甲为真命题；
对于乙： ， 两个区间长度均为1个 ，但 ，由正态分
布性质知，落在 内的概率大于落在
内的概率，故乙是假命题；
对于丙：由 知，丙正确；
对于丁：1只口罩的的过滤率大于 的概率 ， ，所以，
，故丁是真命题.
故选：B.
5．【答案】D
【分析】
甲要想赢得比赛，在第三场比赛中，比乙至少多得三筹．甲得“四筹”，乙得“零筹”，甲可赢；甲得
“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，甲可赢；甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，甲可赢；甲得
“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”、“四筹”、“五筹”、“六筹”，甲都可蠃，由此利用互斥事件概
率加法公式能求出甲获胜的概率．
【详解】
解：由题可知
筹数 2 4 5 6 10 0
若甲获胜，则在第三场比赛中，甲比乙至少多得三筹．分以下四种情况：①甲得“四筹”，乙得“零筹”，
此种情况发生的概率 ；
②甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率 ；
③甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率 ；
④甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或“五筹”或“六筹”，此情况发生的概率
，
故甲获胜的概率 ．
故选：D．
6． 【答案】A
【分析】
由题意可得在不超过4局的比赛中甲获得冠军包含两种情况：①甲前三局全胜，②前三局甲两胜一负，第四局甲胜，分别求出两种情况下的概率，再利用互斥事件的加法公式求解即可
【详解】
在不超过4局的比赛中甲获得冠军包含两种情况，且两种情况互斥：
①甲前三局全胜，概率为 ；
②前三局甲两胜一负，第四局甲胜，概率为 ．
∴在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为： ．
故选：A
7．【答案】ACD
【分析】
根据题意可知，则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个不是红球的概率是 ，根据
对立事件和相互独立事件的概率计算公式，分别求出各选项中的概率，从而可判断得出答案.
【详解】
解：由题可知，从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 ，
则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个不是红球的概率是 ，
对于A选项， 个球都是红球的概率为 ，A选项正确；
对于B选项， 个球不都是红球的概率为 ，B选项错误；
对于C选项，至少有 个红球的概率为 ，C选项正确；
对于D选项， 个球中恰有 个红球的概率 ，D选项正确.
故选：ACD.
8．【答案】
【分析】
事件 表示“ 队得2分”，事件 表示 “ 队得1分”，由 次独立重复实验中事件A恰好发生 次概率计算公式求出 ，再由独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出 ，由此利用相互
独立事件概率乘法公式能求出 .
【详解】
解：“ 队得2分”为事件 ，即 队三人中有一人答错，其余两人答对， .
“ 队得1分”为事件 ，即 队三人中有两人答错，剩余一人答对，
.
表示“ 队得2分， 队得1分”，即事件 ， 同时发生，则 .
故答案为：
9．【答案】0.9
【分析】
根据对立事件的概率公式即可求出．
【详解】
设 “甲、乙两人各投篮一次，则至少有一人投中”，
则 ．
故答案为：0.9．
10．【答案】（1）216元；（2） ，是，理由见解析.
【分析】
(1)设赌博再进行X局甲赢得全部赌注，甲必赢最后一局，最多再进行4局，甲、乙必有人赢得全部赌注，
由此利用概率计算公式即可得解；
(2)设赌博再进行Y局乙赢得全部赌注，同(1)的方法求出乙赢得全部赌注的概率，由对立事件可得 ，
再利用导数求出 的最小值作答.
【详解】
（1）设赌博再继续进行 局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、
乙必然有人赢得全部赌注，当 时，甲以 赢，所以 ，
当 时，甲以 赢，所以 ，
当 时，甲以 赢，所以 ，
于是得甲赢得全部赌注的概率为 ，
所以，甲应分得的赌注为 元.
（2）设赌博继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，
当 时，乙以 赢， ，
当 时，乙以 赢， ，
从而得乙赢得全部赌注的概率为 ，
于是甲赢得全部赌注的概率 ，
对 求导得 ，
因 ，即 ，从而有 在 上单调递增，
于是得 ，乙赢的概率 最大值为 ，
所以事件 是小概率事件.
11．【答案】（1）4000；（2） （亿元），600.
【分析】
（1）先根据表格计算收入大于等于4千万元的频率，再计算企业的数量即可；
（2）利用平均数的计算公式求出该企业去年的平均收入，先计算未逃税的企业数量，从而求出该地区逃
税的企业数量.
【详解】
（1）去年收入大于等于4千万元的频率为 ，所以估计该地区去年收入大于等于4千万元的企业数量为 ．
（2）该地区企业去年的平均收入的估计值为 （千万元）．
平均缴税额为 （千万元） （亿元），
所以未逃税的企业数量为 ，
因此逃税的企业数量为 ．
12．【答案】（1） ； ；（2） ；（3）可获得，理由见解析．
【分析】
（1）根据频率分布直方图可得 ，设不满意的人数为 再由比例可得
，即可得解；
（2） “满意度评分不低于 分”的频率为： ，即可得解；
（3）带入师生的满意指数为： ，即可得解.
【详解】
（1）由频率分布直方图可知：
，
设不满意的人数为
则 ，
解得
故不满意的人数为 ．
（2） “满意度评分不低于 分”的频率为：
，
因此，事件 的概率估计值为 ．
（3）师生的满意指数为：
，
因为
所以该校可获得“教学管理先进单位”的称号．1．【答案】B
【详解】
记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，
即仅第一个实习生加工一等品(A)与仅第二个实习生加工一等品(A)两种情况，
1 2
则P(A)=P(A)+P(A)= × + × =
1 2
故选B.
2．【答案】C
【详解】
由题意可知频数在 的有：13+24+15=52，由频率=频数 总数可得0.52.故选C.
3．【答案】B
【详解】
设夹谷 石，则 ，
所以 ，
所以这批米内夹谷约为 石，故选B.
考点：用样本的数据特征估计总体.
4．【答案】B
【详解】
分析：由公式 计算可得
详解：设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，
则
因为
所以 ，
故选B.
点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题．
5．【答案】A【详解】
试题分析：甲不输概率为 选A.
【考点】概率
【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.运用概率加法的
前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法公式.对古典概型概率的考查，注重事件本
身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后利用枚举法、树形图解决计数问题，而
当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.
6．【答案】
【解析】
设事件A为“至少有2位同学在同一月份出生”，
则A的对立事件 为“所有人出生月份均不相同”，
则P(A)＝1－P( )＝1－
＝1－
≈1－0.015 5＝0.984 5≈0.985.
7．【答案】
【详解】
试题分析：设“看电影”、“打篮球”、“看书”三个事件分别为A、B、C，则这三个事件互斥，而且
，又 ， ，所以 ；
考点：1．几何概型；2．互斥事件；
8．【答案】
【分析】
先分清楚9个数中奇数和偶数的个数，可知事件“选出的两球编号之积为偶数”的对立事件为“选出的两
球都是奇数”，然后利用古典概型和对立事件的概率可计算出所求事件的概率．
【详解】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为 ．故答案为 ．
【点睛】
本题考查古典概型与对立事件的概率，弄清楚事件之间的关系是解本题的关键，考查计算能力，属于中等
题．
9．【答案】（1）甲分厂加工出来的 级品的概率为 ，乙分厂加工出来的 级品的概率为 ；（2）
选甲分厂，理由见解析.
【分析】
（1）根据两个频数分布表即可求出；
（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工 件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．
【详解】
（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为 级品的概率为 ，乙厂加工出来的一件产品为 级
品的概率为 ；
（2）甲分厂加工 件产品的总利润为 元，
所以甲分厂加工 件产品的平均利润为 元每件；
乙分厂加工 件产品的总利润为
元，
所以乙分厂加工 件产品的平均利润为 元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题．
10．【答案】
【分析】
本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值问题．首先要理解发球的具体情况，
然后对于事件的情况分析，讨论，并结合独立事件的概率求解结论．
【详解】【点评】
首先从试题的选材上来源于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想
的运用，以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题．情景比较亲切，容易入手，但是在讨论情况
的时候，容易丢情况．
11．【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【详解】
试题分析：（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）①这
100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；②当天的利润不少于75元，当且
仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率
试题解析：（1）当日需求量n≥17时，利润y＝85．
当日需求量n<17时，利润y＝10n－85．
所以y关于n的函数解析式为 （n∈N）．
（2）①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，
16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为 ×（55×10＋65×20＋75×16＋85×54）＝76．4．
②利润不低于75元时日需求量不少于16枝，
故当天的利润不少于75元的概率为p＝0．16＋0．16＋0．15＋0．13＋0．1＝0．7．
考点：概率的应用；函数解析式的求解及常用方法；众数、中位数、平均数
12．【答案】（Ⅰ）0.2；（Ⅱ）0.3；（Ⅲ）同时购买丙的可能性最大.
【详解】
试题分析：本题主要考查统计表、概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计
算能力.（Ⅰ）由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数 ，计算出概率；（Ⅱ）先由统计表读出顾客在
甲、乙、丙、丁中同时购买 中商品的人数 ，再计算概率；（Ⅲ）由统计表读出顾客同时购买甲
和乙的人数为 ，顾客同时购买甲和丙的人数为 ，顾客同时购买甲和丁的人数为 ，分
别计算出概率，再通过比较大小得出结论.
试题解析：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这 位顾客中，有 位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同
时购买乙和丙的概率可以估计为 .
（Ⅱ）从统计表可以看出，在在这 位顾客中，有 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 位顾客
同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 种商品的
概率可以估计为 .
（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 ，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 ，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 ，
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.
考点：统计表、概率.
