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2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）
考点 05 指数函数、对数函数和幂函数
知识点1:指数函数
例1.已知函数f（x）＝ex若x ，x R且x≠x ，x ＝ ，记a＝ ，b＝f′（x ），c＝
1 2 1 2 0 0
∈
，则下列关系式中正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【答案】B
【分析】函数f（x）＝ex在R上是增函数，且函数图象向下凸出，不妨设x ＜x ，结合a、b和c的几何意
1 2
义，判断出它们的大小即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝ex在R上是增函数，且f（x）＞0，x，x R且x≠x，x＝ ，
1 2 1 2 0
不妨设x 1 ＜x 2 ，则有x 1 ＜x 0 ＜x 2 ， ∈
根据a＝ 表示曲线上两点A（x，y），B（x，y）连线的斜率，
1 1 2 2
b＝f′（x）是曲线在x＝x 处切线的斜率，
0 0
c＝ 是曲线上A、B两点纵坐标的等差中项，
结合函数f（x）＝ex的图象知，b＜a＜c．
故选：B．【知识点】指数函数的单调性与特殊点
练习：
1.函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）
【答案】B
【分析】要求 的单调递增区间，由于y＝2t在R上单调递增，只要求g（x）＝﹣x2+x﹣1的单
调递增区间，根据二次函数的性质可求
【解答】解：要求 的单调递增区间
∵y＝2t在R上单调递增
∴只要求g（x）＝﹣x2+x﹣1的单调递增区间
而由二次函数的性质可知g（x）＝﹣x2+x﹣1的单调递增区间为（﹣∞， ）
故选：B．
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
2.若函数f（x）＝（x+1）ex，则下列命题正确的是（ ）
A．对任意m＞﹣ ，都存在x R，使得f（x）＜m
∈
B．对任意m＜﹣ ，都存在x R，使得f（x）＜m
∈
C．对任意m＜﹣ ，方程f（x）＝m只有一个实根
D．对任意m＞﹣ ，方程f（x）＝m总有两个实根
【答案】A
【分析】先求f′（x）＝（x+2）ex，这样便能判断函数f（x）在x＝﹣2处取到最小值 ，这样便可判
断A正确．
【解答】解：f′（x）＝（x+2）ex；
∴x＜﹣2时，f′（x）＜0；x＞﹣2时，f′（x）＞0；∴x＝﹣2时，f（x）取到极小值，也是最小值f（﹣2）＝ ；
∴对于任意的m＞ ，都存在x R，使得f（x）＜m；
故A正确． ∈
这样当 ，存在x R，使f（x）＜m；
∴D错误． ∈
∵f（x）的最小值为 ，∴m＜ 时，f（x）＝m无实数根；
∴C错误．
故选：A．
【知识点】指数函数综合题
3.已知点（2，9）在函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）图象上，对于函数y＝f（x）定义域中的任意x ，x
1 2
（x≠x），有如下结论：
1 2
f（x+x）＝f（x）•f（x）；
1 2 1 2
①f（x•x）＝f（x）+f（x）；
1 2 1 2
②
③ ＜0；
f（ ）＜
④
上述结论中正确结论的序号是 ．
【答案】①④
【分析】求出指数函数的解析式，利用指数的基本运算性质判断①、②，根据函数的单调性判断③，根据
指数的运算法则和基本不等式判断④．
【解答】解：∵点（2，9）在函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）图象上，
∴a2＝9，解得：a＝3，
∴f（x）＝3x，
∴①f（x+x）＝ ＝ • ＝f（x）•f（x），故①正确；
1 2 1 2
f（x•x）＝ ≠f（x）+f（x），故②错误；
1 2 1 2
②a＝3＞1，f（x）在R递增，故 ＞0，故③错误；
③
④ ＝ ≥ ＝ ＝f（ ）
故④正确；
故答案为：①④．
【知识点】指数函数的图象与性质
4.若函数y＝ax﹣1+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny＝1（m，n＞0）上，则
的最小值为 ，
【分析】令幂指数等于零，求出xy的值，可得定点A的坐标，再把A的坐标代入直线方程，利用基本不等
式，求得 的最小值．
【解答】解：对于函数y＝ax﹣1+1（a＞0，且a≠1），令x﹣1＝0，求得x＝1、y＝2，可得函数的图象恒过
定点A（1，2），
若点A在直线mx+ny＝1（m，n＞0）上，则 m+2n＝1，
故 ＝ + ＝3+ + ≥3+2 ＝3+2 ，
当且仅当m＝ n时，等号成立，故 的最小值为3+2 ，
故答案为：3+2 ．
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
知识点2:对数函数
例1.若函数f（x）＝log （2﹣ax）（a＞0a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（ ）
a
A．[ ，1） B．（0， ] C．（1， ） D．[ ）
【答案】B
【分析】先将函数f（x）＝log （2﹣ax）转化为y＝log t，t＝2﹣ax，两个基本函数，再利用复合函数求解．
a a
【解答】解：令y＝log t，t＝2﹣ax，
a
∵a＞0
∴t＝2﹣ax在（1，3）上单调递减
∵f（x）＝log （2﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间（1，3）内单调递增
a
∴函数y＝log t是减函数，且t（x）＞0在（1，3）上成立
a
∴∴0＜a≤
故选：B．
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
练习：
1.若log b＞1，其中a＞0且a≠1，b＞1，则（ ）
a
A．0＜a＜1＜b B．1＜a＜b C．1＜b＜a D．1＜b＜a2
【答案】B
【分析】直接利用对数关系式的变换的应用求出结果．
【解答】解：由于log b＞1，其中a＞0且a≠1，且b＞1，
a
则a＞1，对数函数y＝log x为单调递增函数，
a
则：log b＞log a＝1，
a a
所以b＞a＞1．
故选：B．
【知识点】指、对数不等式的解法、对数函数的图象与性质
2.已知函数f（x）＝ ，若f（x）≥1，则x 的取值范围是（ ）
0 0
A．[2，+∞） B．[﹣1，0]
C．[﹣1，0]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪（0，2]
【答案】C
【分析】将变量x 按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合
0
并．
【解答】解：当x≤0时， ，解得0≥x≥﹣1
0 0
当x＞0时，log x≥1，解得x≥2
0 2 0 0
∴x [﹣1，0]∪[2，+∞），
0
故选：C．
∈
【知识点】指数函数与对数函数的关系、分段函数的解析式求法及其图象的作法
3.已知函数f（x）＝log （x+2）+3的图象恒过定点（m，n），且函数g（x）＝mx2﹣2bx+n在[1，+∞）上
a
单调递减，则实数b的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，1）
【答案】B
【分析】令真数等于1，求得x、y的值，可得m、n的值，再利用二次函数的性质，求得实数b的取值范
围．
【解答】解：∵函数f（x）＝log （x+2）+3的图象恒过定点（m，n），令x+2＝1，求得x＝﹣1、y＝3，
a
可得它的图象经过定点（﹣1，3），∴m＝﹣1，n＝3．
∵函数g（x）＝mx2﹣2bx+n＝﹣x2﹣2bx+3 在[1，+∞）上单调递减，∴ ＝﹣b≤1，∴b≥﹣1，
故选：B．
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
4.已知函数f（x）＝lg（2+x2），则满足不等式f（2x﹣1）＜f（3）的x的取值范围为 ﹣ ．
【答案】（-1，2）
【分析】由题意利用对数函数的单调性，可得（2x﹣1）2＜9，由此求得x得取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝lg（2+x2），则满足不等式f（2x﹣1）＜f（3），
∴（2x﹣1）2＜9，求得﹣3＜2x﹣1＜3，求得﹣1＜x＜2，
故答案为：（﹣1，2）．
【知识点】对数函数的图象与性质
5.己知函数f（x）＝log （x+2）+3的图象恒过定点（m，n），且函数g（x）＝mx2﹣2bx+n在[1，+∞）上
a
单调递减，则实数b的取值范围是 ﹣
【答案】[-1，+∞）
【分析】令真数等于1，求得x、y的值，可得定点坐标，从而得到m、n的值，再根据函数g（x）＝mx2﹣
2bx+n在[1，+∞）上单调递减，利用二次函数的性质求得实数b的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝log （x+2）+3的图象恒过定点（m，n），
a
令x+2＝1，求得x＝﹣1，f（x）＝3，可得函数的图象经过定点（﹣1，3），
∴m＝﹣1，n＝3．
∵函数g（x）＝mx2﹣2bx+n＝﹣x2﹣2bx+3，在[1，+∞）上单调递减，
∴﹣ ≤1，即 b≥﹣1，则实数b的取值范围为[﹣1，+∞），
故答案为：[﹣1，+∞）．
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
知识点3:反函数
例1.设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），若f（x）在R上存在反
函数，则下列结论正确的是（ ）
A． 或
B． 或
C． 或D． 或
【答案】B
【分析】f（x）在R上存在反函数，则必需保证函数f（x）不存在多个自变量x对应同一个函数值，再根
据函数的奇偶性和单调性即可求出答案．
【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝a﹣x+b，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）＝0，f（﹣x）＝﹣f（x），
∴﹣f（x）＝a﹣x+b，
∴f（x）＝﹣a﹣x﹣b，
若f（x）在R上存在反函数，则必需保证函数f（x）不存在多个自变量x对应同一个函数值即
可，
当a＞1时，则需满足a0+b≥﹣a0﹣b，解得b≥﹣1，
当0＜a＜1时，则需满足a0+b≤﹣a0﹣b或b≥0，解得b≤﹣1或b≥0，
故选：B．
【知识点】反函数
练习：
1.在P（1，1），Q（2，2），M（2，4）和 四点中，函数y＝log x（x＞0）的图象与其反函数
a
的图象的公共点（ ）
A．只能是P B．只能是P、Q C．只能是Q、M D．只能是Q、N
【答案】D
【分析】分别假设点P，Q，M，N在原函数上，在判断是否在其反函数的图象上．
【解答】解：y＝log x（x＞0）的反函数为y＝ax，
a
由于log 1＝0，点P不在y＝log x上，点P不符合，
a a
由log 2＝2，则a＝ ，则反函数为y＝2 ，当x＝2时，y＝2，则点Q符合，
a
由log 2＝4，则a＝2 ，则反函数为y＝2 ，当x＝2时，y＝ ，则点M不符合，
a
由log ＝ ，则a＝ ，则反函数为y＝（ ）x，当x＝ 时，y＝ ，则点N符合，
a
故选：D．
【知识点】反函数
2.设函数f（x）＝ax+b（a＞0且a≠1）的图象过点（1，8），其反函数的图象过（16，2），则a+b＝（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据反函数的图象过（16，2），可知f（x）图象过点（2，16），和（1，8），代入联立解得．【解答】解：∵f（x）＝ax+b（a＞0且a≠1）的图象过点（1，8），
∴代入得a1+b＝8 ①，
∵其反函数的图象过（16，2），
∴f（x）＝ax+b（a＞0且a≠1）的图象过点（2，16），
∴代入得a2+b＝16 ，
联立①②，解之得a＝2，b＝2，
②
故选：B．
【知识点】反函数
3.设f﹣1（x）为f（x）＝ ，x [0， ]的反函数，则 y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值为
． ∈ π
【分析】根据f（x）是[0， ]上的增函数，且f（x）与f﹣1（x）的单调性相同，得出y＝f（x）+f﹣1（x）的
π
定义域为[0， ]，进而可得y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值．
【解答】解：∵f（x）＝ ，是[0， ]上的单调增函数，且 f﹣1（x）为 f（x）＝
π
，x [0， ]的反函数，
∴f（x）和f﹣1（x）的单调性相同，
∈ π
∴当x＝ 时，f（x）的最大值为 ，
π
且当x＝ 时f（ ）＝ ＝ ，
∴y＝f（x）+f﹣1（x）的定义域为[0， ]，
且当x＝ 时 ＝ ，
π
∴y＝f（x）+f﹣1（x）的最大值为 ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【知识点】反函数
4.设定义域为R的函数f（x）、g（x）都有反函数，且函数f（x﹣1）和g﹣1（x﹣3）图象关于直线y＝x对
称，若g（5）＝2015，则f（4）＝
【答案】2018
【分析】根据函数f（x﹣1）和g﹣1（x﹣3）图象关于直线y＝x对称可得函数f（x﹣1）和g﹣1（x﹣3）互为
反函数，故可令g﹣1（x﹣3）＝y求出其反函数y＝g（x）+3 则f（x﹣1）＝g（x）+3然后令x＝5
再结合g（5）＝2015即可得解．
【解答】解：解：设g﹣1（x﹣3）＝y 则g（g﹣1（x﹣3））＝g（y）
∴x﹣3＝g（y）∴x＝g（y）+3
得y＝g（x）+3 （为g﹣1（x﹣3）的反函数）
又∵f（x﹣1）与g﹣1（x﹣3）的图象关于直线y＝x对称
∴f（x﹣1）＝g（x）+3
又 g（5）＝2015
∴f（4）＝f（5﹣1）＝g（5）+3
∴f（4）＝2015+3＝2018
故填：2018．
【知识点】反函数
5.已知函数f（x）＝x2﹣3tx+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，若函数y＝f（x）在其定义域内有反函数，则
实数t的取值范围是 ．
【答案】（-∞，0] [2，4）∪（6，8] [10，+∞）
【分析】分别讨论对称轴和区间的位置关系，即可求出t的范围．
∪ ∪
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣3tx+1的对称轴为x＝ ，
若 ≤0，即 t≤0，则 y＝f（x）在定义域上单调递增，所以具有反函数；
若 ≥15，即 t≥10，则 y＝f（x）在定义域上单调递减，所以具有反函数；
当3≤ ≤12，即 2≤t≤8时，由于区间[0，3]关于对称轴 的对称区间是[3t﹣3，3t]，
于是当 或 ，即t [2，4）或t （6，8]时，
函数在定义域上满足1﹣1对应关系，具有反函数．
∈ ∈
综上，t （﹣∞，0]∪[2，4）∪（6，8]∪[10，+∞）．
【知识点】反函数
∈
知识点4:幂函数
例 1.已知函数 是幂函数，对任意的 x ，x （0，+∞）且 x≠x ，满足
1 2 1 2
∈
，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用幂函数的定义和性质即可求出m．
【解答】解：由已知函数 是幂函数，可得m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1，当m＝2时，f（x）＝x7；当m＝﹣1时，f（x）＝x﹣2．
对任意的x、x （0，+∞），且x≠x，满足 ，
1 2 1 2
故函数是单调增函数，
∈
∴m＝2，f（x）＝x7．
故选：B．
【知识点】幂函数的性质
练习：
1.已知幂函数f（x）＝（n2+n﹣1）x （n Z）在（0，+∞）上是减函数，则n的值为（ ）
A．﹣2 B．1 ∈ C．2 D．1或﹣2
【答案】B
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得n的值．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（n2+n﹣1）x （n Z）在（0，+∞）上是减函数，
∴n2+n﹣1＝1，且n2﹣3n＜0，
∈
求得n＝1，
故选：B．
【知识点】幂函数的性质、幂函数的概念、解析式、定义域、值域
2.已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x 在（0，+∞）上是减函数，则f（m）的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【答案】C
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质可得 m2﹣2m﹣2＝1，且m2+m﹣2＜0，由此求得m的值，可得f
（x）的解析式，从而求得f（m）的值．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x 在（0，+∞）上是减函数，则m2﹣2m﹣2＝1，
且m2+m﹣2＜0，
求得m＝﹣1，故f（x）＝x﹣2＝ ，故f（m）＝f（﹣1）＝ ＝1，
故选：C．
【知识点】幂函数的性质、幂函数的概念、解析式、定义域、值域
3.如图，曲线C 与C 分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内图象，则下列结论正确的是（ ）
1 2
A．n＜m＜0 B．m＜n＜0 C．n＞m＞0 D．m＞n＞0
【答案】A
【分析】欲比较m，n，0的大小，依据幂函数y＝xa的性质，及在第一象限内的图象特征可得．【解答】解：由题图象可知，两函数在第一象限内递减，故m＜0，n＜0．
取x＝2，则有2m＞2n，知m＞n，故n＜m＜0．
故选：A．
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
4.已知幂函数的图象经过点（ ），那么f（x）的解析式为 ；不等式f（|x|）≤2的解集为 ．
【分析】先求出幂函数f（x）的解析式，再解不等式f（|x|）≤2，求出解集．
【解答】解：设幂函数的解析式为f（x）＝x ，
α
f（x）的图象经过点（ ， ），
∴（ ） ＝ ，解得 ＝ ，
α
α
∴f（x）＝ ＝ ，又∵f（|x|）≤2，
∴ ≤2，解得﹣4≤x≤4；
故答案为：f（x）＝ ；[﹣4，4]．
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
5.幂函数 在[0，+∞）上是单调递减的函数，则实数m的值为 ．
【答案】2
【分析】由题意幂函数 在[0，+∞）上是单调递减的函数，由此可得
解此不等式组即可求出实数m的值
【解答】解：幂函数 在[0，+∞）上是单调递减的函数
∴ 解得m＝2
故答案为2
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
6.已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x1﹣m是幂函数，在x （0，+∞）上是减函数，则实数m的值为 ．
【答案】2 ∈
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x1﹣m是幂函数，∴m2﹣m﹣1＝1，
求得m＝2，或m＝﹣1．
∵当x （0，+∞）时，f（x）＝x1﹣m是上是减函数，
∴1﹣m＜0，
∈故m＝2，f（x）＝x﹣1＝ ，
故答案为：2．
【知识点】幂函数的性质
1.已知a＝log 3，b＝20.3，c＝0.30.5，则a、b、c的大小关系为（ ）
0.5
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【答案】A
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵log 3＜log 1＝0，∴a＜0，
0.5 0.5
∵20.3＞20＝1，∴b＞1，
∵0＜0.30.5＜0.30＝1，∴0＜c＜1，
∴a＜c＜b，
故选：A．
【知识点】对数值大小的比较
2.已知幂函数f（x）＝x （ R）的图象过点 ，则 ＝（ ）
α
α∈ α
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的图象过点（4， ）列方程求出 的值，写出f（x）的解析式，再求m的值．
α
【解答】解：幂函数f（x）＝x （ R）的图象过点（4， ），
α
α∈
则4 ＝ ，
α
解得： ＝﹣ ，
故选：B．
α
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域3.已知函数f（x）＝|2x﹣ |，其在区间[0，1]上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．[0，1] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．[﹣ ， ]
【答案】C
【分析】令t＝2x，x [0，1]，则t [1，2]，y＝f（x）＝|t﹣ |，若函数f（x）＝|2x﹣ |，其在区间[0，1]
∈ ∈
上单调递增，则y＝|t﹣ |，t [1，2]为增函数，分类讨论，可得满足条件的a的取值范围．
∈
【解答】解：令t＝2x，x [0，1]，则t [1，2]，y＝f（x）＝|t﹣ |，
∈ ∈
若函数f（x）＝|2x﹣ |，其在区间[0，1]上单调递增，
则y＝|t﹣ |，t [1，2]为增函数，
∈
若a＞0，y＝|t﹣ |的单调递增区间为[﹣ ，0）和[ ，+∞），
则 ≤1，即0＜a≤1
若a＝0，y＝t，t [1，2]为增函数，满足条件；
∈
若a＜0，y＝|t﹣ |的单调递增区间为[﹣ ，0）和[ ，+∞），
则 ≤1，即﹣1≤a＜0，
综上可得a的取值范围为[﹣1，1]，
故选：C．
【知识点】函数单调性的性质与判断、指数函数综合题
4.函数f（x）＝log （x﹣1）+2（a＞0，a≠1）恒过定点（ ）
a
A．（3，2） B．（2，1） C．（2，2） D．（2，0）
【答案】C
【分析】由log 1＝0得x﹣1＝1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标．
a
【解答】解：∵log 1＝0，
a
∴当x﹣1＝1，即x＝2时，y＝2，
则函数y＝log （x﹣1）+2的图象恒过定点 （2，2）．
a
故选：C．
【知识点】对数函数的图象与性质
5.若函数f（x）＝log （2x2﹣x）（a＞0，且a≠1）在区间（ ，1）内恒有f（x）＞0，则函数f（x）的单
a
调递增区间是（ ）A．（﹣∞，0） B． C． D．
【答案】A
【分析】根据在区间（ ，1）内恒有f（x）＞0，可得0＜a＜1，进而结合对数函数的单调性，二次函数
的单调性及复合函数“同增异减”的原则，可得答案．
【解答】解：当x （ ，1）时，2x2﹣x （0，1），
若f（x）＞0，则0＜a＜1，
∈ ∈
则y＝log t为减函数，
a
∵f（x）＝log （2x2﹣x）的定义域为（﹣∞，0）∪（ ，+∞），
a
故t＝2x2﹣x在（﹣∞，0）上递减，在（ ，+∞）上递增，
根据复合函数“同增异减”的原则，可得f（x）的单调递增区间是（﹣∞，0），
故选：A．
【知识点】对数函数的图象与性质
6.设m＞n，n N*，x＞1，a＝（lgx）m+（lgx）﹣m，b＝（lgx）n+（lgx）﹣n，则 a与b的大小关系为
（ ） ∈
A．a≥b B．a≤b
C．与x的值有关，大小不定 D．以上都不正确
【答案】C
【分析】利用作差法，结合对数的运算法则即可得到结论．
【解答】解：∵a＝（lgx）m+（lgx）﹣m，b＝（lgx）n+（lgx）﹣n，
∴a﹣b＝（lgx）m+（lgx）﹣m﹣（lgx）n﹣（lgx）﹣n＝（lgx）m﹣（lgx）n+
＝（lgx）m+（lgx）n+ ＝[（lgx）m﹣（lgx）n]• ，
∵x＞1，∴lgx＞0，
∴（lgx）m﹣（lgx）n＞0，
若x＝10，则a﹣b＝[（lgx）m﹣（lgx）n]• ＝0，此时a＝b，
若x＞10，则（lgx）m+n＞1，此时a﹣b＝[（lgx）m﹣（lgx）n]• ＞0，此时a＞b，
若0＜x＜10，则（lgx）m+n＜1，此时a﹣b＝[（lgx）m﹣（lgx）n]• ＜0，此时a＜b，
即a与b的大小关系与x的值有关，大小不定，
故选：C．
【知识点】指数函数与对数函数的关系
7.设函数f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于直线y＝﹣x对称，若m+n＝2020，f（﹣2m）+f（﹣2n）＝2，则
a＝（ ）
A．1011 B．1009 C．﹣1009 D．﹣1011
【答案】A
【分析】在函数y＝f（x）的图象上取点（x，y），则关于直线y＝﹣x对称点为（﹣y，﹣x），代入y＝
2x+a，结合题目条件可得答案．
【解答】解：因为函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于直线y＝﹣x对称，
令f（﹣2m）＝p，f（﹣2n）＝q，则p+q＝2；
故（﹣p，2m），（﹣q，2n）在y＝2x+a的图象上，
所以2m＝2﹣p+a，2n＝2﹣q+a，即 ，
两式相加得m+n＝﹣（p+q）+2a，
所以2a＝m+n+p+q＝2020+2＝2022，
解得a＝1011，
故选：A．
【知识点】反函数
8.定义在R上的函数f（x）有反函数f﹣1（x），若有f（x）+f（﹣x）＝2恒成立，则f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x
﹣2018）的值为（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．不能确定
【答案】A
【分析】分析：由 f（x）+f（﹣x）＝2，得 f（t）+f（﹣t）＝2，注意（2020﹣x ）与 （x﹣2018）的和
等于2，若（x﹣2018）与 （2020﹣x）一个是t，则另一个是﹣t，再应用反函数的定义解出 t 和
﹣t即得．
【解答】解：∵f（x）+f（﹣x）＝2，∴f（t）+f（﹣t）＝2，
令 2020﹣x＝m，x﹣2018＝n，∴m+n＝2，
∴可令 f（t）＝m，f（﹣t）＝n，由反函数的定义知，
∴t＝f﹣1（m），﹣t＝f﹣1（n）
∴f1（m）+f1（n）＝0，
即：f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值是0，
故选：A．
【知识点】反函数
9.幂函数f（x）＝（m2+5m﹣5）x （m Z）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（
） ∈
A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6
【答案】B【分析】由题意可得 ，由此求得m的值．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2+5m﹣5）x （m Z）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，
∈
∴ ，求得m＝1，
故选：B．
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域、幂函数的性质
10.已知 {﹣3，﹣2， ，2}，若幂函数f（x）＝x 为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，则 的值为
α
（ α∈） α
A．﹣3 B．﹣2 C． D．2
【答案】A
【分析】利用幂函数的性质求解．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝x 为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，
∴ 为奇数且 ＜0，α
∴ ＝﹣3，
α α
故选：A．
α
【知识点】幂函数的性质
11.函数 定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），则满足不等式ax≥f（a）的实数x的集
合为 ．
【答案】{x|x≥1}
【分析】由题意可得a＝2， ，f（a）＝f（2）＝2，由ax≥f（a），结合指数函数单调
性可求x
【解答】解：由函数 定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），可知a＝2
∴ ，f（a）＝f（2）＝2
由ax≥f（a）可得，2x≥2
∴x≥1
故答案为{x|x≥1}
【知识点】指数函数综合题12.若f（x）＝log （﹣x2+log x）对任意 恒意义，则实数a的范围 ．
a a
【分析】根据对数函数成立的条件进行讨论，分别进行求解即可．
【解答】解：要使函数f（x）有意义，则当意 时，﹣x2+log x＞0恒成立，
a
即 ．
若a＞1时，当 时log x＜0，此时不成立．
a
若0＜a＜1，当 时，作出函数y＝log x和y＝x2的图象，
a
当x＝ 时， ，得 ，
即a＝ ，
∴若 对任意 恒意义，
则 ，
即实数a的范围是[ ．
故答案为：[ ．
【知识点】函数的定义域及其求法、对数函数的定义域
13.设函数f（x）＝|log x|（0＜a＜1）的定义域为[m，n]（m＜n），值域为[0，1]，若n﹣m的最小值为 ，
a
则实数a＝ ．
【分析】通过分类讨论和利用对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：①若1≤m＜n，则f（x）＝﹣log x，
a
∵f（x）的值域为[0，1]，∴f（m）＝0，f（n）＝1，解得m＝1，n＝ ，又∵n﹣m的最小值为 ，∴ ﹣1≥ 以及0＜a＜1，
当“＝”成立时，解得a＝ ，符合题意；
②若0＜m＜n≤1，则f（x）＝log x，
a
∵f（x）的值域为[0，1]，∴f（m）＝1，f（n）＝0，解得m＝a，n＝1，
又∵n﹣m的最小值为 ，∴1﹣a＝ ，解得a＝ ，符合题意；
③若0＜m＜1＜n时，根据对数函数的性质得不满足题意．
故答案为： 或 ．
【知识点】对数函数的图象与性质
14.如果函数f（x）的图象与函数g（x）＝（ ）x的图象关于直线y＝x对称，则f（3x﹣x2）的单调递减区
间是 ．
【分析】函数f（x）的图象与函数g（x）＝（ ）x的图象关于直线y＝x对称，可得f（x）＝ ，因
此f（3x﹣x2）＝ ＝ 的单调递减区间满足 ，
解出即可．
【解答】解：∵函数f（x）的图象与函数g（x）＝（ ）x的图象关于直线y＝x对称，
∴函数f（x）是g（x）的反函数，
∴f（x）＝ ，
∴f（3x﹣x2）＝ ＝ 的单调递减区间满足 ，
解得 ．
故答案为： ．
【知识点】反函数
15.如图是幂函数 （ ＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中 ＝3， ＝2， ＝1，
i 1 2 3
α α α α
， ，已知它们具有性质：①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．
请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质： ．
【答案】α越大函数增长越快
【分析】由幂函数的图象及其性质不难得到：① 越大函数增长越快；②图象从下往上 越来越大；③函
数值都大于1；④ 越大越远离x轴；⑤ ＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，
α α
图象关于直线y＝x对称；⑧当 ＞1时，图象在直线y＝x的上方；当0＜ ＜1时，图象在直线y
α α
＝x的下方．
α α
从上面任取一个即可得出答案．
【解答】解：① 越大函数增长越快；②图象从下往上 越来越大；③函数值都大于1；④ 越大越远离x
轴；⑤ ＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y＝x对称；⑧当
α α α
＞1时，图象在直线y＝x的上方；当0＜ ＜1时，图象在直线y＝x的下方．
α α
从上面任取一个即可得出答案．
α
故答案为： 越大函数增长越快．
【知识点】幂函数的性质、幂函数的图象
α
1.（2021•上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（ ）
A．f（x）＝x2 B．f（x）＝sinx C．f（x）＝2x D．f（x）＝1
【答案】C
【分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．
【解答】解：选项A：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，
根据函数的定义可得函数不存在反函数，A错误，
选项B：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，
根据函数的定义可得函数不存在反函数，B错误，
选项C：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C正确，
选项D：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D错误，
故选：C．
【知识点】反函数
2.（2020•新课标Ⅲ）已知55＜84，134＜85．设a＝log 3，b＝log 5，c＝log 8，则（ ）
5 8 13
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【答案】A
【分析】利用中间值比较即可a，b，根据由b＝log 5＜0.8和c＝log 8＞0.8，得到c＞b，即可确定a，b，
8 13
c的大小关系．
【解答】解：由 ，
∵ ，而
∴log 3＜log 5，
5 8
即a＜b；
∵55＜84，∴5＜4log 8，∴log 8＞1.25，∴b＝log 5＜0.8；
5 5 8
∵134＜85，∴4＜5log 8，∴c＝log 8＞0.8，∴c＞b，
13 13
综上，c＞b＞a．
故选：A．
【知识点】对数值大小的比较
3.（2020•新课标Ⅲ）设a＝log 2，b＝log 3，c＝ ，则（ ）
3 5
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【答案】A
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【解答】解：∵a＝log 2＝ ＜ ＝ ，
3
b＝log 3＝ ＞ ＝ ，
5
c＝ ，
∴a＜c＜b．
故选：A．
【知识点】对数值大小的比较
4.（2020•天津）设a＝30.7，b＝（ ）﹣0.8，c＝log 0.8，则a，b，c的大小关系为（ ）
0.7
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可求出．
【解答】解：a＝30.7，b＝（ ）﹣0.8＝30.8，
则b＞a＞1，
log 0.8＜log 0.7＝1，
0.7 0.7
∴c＜a＜b，
故选：D．
【知识点】对数值大小的比较
5.（2019•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 m﹣
2m ＝ lg ，其中星等为m 的星的亮度为E（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是
1 k k
﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1
【答案】A
【分析】把已知熟记代入m﹣m＝ lg ，化简后利用对数的运算性质求解．
2 1
【解答】解：设太阳的星等是m＝﹣26.7，天狼星的星等是m＝﹣1.45，
1 2
由题意可得： ，
∴ ，则 ．
故选：A．
【知识点】对数的运算性质
6.（2016•新课标Ⅱ）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是（ ）
A．y＝x B．y＝lgx C．y＝2x D．y＝
【答案】D
【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．
【解答】解：函数y＝10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），
函数y＝x的定义域和值域均为R，不满足要求；
函数y＝lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；
函数y＝2x的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求；
函数y＝ 的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；
故选：D．
【知识点】对数函数的定义域、对数函数的值域与最值
7.（2017•天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）．若a＝g（﹣log 5.1），b＝g
2
（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】C
【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）＝xf（x）偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则a＝
g（﹣log 5.1）＝g（log 5.1），则2＜log 5.1＜3，1＜20.8＜2，即可求得b＜a＜c
2 2 2
【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）＝0，且f′（x）＞0，
∴g（x）＝xf（x），则g′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）＝xf（x）偶函数，∴a＝g（﹣log 5.1）＝g（log 5.1），
2 2
则2＜log 5.1＜3，1＜20.8＜2，
2
由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log 5.1）＜g（3），
2
∴b＜a＜c，
故选：C．
【知识点】对数值大小的比较
8.（2018•浙江）已知a，a，a，a 成等比数列，且a+a+a+a＝ln（a+a+a），若a＞1，则（ ）
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1
A．a＜a，a＜a B．a＞a，a＜a
1 3 2 4 1 3 2 4
C．a＜a，a＞a D．a＞a，a＞a
1 3 2 4 1 3 2 4
【答案】B
【分析】利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可．
【解答】解：a，a，a，a 成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，
1 2 3 4
a＞1，设公比为q，
1
当q＞0时，a+a+a+a＞a+a+a，a+a+a+a＝ln（a+a+a），不成立，
1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3
即：a＞a，a＞a，a＜a，a＜a，不成立，排除A、D．
1 3 2 4 1 3 2 4
当q＝﹣1时，a+a+a+a＝0，ln（a+a+a）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；
1 2 3 4 1 2 3
当q＜﹣1时，a+a+a+a＜0，ln（a+a+a）＞0，a+a+a+a＝ln（a+a+a）不成立，
1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3
当q （﹣1，0）时，a＞a＞0，a＜a＜0，并且a+a+a+a＝ln（a+a+a），能够成立，
1 3 2 4 1 2 3 4 1 2 3
故选：B．
∈
【知识点】等比数列的性质、对数的运算性质、数列与函数的综合
9.（2020•上海）已知f（x）＝ ，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的
取值范围为 ．
【分析】因为y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）互为反函数若y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）有实数根⇒y＝f
（x+a）与y＝x有交点⇒方程 ，有根．进而得出答案．
【解答】解：因为y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）互为反函数，
若y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）有实数根，
则y＝f（x+a）与y＝x有交点，
所以 ，
即a＝x2﹣x+1＝（x﹣ ）2+ ≥ ，
故答案为：[ ，+∞）．【知识点】反函数
10.（2019•上海）函数f（x）＝x2（x＞0）的反函数为 ﹣ ．
【分析】由y＝x2（x＞0）解得x＝ （y＞0），再交换x与y的位置即得反函数．
【解答】解：由y＝x2（x＞0）解得x＝ ，
∴f﹣1（x）＝ （x＞0）
故答案为f﹣1 （x）＝ （x＞0）
【知识点】反函数
11.（2018•上海）设常数a R，函数f（x）＝1og （x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则
2
a＝ ． ∈
【答案】7
【分析】由反函数的性质得函数f（x）＝1og（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．
2
【解答】解：∵常数a R，函数f（x）＝1og（x+a）．
2
f（x）的反函数的图象经过点（3，1），
∈
∴函数f（x）＝1og（x+a）的图象经过点（1，3），
2
∴log （1+a）＝3，
2
解得a＝7．
故答案为：7．
【知识点】反函数
12.（2018•上海）已知 {﹣2，﹣1，﹣ ，1，2，3}，若幂函数 f（x）＝x 为奇函数，且在
α
（0，+∞）上递减，则α∈＝ ﹣ ．
【答案】-1 α
【分析】由幂函数f（x）＝x 为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a
的值． α
【解答】解：∵ {﹣2，﹣1，﹣ ，1，2，3}，
幂函数f（x）＝x 为奇函数，且在（0，+∞）上递减，
α∈
∴a是奇数，且aα＜0，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域13.（2017•上海）定义在（0，+∞）上的函数 y＝f（x）的反函数为 y＝f﹣1（x），若 g（x）＝
为奇函数，则f﹣1（x）＝2的解为 ．
【分析】由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互
为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．
【解答】解：若g（x）＝ 为奇函数，
可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）＝3﹣x﹣1，
由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）＝﹣g（x），
则g（x）＝f（x）＝1﹣3﹣x，x＞0，
由定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），
且f﹣1（x）＝2，
可由f（2）＝1﹣3﹣2＝ ，
可得f﹣1（x）＝2的解为x＝ ．
故答案为： ．
【知识点】反函数
