文档内容
第 10 讲 圆周运动
目录
考点一 圆周运动中的运动学分析...............................................................................................1
考点二 圆周运动中的动力学分析...............................................................................................1
考点三 圆周运动的临界问题.......................................................................................................4
考点四 竖直平面内圆周运动绳、杆模型...................................................................................7
练出高分.........................................................................................................................................10
考点一 圆周运动中的运动学分析
1．线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．v＝＝.
2．角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．ω＝＝.
3．周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．T＝，T＝.
4．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．a＝rω2＝＝ωv＝r.
n
5．相互关系：(1)v＝ωr＝r＝ 2π rf . (2)a＝＝rω2＝ωv＝r＝4π2f2r.
n
[例题1] （2023•崇明区二模）如图为车库出入口采用的曲杆道闸，道闸由转动杆
OP与横杆PQ链接而成，P、Q为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，杆PQ始终保
持水平，则在抬起过程中P和Q两点（ ）
A．线速度相同，角速度相同
B．线速度相同，角速度不同
C．线速度不同，角速度相同
D．线速度不同，角速度不同
[例题2] （2023•台州二模）某款机械表中有两个相互咬合的齿轮A、B，如图所
示，齿轮A、B的齿数之比为1：2，齿轮匀速转动时，则A、B齿轮的（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分1 百】A．周期之比T ：T ＝2：1
1 2
B．角速度之比为 ： ＝2：1
1 2
C．边缘各点的线速
ω
度大
ω
小之比v
1
：v
2
＝1：2
D．转速之比为n ：n ＝1：2
1 2
[例题3] （2023•广东一模）如图，为防止航天员的肌肉萎缩，中国空间站配备了
健身自行车作为健身器材。某次航天员健身时，脚踏板始终保持水平，当脚踏板从图
中的实线处匀速转至虚线处的过程中，关于脚踏板上 P、Q两点的说法正确的是（
）
A．P做匀速直线运动
B．Q做匀速圆周运动
C．P的线速度大小比Q的大
D．P的向心加速度大小比Q的大
[例题4] （2023•石景山区一模）一个地球仪绕与其“赤道面”垂直的“地轴”匀
速转动的示意图如图所示。P点和Q点位于同一条“经线”上、Q点和M点位于“赤
道”上，O为球心。下列说法正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分2 百】A．P、Q的线速度大小相等
B．P、M的角速度大小相等
C．P、Q的向心加速度大小相等
D．P、M的向心加速度方向均指向O
[例题5] （2023•宝鸡模拟）某学校门口的车牌自动识别系统如图所示，闸杆水平
时距水平地面高为1m，可绕转轴O在竖直面内匀速转动，自动识别区ab到a'b'的距离
为6.6m，汽车匀速驶入自动识别区，自动识别系统识别的反应时间为0.2s，闸杆转动
π
的角速度为 rad/s。若汽车可看成高1.6m的长方体，闸杆转轴O与汽车左侧面的
8
水平距离为0.6m，要使汽车顺利通过闸杆（车头到达闸杆处视为通过闸杆），则汽车
匀速行驶的最大允许速度为（ ）
A．2m/s B．3m/s C．4m/s D．5m/s
考点二 圆周运动中的动力学分析
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力
的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分3 百】2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力．
3．向心力的公式
F＝ma ＝m＝ mω 2 r ＝mr＝ mr 4π 2 f 2
n n
[例题6] （2023•沧州一模）如图甲所示为杂技演员正在表演“巧蹬方桌”。某一
小段时间内，表演者让方桌在脚上飞速旋转，同时完成“抛”“接”“腾空”等动作
技巧。演员所用方桌（如图乙所示）桌面abcd是边长为1m的正方形，桌子绕垂直于
桌面的中心轴线OO'做匀速圆周运动，转速约为2r/s，某时刻演员用力将桌子竖直向
上蹬出，桌子边水平旋转边向上运动，上升的最大高度约为0.8m。已知重力加速度g
取10m/s2，则桌子离开演员脚的瞬间，桌角a点的速度大小约为（ ）
A．4m/s B．4 m/s
C．√16+8π2m/s D．√ π16+16π2m/s
[例题7] （2023•东城区模拟）如图所示，两根长度相同的细线悬挂两个相同的小
球，小球在水平面上做角速度相同的匀速圆周运动，已知两细线与竖直方向的夹角分
T
1
别为 和 ，设上下两根细线的拉力分别为T 、T ，则 为（ ）
1 2 T
2
α β
2cosβ 2cosα 2sinα 2sinβ
A． B． C． D．
cosα cosβ sinβ sinα
[例题8] （2023•南充模拟）有一种能自动计数的智能呼啦圈深受健身者的喜爱，
智能呼啦圈腰带外侧有半径r＝0.12m的圆形光滑轨道，将安装有滑轮的短杆嵌入轨道
并能自由滑动，短杆的另一端悬挂一根带有配重的腰带轻质细绳，其简化模型如图。
已知配重（可视为质点）质量m＝0.6kg，绳长为L＝0.3m。水平固定好腰带，通过人
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分4 百】体微小扭动，使配重在水平面内做匀速圆周运动，在某一段时间内细绳与竖直方向夹
角始终为53°。腰带可看作不动，重力加速度取g＝10m/s2，不计空气阻力，sin53°＝
0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是（ ）
A．配重受到的合力大小为10N
10√30
B．配重的角速度为ω= rad/s
9
C．若细绳不慎断裂，配重将自由下落
D．若增大转速，细绳对配重的拉力将变小
[例题9] （2023•厦门一模）如图，不可伸长的轻绳一端与质量为m的小球相连，
另一端跨过两等高定滑轮与物块连接，物块置于左侧滑轮正下方的水平压力传感装置
3
上，小球与右侧滑轮的距离为l。现用水平向右恒力F= mg将小球由最低处拉至轻绳
4
4
与竖直方向夹角 ＝37°处，立即撤去F，此时传感装置示数为 mg．已知物块始终没
5
有脱离传感装置，θ重力加速度为g，不计滑轮的大小和一切摩擦，sin37°＝0.6，cos37°
＝0.8，求：
（1）撤去F时小球的速度大小v ；
1
（2）小球返回最低处时轻绳的拉力大小；
（3）小球返回最低处时传感装置的示数。
[例题10]（2022•南京二模）现将等宽双线在水平面内绕制成如图1所示轨道，两
段半圆形轨道半径均为R=√3m，两段直轨道AB、A'B长度均为l＝1.35m。在轨道上
放置个质量m＝0.1kg的小圆柱体，如图2所示，圆柱体与轨道两侧相切处和圆柱截面
圆心O连线的夹角 为120°，如图3所示，两轨道与小圆柱体的动摩擦因数均为 ＝
0.5，小圆柱尺寸和轨道间距相对轨道长度可忽略不计，初始时小圆柱位于A点处，现
θ μ
使 之 获 得 沿 直 轨 道 AB 方 向 的 初 速 度 v 。 求 ：
0
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分5 百】（1）小圆柱沿AB运动时，内外轨道对小圆柱的摩擦力f 、f 的大小；
1 2
（2）当v ＝6m/s，小圆柱刚经B点进入圆弧轨道时，外轨和内轨对小圆柱的压力N 、
0 1
N 的大小；
2
（3）为了让小圆柱不脱离内侧轨道，v 的最大值，以及在v 取最大值情形下小圆柱最
0 0
终滑过的路程s。
考点三 圆周运动的临界问题
1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临
界点．
2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存
在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点．
3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在
着极值，这些极值点也往往是临界点．
[例题11] （2023•山东模拟）如图所示，水平机械臂BC固定在竖直转轴CD上，
B处固定一与BC垂直的光滑水平转轴，轻杆AB套在转轴上。轻杆可在竖直面内转动，
其下端固定质量为m的小球，轻杆和机械臂的长度均为L，开始小球静止，缓慢增大
竖直轴转动的角速度，直至杆与竖直方向的夹角为 37°，已知sin37°＝0.6，cos37°＝
0.8，重力加速度为g，则（ ）
√5g
A．此时小球的角速度大小为
4L
√3gL
B．此时小球的线速度大小为
2
4
C．此过程中杆对小球做的功为 mgL
5
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分6 百】3
D．此过程中杆对小球做的功为 mgL
5
[例题12]（2023•高新区模拟）如图所示，半径分别为r 、r 的两圆盘水平放置，
A B
圆盘的边缘紧密接触，当两圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动时，圆盘的边缘不打滑，
质量分别为m 、m 的物块A、B（均视为质点）分别放置在两圆盘的边沿，与圆盘间
A B
的动摩擦因数分别为 、 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现让圆盘绕过圆心的竖
A B
直轴转动起来，A比B先滑动的条件是（ ）
μ μ
A． r ＜ r B． r ＜ r
A A B B A B B A
μ μ μ μ
C．
μA＞ μB
D．
μ B＜ μ A
r r r r
A B A B
[例题13]（多选）（2023•河南模拟）一个可以转动的玩具装置如图所示，四根轻
杆OA、OC、AB和CB与两小球及一小环通过铰链连接，轻杆长均为 L，球和环的质
量均为m，O端固定在竖直的轻质转轴上。套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之
3
间，原长为L。装置静止时，弹簧长为 L。如果转动该装置并缓慢增大转速，发现小
2
环缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为 g。
则下列说法正确的是（ ）
4mg
A．弹簧的劲度系数k=
L
2mg
B．弹簧的劲度系数为k=
L
√8g
C．装置转动的角速度为 时，AB杆中弹力为零
5L
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分7 百】√6g
D．装置转动的角速度为 时，AB杆中弹力为零
5L
[例题14]（2023•漳州二模）如图甲为生产流水维上的皮带转弯机，由一段直线形
水平传送带和一段圆弧形水平传送带平滑连接而成，其俯视图如图乙所示，虚线ABC
是皮带的中线，AB段（直线）长度L＝3.2m，BC段（圆弧）半径R＝2.0m，中线上
各处的速度大小均为1.0m/s。某次转弯机传送一个质量m＝0.5kg的小物件时，将小物
件轻放在直线旋带的起点A处，被传送至B处，滑上圆弧皮带上时速度大小不变。已
知小物件与两皮带间的动摩擦因数均为 ＝0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重
力加速度g取10m/s2。
μ
（1）求小物件在直线皮带上加速过程的位移大小s；
（2）计算说明小物件在圆弧皮带上是否打滑？并求出摩擦力大小。
[例题15]（2023•浙江模拟）如图为某游戏装置的示意图。AB、CD均为四分之一
圆弧，E为圆弧DEG的最高点，各圆弧轨道与直轨道相接处均相切。GH与水平夹角
为 ＝37°，底端H有一弹簧，A、O 、O 、D、O 、H在同一水平直线上。一质量为
1 2 3
0.01kg的小钢球（其直径稍小于圆管内径，可视作质点）从距A点高为h处的O点静
θ
止释放，从A点沿切线进入轨道，B处有一装置，小钢球向右能无能量损失的通过，
向左则不能通过且小钢球被吸在B点。若小钢球能够运动到H点，则被等速反弹。各
圆轨道半径均为R＝0.6m，BC长L＝2m，水平直轨道BC和GH的动摩擦因数 ＝
0.5，其余轨道均光滑，小钢球通过各圆弧轨道与直轨道相接处均无能量损失。某次游
μ
戏时，小钢球从O点出发恰能第一次通过圆弧的最高点E。（sin37°＝0.6，cos37°＝
0.8，g＝10m/s2）求：
（1）小钢球第一次经过C点时的速度大小v ；
C
（2）小钢球第一次经过圆弧轨道最低点B时对轨道的压力大小F （保留两位小数）；
B
（3）若改变小钢球的释放高度h，求出小钢球在斜面轨道上运动的总路程s与h的函数
关系。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分8 百】考点四 竖直平面内圆周运动绳、杆模型
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是
无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑
(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”．
2．绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型 杆模型
常见类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高点的 由mg＝m得
由小球恰能做圆周运动得v ＝0
临
临界条件 v ＝
临
(1)当v＝0时，F ＝mg，F 为支持力，沿
N N
(1)过最高点时，v≥，F ＋mg
N
半径背离圆心
＝m，绳、圆轨道对球产生弹
(2)当0时，F ＋mg＝m，F 指向圆心并
N N
圆轨道
随v的增大而增大
[例题16]（2023•宁波二模）如图所示，屋顶摩天轮“芯动北仑”的轮盘的直径是
52米，转一圈时间为13分14秒，轿厢中游客的运动可视为匀速圆周运动，下列说法
正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分9 百】A．游客始终处于失重状态
B．游客的线速度大小约为0.2m/s
C．游客的角速度大小约为1.3×10﹣3rad/s
D．轿厢对游客的作用力的大小保持不变
[例题17]（2023•雅安模拟）滑板运动是许多青少年最喜爱的极限运动之一，而
360°绕圈滑行是每个滑板爱好者的终极挑战目标。一质量为50kg的极限滑板高手从弧
形轨道O点滑下，紧接着滑上半径为5m的竖直圆形轨道。如图所示，A点为最高点，
B点与圆心等高，C点为最低点，忽略所有摩擦，重力加速度大小取g＝10m/s2。下列
说法正确的是（ ）
A．在圆形轨道上运动时，滑板高手受到重力、圆形轨道的弹力和向心力共三个力的作
用
B．滑板高手至少从离地12m高度静止滑下，才能挑战成功，做完整的圆周运动
C．若滑板高手从15m高度静止滑下，经过B点时对轨道的压力大小为2000N
D．若滑板高手从B点静止下滑到最低点C的过程中，重力的瞬时功率一直增大
[例题18]（2023•佛山一模）偏心振动轮广泛应用于生活中的各个领域，如手机振
动器、按摩仪、混凝土平板振动机等。如图甲，某工人正操作平板振动机进行水泥路
面的压实作业。平板振动机中偏心振动轮的简化图如图乙所示，轮上有一质量较大的
偏心块。若偏心轮绕转轴O在竖直面内转动则当偏心块的中心运动到图中哪一位置时，
振动机对路面压力最大（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分10百】A．P B．Q C．M D．N
[例题19]（2023•汕头一模）如图甲所示，被称为“魔力陀螺”玩具的陀螺能在圆
轨道外侧旋转不脱落，其原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖
直固定，质量为m的铁球（视为质点）沿轨道外侧运动，A、B分别为轨道的最高点
和最低点，轨道对铁球的磁性引力始终指向圆心且大小不变，不计摩擦和空气阻力，
重力加速度为g，则（ ）
A．铁球绕轨道可能做匀速圆周运动
B．由于磁力的作用，铁球绕轨道运动过程中机械能不守恒
C．铁球在A点的速度必须大于√gR
D．轨道对铁球的磁性引力至少为5mg，才能使铁球不脱轨
[例题20]（2023•西安一模）云霄飞车玩具（如图a所示）是儿童最为喜爱的益智
类玩具之一，玩具组装原件多，主要考查儿童的思维能力和动手能力。玩具的一小部
分结构被简化如图b所示，钢制粗糙水平面AB的长度为s＝1m，A端连接一倾角为
＝30°的光滑斜面，斜面长度为L＝0.9m，B端点固定一半径R＝0.2m的竖直光滑圆弧
θ
轨道。从斜面顶端由静止释放一质量M＝0.1kg的小球甲，运动到A点时与另一质量
m＝0.05kg的静止小滑块乙发生弹性碰撞（斜面与水平轨道连接处能量损失可忽略不
计）。碰后小滑块乙在水平面上运动到B点后进入圆弧轨道，取g＝10m/s2。
小滑块材料 水平面材料 动摩擦因数
钢 钢 0.25
木 钢 0.2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分11百】聚氯乙烯 钢 0.4
聚异戊二烯 钢 0.65
（1）求甲、乙碰撞过程中，甲球对小滑块乙的冲量；
（2）若小滑块乙能进入圆轨道并在进入后的运动过程中不脱离轨道，请在表格数据中
为小滑块选择合适的材料满足上述的运动条件，写出相应的判断依据。
练出高分
一．选择题（共10小题）
1．（2023•昆明一模）图甲是市区中心的环岛路，A、B两车正在绕环岛做速度大小相等
的匀速圆周运动，如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．A、B两车的向心加速度大小相等
B．A车的角速度比B车的角速度大
C．A、B两车所受的合力大小一定相等
D．A车所受的合力大小一定比B车的大
2．（2023•青羊区校级模拟）如图为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A端，另
一端拴接重物，当车轮高速旋转时，重物由于离心运动拉伸弹簧后才使触点M、N接触，
从而接通电路，LED灯就会发光。下列说法正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分12百】A．气嘴灯做圆周运动时，重物受到重力、弹簧弹力和向心力
B．气嘴灯运动至最高点时处于超重状态
C．以相同转速匀速行驶时，重物质量越小，在最低点时LED灯越容易发光
D．以相同转速匀速行驶时，若LED灯转到最高点时能发光，则在最低点时也一定能发
光
3．（2023•虹口区二模）如图，钢架雪车比赛中，雪车以速率 v通过截面为四分之一圆弧
的弯道，弯道半径为R，不计雪车受到冰面摩擦力。在此情况中（ ）
A．运动员和雪车所受合外力为零
B．轨道对雪车的弹力为其转弯的向心力
C．若仅增大v，则雪车离轨道底部更高
D．若仅增大R，则雪车离轨道底部更高
4．（2023•滨海新区校级模拟）石拱桥是中国传统桥梁的四大基本形式之一。假设某拱形
桥为圆的一部分，半径为R。一辆质量为m的汽车以速度v匀速率通过该桥，图中Q为
拱形桥的最高点，圆弧PQS所对的圆心角为90°，PS关于QO对称，汽车运动过程中所
受阻力大小恒定，重力加速度为g。下列说法正确的是 （ ）
A．汽车运动到P点时对桥面的压力大于mgcos45°
B．汽车运动到Q点时牵引力大于阻力
C．汽车运动到Q点时，桥面对汽车的支持力等于汽车重力
D．汽车从P点运动到S点过程中，其牵引力一定一直减小
5．（2023•上饶模拟）如图所示，半径为R的水平圆盘绕中心O点做匀速圆周运动，圆盘
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分13百】中心O点正上方H处有一小球被水平抛出，此时半径OB恰好与小球初速度方向垂直，
从上向下看圆盘沿顺时针转动，小球恰好落在B点，重力加速度大小为g，不计空气阻
力，下列说法正确的是（ ）
√2H
A．小球的初速度大小为R
g
R √ g
B．小球的初速度大小为
2 2H
3π √2g
C．圆盘的角速度大小可能为
2 H
7π √ g
D．圆盘的角速度大小可能为
2 2H
6．（2023•怀仁市校级二模）在2022年北京冬奥会短道速滑项目男子1000米决赛中，中
国选手任子威夺得冠军。如图所示，A、B、A'、B'在同一直线上，O'为AA'中点，运动
员由直线AB经弯道到达直线A'B'，若有如图所示的①②两条路线可选择，其中路线
①中的半圆以O为圆心，半径为8m，路线②是以O'为圆心，半径为15m的半圆．若
运动员在沿两圆弧路线运动的过程中，冰面与冰刀之间的径向作用力的最大值相等，运
动员均以不打滑的最大速率通过两条路线中的弯道（所选路线内运动员的速率不变），
则下列说法正确的是（ ）
A．在①②两条路线上，运动员的向心加速度大小不相等
B．沿①②两条路线运动时，运动员的速度大小相等
C．选择路线①，路程最短，运动员所用时间较短
D．选择路线②，路程不是最短，但运动员所用时间较短
7．（2023•杨浦区二模）如图，飞机在水平面内做半径为 180米的匀速盘旋表演，机身倾
斜，飞机速率为60m/s。重力加速度g取10m/s2。若飞机在竖直平面内获得的升力与机
翼垂直，则（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分14百】A．机翼与竖直方向的倾角约为56.3°
B．机翼与水平方向的倾角约为26.6°
C．飞行员对座椅的作用力约为自身重力的1.1倍
D．飞行员对座椅的作用力约为自身重力的2.2倍
8．（2023•朝阳区一模）如图所示，可视为质点的小球用轻质细绳悬挂于 B点，使小球在
水平面内做匀速圆周运动。现仅增加绳长，保持轨迹圆的圆心O到悬点B的高度不变，
小球仍在水平面内做匀速圆周运动。增加绳长前后小球运动的角速度、加速度以及所受
细绳的拉力大小分别为 、a 、F 和 、a 、F 。则（ ）
1 1 1 2 2 2
ω ω
A． ＝ B．a ＞a C．F ＝F D．F ＞F
1 2 1 2 1 2 1 2
9．（2023•永州三模）如图甲所示，三个物体A、B和C放在水平圆盘上，用两根不可伸
ω ω
长的轻绳分别连接A、B和B、C．物块A、B、C与圆心距离分别为r 、r 和r ，已知
A B C
m ＝1kg，r ＝0.4m，物块A、B、C与圆盘间的动摩擦因数均为 ＝0.05，最大静摩擦
B B
力等于滑动摩擦力。当圆盘以不同角速度 绕轴OO'匀速转动时，A、B之间绳中弹力
μ
T 和B、C之间绳中弹力T 随 2的变化关系如图乙所示，取g＝10m/s2，下列说法正确
1 2 ω
的是（ ）
ω
A．物体A的质量m ＝1kg
A
B．物体C与圆心距离r ＝2m
C
C．当角速度为1rad/s时，圆盘对B的静摩擦力大小为0.5N
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分15百】√10
D．当角速度为 rad/s时，A、B即将与圆盘发生滑动
2
10．（2023•台州模拟）如图所示，物体A、B用细线连接，在同一高度做匀速圆周运动，
圆心均为点O。在某时刻，细线同时断裂，两物体做平抛运动，同时落在水平面上的同
一点。连接A、B的细线长度分别为10l、5l，A、B圆周运动的半径分别为6l、4l，则
O点到水平面的高度为（忽略物体的大小和细线质量）（ ）
A．6l B．10l C．12l D．15l
二．计算题（共3小题）
11．（2023•北京模拟）游乐场里有一种叫“旋转魔盘”的游戏项目，如图所示在一段时间
内某游客（可视为质点）随圆盘一起在水平面内做匀速圆周运动，角速度为 ，半径为
r。已知该游客的质量为m。
ω
（1）求该游客做圆周运动时所需向心力的大小F。
（2）当圆盘转速增大时，该游客仍能与圆盘保持相对静止，其所需向心力的大小如何
变化？简要说明理由。
12．（2022•常州模拟）滑板是第24届北京冬奥会上一个很精彩的项目。如图所示为滑板
运动的训练场地：一半径为R的冰制竖直圆弧最低点C，最高点D，D点切线竖直，圆
弧左端与倾角为 的冰制斜面相切，为保证运动员的安全，在上AB间铺有长度为4L防
滑材料，当长度为L的滑板全部处于AB内时，恰能保持静止，其余部分摩擦不计。一
θ
次训练时，教练员在AB之间推动运动员到滑板离开B点，运动员从D点滑出，竖直上
升到最高点E，下落后沿轨道返回。运动员和滑板总质量为m，运动员始终站在滑板的
正中，板对斜面压力均匀。滑板长度和运动员身高远小于圆弧半径，最大静摩擦力等于
滑动摩擦力，不计空气阻力。试求：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分16百】（1）防滑材料与滑板之间的动摩擦因数；
（2）运动员在圆轨道最低点C受到轨道支持力的大小；
（3）为保证运动员在滑道上只做往返一次滑行，滑板离开B点时的速度。
13．（2023•武汉模拟）如图所示，足够长的光滑倾斜轨道倾角为 37°，圆形管道半径为
R、内壁光滑，倾斜轨道与圆形管道之间平滑连接，相切于B点，C、D分别为圆形管
道的最低点和最高点，整个装置固定在竖直平面内。一小球质量为m，小球直径略小于
圆形管道内径，圆形管道内径远小于R，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）从倾斜轨道上距离C点多高的位置A由静止释放小球，小球滑下后，在圆形管道
内运动通过D点时，管道内壁对小球的作用力恰好为0？
（2）若将圆形管道的上面三分之一部分（PDQ段）取下来，并保证剩余圆弧管道的
P、Q两端等高，将小球仍然从第（1）问中的位置A由静止释放，通过计算说明小球还
能否从Q处进入管道继续在管道内运动？
（3）若将圆形管道的DQB段取下来，改变小球在倾斜轨道上由静止释放的位置，小球
从D点飞出后落到倾斜轨道时的动能也随之改变，求小球从D点飞出后落到倾斜轨道上
动能的最小值（只考虑小球落到倾斜轨道上的第一落点）。
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