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专题 10.3 带电粒子在组合场、叠加场中的运动
一、单选题
1．如图所示为回旋加速器的示意图，用回旋加速器加速某带电粒子时，匀强磁场的磁感应强度为B，高频
交流电周期为T。设D形盒半径为R，不计粒子在两极板间运动的时间，则下列说法正确的是（ ）
A．为了保证粒子在电场中不断被加速，粒子做圆周运动的周期应该为2T
B．被加速的粒子在回旋加速器中做圆周运动的周期随半径的增大而增大
C．增大加速电场的电压，其余条件不变，带电粒子在D形盒中运动的时间变短
D．若只增大交流电源的电压U，则粒子的最大动能将增大
【答案】C
【解析】
A．为了保证粒子在电场中不断被加速，交流电源的周期应该等于粒子做圆周运动的周期，A错误；
B．根据周期公式 可知，被加速的粒子在回旋加速器中做圆周运动的周期与半径无关，B错误；
C．增大加速电场的电压，其余条件不变，每次加速后粒子获得的动能增加，但最终的动能不变，故在电
场中加速的次数减少，带电粒子在D形盒中运动的时间变短，C正确；
D．当粒子被加速到最大速度时，由洛伦兹力提供向心力得
最大动能
联立可得
则若只增大交流电源的电压U，则粒子的最大动能不变，D错误。
故选C。2．2020年爆发了新冠肺炎，该病毒传播能力非常强，因此研究新冠肺炎病毒株的实验室必须全程都在高
度无接触物理防护性条件下操作。武汉病毒研究所是我国防护等级最高的P4实验室，在该实验室中有一
种污水流量计，其原理可以简化为如图所示的模型：废液内含有大量正、负离子，从直径为d的圆柱形容
器右侧流入，左侧流出。流量值Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里的磁感应
强度为B的匀强磁场，下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子所受洛伦兹力的方向水平向左
B．正、负粒子所受洛伦兹力的方向是相同的
C．污水流量计也可以用于测量不带电的液体的流速
D．只需要测量M、N两点间的电压就能够推算废液的流量
【答案】D
【解析】
AB．根据左手定则，正电荷受到竖直向下的洛伦兹力，负电荷受到竖直向上的洛伦兹力，故AB错误；
C．不带电的液体在磁场中流动时，由于没有自由电荷，不能形成电场，MN两点没有电势差，因此无法测
出流速，故C错误；
D．计算液体的流速，根据
可得流速
流量
故D正确。
故选D。
3．质谱仪可以测定有机化合物分子结构，其过程可简化为如图所示。样品室现有某有机物气体分子在离
子化室碎裂成带正电、初速度为零的离子，再经过高压电源区、圆形磁场室（内为匀强磁场、真空管，最
后打在记录仪上，通过测量可测出离子比荷，从而推测有机物的分子结构。已知高压电源的电压为U，圆
形磁场区的半径为R，内部的磁感应强度大小为B。真空管写水平面夹角为θ，离子进入磁场室时速度方向指向圆心。则（ ）
A．高压电源A端接电源的正极
B．磁场室内磁场方向为垂直纸面向里
C．磁场室内两同位素的运动轨迹分别为轨迹I和II，则轨迹I的同位素质量较大
D．记录仪接收到的信号对应的离子比荷
【答案】D
【解析】
AB．正离子在电场中加速，可以判断高压电源A端应接负极，同时根据左手定则知，磁场室的磁场方向应
垂直纸面向外，AB错误；
C．设离子通过高压电源后的速度为v，由动能定理可得
离子在磁场中偏转，则
联立得出
由此可见，质量大的离子的运动轨迹半径大，则轨迹II的同位素质量较大，C错误；
D．离子在磁场中偏转轨迹如图所示
由几何关系可知可解得
D正确。
故选D。
二、多选题
4．如图所示，在 平面内，x>0 的空间区域存在场强大小为E=25 N/C的匀强电场，在x≥0、y≤3m
的区域内存在垂直于纸面的磁场。一带负电的粒子比荷为0.1C/kg，从坐标原点O以某一初速度射入电、
磁场，经过P（4m，3m）点时的动能为O点动能的0.2倍，且速度方向沿y轴正方向，最后从M（0，
5m）点射出电场，此时动能为O点动能的0.52倍，粒子重力不计。以下说法正确的是（ ）
A．粒子在O点所受洛伦兹力大小是P点洛伦兹力的 倍
B．粒子所受电场力沿x轴负方向
C．从P点到M点运动时间为2 s
D．从P点到M点速度变化量的大小为 ，方向与PO平行
【答案】ACD
【解析】
A．设初动能为E，则粒子运动到P点和M点的动能分别为0.2E 和0.52E，根据
k k k
可得选项A正确；
BC．粒子由O点运动到P点，由动能定理
粒子由O点运动到M点，由动能定理得
由以上两式可得
在匀强电场中电势差之比等于两点距离在场强方向的投影长之比；如图所示，因OM在OP上的投影长为
OQ=3m，可知场强方向正好是沿OP方向，则从P到M在水平方向满足
解得
选项B错误，C正确；
D．从P到M
方向与加速度方向相同，即与电场力方向相同，与场强方向相反即方向与PO平行，选项D正确。
故选ACD。
5．如图是霍尔元件的工作原理示意图，如果用 表示薄片的厚度， 为霍尔系数，对于一个霍尔元件
为定值。如果保持 恒定，则可以验证 随 的变化情况，以下说法中正确的是（ ）A．在测定地球赤道上的磁场强弱时，霍尔元件的工作在应保持水平
B．在 间出现霍尔电压 ，
C．将永磁体的一个磁极逐渐靠近霍尔元件的工作面， 将变大
D．改变磁感线与霍尔元件工作面的夹角， 将发生变化
【答案】BCD
【解析】
A．由地磁场可知：赤道上的磁场平行地面，由图可知，磁感线应垂直于电流方向，左右在测定地球赤道
上的磁场强弱时，霍尔元件的工作在应保持竖直，故A错误；
B．达到稳定状态时电子受到的电场力将和洛伦兹力平衡，有
其中 为左右两侧极板的板间距，解得
根据电流微观表达式可得
可知
的乘积正比于电流，反比与 ，在 间出现霍尔电压 可表示为
故B正确；
C．根据 可知将永磁体的一个磁极逐渐靠近霍尔元件的工作面时， 增大，则 也变大，故C
正确；
D．改变磁感线与霍尔元件工作面的夹角，在垂直于工作面方向上的磁感应强度将小于原磁场磁感应强度的大小，则 将减小，故D正确。
故选BCD。
6．如图，M，N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值。
静止的带电粒子所带电荷量为 ，质量为m（不计重力），从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右
侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N
板的夹角为 ，孔Q到板的下端C的距离为L，当M，N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在
CD板上，则下列说法正确的是（ ）
A．两板间电压的最大值
B．CD板上可能被粒子打中区域的长度为
C．粒子在磁场中运动的最长时间
D．能打到N板上的粒子的最大动能为
【答案】CD
【解析】
A．画出粒子运动轨迹的示意图，如图所示
当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，有几何关系可知粒子半径
在加速电场中，根据动能定理得在偏转磁场中，根据洛伦兹力提供向心力可得
解得
故A错误；
B．设粒子轨迹与CD相切与H点，此时粒子半径为 ，粒子轨迹垂直打在CD边上的G点，则GH间的距
离即为粒子打中区域的长度s，根据几何关系有
解得
粒子打中区域的长度
故B错误；
C．粒子在磁场中运动的周期有
解得
粒子在磁场中运动的最大圆心角
所以最长时间为
故C正确；D．当粒子在磁场的轨迹与CD边相切时，即粒子半径 时，打到N板上的粒子动能最大，最大动能为
根据洛伦兹力提供向心力可得
解得能打到N板上的粒子的最大动能为
故D正确。
故选CD。
7．笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件，当显示屏开启时磁体远离霍尔元件，电脑
正常工作；当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件，电脑进入休眠状态。休眠状态时、简化原理如图所示，宽
为a、厚为b、长为c的矩形半导体霍尔元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中，其载流子是电荷
量为e的自由电子，当通入方向向右、大小为I的电流时，元件前、后表面间电压为U，则此时元件的（
）
A．前表面的电势比后表面的高 B．自由电子受到的洛伦兹力大小为
C．前、后表面间的电压U与I无关 D．前、后表面间的电压U与b成反比
【答案】AD
【解析】
A．当通入方向向右、大小为I的电流时，自由电子运动方向向左，根据左手定则，电子受到的洛伦兹力
指向后表面，根据平衡条件，受到的电场力指向前表面，则前表面的电势比后表面的高，故A正确；
B．元件前、后表面间电压为U时，洛伦兹力和电场力平衡，则有
故B错误；
CD．根据电流的微观表达式洛伦兹力和电场力平衡，则有
解得
故前、后表面间的电压U与I有关，U与b成反比，故C错误，D正确。
故选AD。
8．霍尔元件是一种基于霍尔效应的磁传感器。某型号霍尔元件（导电自由电荷为电子）左右长度为a，前
后宽度为b，上、下两个面之间的距离为h。将此霍尔元件前后两面的C点、A点通过导线连接一个理想电
压表，置于图示竖直向下的匀强磁场中。连接电路，闭合电键，进行测试，下列判断中正确的是（ ）
A．A点导线应与电压表的正接线柱相连
B．在保证电流大小不变的前提下，电压表的示数与h成反比
C．向左移动滑动变阻器的滑片P，电压表示数减小
D．若仅增大霍尔元件自由电荷的浓度，则电压表示数减小
【答案】BD
【解析】
A．通过霍尔元件的电流向右，电子向左定向移动，根据左手定则可知电子受到向里的洛伦兹力而向里偏，
所以内侧面的电势低于外侧面的电势，所以A点导线应与电压表的负接线柱相连，故A错误；
B．设霍尔元件自由电荷的浓度为n，定向移动的速率为v，根据
可得
所以电压表的示数与上下面厚度h成反比，故B正确；
C．向左移动滑动变阻器的滑片P，通过霍尔元件的电流增大，由可知电压表示数增大，故C错误；
D．由
可知仅增大霍尔元件自由电荷的浓度，电压表示数减小，故D正确。
故选BD。
9．自行车速度计可以利用霍尔效应传感器获知自行车的运动速率。如图甲所示，一块磁铁安装在前轮上，
轮子每转一圈，磁铁就靠近传感器一次，传感器就会输出一个脉冲电压。如图乙所示，外接电源使通过霍
尔元件电流I向左，当磁场靠近霍尔元件时，在导体前后表面间出现电势差U（前表面的电势低于后表面
的电势）。下述正确的有（ ）
A．根据车轮半径，脉冲周期，可算车速大小B．图乙中霍尔元件中的自由电荷带正电
C．若电流I变大，则霍尔电势差U变大 D．若自行车的车速越大，则霍尔电势差U越大
【答案】AC
【解析】
A．根据单位时间内的脉冲数，可求得车轮转动周期，从而求得车轮的角速度，最后由线速度公式
结合车轮半径，即可求解车轮的速度大小，故A正确；
B．前表面的电势低于后表面的电势，根据左手定则，霍尔元件的电流I是由负电荷定向运动形成的，故B
错误；
D．根据
得
由电流的微观定义式I=neSv，n是单位体积内的电子数，e是单个导电粒子所带的电量，S是导体的横截面
积，v是导电粒子运动的速度，整理得联立解得
可知用霍尔元件可以测量地磁场的磁感应强度，保持电流不变，霍尔电压U与车速大小无关，故D错误；
C．由公式
若电流I变大，则霍尔电势差U将变大，故C正确。
故选AC。
10．在方向如图所示的匀强电场（场强为E）和匀强磁场（磁感应强度为B）共存的区域，一电子沿垂直
电场线和磁感线方向以速度v 射入场区，则（ ）
0
A．若 ，电子沿轨迹Ⅰ运动，射出场区时速度v>v
0
B．若 ，电子沿轨迹Ⅱ运动，射出场区时速度v＜v
0
C．若 ，电子沿轨迹Ⅰ运动，射出场区时速度v>v
0
D．若 ，电子沿轨迹Ⅱ运动，射出场区时速度v＜v
0
【答案】BC
【解析】
电子受向上的电场力和向下的洛伦兹力；
AB．若
则
则电子沿轨迹Ⅱ运动，电场力做负功，则射出场区时速度vv，选项C正确，D错误。
0
故选BC。
三、解答题
11．如图所示，在 的区域内存在垂直 平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在 的
区域内存在垂直x轴方向的匀强电场（图中未画出），从原点O沿y轴正方向发射的粒子刚好从磁场右边
界上 点离开磁场进入电场，经电场偏转后到达x轴上的Q点，到Q点速度恰好沿x轴正方向，
已知粒子质量为m，电荷量为q，不计粒子重力，求：
（1）粒子经过P点的速度大小和方向；
（2）粒子从O点运动到P点所用时间；
（3）电场强度的大小和方向。
【答案】（1） ，与y轴负方向夹角等于 ；（2） ；（3） ，沿y轴负方向
【解析】
（1）带电粒子进入磁场后只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，设粒子
经过P点的速度大小为v，在磁场中的轨迹半径为r，根据几何关系有解得
，
在磁场中由洛伦兹力提供向心力得
解得
由几何关系可得粒子经过P点的速度方向与y轴负方向夹角等于 ；
（2）粒子在磁场中的运动轨迹的圆心角为
粒子在磁场中的运动时间
（3）粒子在匀强电场中做类斜抛运动，沿x轴正方向做匀速直线运动，沿y轴负方向做匀减速直线运动，
到达Q点时沿y轴的速度为零。由牛顿第二定律得
沿y轴方向由运动学公式可得
解得电场强度的大小
在磁场中粒子顺时针偏转，由左手定则可知粒子带负电，在电场中沿y轴负方向做匀减速直线运动，故电
场强度的方向沿y轴负方向。
12．如图甲所示，半径为R的圆形A区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，PQ为其水平直径，竖直放置
的平行板M、N间加有如图乙所示的电压（ 已知， 未知）。在圆形磁场的下方有一水平的粒子接收
屏，在M板附近有一粒子源，不断无初速度释放质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，粒子经电场加速后从P点沿PQ方向射入磁场，经磁场偏转后打在接收屏上，打在接收屏上最左侧的粒子，速度与水平方
向的夹角为60°，打在接收屏上最右侧的粒子，速度与水平方向的夹角也为60°，不计粒子的重力，粒子在
加速电场中的运动时间远小于T，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小；
（2）两板间最大电压 为多少。
【答案】（1） ；（2）
【解析】
（1）（2）在磁场中，根据
可得
进入磁场时，粒子速度越大，则轨迹半径越大，结合几何知识可知，打在接收屏最左侧的粒子速度最小，
打在接收屏最右侧的粒子速度最大，从电场进入磁场，由动能定理得
由几何关系可得
联立解得1．（2022·湖南·雅礼中学二模）武汉病毒研究所是我国防护等级最高的P4实验室，在该实验室中有一种
污水流量计，其原理可以简化为如图乙所示模型：废液内含有大量正负离子，从直径为d的圆柱形容器右
侧流入，左侧流出，流量值Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里的磁感应强度
为B的匀强磁场，下列说法正确的是（ ）
A．只需要测量磁感应强度B、直径d及MN两点电压U，就能够推算污水的流量
B．只需要测量磁感应强度B及MN两点电压U，就能够推算污水的流速
C．当磁感应强度B增大时，污水流速将增大
D．当污水中离子浓度升高时，MN两点电压将增大
【答案】A
【解析】
AB．废液流速稳定后，粒子受力平衡，有
解得废液的流速
废液流量
解得
只需要测量磁感应强度B、直径d及MN两点电压U，就能够推算污水的流量，而要测量出废液的流速，
除需要测量磁感应强度B及MN两点电压U外，还需要测量出圆柱形容器直径d，故A正确，B错误；C．电磁流量计可利用
的表达式来测出污水的流速，但是不能通过改变磁感应强度B来改变污水的流速，故C错误；
D．由
可知
可知MN两点电压与磁感应强度B、流量Q、直径d有关，而与离子的浓度无关，故D错误；
故选A。
2．（2022·重庆一中模拟）质谱仪是研究同位素的重要工具，重庆一中学生在学习了质谱仪原理后，运用
所学知识设计了一个质谱仪，其构造原理如图所示。粒子源O可产生a、b两种电荷量相同、质量不同的
粒子（初速度可视为0），经电场加速后从板AB边缘沿平行于板间方向射入，两平行板AB与CD间存在
方向垂直纸面向外的匀强磁场，板间距为L，板足够长，a、b粒子最终分别打到CD板上的E、F点，E、
F到C点的距离分别为 L和L，则a、b两粒子的质量之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图
由几何关系可得所以
由图易得为L，加速阶段有
圆周运动有
所以
所以
所以
故选B。
3．（2022·北京朝阳模拟）如图所示，水平放置的平行金属板间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场。一
个电荷量为 、质量为m的粒子（不计重力）以速度v水平向右射入，粒子恰沿直线穿过。下列说法正确
的是（ ）
A．若粒子从右侧水平射入，粒子仍能沿直线穿过
B．若只将粒子的电荷量变为 ，粒子将向下偏转
C．若只将粒子的电荷量变为 ，粒子仍能沿直线穿过
D．若只将粒子的速度变为2v且粒子不与极板相碰，则从右侧射出时粒子的电势能减少【答案】C
【解析】
A．若粒子从右侧水平射入，粒子所受洛伦兹力不可能与电场力平衡，粒子不可能沿直线穿过，故A错误；
B．若只将粒子的电荷量变为 ，则粒子所受洛伦兹力和电场力同时增大2倍，仍能满足平衡条件，所
以粒子仍能沿直线穿过，故B错误；
C．若只将粒子的电荷量变为 ，则粒子所受洛伦兹力和电场力同时增大2倍，且方向同时变为相反，
仍能满足平衡条件，所以粒子仍能沿直线穿过，故C正确；
D．若只将粒子的速度变为2v且粒子不与极板相碰，将粒子的速度分解为两个同向的速度v，则其中一个
速度v使粒子满足所受洛伦兹力与电场力平衡而做匀速直线运动，另一个速度v使粒子受到洛伦兹力而做
匀速圆周运动，所以粒子的运动可视为一沿虚线方向的匀速直线运动和竖直面内虚线上方的匀速圆周运动
的合成， 即做摆线运动，如图所示，由此可知粒子只能从虚线上侧或虚线位置射出，整个过程洛伦兹力
不做功，而电场力只可能做负功或不做功，所以粒子的电势能可能增大或不变，故D错误。
故选C。
4．（2022·北京海淀·二模）如图所示为某种质谱仪工作原理示意图，离子从电离室A中的小孔S 飘出（初
1
速度不计），经相同的加速电场加速后，通过小孔S，从磁场上边界垂直于磁场方向进入磁感应强度为B
2
的匀强磁场中，运动半个圆周后打在照相底片D上并被吸收形成谱线。照相底片D上有刻线均匀分布的标
尺（图中未画出），可以直接读出离子的比荷。下列说法正确的是（ ）
A．加速电压越大，打在底片上同一位置离子的比荷越大
B．磁感应强度越大，打在底片上同一位置离子的比荷越大
C．磁感应强度越大，打在底片上同一位置离子的电荷量越大
D．若将该装置底片刻度标注的比荷值修改为同位素的质量值，则各刻线对应质量值是均匀的
【答案】A
【解析】
ABC．在加速电场中，根据动能定理在偏转磁场中，洛伦兹提供向心力
打在屏上的位置
d=2r
联立可得
则加速电压越大，打在底片上同一位置离子的比荷越大；磁感应强度越大，打在底片上同一位置离子的比
荷越小；磁感应强度越大，打在底片上同一位置离子的电荷量不一定越大，选项A正确，BC错误；
D．根据
可得
对同位素电量q相等，则
则若将该装置底片刻度标注的比荷值修改为同位素的质量值，则各刻线对应质量值不是均匀的，选项D错
误。
故选A。
5．（2022·山东日照·三模）如图所示，水平地面上方存在相互正交的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直
向下、磁场方向水平向里。一个带正电的小球从A点沿水平向右方向进入该区域，落到水平地面上，设飞
行时间为 ，水平射程为 ，着地速度大小为 ，电场力的瞬时功率为 ；撤去磁场，其余条件不变，小
球飞行时间为 ，水平射程为 ，着地速度大小为 ，电场力的瞬时功率为 。下列判断正确的是
（ ）A． < B． > C． D．
【答案】BC
【解析】
小球在电场与磁场同时存在的情况下落到地面，与撤去磁场时相比，多受一大小变化、方向斜向右上（A
点水平向右）的洛伦兹力，设速度与水平方向夹角为 ，竖直方向上，由牛顿第二定律有
，
得
水平方向上
，
AB．对两球竖直方向上，都下落h，由
，
可知
水平方向上，由
，
可知
A错误，B正确；
C．由动能定理可知两种情况粒子抛出到地面过程中，都只有重力和电场力做功，总功相同，由动能定理
所以有C正确；
D．设两种情况小球落地时速度与水平方向夹角分别为 和 ，则有运动分析可知
竖直方向上分速度
，
有
电场力的瞬时功率为
可知
D错误。
故选BC。
6．（2022·山东省实验中学模拟）如图甲所示，现有一机械装置，装置O右端固定有一水平光滑绝缘杆，
装置可以带动杆上下移动，杆上套有两个小球 、b，质量 ，a球带电量 ，b球不
带电。初始时 球在杆的最左端，且 球相距L=0.10m。现让装置O带动杆以v=5m/s向下匀速平动，
0
并且加上一垂直杆向里的磁感应强度B=1T的匀强磁场，已知小球和杆始终在磁场中，球发生的碰撞均为
弹性碰撞，且碰撞过程中电荷量不发生转移。以下说法正确的是（ ）
A．小球 第一次碰撞前，小球 的速度大小为1m/s
B．小球 第一次碰撞后，小球 的速度大小为 m/s
C．若杆的长度为12.1m，则 两球在杆的最右端恰好发生第10次碰撞D．若杆的长度为12.1m，则 两球在杆的最右端恰好发生第11次碰撞
【答案】AC
【解析】
A． 球运动过程中，受到的洛伦兹力为
加速度
小球 第一次碰撞前，水平方向，根据速度位移关系
解得第一次碰撞前，小球 的速度大小
故A正确；
B．小球 第一次碰撞过程，根据动量守恒和机械能守恒有
解得
即小球 第一次碰撞后，小球 的速度大小为 ，故B错误；
CD．小球 第一次碰撞后，设再经时间 发生第二次碰撞，则有
解得
第二次碰前 的速度大小第二次碰撞过程，根据动量守恒和机械能守恒有
解得
设再经时间 发生第三次碰撞，则有
解得
依次类推，不难看出每一次碰撞b球速度增加 ，间隔时间 ，每两次碰撞间隔b球向右运动的位移
为
若杆的长度为12.1m，根据等差数列求和公式可知
解得
加上第一次的碰撞，可知 两球在杆的最右端恰好发生第10次碰撞，故C正确，D错误。故选AC。
7．（2022·山东·济南三中模拟）如图所示，在y > 0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y < 0
的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外。一电荷量为q、质量为m的带正电的运动
粒子，经过y轴上y = h处的点P 时速率为v，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x = 2h处的P 点进
1 0 2
入磁场，并经过y轴上y = - 2h的P 点。不计重力。求：
3
（1）电场强度的大小。
（2）粒子到达P 时速度的大小和方向。
2
（3）磁感应强度的大小。
【答案】（1） ；（2） ，方向与x轴夹角45°，斜向右下方；（3）
【解析】
（1）粒子在电场中做类平抛运动，利用类平抛运动的位移公式结合牛顿第二定律可以求出电场强度的大
小；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，利用速度的合成可以求出合速度的大小，利用运动的轨迹可以判别
速度的方向；
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，利用牛顿第二定律结合轨道半径的大小可以求出磁感应强度的大小。
（1）粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图所示
设粒子从P 运动到P 的时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二定律
1 2
qE = ma
根据运动学公式有
vt = 2h
0h = at2
联立以上解得
（2）粒子到达P 时速度沿x方向速度分量为v，以v 为速度沿y方向速度分量的大小，v表示速度的大小，
2 0 1
θ为速度与x轴的夹角，则有
由图可得
θ = 45°
有
v = v
1 0
联立以上各式解得
方向与x轴夹角45°，斜向右下方。
（3）设磁场的磁感应强度为B，在洛伦兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可得
r是圆周的半径，与x轴、y轴的交点为P、P，因为
2 3
OP = OP
2 3
θ = 45°
由几何关系可知，连线PP 为圆周的直径，由几何关系可求得
2 3
联立解得
8．（2022·山西吕梁·三模）空间分布着如图所示的匀强电场和垂直于纸面的匀强磁场，其中 区域足够大，
分布在半径 的圆形区域内，MN为过其圆心O的竖直线， 、 区域磁感应强度大小均为1T，虚线 与MN平行且相距1m，其右侧区域存在着与水平方向成45°斜向下的匀强电场，电场强度
，电场区域足够大。磁场 中有粒子源S，S与O点的距离 ，且SO垂直于MN。某时
刻粒子源S沿着纸面一次性向各个方向均匀射出一群相同的带正电粒子，粒子的质量均为 、电
量均为 、速率均为 ，其中某粒子先经 区域偏转再从虚线圆的最低点P进入
区域偏转，最后以水平方向的速度从A点进入电场区域。AB为与电场方向垂直的无限大的绝缘板。不计粒
子的重力以及粒子之间的相互作用。
（1）求粒子在磁场中的轨迹半径；
（2）求能够进入 区域的粒子数与发射的粒子总数之比；
（3）从A点水平进入电场区域的带电粒子在电场中运动一段时间后与绝缘板发生碰撞，粒子与AB板发生
碰撞时垂直板方向的速度大小不变、方向相反，沿板方向的速度不变。若粒子能打在C点（图中未画出），
求A点距O点的竖直高度以及AC之间的距离满足的关系式。
【答案】（1）1m；（2） ；（3） ，
【解析】
（1）根据洛伦兹力提供向心力
解得
（2）当粒子的运动轨迹恰好与圆相切时为粒子能够进入 区域的临界情况，如图根据几何关系可知
故当粒子恰好向左或向右射出时，能够刚好进入 区域，粒子初速度有向上的分速度时不能进入 区域，
因此能够进入 区域的粒子数与发射的粒子总数之比为
（3）粒子先经 区域偏转后，再从虚线圆的最低点P进入 区域偏转，最后以水平方向的速度从A点进
入电场区域，由几何关系
粒子与水平方向成60°角进入 区域，则在 区域中运动的圆心角为180°，在 区域中运动的圆心角为
60°
A、O之间的竖直高度
进入电场后，带电粒子做类斜抛运动，由对称性，第一次打到AB板上的D点时速度
与AB板夹角为45°
由A点到D点距离
则A、C之间的距离满足
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面（ 平面）向里，
电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O由静止开始运动。下列
四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解法一：
AC．在xOy平面内电场的方向沿y轴正方向，故在坐标原点O静止的带正电粒子在电场力作用下会向y轴
正方向运动。磁场方向垂直于纸面向里，根据左手定则，可判断出向y轴正方向运动的粒子同时受到沿x
轴负方向的洛伦兹力，故带电粒子向x轴负方向偏转。AC错误；
BD．运动的过程中在电场力对带电粒子做功，粒子速度大小发生变化，粒子所受的洛伦兹力方向始终与速
度方向垂直。由于匀强电场方向是沿y轴正方向，故x轴为匀强电场的等势面，从开始到带电粒子偏转再
次运动到x轴时，电场力做功为0，洛伦兹力不做功，故带电粒子再次回到x轴时的速度为0，随后受电场
力作用再次进入第二象限重复向左偏转，故B正确，D错误。
故选B。
解法二：
粒子在O点静止，对速度进行分解，分解为向x轴正方向的速度v，向x轴负方向的速度v’，两个速度大小相等，方向相反。使得其中一个洛伦兹力平衡电场力，即
则粒子的在电场、磁场中的运动，可视为，向x轴负方向以速度 做匀速直线运动，同时在x轴上方
做匀速圆周运动。
故选B。
2．（2021·福建·高考真题）一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场，其中电场的方向与金属板垂直，
磁场的方向与金属板平行且垂直纸面向里，如图所示。一质子（ ）以速度 自O点沿中轴线射入，恰沿
中轴线做匀速直线运动。下列粒子分别自O点沿中轴线射入，能够做匀速直线运动的是（ ）（所有粒
子均不考虑重力的影响）
A．以速度 的射入的正电子
B．以速度 射入的电子
C．以速度 射入的核
D．以速度 射入的a粒子
【答案】B
【解析】
质子（ ）以速度 自O点沿中轴线射入，恰沿中轴线做匀速直线运动，将受到向上的洛伦兹力和电场力，
满足
解得
即质子的速度满足速度选择器的条件；A．以速度 的射入的正电子 ，所受的洛伦兹力小于电场力，正电子将向下偏转，故A错误；
B．以速度 射入的电子 ，依然满足电场力等于洛伦兹力，而做匀速直线运动，即速度选择题不选择
电性而只选择速度，故B正确；
C．以速度 射入的核 ，以速度 射入的a粒子 ，其速度都不满足速度选器的条件 ，
故都不能做匀速直线运动，故CD错误；
故选B。
二、多选题
3．（2022·广东·高考真题）如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀
强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下
列说法正确的有（ ）
A．电子从N到P，电场力做正功
B．N点的电势高于P点的电势
C．电子从M到N，洛伦兹力不做功
D．电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
【答案】BC
【解析】
A．由题可知电子所受电场力水平向左，电子从N到P的过程中电场力做负功，故A错误；
B．根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知N点的电势高于P点，故B正确；
C．由于洛伦兹力一直都和速度方向垂直，故电子从M到N洛伦兹力都不做功；故C正确；
D．由于M点和P点在同一等势面上，故从M到P电场力做功为0，而洛伦兹力不做功，M点速度为0，
根据动能定理可知电子在P点速度也为0，则电子在M点和P点都只受电场力作用，在匀强电场中电子在
这两点电场力相等，即合力相等，故D错误；
故选BC。
4．（2022·浙江·高考真题）如图为某一径向电场的示意图，电场强度大小可表示为 ， a为常量。
比荷相同的两粒子在半径r不同的圆轨道运动。不考虑粒子间的相互作用及重力，则（ ）A．轨道半径r小的粒子角速度一定小
B．电荷量大的粒子的动能一定大
C．粒子的速度大小与轨道半径r一定无关
D．当加垂直纸面磁场时，粒子一定做离心运动
【答案】BC
【解析】
A．根据电场力提供向心力可得
解得
可知轨道半径r小的粒子角速度大，故A错误；
BC．根据电场力提供向心力可得
解得
又
联立可得
可知电荷量大的粒子的动能一定大，粒子的速度大小与轨道半径r一定无关，故BC正确；
D．磁场的方向可能垂直纸面向内也可能垂直纸面向外，所以粒子所受洛伦兹力方向不能确定，粒子可能
做离心运动，也可能做近心运动，故D错误。
故选BC。
三、解答题5．（2022·山东·高考真题）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加
速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系 中， 空间内充满匀强磁场I，
磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向； ， 的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为
，方向平行于 平面，与x轴正方向夹角为 ； ， 的空间内充满沿y轴负方向的匀强
电场。质量为m、带电量为 的离子甲，从 平面第三象限内距 轴为 的点 以一定速度出射，速度
方向与 轴正方向夹角为 ，在 平面内运动一段时间后，经坐标原点 沿 轴正方向进入磁场I。不计
离子重力。
（1）当离子甲从 点出射速度为 时，求电场强度的大小 ；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度 ；
（3）离子甲以 的速度从 点沿 轴正方向第一次穿过 面进入磁场I，求第四次穿过 平面的位
置坐标（用d表示）；
（4）当离子甲以 的速度从 点进入磁场I时，质量为 、带电量为 的离子乙，也从 点沿 轴正
方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差 （忽
略离子间相互作用）。
【答案】（1） ；（2） ；（3）（d，d， ）；（4）
【解析】（1）如图所示
将离子甲从 点出射速度为 分解到沿 轴方向和 轴方向，离子受到的电场力沿 轴负方向，可知离子
沿 轴方向做匀速直线运动，沿 轴方向做匀减速直线运动，从 到 的过程，有
联立解得
（2）离子从坐标原点 沿 轴正方向进入磁场I中，在磁场I中做匀速圆周运动，经过磁场I偏转后从 轴
进入磁场II中，继续做匀速圆周运动，如图所示
由洛伦兹力提供向心力可得
，
可得
为了使离子在磁场中运动，则离子磁场I运动时，不能从磁场I上方穿出。在磁场II运动时，不能xOz平
面穿出，则离子在磁场用运动的轨迹半径需满足，
联立可得
要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为 ；
（3）离子甲以 的速度从 点沿z轴正方向第一次穿过 面进入磁场I，离子在磁场I中的轨迹半径
为
离子在磁场II中的轨迹半径为
离子从 点第一次穿过到第四次穿过 平面的运动情景，如图所示
离子第四次穿过 平面的 坐标为
离子第四次穿过 平面的 坐标为
故离子第四次穿过 平面的位置坐标为（d，d， ）。
（4）设离子乙的速度为 ，根据离子甲、乙动能相同，可得
可得离子甲、离子乙在磁场I中的轨迹半径分别为
，
离子甲、离子乙在磁场II中的轨迹半径分别为
，
根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点在离子乙第一次穿过x轴的位置，如图所示
从 点进入磁场到第一个交点的过程，有
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为
6．（2022·湖南·高考真题）如图，两个定值电阻的阻值分别为 和 ，直流电源的内阻不计，平行板电
容器两极板水平放置，板间距离为 ，板长为 ，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为 、带
电量为 的小球以初速度 沿水平方向从电容器下板左侧边缘 点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电
容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为 ，忽略空气阻力。
（1）求直流电源的电动势 ；
（2）求两极板间磁场的磁感应强度 ；（3）在图中虚线的右侧设计一匀强电场，使小球离开电容器后沿直线运动，求电场强度的最小值 。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
（1）小球在电磁场中作匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，可得
两端的电压
根据欧姆定律得
联立解得
（2）如图所示
设粒子在电磁场中做圆周运动的半径为 ，根据几何关系
解得
根据解得
（3）由几何关系可知，射出磁场时，小球速度方向与水平方向夹角为 ，要使小球做直线运动，当小球
所受电场力与小球重力在垂直小球速度方向的分力相等时，电场力最小，电场强度最小，可得
解得
7．（2022·河北·高考真题）两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1所示，金属板与可调电源
相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直 平面向外。电场强度和磁感应强
度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为 、初
速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：
（1） 时刻释放的粒子，在 时刻的位置坐标；
（2）在 时间内，静电力对 时刻释放的粒子所做的功；
（3）在 点放置一粒接收器，在 时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被
捕获。
【答案】（1） ；（2） ；（3）【解析】
（1）在 时间内，电场强度为 ，带电粒子在电场中加速度，根据动量定理可知
解得粒子在 时刻的速度大小为
方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离
在 时间内，根据粒子在磁场运动的周期 可知粒子偏转 ，速度反向，根据
可知粒子水平向右运动的距离为
粒子运动轨迹如图
所以粒子在 时刻粒子的位置坐标为 ，即 ；
（2）在 时间内，电场强度为 ，粒子受到的电场力竖直向上，在竖直方向解得 时刻粒子的速度
方向竖直向上，粒子在竖直方向上运动的距离为
在 时间内，粒子在水平方向运动的距离为
此时粒子速度方向向下，大小为 ，在 时间内，电场强度为 ，竖直方向
解得粒子在 时刻的速度
粒子在竖直方向运动的距离
粒子运动的轨迹如图
在 时间内，静电力对粒子的做功大小为电场力做正功；
（3）若粒子在磁场中加速两个半圆恰好能够到达 点，则释放的位置一定在 时间内，粒子加速度
时间为 ，在竖直方向上
在 时间内粒子在水平方向运动的距离为
在 时间内，在竖直方向
在 时间内，粒子在水平方向运动的距离为
接收器的位置为 ，根据距离的关系可知
解得此时粒子已经到达 点上方，粒子竖直方向减速至 用时 ，则
竖直方向需要满足
解得 在一个电场加速周期之内，所以成立，所以粒子释放的时刻为中间时刻 ；
若粒子经过一个半圆到达 点，则粒子在 时间内释放不可能，如果在 时间内释放，经
过磁场偏转一次的最大横向距离，即直径，也无法到达 点，所以考虑在 时间内释放，假设
粒子加速的时间为 ，在竖直方向上
之后粒子在 时间内转动半轴，横向移动距离直接到达 点的横坐标，即
解得
接下来在 过程中粒子在竖直方向减速为 的过程中粒子要在 点被吸收，需要满足
代入验证可知 在一个周期之内，说明情况成立，所以粒子释放时刻为 。
8．（2021·重庆·高考真题）如图1所示的 竖直平面内，在原点O有一粒子源，可沿x轴正方向发射速
度不同、比荷均为 的带正电的粒子。在 的区域仅有垂直于平面向内的匀强磁场； 的区域仅有
如图2所示的电场， 时间内和 时刻后的匀强电场大小相等，方向相反（ 时间内电场方向竖直
向下）， 时间内电场强度为零。在磁场左边界 直线上的某点，固定一粒子收集器（图中未画
出）。0时刻发射的A粒子在 时刻经过左边界进入磁场，最终被收集器收集；B粒子在 时刻以与A粒
子相同的发射速度发射，第一次经过磁场左边界的位置坐标为 ；C粒子在 时刻发射，其发射速
度是A粒子发射速度的 ，不经过磁场能被收集器收集。忽略粒子间相互作用力和粒子重力，不考虑边界
效应。
(1)求电场强度E的大小；
(2)求磁感应强度B的大小；
(3)设 时刻发射的粒子能被收集器收集，求其有可能的发射速度大小。【答案】(1) ；(2) ；(3) 、 、
【解析】
（1）由 粒子类平抛
粒子先类平抛后匀直，
可得
或
解得
（2）对 粒子类平抛
得
A进入磁场时速度与 轴正方向夹角为 ，则得
即
A粒子做匀圆，速度为 半径为 ，有
由
可得
对 粒子类平抛运动的时间为
可得
由几何关系得
联立解得
（3）①设 直接类平抛过D点，即
解得
②设 先类平抛后匀圆过D点，刚进入磁场时与 轴夹角为 、偏移的距离为 ，
则整理得
令 ，则上式变成
观察可得 是其中一解，所以上方程等价于
可得其解是
或
（另一解 不符合题意，舍去）
则有
或
综上所述，能够被粒子收集器收集的粒子速度有： 、 、 。
9．（2022·浙江·高考真题）如图为研究光电效应的装置示意图，该装置可用于分析光子的信息。在xOy平
面（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N与y轴平行放置，板N中间有一小孔O。有一由x轴、y轴和以
O为圆心、圆心角为90°的半径不同的两条圆弧所围的区域Ⅰ，整个区域Ⅰ内存在大小可调、方向垂直纸
面向里的匀强电场和磁感应强度大小恒为B、磁感线与圆弧平行且逆时针方向的磁场。区域Ⅰ右侧还有一
1
左边界与y轴平行且相距为l、下边界与x轴重合的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度为a，长度足够长，其中的磁
场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小可调。光电子从板M逸出后经极板间电压U加速（板间电场视为匀
强电场），调节区域Ⅰ的电场强度和区域Ⅱ的磁感应强度，使电子恰好打在坐标为（a+2l，0）的点上，被
置于该处的探测器接收。已知电子质量为m、电荷量为e，板M的逸出功为W，普朗克常量为h。忽略电
0子的重力及电子间的作用力。当频率为ν的光照射板M时有光电子逸出，
（1）求逸出光电子的最大初动能E ，并求光电子从O点射入区域Ⅰ时的速度v 的大小范围；
km 0
（2）若区域Ⅰ的电场强度大小 ，区域Ⅱ的磁感应强度大小 ，求被探测到的电子刚
从板M逸出时速度v 的大小及与x轴的夹角 ；
M
（3）为了使从O点以各种大小和方向的速度射向区域Ⅰ的电子都能被探测到，需要调节区域Ⅰ的电场强
度E和区域Ⅱ的磁感应强度B，求E的最大值和B 的最大值。
2 2
【答案】（1） ； ；（2） ； ；（3）
；
【解析】
（1）光电效应方程，逸出光电子的最大初动能
（2）速度选择器如图所示，几何关系
（3）由上述表达式可得
由
而vsinθ等于光电子在板逸出时沿y轴的分速度，则有
0
即
联立可得B 的最大值
2
10．（2021·北京·高考真题）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相
互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质
量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。
（1）求粒子加速器M的加速电压U；
（2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
（3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线
的距离为d，求该粒子离开N时的动能 。
【答案】（1） ；（2） ，方向垂直导体板向下；（3）
【解析】
（1）粒子直线加速，根据功能关系有
解得
（2）速度选择器中电场力与洛伦兹力平衡
得
方向垂直导体板向下。
（3）粒子在全程电场力做正功，根据功能关系有
解得
