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01 卷 第五章 平面向量、复数《过关检测卷》
－2022年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考专用）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．关于平面向量 ， ， ，下列结论正确的是（ ）
A． ，则
B． ，则 与 中至少有一个为
C．
D． ，则
2．设 ， 是两个非零向量，则使 成立的一个必要非充分条件是
A． B． C． D．
3．已知向量 ， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． // C． D．
4．下列命题
①设非零向量 ，若 ，则向量 与 的夹角为锐角；
②若非零向量 与 是共线向量，则 四点共线；
③若 ，则 ；
④若 ，则 .
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知圆 的半径是 ，点 是圆 内部一点（不包括边界），点 是圆 圆周
上一点，且 ，则 的最小值为A． B． C． D．
6．在 中， ，若点 是 所在平面上的动点，
且满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知向量 ， 满足 ， ，且 在 方向上的投影为4，现有如
下说法：① ；②向量 与 夹角的余弦值为 ；③ ，则其中说
法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知 , ，且 与 不共线，则向量 与 的夹角为
A． B． C． D．
9．已知平面向量 , ，且 ，则
A． B．5 C． D．10
10．已知复数 为虚数单位，则下列说法错误的是（ ）
A． 的虚部为 B． 在复平面上对应的点位于第二象限
C． D．
11．若复数 满足 ,其中 为虚数单位,则 =( )
A． B． C． D．12．复数 (其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
13．在如图所示的复平面内，复数 ， ， 对应的向量分别是 ， ， ，
则复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．若复数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的虚部为 C． D．
15．已知 ， 是虚数单位，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
16．设复数 （其中 为虚数单位），则下列说法中正确的是
A．它的实部为﹣3 B．共轭复数
C．它的模 D．在复平面对应的点的坐标为
17．已知 是虚数单位，若 是纯虚数，则实数 （ ）
A．1 B． C． D．18．给出下列四个命题：①若复数 ， 满足 ，则 ；②若复数
， 满足 ，则 ；③若复数 满足 ，则 是纯
虚数；④若复数 满足 ，则 是实数，其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
19．已知复数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．复数z的共轭复数为
C． D．
20．已知 与 是共轭虚数，以下4个命题一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
21．已知复数z满足 则实数a的值可能是（ ）
A．1 B． C．0 D．5
22．（多选题）若复数 ，其中 为虚数单位，则下列结论不正确的是（ ）
A． 的虚部为 B．
C． 的共轭复数为 D． 为纯虚数
23．已知复数 ，则下列命题中正确的为（ ）
A．
B．
C． 的虚部为
D． 在复平面上对应点在第一象限
24．下面四个命题中的真命题为（ ）A．若复数 满足 ，则
B．若复数 满足 ，则
C．若复数 ， 满足 ，则
D．若复数 ，则
25．设z是复数，则下列命题中的真命题是
A．若z2 0，则z是实数 B．若z2 0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2 0 D．若z是纯虚数，则z2 0
26．已知复数 ，则下列命题中正确的为
A．
B．
C．z的虚部为﹣4i
D．z在复平面上对应点在第四象限
第II卷（非选择题）
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三、填空题
27．已知向量 ， ，向量 在向量 上的投影等于1，则 的最小
值为______.
28．平面向量 ， ， 满足 ， （
且 ），则 的取值范围是___________.
29．已知同一平面内的单位向量 ， ， ，则 的取值范围是
________.
30．已知点G为 的重心，点D，E，F分别为 ， ， 的中点.若， ，则 ________.
31．设 ，向量 ， ， ，且 ， ，则
______.
32．已知向量 ， ， 满足 ， ， 与 夹角为 ，
，则 的最大值为_______.
33．如图，已知正方形 ，点E，F分别为线段 ， 上的动点，且
，设 （x， ），则 的最大值为______.
34．已知向量 与 的夹角为 , , ，则 ________.
35．已知平面向量 ， ， 满足： ， 的夹角为 ，| |＝5， ，
的夹角为 ，| |＝3 ，则 • 的最大值为_____．
36．若向量 、 满足 ＝1， ＝2，且 与 的夹角为 ，则 ＝_________.
37．下列命题中，正确的是______（填序号）.
①若 是平面内三个非零向量，则 ；
②若 ， ，其中 ，则 ；③若 是 所在平面上一定点，动点 满足 ，
，则直线 一定经过 的内心.
38．如图， ，点 是线段AB上的一个动点，D为OB
的中点，则 的最小值为______________.
39．下列命题：① ；②若 则 ；③ ；
④y=tanx在定义域上单调递增；⑤若锐角 满足 ，则 .其中
真命题的序号为_____________
40．在 中， ， ， ，动点 在以点 为圆心，半径为1
的圆上，则 的最小值为__________．
41．△ABC是边长为3的等边三角形,已知向量 满 ， ，则下
列结论中正确的是__________．(写出所有正确结论的编号)
① 为单位向量； ② 为单位向量； ③ ⊥ ； ④ // ； ⑤ (6 + )⊥
．
42．若 是虚数单位，复数 满足 ，则 ___________.
43．设复数 （ 为虚数单位），则 的共轭复数为____．44．在复变函数中，自变量 可以写成 ，其中 ，
是z的辐角．点 绕原点逆时针旋转θ后的位置可利用复数推导，点 绕
原点逆时针旋转 得 _______；复变函数 ， ，
_______．
45．已知复数 ，则 ____________.
46．若复数 （i为虚数单位），且 为实数，则实数
______________.
四、双空题
47．若向量 ， 满足 ，则 的最小值为
________，最大值为________．
48．已知矩形 ， ， ，点 是 的中点，点 是对角线 上
的动点，若 ，则 的最小值是__________， 最大值是
__________．
49．已知复数 满足 （ 是虚数单位），则 _____； _____．
50．已知复数 满足 ， 为虚数单位，则 的虚部是_____，
_____．
51．已知复数 ， ，若 为纯虚数，则
（1）实数 ______________；
（2）复数 的平方根为______________．
52．已知 为虚数单位，如图所示，平行四边形 的顶点 ， ， 分别对应复数 ， ， ，则向量 ， ， 对应的复数分别为
________________、________________、________________．
53．设复数 ，其中 为虚数单位，则 的虚部是____，
___.
五、解答题
54．已知 是平面内两个不共线的非零向量，
= ，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若 ，求 的坐标；
（3）已知 ，在（2）的条件下，若 四点按逆时针顺序构成平行四边
形，求点A的坐标．
55．在 中，底边 上的中线 ，若动点 满足
.
（1）求 的最大值；
（2）若 为等腰三角形，且 ，点 满足（1）的情况下，求 的
值.
56．已知 =（1，2） =（-3，2），当 为何值时．
（1） 与 垂直；（2） 与 平行．
57．在直角坐标系 中，已知点 ， ， ，其中
.
（1）求 的最大值；
（2）是否存在 ，使得 为钝角三角形？若存在，求出 的取值范围；
若不存在，说明理由.
58．已知 ， ， .
（1）求 ；
（2）求满足条件 的实数 ；
（3）若向量 满足 ，且 ，求 .
59．已知向量 、 是两个共线向量，若 ＝ - ， + ,求证： ∥ .
60．在 中， ，且 与 的夹角为 ， .
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的值.
61．已知A(-1,0)， B(0,2)，C(-5,-3)， ， ．
(1)求点D的坐标；
(2)用 表示 ．
62．设 是不共线的两个向量,已知 ， ， 若
A、B、D三点共线,求k的值.
63．在平面直角坐标系 中，已知点 ．(1)求以线段 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)若向量 与向量 垂直，求实数 的值.
64．运用向量法证明：平行四边形的一顶点与不过此点的一条边的中点的连线三等
分该平行四边形的一条对角线．
65．平面直角坐标系 中，已知向量 ， ， ，
且 ．
（1）若已知 ， ， ，则求出 的范围；
（2）若 ，求四边形 的面积．
66．在平面直角坐标系xoy中，点 ．
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）设实数t满足 ，求t的值．
67．在平面直角坐标系 中，点 ， ， .
（1）求以线段 ， 为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）当 为何值时， 与 垂直；
（3）当 为何值时， 与 平行，平行时它们是同向还是反向.
68．已知 ， 与 垂直， 与 的夹角 ，且
，求实数m，n的值及 与 的夹角
69．已知i是虚数单位，复数z＝m2(1＋i)－m(2＋3i)－4(2＋i)，当m分别取何实数时，
z满足如下条件？
(1)实数；(2)虚数；
(3)纯虚数；
(4)零.
70．（1）若复数 是实数（其中 是虚数单位）,则求 的值.
（2）求曲线 ，直线 及y轴所围成的封闭图形的面积.
71．已知复数 ， ， .
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 是关于 的方程 的一个根，求实数 与 的值.
72．已知复数 （其中 是虚数单位， ）.
（1）若复数 是纯虚数，求 的值；
（2）求 的取值范围.
73．已知复数z满足 ，求：
（1） 的最大值和最小值；
（2） 的最大值和最小值.
74．已知复数 ．当实数 取什么值时，复数 是：
虚数；
纯虚数；
复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．
75．已知复数 ，其中 是虚数单位，根据下列条件分别
求实数 的值.
（Ⅰ）复数 是纯虚数；（Ⅱ）复数 在复平面内对应的点在直线 上.
76．已知复数 在复平面上的对应点在第四象限.
（Ⅰ）求实数 的取值集合 ；
（Ⅱ）若集合 ，求 .
77．已知复数 ， ，其中 .
（1）若复数 为实数，求 的取值范围；
（2）求 的最小值.
78．已知复数 （ 是虚数单位）.
（1）若 是纯虚数，求 的值和 ；
（2）设 是 的共轭复数，复数 在复平面上对应的点位于第三象限，求 的
取值范围.
79． 是虚数单位，且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设复数 ，且满足复数 在复平面上对应的点在第一、
三象限的角平分线上，求 ．
