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第10讲 新高考新结构命题下的
概率统计解答题综合训练
（9 类核心考点精讲精练）
在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一
场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。
当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质
量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：
（1）三考
题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实
际水平。
（2）三重
强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独
特见解和创造力。
（3）三突出
试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思
考和探索，培养逻辑思维和创新能力。
面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。概率统计版
块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第 15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适
中，易于学生入手。同样不能忽视的是，概率统计版块也可能被置于第18、19题这样的压轴大题中，此时
的分值将提升至17分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。
面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能
涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新
结构试卷的特点，结合具体的概率统计解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的概率统计解答题综合
训练指南，以期在新高考中取得更好的成绩。考点一、 条件概率
1．（2024·江苏·模拟预测）某设备由相互独立的甲､乙两个部件组成，若两个部件同时出现故障，则设备
停止运转；若有且只有一个部件出现故障，则设备出现异常.在一个生产周期内，甲部件出现故障的概率为
，乙部件出现故障的概率为 .甲部件出现故障，检修费用为3千元；乙部件出现故障，检修费用为2千
元，在一个生产周期内，甲､乙两个部件至多各出现一次故障.
(1)试估算一个生产周期内的平均检修费用；
(2)求在设备出现异常的情况下，甲部件出现故障的概率.
【答案】(1) 千元
(2)
【分析】（1）由题意知，设一个周期内检修费用为 ， 取值为 ，依次求出相应的概率，再利用
期望公式计算 ，即可得到答案；
（2）由条件概率公式即可得到结果.【详解】（1）一个周期内检修费用 的所有可能取值为
.
一个周期内的平均检修费用 千元.
（2）记设备出现异常为事件 ，甲部件出现故障为事件
.
2．（2024·辽宁·一模）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于 之间，现
对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.
(1)求 的值;
(2)以频率估计概率，完成下列问题.
(i)若从所有花卉中随机抽 株，记高度在 内的株数为 ，求 的分布列及数学期望 ；
(ii)若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在 的条件下，至多 1株高度低于 的概率.
【答案】(1)
(2)(i)分布列见解析， ；(ii)
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为 得到方程，解得即可；
（2）(i)依题意可得 ，根据二项分布的概率公式求出分布列与数学期望；(ii)利用条件概率的
概率公式计算可得.
【详解】（1）依题意可得 ，解得 ；
（2）(i)由（1）可得高度在 的频率为 ，所以 ，
所以 ， ，
， ，
，
所以 的分布列为：
所以 ；
(ii)在欧阳花卉中随机抽取 株，记至少有 株高度在 为事件 ，
至多 株高度低于 为事件 ，
则 ，
，
所以 .
3．（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分
为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患
该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该
疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附 ，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii) ；
【分析】(1)由所给数据结合公式求出 的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为
患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)
根据（i）结合已知数据求 .
【详解】（1）由已知 ，
又 ， ，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为 ，
所以
所以 ，
(ii)
由已知 ， ，
又 ， ，
所以
4．（2024·广东佛山·三模）随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推
广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展
理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
王同学 9天 6天 12天 3天
张老师
6天 6天 6天 12天
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望 ；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”， ，已知推出
优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：
．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)证明见解析
【分析】（1）运用古典概型求概率即可．
（2）根据已知条件计算简单离散型随机变量的分布列及期望．
（3）运用条件概率及概率加法公式计算可证明结果．
【详解】（1）设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，
因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为 ，
所以 ．
（2）由题意知，王同学午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.3，
王同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1，
张老师午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2，
张老师午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.4，
记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X的所有可能取值为1、2，
所以 ， ，
所以X的分布列为
X 1 2
P 0.1 0.9所以X的数学期望
（3）证明：由题知 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即： ，
所以 ，
即 .
5．（2024·河南驻马店·二模）某汽车销售公司为了提升公司的业绩，现将最近300个工作日每日的汽车销
售情况进行统计，如图所示.
(1)求 的值以及该公司这300个工作日每日汽车销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表）；
(2)以频率估计概率，若在所有工作日中随机选择4天，记汽车销售量在区间 内的天数为 ，求
的分布列及数学期望；
(3)为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：抽奖区有 两个盒
子，其中 盒中放有9张金卡､1张银卡， 盒中放有2张金卡､8张银卡，顾客在不知情的情况下随机选择
其中一个盒子进行抽奖，直到抽到金卡则抽奖结束（每次抽出一张卡，然后放回原来的盒中，再进行下次
抽奖，中途可更换盒子），卡片结果的排列对应相应的礼品.已知顾客小明每次抽奖选择两个盒子的概率相
同，求小明在首次抽奖抽出银卡的条件下，第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡的概率.
【答案】(1) ，150
(2)分布列见解析，(3)
【分析】（1）利用频率分布直方图中所有的矩形面积之和等于1求得 值，根据平均数公式列式计算即得；
（2）理解题意，判断 ，分别计算 的所有可能指的概率，列出分布列，计算数学期望即得；
（3）根据条件概率的计算公式可求该概率.
【详解】（1）依题意得
解得 .
所求平均数为 .
（2）因汽车销售量在区间 内的概率为 ，
在所有工作日中随机选择4天，相当于一个4重伯努利试验，故 ，
则 ，
0 1 2 3 4
故 .
（3）设 为“小明在首次抽奖抽出银卡”，则 ，
设 为“小明第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡”，
则 ，
故 .
【点睛】关键点点睛：本题主要考查频率分布直方图，二项分布以及条件概率公式的应用，属于较难题.
解题关键在于根据题设条件，确定伯努利概型并进行计算，设出相应的事件，正确理解题意，利用条件概
率公式计算.考点二、 全概率公式与贝叶斯公式
1．（2023·河南·三模）某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占
比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%．学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人
数分别占总人数的 ， ， ．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动．
(1)求选到的学生是艺术生的概率；
(2)如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大．
【答案】(1)
(2)来自丙班的可能性最大
【分析】（1）依据题意根据全概率公式计算即可；
（2）根据条件概率公式分别计算，即可判断.
【详解】（1）设 “任选一名学生恰好是艺术生”，
“所选学生来自甲班”， “所选学生来自乙班”,
“所选学生来自丙班”．由题可知：
， ， ，
， ，
.
（2） ；
所以其来自丙班的可能性最高．
2．（2024·福建厦门·模拟预测）甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除
颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任选一个箱子，再从中随机摸出一球.
(1)求摸出的球是黑球的概率；(2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.
【答案】(1)
(2)该球取自乙箱的可能性更大
【分析】（1）由条件概率的定义，分别求出从甲箱摸出的球是黑球的概率和从乙箱摸出的球是黑球的概
率，然后由全概率公式，即可得答案.
（2）根据贝叶斯公式，分别求出摸出的黑球是取自甲箱和取自乙箱的概率，比较其大小，即可得到答案.
【详解】（1）记事件A表示“球取自甲箱”，事件 表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，
则 ， ， ，
由全概率公式得：
.
（2）该球取自乙箱的可能性更大，理由如下：
该球是取自甲箱的概率 ，
该球取自乙箱的概率 ，
因为 ，所以该球取自乙箱的可能性更大.
3．（2024·新疆·二模）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人
类的语言来进行对话．聊天机器人棋型的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，
如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的
概率为 .
(1)在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以
表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求 的分布列和数学期望；
(2)设输入的问题出现语法错误的概率为 ，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为 ，求 的值．
20
【答案】(1)分布列见解析，E(ξ)=
7
(2)
【分析】（1）求出随机变量 的所有取值以及每一个值发生的概率即可得 的分布列，再根据数学期望的
公式即可计算得解 的数学期望.（2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“输入的问题有语法错误”为事件B，“回答被采纳”为
事件 ，进而由已知以及全概率公式P(C)=P(A)⋅P(C∣A)+P(B)⋅P(C∣B)即可求解.
【详解】（1）由题可知 的所有取值为2，3，4，且 服从超几何分布，
C2C2
10 2
C3C1
20 4
C4C0
5 1
P(ξ=2)= 5 2= = ，P(ξ=3)= 5 2= = ，P(ξ=4)= 5 2= = ，
C4 35 7 C4 35 7 C4 35 7
7 7 7
故 的分布列为：
2 3 4
2 4 1 20
则E(ξ)=2× +3× +4× = ．
7 7 7 7
（2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“回答被采
纳”为事件 ，
由已知得，P(C)=0.8，P(C|A)=0.9，P(C|B)=0.5，P(B)=p，P(A)=1−p，
所以由全概率公式得P(C)=P(A)⋅P(C∣A)+P(B)⋅P(C∣B)=0.9(1−p)+0.5p=0.9−0.4 p=0.8，
解得 ．
4．（23-24高二下·福建南平·阶段练习）某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数
据分析.运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率
与出场时比赛获胜率如下表所示.
比赛位
第一棒 第二棒 第三棒 第四棒
置
出场率 0.3 0.2 0.2 .0.3
比赛胜
0.6 0.8 0.7 0.7
率
(1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率.
(2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第一棒的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据全概率公式即可得出答案.
（2）根据条件概率的计算公式即可求解.
【详解】（1）记 “甲跑第一棒”为事件 ，“甲跑第二棒”为事件 ，
“甲跑第三棒”为事件 ，“甲跑第四棒”为事件 ，“运动队获胜”为事件 ，则
，
所以当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率为 ；
（2） ，
所以当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，甲跑第一棒的概率为 .
5．（2024·辽宁·三模）随着中国科技的进步，涌现了一批高科技企业，也相应产生了一批高科技产品，在
城市 ，生产某高科技产品 的本地企业有甲､乙两个，城市 的高科技产品 的企业市场占有率和指标
的优秀率如下表：
市场占有
指标 的优秀率
率
企业甲
企业乙
其它
(1)从城市 的高科技产品 的市场中随机选一件产品，求所选产品的指标 为优秀的概率；
(2)从城市 的高科技产品 的市场中随机选一件产品，若已知所选产品的指标 为优秀，求该产品是产自
企业甲的概率；
(3)从城市 的高科技产品 的市场中依次取出6件指标 为优秀的产品，若已知6件产品中恰有4件产品
产自企业甲，记离散型随机变量 表示这6件产品中产自企业乙的件数，求 的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）利用全概率公式计算可得；
（2）利用条件概率的概率公式计算可得；
（3）首先求出 ， ，依题意可得 的可能取值为 、 、 ，求出所对应的概率，即可得
到分布列与数学期望.
【详解】（1）记事件 、 、 分别为所选产品来自企业甲、企业乙、其它，
记事件 表示所选产品的指标 为优秀，
则
，即所选产品的指标 为优秀的概率 .
（2）由（1）可得 ，
即若已知所选产品的指标 为优秀，则该产品是产自企业甲的概率为 .
（3）由（1）可知 ， ，
，
依题意 的可能取值为 、 、 ，
所以 ， ， ，
所以 的分布列为：
所以 .
6．（2024·安徽·模拟预测）现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1
个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商
品，称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过
检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为 .
(1)求首次检验抽到合格产品的概率；
(2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率；
(3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检
验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大.
【答案】(1)
(2)
(3)方案一
【分析】（1）按照条件概率的计算公式即可得出答案；（2）按照贝叶斯逆向概率公式代入即可求解；
（3）由前面的小问得出的结论分别计算两种方案在二次检验抽到合格品的概率，比较大小，从而选择决
策方案.
【详解】（1）将首次检验选到甲箱记为事件 ，选到乙箱记为事件 ，首次检验抽到合格品记为事件 .
则首次检验抽到合格品的概率
.
（2）在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率
.
（3）将二次检验抽到合格品记为事件 .
由上一小问可知，在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率 ，
则在首次抽到合格品的条件下，首次抽到乙箱的概率 .
.
从而，在首次检验通过，即事件 发生的条件下：
①若选择方案一，则 ， .
故此条件下在二次检验抽到合格品的概率 .
所以在方案一下，检验通过的概率 ；
②若选择方案二，则 ， .
故此条件下在二次检验抽到合格品的概率 .
所以在方案二下，检验通过的概率 .
而 ，故选择方案一检验通过的概率更大.考点三、 二项分布
1．（2024·山东枣庄·模拟预测）在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球
数的比例为 ．
(1)若有放回摸球，摸到红球时停止．在第 次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到红球的概率；
(2)某同学不知道比例 ，为估计 的值，设计了如下两种方案：
方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球 次停止．
方案二：从袋中进行有放回摸球 次．
分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计 的值更合理．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设事件 “第2次没有摸到红球”，事件 “第3次也没有摸到红球”，根据条件概率
公式计算可得；
（2）记“方案一”中红球出现的频率用随机变量 表示， 的可能取值为 ，求出所对应的
概率，即可得到分布列与数学期望，“方案二”中红球出现的频率用随机变量 表示，则 ，由
二项分布的概率公式得到分布列，即可求出期望，再判断即可.
【详解】（1）设事件 “第2次没有摸到红球”，事件 “第3次也没有摸到红球”，
则 ， ，
所以 ；
（2）“方案一”中红球出现的频率用随机变量 表示，
则 的可能取值为： ，
且 ， ， ，
， ， ，
所以 的分布列为：
0 1
则，
“方案二”中红球出现的频率用随机变量 表示，因为 ，
所以 的分布列为： ，
即 的分布列为：
0 1
所以 ，则 ，
因为 ， ，所以“方案二”估计 的值更合理.
2．（2024·安徽·模拟预测）某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师
入围决赛，决赛规则如下：
①学生：回答n个问题，每个问题小明回答正确的概率均为 ；若小明回答错误，可以行使学生权益，即
可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为 .
②教师：回答 个问题，每个问题唐老师回答正确的概率均为 .
假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜.
(1)若 ， ，记小明同学答对问题（含场外求助答对题数）的数量为X，求X的分布列及数学期望：
(2)若 ，且小明同学获胜的概率不小于 ，求p的最小值.
【答案】(1)分布列见解析， ；
(2) .
【分析】（1）求出小明答每个问题，回答正确的概率，再利用二项分布求出分布列及期望.
（2）求出小明答对1个、2个试题的概率，唐老师答对0个、1个试题的概率，再把小明获胜的事件分拆
成互斥事件的和，即可求出概率.
【详解】（1）小明同学答每个问题，回答正确的概率 ，
的所有可能取值为 ，显然 ，
则 ， ，， ，
则 的分布列为
0 1 2 3
数学期望 .
（2）记事件 为小明同学答对了 道题，事件 为唐老师答对了 道题， ， ，
其中小明同学答对某道题的概率为 ，答错某道题的概率为 ，
则 ， ，
， ，
所以小明同学获胜的概率为
，解得 ，
所以 的最小值为 .
3．（2024·河北·三模）某学校的数学兴趣小组对学校学生的冰雪运动情况进行调研，发现约有 的学生喜
欢滑雪运动．从这些被调研的学生中随机抽取3人进行调查，假设每个学生被选到的可能性相等．
(1)记 表示喜欢滑雪运动的人数，求 的数学期望．
(2)若该数学兴趣小组计划在全校学生中抽选一名喜欢滑雪运动的学生进行访谈．抽选规则如下：在全校学
生中随机抽选一名学生，如果该学生喜欢滑雪运动，就不再抽选其他学生，结束抽选活动；如果该学生不
喜欢滑雪运动，则继续随机抽选，直到抽选到一名喜欢滑雪运动的学生为止，结束抽选活动．并且规定抽
取的次数不超过 次，其中 小于当次调查的总人数．设在抽选活动结束时，抽到不喜欢滑雪运动
的学生的人数为 ，求抽到 名学生不喜欢滑雪运动的概率．
【答案】(1) ．
(2)
【分析】（1）由题意 服从二项分布，由二项分布期望公式直接可得解；（2）由题意可知， 时，前 次取到是不爱好滑雪的人，第 次取到爱好滑雪得的人
，利用独立事件的乘法公式求解，当 时，取到的所以人都不爱好滑雪，活动结束.
【详解】（1）由题意， ，
，
.
（2）由题意， 的可能取值为 ，
， ，
， ，
，
，
综上， .
4．（2024·北京西城·三模）根据2024城市魅力排行榜，一线城市4个，分别为：上海、北京、深圳、广州；
新一线城市15个，分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无
锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个，分别为：上海、北京、深圳、重
庆、 广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州.
(1)从10个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率；
(2)从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求随机
变量X的分布列和期望；
(3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量Y表示新一线城市的数量，比较E
（X）与E（Y）的大小关系.（直接写出结果）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)【分析】（1）根据古典概型直接求概率；
（2）根据超几何分布求得X取值对应的概率，得到分布列和期望；
（3） ，运用二项分布期望公式求得 ，即可得到二者相等.
【详解】（1）10个超大城市中包含4个一线城市，
所以从10个超大城市中随机抽取一座城市，该城市是一线城市的概率为 .
（2）10个超大城市中包含6个新一线城市，
X所有可能的取值为： .
； ；
； .
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
.
（3）
理由如下：从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，
随机变量 ， ，所以 .
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为 ，乙射击
一次命中的概率为 ，比赛共进行 轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击
次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射
击；若本次未命中，则得0分，并终止射击．
(1)设甲同学在方案一中射击 轮次总得分为随机变量是 ，求 ；
(2)甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定 的最小值，使得当 时，甲的总得分期望
大于乙．
【答案】(1)20
(2)12【分析】（1）由已知设 ，则 服从二项分布，根据二项分布期望的公式和期望的性质求解即可；
（2）设乙同学的总得分为随机变量 ，写出 的所有可能取值，并计算相应的概率，并求解 ，利用
设 ，求解 的最小值即可.
【详解】（1）设 ，故 ，
所以 ，
故 ；
（2）由（1）知 ，
设乙同学的总得分为随机变量 ， 的所有可能取值为 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
， ， ，
，
所以 ，
设 ，
则 ，
故 ，
即 ，代入 ，
故 ，
设 ，
易知，当 时， ，且 ，
则满足题意的 最小为12.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查概率的综合问题，方案一利用二项分布求期望，方案二的期望表达式与数列知识结合，通过变形转化为错位相减法求和问题，再利用作差法求解.
6．（2024·河南驻马店·二模）某汽车销售公司为了提升公司的业绩，现将最近300个工作日每日的汽车销
售情况进行统计，如图所示.
(1)求 的值以及该公司这300个工作日每日汽车销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表）；
(2)以频率估计概率，若在所有工作日中随机选择4天，记汽车销售量在区间 内的天数为 ，求
的分布列及数学期望；
(3)为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：抽奖区有 两个盒
子，其中 盒中放有9张金卡､1张银卡， 盒中放有2张金卡､8张银卡，顾客在不知情的情况下随机选择
其中一个盒子进行抽奖，直到抽到金卡则抽奖结束（每次抽出一张卡，然后放回原来的盒中，再进行下次
抽奖，中途可更换盒子），卡片结果的排列对应相应的礼品.已知顾客小明每次抽奖选择两个盒子的概率相
同，求小明在首次抽奖抽出银卡的条件下，第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡的概率.
【答案】(1) ，150
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）利用频率分布直方图中所有的矩形面积之和等于1求得 值，根据平均数公式列式计算即得；
（2）理解题意，判断 ，分别计算 的所有可能指的概率，列出分布列，计算数学期望即得；
（3）根据条件概率的计算公式可求该概率.
【详解】（1）依题意得
解得 .
所求平均数为 .
（2）因汽车销售量在区间 内的概率为 ，
在所有工作日中随机选择4天，相当于一个4重伯努利试验，故 ，则 ，
0 1 2 3 4
故 .
（3）设 为“小明在首次抽奖抽出银卡”，则 ，
设 为“小明第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡”，
则 ，
故 .
【点睛】关键点点睛：本题主要考查频率分布直方图，二项分布以及条件概率公式的应用，属于较难题.
解题关键在于根据题设条件，确定伯努利概型并进行计算，设出相应的事件，正确理解题意，利用条件概
率公式计算.
考点 四 、 超几何分布
1．（2024·上海长宁·二模）盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球；
(1)从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随
机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；
(2)从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为 ，求 的分布、期望与方差；
【答案】(1)
(2)分布见解析，期望
【分析】（1）由独立乘法公式、互斥加法公式即可运算求解古典概型概率；
（2） 的所有可能取值为0，1，2，它服从超几何分布，结合超几何分布概率的求法求得相应的概率进而
可得 的分布，结合期望、方差计算公式即可求解.【详解】（1）第一次取出红球的概率为 ，取出白球的概率为 ，
第一次取出红球，第二次取出红球的概率为 ，
第一次取出白球，第二次取出红球的概率为 ，
所有第二次取出的球是红球的概率为 ；
（2） 的所有可能取值为0，1，2，
，
所以 的分布为 ，
它的期望为 ，
它的方差为 .
2．（2023·陕西榆林·模拟预测）某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务的项目有：60米袋鼠跳、100
米、200米、1500米、3000米、4×100米接力．
(1)志愿者小明同学可以在6个项目中选择3个项目参加服务，求小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选
择3000米服务的概率；
(2)为了调查志愿者选择服务项目的情况，从志愿者中抽取了15名同学，其中有9名首选100米，6名首选
4×100米接力．现从这15名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中首选4×100米接力的人数记作X，
求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】(1) ；
(2)分布列见详解， .
【分析】（1）小明选择60米袋鼠跳服务为事件 ，小明选择3000米服务为事件 ，利用组合知识和古典
概型概率公式求出 ，然后由条件概率公式可得；
（2）根据超几何分布概率公式计算可得分布列，再由期望公式可得数学期望.
【详解】（1）记小明选择60米袋鼠跳服务为事件 ，小明选择3000米服务为事件 ，
则 ， ，所以 ，
即小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率为 .
（2）由题知， 的所有可能取值为 ，
由超几何分布概率公式得：
，
.
得随机变量X的分布列为：
0 1 2 3
所以 .
3．（2024·河南信阳·模拟预测）袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球.
(1)若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为 ，求 的分布列和数学期望；
(2)若从袋中不放回的取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，在
最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率.
【答案】(1)
2
(2)
3
【分析】（1）由超几何分布的概率公式以及期望公式求解可得答案；
（2）设事件 “最后得分为8分”；事件 “恰取到一个红球”，求出 ， ，再根据条件
概率的概率公式计算可得答案.
【详解】（1）由题意得 的可能取值为： ，
， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2数学期望 ；
（2）设事件 “最后得分为8分”；事件 “恰取到一个红球”；
由题意，最后得分为8分有两种情况：摸出2个白球1个红球或1个黑球2个红球，
所以 ， ，
所以 .
4．（2024·山西·三模）袋中装有大小、形状、材质完全相同的n个小球，其中有 个红球.
(1)若 ，现从袋中随机摸出2个小球，其中红球的个数为随机变量 ，求 的方差
(2)从袋中有放回地摸取小球 次，每次摸出一个小球，其中摸到红球的次数为随机变量 ，若 的期望
，方差 ，求 ;
(3)若 ，现从袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1个小球，记录颜色后将摸出的小球放回袋中.
以摸出红球的频率估计袋中红球所占比例，若 ，求红球占比估计值的误差不超过 的概率 .
参考数据:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.028 0.012 0.005 0.002 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
2 1 2 2 0 4 2 1 0 0 0
【答案】(1)
(2)15
(3)0.708
【分析】（1）根据题意 服从超几何分布，先计算概率，再计算期望代入方差公式即可.
（2）有放回的摸球，所以 服从二项分布，利用期望，方差公式联立求出 .
（3）有放回的摸球，每次摸一个球，摸10次，红球出现的次数 是服从二项分布的，想利用摸出红球的
频率估计袋中红球所占比例，当红球有30个时，红球实际的比例为 如果红球占比估计值的误差不超过
， ，则 只能取2、3或4.，又因为红球出现的次数 是服从二项分布的，所以概率利用
二项分布的计算可得.【详解】（1）X的取值有0，1，2.且服从超几何分布.因此 , ,
;
分布列如下：
X 0 1 2
P
.
.
（2）因为有放回地摸取1个小球 次，每次摸到红球的概率是 ，所以
， ， ，即 ，
所以 .
（3）设从袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1个小球中红球出现 次，
所以摸出红球的频率为 ，当 ， 红球所占比例为 ，如果以摸出红球的频率估计袋中红球
所占比例，且误差不超过 ，因此： ，即 只能取2、3或4.所以红球占比估计值的误差不
超过 的概率：
.
5．（2024·辽宁·模拟预测）某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知
这种动物 拥有两个亚种（分别记为 种和 种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组
计划在该区域中捕捉100个动物 ，统计其中 种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.
重复进行这个试验共20次，记第 次试验中 种的数目为随机变量 .设该区域中 种的数
目为 ， 种的数目为 （ ， 均大于100），每一次试验均相互独立.
(1)求 的分布列；
(2)记随机变量 .已知 ，
（i）证明： ， ；
（ii）该小组完成所有试验后，得到 的实际取值分别为 .数据 的平均值，方差 .采用 和 分别代替 和 ，给出 ， 的估计值.
（已知随机变量 服从超几何分布记为： （其中 为总数， 为某类元素的个数， 为抽取
的个数），则 ）
【答案】(1)见解析
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） ，
【分析】（1）利用超几何分布求解即可；
（2）（ⅰ）利用均值和方差的性质求解即可；
（ⅱ）利用题目给的方差公式结合第（ⅰ）中的结论，求出 ， ，然
后列方程求解即可.
【详解】（1）依题意， 均服从完全相同的超几何分布，
且 ， 均大于100，
故 的分布列为 .
0 1 99 100
（2）（i） 均服从完全相同的超几何分布，故
，
，
故 ，
（ii）由（ⅰ）可知 的均值
利用公式 计算 的方差，
所以依题意有
解得 ， ．
所以可以估计 ， ．
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于灵活运用期望和方差的性质，以及超几何分布的方差公式.
考点 五 、 正态分布
1．（2024·黑龙江·三模）为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育
部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为
做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试，并从中随机抽取了500名学生的数
据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这500名学生健康指数的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X近似服从正态分布N( ， )，其中 近似为样本平均数
， 近似为样本方差 ( =84.75).
①求P(60.29≤X≤87.92)；
②已知该市高三学生约有30000名，记健康指数在区间[60.29，87.92]的人数为 ，试求E( ).
附：参考数据： ，若随机变量X服从正态分布N( ， )，则 ，
， .
【答案】(1)69.5
(2)①0.819；②24570
【分析】（1）以组中值代替小组平均值，根据加权平均数公式计算可得 ；
（2）①根据正态分布的性质求解即可；②根据二项分布的期望公式计算即可.
【详解】（1）由题意得，平均数 =50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5；
（2）①由(1)可知 =69.5， ≈9.21，
则P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)
则P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)=P( ≤X≤ )= ×0.683+ ×0.955=0.819；
②由①可知1名学生的健康指数位于[60.29，87.92]的概率为0.819，
依题意， 服从二项分布，即 ～B(30000,0.819)，
则E( )=np=24570.
2．（2024·湖北·模拟预测）某品牌专卖店统计历史消费数据发现：进店消费的顾客的消费额X（单位：
元）服从正态分布 ．为回馈广大顾客，专卖店对消费达一定金额的顾客开展了品牌知识有奖答
题活动，顾客需要依次回答两类试题，若顾客答对第一类题，则回答第二类题，若顾客没有答对第一类题，
则不再答第二类题，直接结束有奖答题活动．对于每一类题，答错得0分，答对得10分，两类题总分20
分，答题结束后可减免与得分相同数额的现金（单位：元）．每类试题均有两次答题机会，在任意一类试
题中，若第一次回答正确，则认为答对该类试题，就不再进行第二次答题．若第一次回答错误，则进行第
二次答题，若第二次答题正确，则也认为答对该类试题；若第二次回答错误，则认为答错该类试题．
(1)若某天有200位进店消费的顾客，请估计该天消费额 在 内的人数（结果保留整数）；
附：若 ，则 ．
(2)某顾客消费达到指定金额后可参与答题活动， 类题中的两次答题机会答对的概率都是 ， 类题中的
两次答题机会答对的概率都是 ，且每次答题相互独立．若答题结束后可减免的现金数额为 元，求 的
分布列和数学期望．
【答案】(1)168
(2)分布列见解析，
【分析】（1）先求出 在 内的概率，再用总人数乘以该概率即可；
（2）由题可知， 的可能取值为 ，根据题意计算概率即可得到分布列，进而可求数学期望.
【详解】（1）由题意 ，
若某天该商场有200位顾客，估计该天消费额 在 内的人数为：
（人）；
（2）设 的取值为 ，
则 ，
，所以 的分布列为
0 10 20
数学期望
3．（2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价
值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，
所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中
275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为 ，且
，已知所有考生考试的平均成绩 ，且360分及其以上的高分考生有30名.
(1)求 的值．（结果保留位整数）
(2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数）
(3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．
参考资料：①当 时，令 ，则 ．
②当 ， ， ， ， ．
【答案】(1)
(2) 分
(3)甲能获得高薪，理由见解析
【分析】（1）依题意 ，令 ，得到 ，根据 及所给
条件求出 ；
（2）由（1）可得 ，设最录取分数为 ，根据 ，求得 ，即可得到答案；
（3）考生甲的成绩为 ，得到甲能被录取概率为 ，从而推导出 分以
上的人数，即可得解.
【详解】（1）依题意 ，令 ，则 ，
所以可得 ， ，
，
又因为 ，则 ，解得 ；（2）由（1）可得 ，
设最录取分数为 ，则 ，
， ，所以 ，
即最低录取分数线为 分．
（3）考生甲的成绩为 分 分，
所以甲能被录取概率为 ，
表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的 ，约有 ，
即考生甲大约排在第 名，排在 名之前，所以甲能获得高薪.
4．（2024·福建福州·三模）已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布 ．其电压通
常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零
件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．
(1)求该机器生产的零件为不合格品时，电压不超过200V的概率；
(2)从该机器生产的零件中随机抽取n（ ）件，记其中恰有2件不合格品的概率为 ，求 取得最大
值时n的值．
附：若 ，取 ， ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，“该
机器生产的零件为不合格品”为事件D，得到 ，分别求得 ，结合条件概率
和全概率的公式，即可求解.
（2）设不合格品件数为 ，得到 ，求得 ，结合 ，求得 的范
围，即可求解.
【详解】（1）解：记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，
C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D，
因为 ，所以 ，
，
．所以
，
则
所以该机器生产的零件为不合格品时，电压不超过200V的概率为 ．
（2）解：从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为 ，则 ，
所以 ，
由 ，解得 ．
所以当 时， ；当 时， ；
所以 最大，因此当 时 最大．
5．（2024·福建龙岩·三模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个
层级，分别对应如下五组质量指标值： .根据长期检测结果，得到芯
片的质量指标值 服从正态分布 ，并把质量指标值不小于80的产品称为 等品，其它产品称为
等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差 的近似值为11，用样本平均数 作为 的近似值，用
样本标准差 作为 的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为 等品的概率(保留小数点后
面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量 服从正态分布 ，则
， . )
(2)（i）从样本的质量指标值在 和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的
芯片件数为 ，求 的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件 等品芯片
的利润是 元，一件 等品芯片的利润是 元，根据(1)的计算结果，试求 的值，使得每箱产品的利润最大.
【答案】(1)
(2)（i）分布列见解析， ；（ii）
【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.
（2）（i）先求出 的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；
（ii）先根据二项分布的期望求出 ，然后构造函数
，利用导数求出最大值时的 即可.
【详解】（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
．
即 ， ，所以 ，
因为质量指标值 近似服从正态分布 ，
所以 ，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为 等品的概率约为 .
（2）（i） ，所以所取样本的个数为20件，
质量指标值在 的芯片件数为10件，故 可能取的值为0，1，2，3，
相应的概率为：
， ，
， ，
随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
所以 的数学期望 .
（ii）设每箱产品中A等品有 件，则每箱产品中 等品有 件，
设每箱产品的利润为 元，
由题意知： ，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为 ，
所以 ，所以 ，所以
.
令 ，由 得， ，
又 ， ， 单调递增， ， ， 单调递减，
所以当 时， 取得最大值.
所以当 时，每箱产品利润最大.
6．（2024·辽宁·模拟预测）某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测
试，对其生产的第一批零件的内径进行测量，统计绘制了如下图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值以及这批零件内径的平均值 和方差 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记内径在区间 内的零件个数为 ，求 的
分布列以及数学期望；
(3)已知这批零件的内径 （单位：mm）服从正态分布 ，现以频率分布直方图中的平均数 作为
的估计值，频率分布直方图中的标准差 作为 的估计值，则在这批零件中随机抽取200个，记内径在
区间 上的零件个数为 ，求 的方差.
参考数据： ，若 ，则 ，
， .
【答案】(1) ， ，
(2) 的分布列见解析，
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，及频率分布直方图中均值和方差的计算
公式，求出相应的值即可；
（2）确定 的可能取值，求出不同 的值对应的概率，得到 的分布列，再根据离散型随机变量数学期望的计算公式求出 的数学期望即可；
（3）由根据正态分布的概率求法，求出 的概率，再根据二项分布的定义判定 ，
最后根据二项分布方差的计算公式求出 的方差.
【详解】（1）由 ，则 ，
这批零件内径的平均值：
，
，
这批零件内径的方差：
，
（2）由题意知， 的可能取值为0，1，2，3，4，
则 ，
，
，
，
，
因此可得 的分布列：
0 1 2 3 4
0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016
则 的数学期望 .
（3）由题意知， ， ，
又 ， ，
则 ，
由二项分布的定义知 ,
由二项分布的方差公式知， .
考点 六 、 独立性检验
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节．某校高二年级某组团统计了流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据：
因发烧请
非发烧请假 合计
假
流感暴发前 10 30
流感暴发后 30
合计 70
(1)完成 列联表，并依据 的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有
影响．
(2)后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为 ，且 的因发烧请假的男生需要输液治疗，
的因发烧请假的女生需要输液治疗．学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行慰问，求这
名同学是女生的概率．
附： ．
0．05 0．01 0．001
3．841 6．635 10．828
【答案】(1)表格见解析，有影响
(2)
【分析】（1）根据题意完成 列联表，计算 ，再与临界值比较即可；（2）利用条件概率公式求解.
【详解】（1）零假设为 ：流感暴发与请假的同学中发烧的人数之间相互独立．
完成列联表如下所示．
因发烧请
非发烧请假 合计
假
流感暴发前 10 20 30
流感暴发后 30 10 40
合计 40 30 70
根据列联表中的数据，经计算得
．
所以我们推断 不成立，即可以认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响．
（2）设 事件表示请假的同学为女生， 事件表示需要输液治疗，， ，
则 ．
所以这名同学是女生的概率为 ．
2．（2024·山西太原·模拟预测）贵州省“美丽乡村”篮球联赛在比赛间隙进行芦笙舞、侗族大歌等非物质
文化遗产展演，这项活动将体育运动与当地民族民俗文化相触合，创造出独特的文体公共产品．为了打造
更具吸引力的赛事，某平台发起了群众观赛意见反馈调查，共收回了200份调查问卷．
性
关注赛事 不关注赛事
别
男 84 36
女 40 40
(1)通过进一步分析关注赛事群众的调查问卷得知，关注表演的女性用户有24名，现从关注赛事的群众中
抽取一人，设“抽取的一人为男性”为事件A，“抽取的一人关注表演”为事件B，若
，则以此次调查的数据为依据，估计从平台用户中任意抽取一名用户，该用户关注表
演的概率为多少；
(2)是否有 的把握认为是否关注赛事与性别有关？
附： ，其中 ．
0.050 0.010 0.005 0.001
k 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)0.22
(2)有 的把握认为是否关注赛事与性别有关
【分析】（1）利用条件概率公式结合给定的概率公式求解即可.
（2）列出列联表，计算得到卡方，进行独立性检验即可.
【详解】（1）由题意可知，关注赛事的总人数为 人，
其中男性84人，女性40人，女性中关注表演的有24人，则不关注表演的女性有16人．
设在关注赛事的84名男性中，关注表演的有m人，
则不关注表演的男性有 人，所以不关注表演的共有 人，则 ，
且 ，
由 ，得 ，
解得 ，所以关注表演的男性有20人，
即在样本中关注表演的共有4人，在样本中的比例为 ，
由此估计，从平台的所有用户中任意抽取一名用户，该用户关注表演的概率约为0.22．
（2）由题意得列联表如下：
关注赛
性别 不关注赛事 合计
事
男 84 36 120
女 40 40 80
合计 124 76 200
则 ，
故有 的把握认为是否关注赛事与性别有关．
3．（2024·重庆渝中·模拟预测）为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表（单
位：只）：
疾病
药物 合计
未患病 患病
未服
50 40
用
服用
合计 75 200
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)依据 的独立性检验，能否认为药物有效呢？从概率的角度解释得到的结论；
(3)为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只作为样本，从该样本中随机抽取4只，设其中未服用药物的动物数为 ，求 的分布列及期望.
附表及公式： .
0.15 0.10 0.05 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
【答案】(1)列联表见解析
(2)答案见解析
(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据表中的数据完成列联表即可；
（2）由公式 计算 ，然后根据临界值表进行判断；
（3）由题意可得 的值可能为0，1，2，3，4，求出相应的概率，从而可求得 的分布列与期望．
【详解】（1）解：根据题意可得如下列联表：
疾病
药物 合计
未患病 患病
未服
50 40 90
用
服用 75 35 110
合计 125 75 200
（2）由列联表可得 ，
在犯错误的概率不超过 的前提下认为药物有效.
解释：由于 ，所以表示有小于 的可能性证明这两个事件无关，
也就是在犯错误的概率不超过 的前提下认为药物有效.
（3）根据题意，10只未患病动物中，有6只服用药物，4只未服用药物，
所以 的值可能为0，1，2，3，4，则 ， ，
， ， ，的分布列如下：
0 1 2 3 4
则 ．
4．（2024·福建泉州·模拟预测）某学校为了研究不同性别的学生对“村BA”赛事的了解情况，进行了一次
抽样调查，分别随机抽取男生和女生各80名作为样本，设事件 “了解村BA”， “学生为女生”，
据统计 ， .
(1)根据已知条件，补全 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，判断该校学生对“村BA”的
了解情况与性别是否有关？
了解 不了解 总计
男生
女生
总计
(2)现从该校不了解“村BA”的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生随机抽
取4人，设抽取的4人中男生的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
附： ， .
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表见解析，有关
(2)分布列见解析， ．
【分析】（1）先根据条件概率求得人数完善列联表，再代入公式求出 ，将该值与临界值比较即可求解.
（2）先根据分层抽样确定抽取的男生人数和女生人数，再写出 的所有可能取值并计算相应的概率，列
出分布列并根据数学期望公式可得出答案.
【详解】（1）因为 ，所以对“村BA”了解的女生人数为 ，了解“村BA”的学生人数为 ，
结合男生和女生各80名，作出 列联表为：
了解 不了解 总计
男生 30 50 80
女生 5 75 80
总计 35 125 160
，
因此，有 的把握认为该校学生对“村BA”的了解情况与性别有关；
（2）由(1)知，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，
其中男生人数为 ，女生人数为 ．
随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，4.
，
.
故随机变量 的分布列如下：
0 1 2 3 4
则 .
5．（2024·安徽·模拟预测）元宵节是中国的传统节日，为庆祝元宵节，某大学开展吃元宵、吃酒圆、猜灯
谜等一系列活动．
(1)为探究元宵节吃汤圆和吃元宵的地域差异，某小组开展调研，得到如下 列联表，已知
，是否有 的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关？
北方 南方
汤圆 16 36
元宵 24 24
(2)在猜灯谜活动中共有10道标有序号的各不相同的题目，甲同学随机抽取其中的5道回答．（i）求抽取的5道题中恰有5道题序号均相邻的概率；
（ii）已知：若 是两点分布，且 ，则 ，若甲抽取的题目中有
对相邻序号的题目，计算 的数学期望．
附：
【答案】(1)有 的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关；
(2)（i） ；（ii）
【分析】（1）利用独立性检验公式进行计算，并判断与 的大小关系，即可作出判断；
（2）（ⅰ）记事件 为“抽取的5道题中恰有5道题序号相邻”，利用组合公式计算总的基事件个数和事
件 包含的基事件个数，再利用古典概型公式计算即可求解；
（ⅱ）设随机变量 为第 题与第 题均被选中， 为其余情况，结合题中条件进行求解即可.
【详解】（1） 列联表如下：
北方 南方 合计
汤圆 16 36 52
元宵 24 24 48
合计 40 60 100
原假设 ：吃汤圆或元宵与地域无关．
，
故拒绝 ，即有95%的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关．
（2）（ⅰ）记事件A为“抽取的5道题中恰有5道题序号相邻”，
则 ．
（ⅱ）设随机变量 为第 题与第 题均被选中， 为其余情况，
则 ，
由甲抽取的题目中有 对相邻序号的题目，则
由定义：若 是两点分布，且 ，则 ，则 ．
6．（2024·四川成都·模拟预测）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择．学校为了解学生食堂就餐情
况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为 ，现将一周内在食堂就餐超过8次的学
生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过8次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”．“喜欢食堂就餐”的人数比
“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人．
女
男生 合计
生
喜欢食堂就餐
不喜欢食堂就
10
餐
合计 100
(1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值 的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别
有关：
(2)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为X．事件“ ”
的概率为 ，求随机变量X的期望和方差．
参考公式： ，其中 ．
a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)表格见解析，有关
(2)期望6，方差
【分析】（1）根据题意，补充完善列联表，进行独立性检验即可.
（2）根据题意， ，利用二项分布的均值方差公式求解.
【详解】（1）列联表见图，
女
男生 合计
生
喜欢食堂就餐 40 20 60
不喜欢食堂就
10 30 40
餐合计 50 50 100
零假设 ：假设食堂就餐与性别无关，
由列联表可得 ，
根据小概率 的独立性检验推断 不成立，
即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关，此推断犯错误的概率不超过 .
（2）由题意可知，抽取的10名学生，喜欢饭堂就餐的学生人数 服从二项分布，
且喜欢饭堂就餐的频率为 ，则 ，
故其期望 ，方差 .
考点 七 、 线性回归直线方程
1．（2024·山东济南·三模）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，
利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019
年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
(1)根据散点图判断， 和 哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回
归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
(3)根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．
参考公式及数据；
， ，
， ， ， ，
【答案】(1) 适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型
(2)
(3)估计2024年的企业利润为93.3亿元【分析】（1）利用散点图的变化趋势，即可得出答案；
（2）利用最小二乘法求出 即可得解；
（3）令 即可得解.
【详解】（1）由散点图的变化趋势，知 适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的
回归方程类型；
（2）由题意得： ， ，
，
，
所以 ；
（3）令 ， ，
估计2024年的企业利润为99.25亿元．
2．（2024·福建南平·模拟预测）某大型商场的所有饮料自动售卖机在一天中某种饮料的销售量 （单位：
瓶）与天气温度 （单位： ）有很强的相关关系，为能及时给饮料自动售卖机添加该种饮料，该商场对
天气温度 和饮料的销售量 进行了数据收集，得到下面的表格：
10 15 20 25 30 35 40
4 16 64 256 2048 4096 8192
经分析，可以用 作为 关于 的经验回归方程．
(1)根据表中数据，求 关于 的经验回归方程(结果保留两位小数)；
(2)若饮料自动售卖机在一天中不需添加饮料的记1分，需添加饮料的记2分，每台饮料自动售卖机在一天
中需添加饮料的概率均为 ，在商场的所有饮料自动售卖机中随机抽取3台，记总得分为随机变量 ，求
的分布列与数学期望．
参考公式及数据：对于一组数据 ，经验回归方程 的斜率和截距的最小
二乘估计公式分别为
【答案】(1)
(2)分布列见解析，【分析】（1）设 ，转化为 ，利用最小二乘法，求得 ，求得
，进而得到 关于 的经验回归方程；
（2）根据题意，得到变量 的可能取值为 ，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列
出分布列，结合期望的公式，即可求解.
【详解】（1）解：设 ，由 ，可得 ，
因为 ， ，
，所以 ，
由表中的数据可得 ，
则 ，
所以 ，
则 ，可得 ，
所以 关于 的经验回归方程为 .
（2）解：由题意，随机变量 的可能取值为 ，
可得 ， ，
， ，
所以变量 的分布列为
3 4 5 6
P
所以，期望为
3．（2024·河北沧州·模拟预测）“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海
洋牛奶精品”的美誉.2024年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y
（万元）的数据如下：
人工投入增量x（人） 2 3 4 6 8 10 13年收益增量y（万元） 13 22 31 42 50 56 58
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程： ；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线： 的附近，对人工投入增量x做
变换，令 ，则 ，且有 ， ， ， .
(1)（i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；
（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数 ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测
人工投入增量为16人时的年收益增量.
回归模型 模型① 模型②
回归方程
182.4 79.2
(2)根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境
下服从正态分布 .购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大?
附：若随机变量 ，则 ， ；
样本 的最小二乘估计公式为： ， ， .
【答案】(1)（i） ；（ii）答案见解析
(2)
【分析】（1）（i）根据公式计算得到回归直线方程；（ii）通过比较 的大小可得到拟合效果的差异，
将 代入回归方程可得到预测值.
（2）根据正态分布的对称性得到 ，购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g的牡蛎为 只，故 ，由间接法列式得到结果即可；
【详解】（1）（i）由 ，
有 ，
且 ，
所以模型②中 关于 的回归方程为 .
（ii）由表格中的数据，有 ，即 ，
模型①的 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．
当 时，模型②的收益增量的预测值为
（万元），
这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠．
（2）由已知单个“南澳牡蛎”质量 ，则 ，
由正态分布的对称性可知，
，
设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于 的牡蛎为 只，
故 ，
所以 ，
所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于 的牡蛎的可能性仅为 ．
4．（2024·山东淄博·二模）汽车尾气排放超标是导致全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重
强调可持续发展，加大新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展．某汽车制造企业对某
地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
年份t 2015 2016 2017 2018 2019
年份代码x（x＝t﹣2014） 1 2 3 4 5
销量y（万辆） 10 12 17 20 26
(1)计算销量y关于年份代码x的线性相关系数r，并判断是否可以认为y与x有较强的线性相关关系（若|r|≥0.75，则认为有较强的线性相关关系）．若是，求出y关于x的线性回归方程：若不是，说明理由；
(2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业又随机调查了该
地区100位购车车主的购车情况，假设一位车主只购一辆车．男性车主中购置传统燃油汽车的有40名，购
置新能源汽车的有30名：女性车主中有一半购置新能源汽车．将频率视为概率，已知一位车主购得新能源
汽车，请问这位车主是女性的概率．
附：若 为样本点，
相关系数公式：r ； 为回归方程，则
， ．
【答案】(1)有较强的线性相关关系，
(2)
【分析】（1）运用公式求解相关系数，得出结论，进而求出线性回归方程即可; （2）运用条件概率公式
计算即可.
【详解】（1）由题意得 ，
，
，
，
因此，销量 与年份代码 有较强的线性相关关系：
，
，
关于 的线性回归方程为 .
（2）由题意知，该地区 名购车车主中，男车主有 名，女性车主有 名，购置新能源汽车的男性车
主有 名，购置新能源汽车的女性车主有 名．“一位车主购得新能源汽车”记作事件 ，“车主是女性”记作事件 ，
一位车主购得新能源汽车，这位车主是女性的概率为：
5．（2024·海南·模拟预测）某海鲜餐厅在试营业期间，同时采用自助餐和团购套餐两种营销模式，其中自
助餐模式是指顾客可随意享用餐厅内所有菜品，最长可用餐2小时；团购套餐是指顾客在APP上购买团购
券后到店消费，只可享用套餐内所包含的菜品，用餐时间不限.该餐厅为了了解这两种营销模式的受欢迎程
度，现随机调查了130位顾客对这两种营销模式的意见反馈，统计结果如下表：
认为自助餐更有性价比 认为团购套餐更有性价比
男性顾
40 20
客
女性顾
30 40
客
(1)依据小概率值 的独立性检验，推断能否认为顾客对这两种营销模式的意见与顾客的性别有关；
(2)店长统计了第 ， ， ， 天自助餐的用餐人数 ，统计结果如下（已知 ）：
（天）
（用餐人数） 32 52 73 95
经计算得经验回归方程为 ，以样本 的相关系数 为标准，对该经验回归方
程的拟合效果进行说明.
附：（i）在经验回归方程 中， .
（ii）相关系数 若 ，可认为该模型拟合效果良好，反之，则认为该模型拟合
效果不好.
（iii） ，其中 .
0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）提出零假设，计算 ，比较其与临界值大小，给出结论.
（2）由条件，结合公式求相关系数即可判断.
【详解】（1）零假设 为顾客对这两种营销模式的意见与顾客的性别独立，
由已知 ，
又 ，
根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
因此，可以认为 成立，即认为顾客对这两种营销模式的意见与顾客的性别无关.
（2）因为经验回归方程为 ，
所以 ， ，
又 ，
所以 ，
，
所以 ，
所以该经验回归方程的拟合效果非常好.
6．（2024·全国·模拟预测）氮氧化物是一种常见的大气污染物，它是由氮和氧两种元素组成的化合物，有
多种不同的形式．下图为我国2014年至2022年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中，年份代
码1～9分别对应年份2014～2022．计算得 ， ， ．
(1)是否可用线性回归模型拟合 与 的关系？请用折线图和相关系数加以说明；
(2)是否可用题中数据拟合得到的线性回归模型预测2023年和2033年的氮氧化物排放量？请说明理由．
附：相关系数 ， ．
【答案】(1)可以用线性回归模型拟合 与 的关系，答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）结合参考数据，求出相关系数，进而可以得出结论；
（2）2023年与题设数据的年份较接近，可以用回归模型预测2023年的氮氧化物排放量，2033年与题设数
据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，不可以预测2033年的氮氧化物排放量.
【详解】（1）从折线图看，各点近似落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合 与 的关系．
因为 ，所以该组数据的相关系数
．
，因而可以用线性回归模型拟合 与 的关系．
（2）可以用回归模型预测2023年的氮氧化物排放量，但不可以预测2033年的氮氧化物排放量，理由如下：
①2023年与题设数据的年份较接近，因而可以认为，短期内氮氧化物的排放量将延续（1）中的线性趋势，
故可以用（1）中的回归模型进行预测；
②2033年与题设数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保
持，但从长期角度看很有可能会变化，因而用（1）中的回归模型预测是不准确的．
考点 八 、 概率统计与数列杂糅1．（2023·全国·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，
若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率
均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设 ，由题意可得 ，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第 次投篮的人是甲”为事件 ，“第 次投篮的人是乙”为事件 ，
所以，
.
（2）设 ，依题可知， ，则
，
即 ，
构造等比数列 ，
设 ，解得 ，则 ，
又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即 ．
（3）因为 ， ，所以当 时， ，
故 ．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数
列的基本知识求解．
2．（2024·辽宁·模拟预测）现有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子装有2个红球和1个白球，乙盒中装有
1个红球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复 次这样
的操作后，记甲盒子中红球的个数为 ，甲盒中恰有1个红球的概率为 ，恰有2个红球的概率为
（注：所有小球大小、形状、质地均相同）
(1)求 的值；
(2)设 ，证明： ；
(3)求 的数学期望 的值．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）交换后甲盒有1个红球，说明甲给乙红球，乙给甲白球，若交换后甲盒有2个红黑球，说明
两个盒子相互交换1个白球或者交换1个红球；
（2）根据全概率公式进行求解；
（3）根据（2）的结论和期望公式进行求解即可．
【详解】（1）由题可知： ，
（2） 次操作后，甲盒有3个红球的概率 ，
由全概率公式知：
，（3） ，
又 ，
是以 为首项， 为公比的等比数列
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．
从两个盒子中各任取一个球交换，记为一次操作．重复进行 次操作后，记甲盒子中黑球个数为
，甲盒中恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 ．
(1)求随机变量 的分布列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)求证： ．
【答案】(1)分布列见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意分析 的可能取值为0，1，2，结合相互独立事件的概率公式，分别求出概率，写
出分布列；
（2）由全概率公式得到，判断出数列 为以 为首项，以 为公比的等比数列即可求解；
（3）利用（2）得到的通项公式裂项相消求和求解即可.
【详解】（1）由题可知 的可能取值为0，1，2，
根据相互独立事件的概率公式得到： 即为甲盒中拿黑球乙盒中拿红球交换， 即为甲盒中拿黑
球乙盒中拿黑球交换或甲盒中拿红球乙盒中拿红球交换， 即为甲盒中拿红球乙盒中拿黑球交换，则
，
的分布列为：
0 1 2（2）由全概率公式可知：
，
即 ，即 ， ，
又 ，
所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
，
即{a }的通项公式 ；
n
（3）
，
所以
得证.
4．（2024·广西南宁·三模）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是 ，若前一天选择绿豆汤，后
一天继续选择绿豆汤的概率为 ，而前一天选择银耳羹，后一天继续选择银耳羹的概率为 ，如此往复．
(1)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；
(2)记该同学第 天选择绿豆汤的概率为 ，证明： 为等比数列；
(3)求从第1天到第10天中，该同学选择绿豆汤的概率大于选择银耳羹概率的天数．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)1天
【分析】（1）利用条件概率公式计算即得；
（2）利用全概率公式列式，再利用构造法证明即得；
（3）由（2）求出数列的通项公式，再分奇偶解不等式得解．
【详解】（1）设 表示第1天选择绿豆汤， 表示第2天选择绿豆汤，则 表示第1天选择银耳羹，
根据题意得， ，
所以 ．
（2）设 表示第 天选择绿豆汤，则 ，
根据题意得， ，
由全概率公式得， ，
即 ，整理得， ，又 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（3）由（2）得， ，
由题意，只需 ，即 ，
则 ，即 ，
显然 必为奇数， 为偶数时不成立，当 时，考虑 的解，
当 时， 显然成立，
当 时， ，不成立，
由 单调递减得， 时，也不成立，
综上，该同学只有1天选择绿豆汤的概率大于选择银耳羹的概率．
5．（2024·安徽·模拟预测）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成 平后，每球交换发球
权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率
为 ，乙发球时甲得分的概率为 ，各球的结果相互独立．在某局双方 平后，甲先发球，两人又打
了 个球该局比赛结束．
(1)求事件“ 且乙获胜”的概率；
(2)求 ；
(3)记事件“ 且甲获胜”的概率为 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）事件“ 且乙获胜”，表示在双方 平后，甲先发球，两人又打了2个球，且这两
个球均由乙得分;
（2）事件“ ” 表示在双方 平后，甲先发球，两人又打了4个球，且这4个球分为前两球是甲、
乙各得1分，后两个球均由甲得分，或则均由乙得分;
（3）对 和 进行分析研究，再求出甲先发球，记“比赛2局结果为平局”为
事件 ，求出其概率为 ，最后得到当 时， ，再利用等比数列得通项公式以及求
和公式可得答案.
【详解】（1）记事件“ 且乙获胜”为事件 ，则这两个球均由乙得分，
所以 .
（2）由题可得：事件“ ” 表示在双方 平后，甲先发球，两人又打了4个球，且这4个球分为前两球是甲、乙各得1分，后两个球均由甲得分，或则均由乙得分，
所以
（3）由比赛规则可知：
当 时， ．
当 时，事件“ 且甲获胜”，
就是在双方 平后，甲先发球，两人又打了 个球，
且这 个球的得分情况为：前 个球是每两个球甲、乙各得1分，最后第 ， 个球均由甲得分；
记“比赛2局结果为平局”为事件 ，则 ．
则 ．
又因为 ，所以 ．
综上，
所以
，
因为 ， ，所以
6．（2024·湖南衡阳·一模）学校教学楼的每两层楼之间的上下楼梯有 个台阶，从下至上记台阶所在位置
为 ，同学甲在上楼的过程中，每一步等可能地跨 或 个台阶（位置 或 ）.
(1)记甲迈 步后所在的位置为 ，写出 的分布列和期望值.
(2)求甲 步内到过位置 的概率；
(3)求 步之内同时到过位置 和 的有多少种走法，及发生的概率.
【答案】(1)分布列见解析，(2)
(3) 种，
【分析】（1）列出 的所有可能取值,分别求出每种 取值下的概率,即可得分布列和期望；
（2） 步内到过位置 可以有三种情况，4步，5步，6步，再分别讨论每种情况发生的概率相加即可求解；
（3）由题意 ，依次递推出 ，再减去不能到达的以及和重复计算的可得解，根据递推
公式可得到数列 是等比数列，在根据条件概率可得解.
【详解】（1）由题意可知甲每步跨 或 个台阶的概率都为 ，
可能的取值为 ， ， ， .取值分别对应 步中分别有 ， ， ， 次跨两个台阶，
故 ，
的分布列如下，
X 3 4 5 6
P
.
（2） 步内到过位置 记为事件 可分为： 步到达位置 （记为 ）、
步到达位置 （记为 ）和 步到达位置 （记为 ）三种情况.
即 步中每步都 ； 即 步中有两步 ， 步 ；
即 步中有两步 ， 步 .
则 .
（3）记 步内到过位置 为事件 ，走法为 ，则由题意 ，故由 ， ，
递推 ，依次为 ，其中 步和 步到达位置 的走法分别为 和 种，
步到达位置 情况下再到达位置 只有 种走法，
步到达位置 不可能再到达位置 ，其他到达位置 的情况再到达位置 都有 种走法.
故 步之内同时到过位置 和 的走法为： 种，
记 为 ，由题意 ，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ，
，
记 步和 步到达位置 为分别为事件 ， ， ， ，
记 步内到过位置 为事件 ，
则 ， ， ，
其余情况下 ，
，
故 步之内同时到过位置 和 的概率为 .
【点睛】关键点点睛：计算出数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，同时计算出条件概率
发生的概率.
7．（2024·广西南宁·二模）2023年10月7日，杭州第19届亚运会女子排球中国队以3：0战胜日本队夺得
冠军，这也是中国女排第9个亚运冠军，她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神，
某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手2人，副攻手2人，
接应手1人，二传手1人，自由人1人．现从这7人中随机抽取3人参与传球训练
(1)求抽到甲参与传球训练的概率；
(2)记主攻手和自由人被抽到的总人数为 ，求 的分布列及期望；
(3)若恰好抽到甲，乙，丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为 ，当乙接到球时，
乙传给甲、丙的概率分别为 ，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为 ，假设球一直没有掉地
上，求经过n次传球后甲接到球的概率．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）利用选取组合数公式，立即可得到 ；（2）其 的可能取值为0，1，2，3，并且满足超几何分布列，利用超几何分布的概率公式求解即可；
（3）解法一：假设经过n次传球后，排球被甲、乙、丙接到的概率分别为 ， ， ，结合题意得到
，从而构造成 是等比数列，再用累加法可求得通项 ，即求得结
果；解法二：利用递推数列思想，假设经过 次传球后，排球被甲接到球的概率为 ，从而可得递推关系
，然后构造等比数列 求出概率通项公式.
【详解】（1）设“抽到甲参与传球训练”记为事件 ，则 .
（2）由题意知 的可能取值为0，1，2，3，
，
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
即 .
（3）解法一：设经过n次传球后，排球被甲、乙、丙接到的概率分别为 ， ， ，
易得： ， ，
当 时， ， ， ，
则 ，
由 ，得 ， ，
代入 ，得 ，
则 ，即 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，，
则 时： ， ， ，
由累加法得：
，可得 ，
又令 时， ，满足 ，
所以 .
解法二：经过 次传球后，排球被甲接到球的概率为 ．
则 ，即
而 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，则
【点睛】关键点点睛：第三问构造递推关系，即先假设经过n次传球后，排球被甲、乙、丙接到的概率分
别为 ， ， ，然后根据要传给某一个人，则必须由前一次球传给另两个人的事件概率，再利用全概率
公式就可得到传给这个人的概率如： ， ， ；如果是假设
经过 次传球后，排球被甲接到球的概率为 ，则有 ，只有找到递推关
系，再利用构造成等比数列来研究通项，还可以利用累加法来研究通项.
8．（2024·山东泰安·模拟预测）在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门
将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正
确也有 的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数 的
分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外 人中的 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外 人中的 人，如此不停地
传下去，假设传出的球都能接住．记第 次传球之前球在甲脚下的概率为 ，易知 ．
① 试证明： 为等比数列；
② 设第 次传球之前球在乙脚下的概率为 ，比较 与 的大小．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 ；
(2)①证明见解析；② .
【分析】（1）解法一：由题意可得 ，然后根据二项分布的概率公式求解概率，从而可求出分
布列和期望；解法二： 的所有可能取值为 ，且在一次扑球中，扑到点球的概率 ，然后分别
求出各自对应的概率，从而可求出分布列和期望；
（2）①由题意可得第 次传球之前球在甲脚下的概率为 ，第 次传球之前球不在甲脚下的概率为
，则 ，化简变形后可证得结论；②分别表示出 ，化简后与 比较
大小可得结论.
【详解】（1）解法一：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为 ，
门将在前三次扑到点球的个数 可能的取值为
易知 ，
所以
故 的分布列为：
0 1 2 3
所以 的数学期望 ．
解法二： 的所有可能取值为
在一次扑球中，扑到点球的概率 ，
所以所以 的分布列如下：
0 1 2 3
所以的 数学期望：
（2）①第 次传球之前球在甲脚下的概率为 ，
则当 时，第 次传球之前球在甲脚下的概率为 ，
第 次传球之前球不在甲脚下的概率为 ，
则
即 ，又 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列．
②由①可知 ，所以 ，
所以 ，
故 ．
【点睛】关键点点睛：此题考查二项分布的分布列和期望，考查等比数列的证明，第（2）问解题的关键
是根据题意用 表示出 ，考查理解能力和计算能力，属于较难题.
考点 九 、 概率统计与导数杂糅
1．（2024·河北衡水·模拟预测）已知甲口袋有 个红球和2个白球，乙口袋有
个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口
袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球.
(1)当 时，
（i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；
（ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为 ，求 的数学期望；
(2)当 时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为 ，则当 为何值时， 最大？【答案】(1)（i） ；（ii）
(2)
【分析】（1）（i）先根据题意求出小明从甲口袋摸出一个白球的概率和从乙口袋摸出一个白球的概率，
然后求出小明4次摸球中，摸出的都是红球的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得答案；（ii）
的所有可能取值为 ，求出相应的概率，从而可求出 的数学期望；
（2）由 ，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验，则
，然后利用导数可求得其最大值.
【详解】（1）小明从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为 ，
从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为 .
（i）设“小明4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件 ，则“小明4次摸球中，摸出的都是红球”为事
件 ，且 ，
所以 .
（ii） 的所有可能取值为 ，
由（i），得 ， ，
，
， ，
所以 .
（2）由 ，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验，
设小明每次摸出一个红球的概率为 ，则 .
因为 ，
所以当 时， ；当 1时， ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，所以当 时， 最大，
此时 ，解得 ，
故当 时， 最大.
【点睛】关键点点睛：此题考查对立事件的概率公式的应用，考查离散型随机变量的期望，考查独立重复
试验的概率，考查导数的应用，第（2）问解题的关键是根据独立重复试验的概率公式表示出 ，然后
利用导数可求出其结果，考查理解能力和计算能力，属于较难题.
2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）甲和乙两个箱子中各装有 个大小、质地均相同的小球，并且各箱中 是
红球， 是白球.
(1)当 时，从甲箱中随机抽出2个球，求2个球的颜色不同的概率.
(2)由概率学知识可知，当总量 足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布，现从甲箱中
不放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作 ；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个白球的概率
记作 .
①求 ， .
②当 至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即 ）的前提下认为超几何分布近似为
二项分布？（参考数据： ）.
【答案】(1)
(2)① ， ；②145
【分析】（1）由题意可知甲箱中有3个红球，2个白球，然后求出基本事件总数和抽出的2个球的颜色不
同的事件数，再利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）①由题意可知甲箱中是不放回取3个球，乙箱中有放回地取3个小球，则 ，
，②由题意可得 ，化简后得 ，然后构造函
数 ，利用导数可求出 的最小值.
【详解】（1）当 时，甲箱中有3个红球，2个白球，从甲箱中随机抽出2个球，基本事件总数 ，
记事件 表示“抽出的两个球的颜色不同”，则事件 包含的基本事件个数 ，
则2个球的颜色不同的概率为 .
（2）① ，
，
② ，即 ，即 ，
即 ，
由题意知 ，
从而 ，
化简得 ，
又 ， ，
令 ，则 ，
所以当 时，f′(x)<0，当 时f′(x)>0，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得最小值，
从而 在 时单调递增，
考虑到 ， 都是整数，则 一定是5的正整数倍，
当 时， ，
又 ， ，
当 时，符合题意，则 至少为145.【点睛】关键点点睛：此题考查古典概型，考查超几何分布，考查导数的应用，第（2）解题的关键是由
， ， ，得 ，考查转化思想和计算能力，属于
较难题.
3．（2024·河南濮阳·模拟预测）现有一种不断分裂的 细胞，每个时间周期 内分裂一次，一个 细胞每
次分裂能生成一个或两个新的 细胞，每次分裂后原 细胞消失．设每次分裂成一个新 细胞的概率为
，分裂成两个新 细胞的概率为 ；新细胞在下一个周期 内可以继续分裂，每个细胞间相互独立．
设有一个初始的 细胞，在第一个周期 中开始分裂，其中 ．
(1)设 结束后， 细胞的数量为 ，求 的分布列和数学期望；
(2)设 结束后， 细胞数量为 的概率为 ．
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）证明： ．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）求出 的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列，利用期望公式求出期望；
（2）（i）求出第 时分裂为2个 细胞的概率，再用等比数列求和公式，即可求解；
（ii）求出第 时分裂为3个 细胞的概率，再用等比数列求和公式，求出 ，再利用导数法确定函
数的单调性，从而确定最值，即可得证.
【详解】（1） 结束后， 的取值可能为 ，其中 ，
，
所以 分布列为
1 2 3 4
．
（2）（ⅰ） 表示分裂 结束后共有2个 细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成2个 细胞.
不妨设在第 时分裂为2个 细胞，之后一直有2个 细胞，此事件概率
，
所以 ．
（ⅱ） 代表分裂 后有3个 细胞的概率，设 细胞在 后分裂为2个新的 细胞，
这2个 细胞在剩下的 中，其中一个分裂为2个 细胞，一个保持一直分裂为1个 细胞，
此事件的概率 ，
得 ，
，
其中 ．令 ，
记 ，令 ，得 ．
当 单调递增；当 单调递减．
故 ，所以 ．
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个，一是求解 时，利用等比数列的知识求解；二是求解
的最值时，根据解析式的特点，利用导数来求解.
4．（2024·广东广州·模拟预测）甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定
传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留继续
投掷骰子；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当
球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球
在甲手中.
(1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率；(2)投掷 次骰子后，记球在乙手中的概率为 ，求数列 的通项公式；
(3)设 ，求证： .
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）分析事件“三次投掷骰子后球在甲手中”包括四类情况，由独立事件的概率乘法公式和互
斥事件的概率加法公式即得；
（2）经分析， 满足递推公式 ，变形后转化成等比数列，即可求得通项；
（3）将（2）代入化简得 ，利用裂项求和法得
，再对 分奇偶进行讨论，利用函数单调性求出和的范围即得.
【详解】（1）依题意，球在甲手中时，保留在自己手中的概率为 ，传给乙的概率为 ；
球在乙手中时，传给甲的概率为 ，传给丙的概率为 ；球在丙手中时，传给甲和丙的概率都是 .
则三次投掷骰子后球在甲手中包括四类的情况，
第一类情况：甲→甲→甲→甲，概率为 ；
第二类情况：甲→乙→甲→甲，概率为 ；
第三类情况：甲→乙→丙→甲，概率为 ；
第四类情况：甲→甲→乙→甲，概率为
由互斥事件的概率加法公式，三次投掷骰子后球在甲手中的概率为 .
（2）由于投掷 次骰子后球不在乙手中的概率为 ，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有
的概率传给乙，
故有 ，变形为 .又 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
所以 .
所以数列 的通项公式 .
（3）由（2）可得
，
则
① 当 是奇数时，因 是单调增函数，故 ，则 ，
于是， ，故 ；
② 当 是偶数时，因 是单调减函数，故 ，则 ，
于是， ，故 .
综上， .
【点睛】方法点睛：本题主要考查随机事件的概率与数列知识点的交叉融合，属于难题.
解决概率与数列知识点交叉题的方法，一般是从概率问题中寻求相关概率间的递推关系，利用转化思想将
其化归为等差或等比数列求解；对于利用数列的通项公式证明不等式时，常用到裂项相消法和错位相减法
求和，以及就 的奇偶分类讨论和函数的单调性.
5．（2024·辽宁·模拟预测）甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为 ，乙射击一次命
中的概率为 ，比赛共进行n轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击n次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射击；若
本次未命中，则得0分，并终止射击.
(1)设甲同学在方案一中射击n轮次总得分为随机变量是 ，求 ；
(2)设乙同学选取方案二进行比赛，乙同学的总得分为随机变量 ，求 ；
(3)甲同学选取方案一、乙同学选取方案二进行比赛，试确定N的最小值，使得当 时，甲的总得分期
望大于乙.
【答案】(1)
(2)
(3)12
【分析】（1） ，计算可求 ；
（2）设乙同学的总得分为随机变量 ， 的所有可能取值为 ， ，
，进而由 ，计算可求；
（3） ，进而得 ，利用单调性可求最小
值.
【详解】（1）设 ，由题设 .
所以 .
（2）设乙同学的总得分为随机变量 ， 的所有可能取值为 ，则
， ， ， .
所以 .
设 ，则 ，
故所以 .
故 .
（3）设 .
因为 ，数列 单调递增，
当 时， ，
当 时， .
所以当 时，，数列 单调递减，
当 时， ，数列 单调递增.
因为 ， ，所以满足题意的N最小值为12.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查概率的综合问题，方案一利用二项分布求期望，方案二的期望表达式
与数列知识结合，通过变形转化为错位相减法求和问题，再利用作差法求解.
6．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）某校举行篮球比赛，规则如下：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜
利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是 和 ，且每人
进球与否互不影响.
(1)若 ，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；
(2)若 ，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，从数学期
望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
【答案】(1) ；
(2)12.
【分析】（1）设事件 表示甲在一轮比赛中投进 个球， 表示乙在一轮比赛中投进 个球，根据 ，结合独立重复试验的概率公式可得；
（2）设事件C表示乙每场比赛至少要超甲2个球，先求 ，然后根据二项分布期望公式列不等式得
，令 ， ，利用导数求最值即可得解.
【详解】（1）设事件 表示甲在一轮比赛中投进 个球，
表示乙在一轮比赛中投进 个球，
则 ， ，
， ；
， ，
， .
则乙在一轮比赛中获得一个积分的概率为：
.
（2） ， .
设事件C表示乙每场比赛至少要超甲2个球，则
；
设随机变量X表示n轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，
显然 ，故 ，
要满足题意，则 ，即 ，
又 ，故 ，
令 ， ，则 在 恒成立，故 在 上单调递增，
又 的最大值为 ，
则 的最大值为 ， 的最小值为 ，
而
故理论上至少要进行12轮比赛.
