文档内容
第 10 讲 图形类解三角形综合
（核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为13-15分
【备考策略】1.熟练掌握正余弦定理及面积公式解三角形
2.在几何图形中能熟练使用相关定理求解
【命题预测】本节内容一般会在解答题中进行命题考查，考查学生的图形转化及计算能力，需重点备考复
习
知识讲解
1. 正弦定理
（其中 为 外接圆的半径）
2. 余弦定理
， ，
3. 三角形的面积公式
，
考点一、 图形类解三角形综合考查
1．（江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得 ，利用正弦定理求得 .
（2）方法一：根据 的值，求得 的值，由（1）求得 的值，从而求得
的值，进而求得 的值.
【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得 ，所以 .
由正弦定理得 .
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作 ，垂足为E．在 中，由 ，可得 ，又 ，所以
．
在 中， ，因此 ．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于 ， ，所以 .
由于 ，所以 ，所以 .
所以
.
由于 ，所以 .
所以 .[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由 ，可得 ，从而
．
又由（1）可得 ，所以 ．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得 ．
在 中， ，
所以 ．
在 中，由正弦定理可得 ，
由此可得 ．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作 ，垂足为E，作 ，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得 ．
由 ，可得 ．
在 中， ．
由（1）知 ，所以在 中， ，从而
．
在 中， ．
所以 ．【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得 ，然后使用正弦定理求得 ；方法二：抓住45°角
的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用
两角和的正弦公式求得 的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求
解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得 的正弦值，进而得
解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有 的直角三角形，进而求解，也是很优美的
方法.
2．（全国·高考真题） 的内角 的对边分别为 已知 .
（1）求角 和边长 ；
（2）设 为 边上一点，且 ,求 的面积.
【答案】（1） ， ；（2） .
【详解】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出 从而可得 的值，再根据余弦定
理列方程即可求出边长 的值；（2）先根据余弦定理求出 ，求出 的长，可得 ，从而得
到 ，进而可得结果.
试题解析：（1） ， ，由余弦定理可得
，即 ，即 ，解得 （舍去）或 ，故
.
(2) ， ， ，
， ， .
3．（四川·高考真题）如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.（1）证明：
（2）若 求 的值.
【答案】（1）详见解析；（2） .
【详解】（1） .
（2）由 ，得 .
由（1），有
连结BD，
在 中，有 ，
在 中，有 ，
所以 ，
则 ，
于是 .
连结AC，同理可得
，
于是 .所以
.
考点：本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、
推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.
4．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形 中， .
(1)若 四点共圆，求 ；
(2)求四边形 面积的最大值.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）在 、 中分别利用余弦定理表示出 ，再由四点共圆得到
，即可求出 ；；
（2）由（1）可得 ，再由面积公式得到 ，将两式平方
再相加得到 ，结合余弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）在 中，由余弦定理得：
，
在 中，由余弦定理得：
，
因为 四点共圆，所以 ，因此 ，
上述两式相加得： ，所以 （负值已舍去）.
（2）由（1）得： ，化简得 ，
则 ①，
四边形 的面积
，
整理得 ，
则 ②
①②相加得： ，
即 ，
由于 ，
所以当且仅当 时， 取得最小值 ，
此时四边形 的面积最大，由 ，解得 ，
故四边形 面积的最大值为 .
5．（23-24高三上·江西·期末）如图，在△ABC中，AB=BC=2，D为△ABC外一点，AD=2CD=4，记
∠BAD=α，∠BCD=β.
(1)求 的值；
(2)若△ABD的面积为 ，△BCD的面积为 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理，进行转换即可；（2）根据题意，由（1）知 ，求出 取得最大值，最大值为 .
【详解】（1）在 中，由余弦定理，得 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
所以 ，
所以 ，
.
（2）由题意知 ， ，
所以 ，
由（1）知， ，所以 ，
所以
，
所以当 时， 取得最大值，最大值为 .
1．（湖南·高考真题）如图，在平面四边形 中，
,
(1)求 的值；
(2)求 的长
【答案】(1) (2)【分析】(1)在 中已知两边与一角,利用余弦定理即可求出第三条边 的长度,再利用余弦定理即可
求出角 的正弦值.
(2)由(1)三角形 的三条边,根据正余弦直角的关系可得角 的余弦值(或者利用正余弦之间的关系也
可求的),角 之和为 ,其中两个角的正余弦值已知,则可以利用余弦的和差角公式求的
角 的余弦值, 长度已知,利用直角三角形 中余弦的定义即可求的 长.
【详解】如图设
(1)在 中,由余弦定理可得 ,于是又题设可知 ,即
,解得 ( 舍去),
在 中,由正弦定理可得 ,
即 .
(2)由题设可得 ,于是根据正余弦之间的关系可得 ,而
,所以
,在 中, ,
所以 .
考点：正余弦定理 正余弦和差角公式 直角三角形 正余弦之间的关系
2．（湖南·高考真题）如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝ .
（1）求cos∠CAD的值；
（2）若cos∠BAD＝－ ，sin∠CBA＝ ，求BC的长．
【答案】(1) (2)【详解】试题分析：
(1)利用题意结合余弦定理可得 ；
(2)利用题意结合正弦定理可得： .
试题解析：
（I）在 中，由余弦定理得
(II)设
在 中，由正弦定理，
故
点睛：在解决三角形问题中，面积公式S＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B最常用，因为公式中既有
边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
3．（2024·青海海西·模拟预测）如图，在四边形 中， ．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 ．
【答案】(1) ；
(2)【分析】（1）根据诱导公式及两角和的余弦公式求出 ，再由正弦定理得解；
（2）由三角形面积求出 ，再由余弦定理求出 .
【详解】（1）由 ，
则 ，
又由 ，
所以 ，
又由 ，可得 ，
在 中，又由正弦定理得： ，
所以 ，可得 ；
（2）由 ，可得 ，
又由 的面积为 ，有 ，可得 ，
在 中，由余弦定理有 ．
4．（2024·山东菏泽·二模）已知在 中， 的面积为 ．
(1)求角 的度数；
(2)若 是 上的动点，且 始终等于 ，记 ．当 取到最小值时，求 的
值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）设 ，则 求解即可；（2）根据三角形面积公式结合正弦定理得到 ，根据角的范围求解即可．
【详解】（1）设 ，则 ，又 ，因此 ，
由 为 的内角，所以 .
（2）由（1）知， ，又 ，则 ，因此 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
在 中，由正弦定理得 ，
，
显然 ，则有 ，因此当 时， 取到最小值，
此时 ，即 ，
所以 的值 .
1．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）如图，在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，
， ，点D在边BC上，且 .
(1)求 ；
(2)求线段AD的长.
【答案】(1)
(2)4【分析】（1）利用余弦定理与三角函数的平方关系即可得解；
（2）利用正弦定理即可得解.
【详解】（1）根据题意得： ，
又 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，
在 中，由正弦定理 可得， .
2．（23-24高三上·湖北·期末）如图，在 中， ，点 是边 上一点，且
，
(1)求 的面积；
(2)求线段 的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 求解即可；
（2）解法1：在 中根据余弦定理求出 ，结合等腰三角形的性质求 ，在 中勾股定理求
即可；
解法2：由 求得 .
【详解】（1） ，
而.
（2）解法1： ，
，
在 中， ，
在等腰 中， ，
Rt 中， ，
.
解法2： ，
由 得，
,
即 ，
解得 .
3．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）如图，在平面四边形 中， ， ， ，
．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用正弦定理求出 ，再结合结合同角的三角函数关系即可求解；（2）先结合（1）及三角形面积公式求出 ，再根据余弦定理即可求解．
【详解】（1）在 中，由正弦定理得 ，
即 ，解得 ，
又 ，
所以 ．
（2）结合（1）可得 ，
则 ，
又 ，即 ，解得 ，
则由余弦定理得 ，
又 ，所以 ．
4．（2023·河南·模拟预测）如图，在四边形 中， 的
面积为 ．
(1)求 ；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设 ，根据 面积得到方程，求出 ，在 中，利用余弦定
理求出 ，进而求出 ，从而求出 的值；
（2）在 中，由正弦定理得 ，结合（1）中 ，由角的范围得到
.【详解】（1）设 ，
因为 的面积为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ．
在 中， ，所以 ，
所以 ；
（2）由（1）可得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，且 ．
由（1）可得 ，又 ，
所以 ．
5．（2024·江西南昌·一模）如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边 ，
， 交 于点 .
(1)求 ；
(2)求 .
【答案】(1) ；
(2) .【分析】（1）由锐角三角函数求出 、 ，又 ，利用两角和的余弦公式求出 ，
最后由余弦定理计算可得；
（2）解法1：首先求出 ，再由 ，利用面积公式计算可得；解法2：首先得到
，再由 计算可得.
【详解】（1）由已知， ，
，
因为 ，
所以
，
所以在 中由余弦定理可得
.
（2）解法1：因为 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
解得 .
解法2：因为 ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
所以 .6．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）已知A，B，C，D四点逆时针排列于同一个圆O上，其中
的面积为 ， ．
(1)求边 的长；
(2)当圆心O在 上时，求 ．
【答案】(1) ．
(2) ．
【分析】（1）由已知，结合三角形面积公式及余弦定理求解即得.
（2）由（1）的信息，结合圆的性质求出 即可得解.
【详解】（1）在 中， 的面积为 ，
则 ，解得 ，
而 ，于是 ，由余弦定理得
.
（2）由（1）知 ，而线段 为圆 的直径，则 ，
因此 ，
所以 .
7．（23-24高三上·江西·阶段练习）如图，在梯形 中， ， ， .
(1)若 ，求 的长；(2)若 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行求解即可；
（2）利用余弦定理进行求解即可.
【详解】（1）在 中，由正弦定理得 ，
则 .
（2）因为 ，所以 .
由余弦定理得 ，
则 ，
所以 .
8．（23-24高三上·安徽·期末）如图,在 中, 的平分线交 边于点 ,点 在 边上, ,
, .
(1)求 的大小;
(2)若 ,求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因为 是 的角平分线,所以 ,在 中利用余弦定理
求出 的长,再次利用余弦定理即可求出 的大小.
（2）在 中,由正弦定理求出 的长,再根据四边形内角和为 可得到 ,从而求出的值,再利用三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）因为 是 的角平分线,所以 ,
在 中,根据余弦定理得 ,
所以 ,
则 ,
因为 ,
所以 .
（2）因为 ,所以 ,
在 中,由正弦定理得 ,
在四边形 中, ,
所以 ,
则 .
9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形 中， ， ，
的角平分线与 相交于点 ，且 .
(1)求 的大小；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）在 中利用正弦定理结合已知条件求出 ，即可得解；
（2）依题意可得 ，由 求出 ，再在 中利用余弦定理计算可得.
【详解】（1）在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，因为 ，
所以 .
因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 .
因为 平分 ，所以 .
因为 ，
所以 ，
又 ， ，所以 ，
解得 ，
因为 ，所以
，
所以 .
10．（2024·山西晋中·三模）在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 ，在边 上（不含端点）存在点 ，使得 ，求 的取值范围．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接用余弦定理求得 ，进而得到 ；
（2）思路一：利用正弦定理三角恒等变换得 ，进一步结合正弦定理得
，由 即可求解；思路二：设边 上的高线长为 ，则 长度的取值
范围是 ，从而条件等价于 ，最后用 表示 和 ，即可求出 的范围.
【详解】（1）由余弦定理得 ，所以
.
（2）方法一：因为 ，所以 ，
由（1）知道 ，所以 ，
所以 ，
所以由 ，可得 ，
从而 （因为 ），
所以 ，结合 是三角形内角可知， ，
当 时，在三角形 中，设 ，则 ，
由正弦定理得 ，故 ，
因为 ，
所以 ，在三角形 中，由正弦定理得 ，
故 ，
因为 ，
所以 的取值范围是 ，
所以 的取值范围是 .
方法二：在本小问的解析中，所有“线段 上”均不含端点 和 .
由 知角 是钝角，所以角 都是锐角，
这表明点 在直线 上的投影 在线段 上.
设 ，则由 在线段 上及 可知，
对线段 上的点 ， 长度的取值范围是 ，所以条件等价于 .
而我们有 ，
故 .
由于 ，
故我们又有 .
所以条件等价于 ，即 .
综上， 的取值范围是 .1．（2024·湖南长沙·三模）如图，在 中，已知 为锐角， 边上的两条中线
相交于点 的面积为 .
(1)求 的长度；
(2)求 的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因为 ，得到，由 ，在 由余弦定理即可得到 的
长度.
（2）因为 ，所以 为直角， , .在 中，由
勾股定理得 ，即得到 ，在 中，由余弦定理即可得到 的余弦值.
【详解】（1）由题知， ，所以 ，
又因为 ，所以 或 .因为 为锐角，所以 .
在 中，由余弦定理知 ，
整理得 ，解得 .
（2）因为 ，
所以 ， ，
在 中，由勾股定理得： ， ，
所以在 中，由余弦定理得 .所以 的余弦值为 .
2．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角的对边，且
．
(1)求A；
(2)若 ，将射线BA和CA分别绕点B，C顺时针方向旋转 ， ，旋转后相交于点D（如图所示），
且 ，求AD．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化，再根据三角恒等变形，即可求解；
（2）由条件确定几何图形中的角的值，再根据正弦定理和余弦定理求解.
【详解】（1）由正弦定理可知 ,
又因为 ，
所以 ，且 ，
则 ，即 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ；
（2）由条件可知， ， ，且 ，
所以 ，又 ，
所以 ， ，
，且
中， ，得 ,
中， ，得 ，中， ，
.
3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面内的四个动点 ， ， ， 构成的四边形 中， ，
， ， .
(1)求 面积的取值范围；
(2)若四边形 存在外接圆，求外接圆面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的性质，求 的范围，再根据余弦定理求 的范围，以及 的
范围，最后代入面积公式，即可求解；
（2）由余弦定理和有外接圆的四边形的性质，求 和 ，最后代入外接圆面积公式，即可求解.
【详解】（1）由三角形的性质可知， ，即 ，
且 ，即 ，所以 ，
中， ，
所以 ，则 ，
，
所以 面积的取值范围是 ；
（2） 中， ，
中， ，
即
因为四边形 存在外接圆，所以 ，即 ，即 ，得 ， ，
此时 ，即 ，
由 ，
四边形 外接圆的面积 .
4．（2024·浙江绍兴·二模）在三角形 中，内角 对应边分别为 且 .
(1)求 的大小；
(2)如图所示， 为 外一点， ， ， ， ，求 及
的面积.
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）利用正弦定理边化角可得 ，根据式子特点，变换
，从而可以化简三角恒等式为 ，最后利用辅助角公式求出 ；
（2）设 ，可知用 表示 ， ，利用正弦定理可得公共边 的式子，最后可得一个关
于角 的三角方程求解出角 的大小，然后求出求出 和 ，最后利用面积公式
即可求出面积.
【详解】（1） ，由正弦定理边化角得：
，由三角形内角和为 可得： ，
即 ，
即 ，
又 ，
即 ，又 ， ，即 .（2）设 ，在 中， ，
， ，
，
在 中， ， ， ，
，
即 ，
，
，又 ，
，解得 ，
，
又由
，
于是 .
5．（2024·广西来宾·模拟预测） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 平分线，
(1)求 ；
(2)若 ， 上存在点 ，使得 ，求 ．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角恒等变换求解即可；
（2）令 ， ，在 中，利用余弦定理可求 ，在 中，利用正弦定理可求
，再由 ， ，即可求解.
【详解】（1）由 ，结合正弦定理得， ，
因为 ，所以 ，
即 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ；
（2）由（1）知： ，
令 ， ，则 ， ，
在 中， ，
所以 ，则 ，
故得： ， ，
， ，
因为 ，
在 中， ，
所以 ，可得 ，
因为 ，则 ，
所以 ，
又 ，所以 .
6．（2024·湖南衡阳·三模）在 中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且
．
(1)求A；
(2)如图所示，D为平面上一点，与 构成一个四边形ABDC，且 ，若 ，求AD的最
大值．
【答案】(1) .
(2)4
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，代入计算，即可得到结果；
（2）方法一：根据题意，分别在 与 中由正弦定理化简，即可得到 ，从而得到结
果；方法二：由余弦定理可得 ，再由正弦定理 代入计算，即可得到结果；
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得， ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 .
（2）方法一：设 ，则：
在 中， ，①，在 中， ，②
： ，所以 ，所以 ，所以AD的最大值是4
解法二：在 中，由余弦定理得， = ，
因为 ，所以四边形 存在一个外接圆 ，所以圆 的直径为
因为 ，即 ，当AD为圆O直径时取等号，故 的最大值为4.
7．（23-24高一下·河北保定·期末）阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗
尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线
及第三边之半的平方和的两倍，即如果AD是 中BC边上的中线，则 .
(1)若在 中， ， ， ，求此三角形BC边上的中线长；
(2)请证明题干中的定理；
(3)如图 中，若 ，D为BC中点， ， ， ，
求 的值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）余弦定理求出 ，再用所给式子求出中线即可；
（2）左右两个三角形 和 分别使用余弦定理，得到两个方程，结合 ，相
加即可证明；
（3） ，利用三角恒等变换，求得 ，结合
，求出 ．在 ，用面积公式求出 ，进而求出 ，再用余
弦定理即可解.
【详解】（1）如图所示，
由余弦定理得， ，
代值计算得到 ，求得 ；
由于 ，代值计算得 ，求得
（2）在 中， ；
在 中， ；
两式相加，且 ，得到 ，则原式得证．
（3）由于
则由正弦定理，得 ，
即 ，
去分母整理得到 ，即 ．
且 ，则 ，则 ．
由于 ，且 ，即
联立解出
由于 ，则 ，
解得 ，则 （负数不满足）.
由余弦定理得到 ，代值计算， ， 则
，
则 ．
8．（2024·河北衡水·模拟预测）如图，在平面四边形 中， ，设 .
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在 中由正弦定理解出 ，再在 中由余弦定理解出 即可；
（2）在 中由正弦定理解出 ，再在 中，由正弦定理解出 ，由 相等关系得
，最后解出 即可.
【详解】（1）在 中，由正弦定理得： ，
即 ， ，因为 ，
所以 ，解得 ，则 ，
在 中，由余弦定理得： ，
所以 .
（2）
如图：由 ，则 ，因为 ，
所以在 中，由正弦定理知： ，
，
由 ，因为 ，所以 ，
，
由 ，
，
所以在 中，由正弦定理知： ，
由 ，
在 中， ，所以 ，
所以 ，又因为 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
，
所以 ，
故 .
9．（23-24高一下·广东茂名·期末）如图所示，在 中， ，AD平分 ，且 .
(1)若 ，求BC的长度；
(2)求k的取值范围；
(3)若 ，求k为何值时，BC最短.
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】（1）在 和 中分别利用正弦定理结合AD平分 ，可得 ，从而可求出
，进而可求出 ；
（2）由 结合三角形的面积公式及已知条件化简可得 ，从而可求出k的
取值范围；
（3）由 ， 结合余弦定理得 ，令 ，则当 最小
值时， 最短，化简后结合辅助角公式和正弦函数的性质可求得结果.
【详解】（1）在 中，由正弦定理得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
因为AD平分 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，得 ，
所以 ；
（2）因为 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ；
（3）由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 （其中 ），
所以当 时， 取得最小值4，
即当 时， 取得最小值4，此时 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
由（2）知 ，
所以 ，
即当 时， 最短.
【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式和三角函数恒等变换
公式的应用，第（3）问解题的关键是余弦定理结合已知条件表示出 ，换元后结合三角函数恒等变换
公式可求得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
10．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在 中，已知 ， ， ， 边
上的中点为 ，点 是边 上的动点（不含端点）， ， 相交于点 ．(1)求 的正弦值；
(2)当点 为 中点时，求 的余弦值．
(3)当 取得最小值时，设 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）解法1、先利用余弦定理求得BC，再根据 与 互补，由
，求得 ，然后在 中，利用余弦定理求解；解法2、由
，求得 ，再利用 的面积为 面积的 求解；解法3：以 为坐标原
点，以 所在直线为 轴，以过点 的垂线为 轴，建立平面直角坐标系，利用向量的夹角公式
求解；
（2）方法1、在 中，利用余弦定理，求得 ，再由 为 重心，得到
， ，然后在 中，利用余弦定理求解；解法2：由
，求得 ，再利用向量的夹角公式 求解；解法
3：以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以过点 的垂线为 轴，建立平面直角坐标系，再利用向量
的夹角公式 求解；
（3）设 ，由 ，则 即 时， 取最小值，得
到 ，再由 ， ，得到 ，由A， ，
三点共线求解；
【详解】（1）解法1、由余弦定理得 ，即 ，所以 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
因为 与 互补，所以 ，解得 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
因为 ，所以 ．
解法2、由题意可得， ，
由 为边 上的中线，则 ，
两边同时平方得， ，
故 ，
因为 为 边中点，则 的面积为 面积的 ，
所以 ，
即 ，
化简得， ．
解法3：以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以过点 的垂线为 轴，建立平面直角坐标系
则 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ．（2））解：方法1、在 中，由余弦定理，
得 ，
所以 ，
由 ， 分别为边 ， 上的中线可知 为 重心，
可得 ， ，
在 中，由余弦定理，得 ，
又由 ，所以 ．
解法2：因为 为边 上的中线，所以 ，
，
，即 ．
所以 ．
解法3：以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以过点 的垂线为 轴，建立平面直角坐标系：
则 ， ， ， ，
所以 ， ．
所以 ．
（3）设 ， ，
当 即 时， 取最小值 ，，
， ，
，
， ， 三点共线，
.
1．（北京·高考真题）如图，在 中， ， ，点 在 边上，且 ，
.
（1）求 ；
（2）求 的长.
【答案】（1） ；（2）7.
【详解】试题分析：（I）在 中，利用外角的性质，得 即可计算结果；
（II）由正弦定理，计算得 ，在 中，由余弦定理，即可计算结果．
试题解析：（I）在 中，∵ ，∴
∴
（II）在 中，由正弦定理得：
在 中，由余弦定理得：
∴考点：正弦定理与余弦定理．
2．（安徽·高考真题）
在 ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a= ，b= ， ，求边BC上的
高.
【答案】见解析
【详解】试题分析：利用三角形内角和 ， ，求出 的正弦值，利用正弦定理求出
的正弦值，然后求出 的正弦值，即可求出边 上的高．
试题解析：解：由 和 ，得 ，
即 ， ，
再由正弦定理得 ，
由 ，知 ，所以 不是最大角．
于是 ，从而 ，
由上述结果知 ，
设边 上的高为 ，则有 ．
考点：正弦定理.
3．（海南·高考真题）如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于
E，AB=2.
（1）求cos∠CBE的值；
（2）求AE．【答案】(1)因为 ,所以 ，
.
(2)在 中， ，由正弦定理得 ,
故
【详解】略
4．（全国·高考真题）如图，在 ABC中，∠ABC＝90°，AB＝ ，BC＝1，P为 ABC内一点，∠BPC＝90°.
△ △
(1)若PB＝ ，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．
【答案】（1） （2）
【详解】试题分析:（1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定
理求第三边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的正切值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角
形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角形中，注意 这个隐含条件的使
用.
试题解析:解：（1）由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝ .
故PA＝ . 5分（2）设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得 ，
化简得 cos α＝4sin α.
所以tan α＝ ，即tan∠PBA＝ . 12分
考点：（1）在三角形中正余弦定理的应用.（2）求角的三角函数.
5．（湖南·高考真题）如图， 是直角 斜边 上一点， ，记 , .
（1）证明 ；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）根据两角和差的公式，以及诱导公式来得到证明．
（2）
【详解】试题分析：（1）由题意得 ，即可化简得证；（2）在 中，由正弦
定理得 ，在由（1）中 ，可求得方程 ，即可求解
角 的值.
试题解析：（1）如图：∵ ，∴ ，
即 .
（2）在 中，由正弦定理得
，∴
由（1）得 ，∴ ，
即 ，解得 或
∵ ，∴ ，所以 .
考点：正弦定理；三角恒等变换.
