文档内容
第 08 讲 直线与椭圆、双曲线、抛物线
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系
题型二：中点弦问题
角度1：由中点弦确定直线方程
角度2：由中点弦确定曲线方程
题型三：弦长问题
题型四：直线与椭圆、双曲线、抛物线的综合问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：直线与椭圆的位置关系
将直线的方程 与椭圆的方程 联立成方程组，消元转化为关于 或 的一
元二次方程，其判别式为 .
① 直线和椭圆相交 直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
② 直线和椭圆相切 直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③ 直线和椭圆相离 直线和椭圆无公共点．
知识点二：直线与双曲线的位置关系
x2 y2
代数法：设直线 ，双曲线 − =1(a>0,b>0)联立解得：
a2 b2
(b2 −a2k2 )x2 −2a2mkx−a2m2 −a2b2 =0（1） 时， ，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
， ，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2） 时，
b
存在时，若 ，k=± ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
b2 −a2k2 =0 a
若 ，
时， ，直线与双曲线相交于两点；
时， ，直线与双曲线相离，没有交点；
时 ， 直线与双曲线有一个交点；相切
不存在， 时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
知识点三：直线与抛物线的位置关系
设直线 : ,抛物线:
y 2 =2px
（ ）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于 的方程
(1)若 ,当 时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当 时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当 时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若 ,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线
有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
知识点四：直线与圆锥曲线的相交的弦长公式：
若直线l: y=kx+b与圆锥曲线相交与A、B两点， A（x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)则：
弦长|AB|= √ (x −x ) 2 +( y −y ) 2 = √ (x −x ) 2 +(kx−kx ) 2 = √1+k2 |x −x |
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
= √1+k2√ (x +x ) 2 −4x x
1 2 1 2
√ 1
弦长 |AB|= 1+ k2 |y 1 −y 2 |
这里 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
；第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·陕西渭南·高一期末）已知双曲线 （ ， ）与直线 无公共点，则双曲
线的离心率的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2022·上海市第三女子中学高二期末）过 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有
（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．（2022·湖南·高二阶段练习）已知 为双曲线 的一个焦点，点 在 上， 为坐标原点，
若 ，则 的面积为__________.
4．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））直线l过抛物线 的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两
点 ， ．若 ，则弦AB的长是____
5．（2022·全国·高二课时练习）已知直线 与椭圆 相交于M，N两点，求MN的长．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）直线 与椭圆 的交点个数为（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
例题2．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（理））过点 作直线 与抛物线 只有一
个交点，这样的直线 有（ ）条
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高二单元测试）若曲线 与直线 有公共点，则实数 的取值范
围是___________.
例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线 与抛物线 有且只有一个公共点，求 的值．
同类题型归类练1．（2022·江苏·高二）若直线 与圆 没有交点，则过点 的直线与椭圆
的交点的个数为（ ）
A．0或1 B．2 C．1 D．0
2．（2022·全国·高二课时练习）过点 作直线l与抛物线 只有一个公共点，这样的直线有
（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
3．（2022·全国·高二专题练习）直线 和曲线 的位置关系为_____.
4．（2022·海南华侨中学高二期末）过点 且与双曲线 只有一个公共点的直线的条数是
___________.
5．（2022·全国·高三专题练习）若过点 且斜率为k的直线 与双曲线 只有一个公共点，则
___________.
题型二：中点弦问题
角度1：由中点弦确定直线方程
典型例题
例题1．（2022·河南开封·高二期末（文））如果椭圆 的弦被点 平分，那么这条弦所在的
直线的方程是（ ）
A．x+4 y=0 B．
C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）过点 的直线交抛物线 于 两点，当点 恰好为
的中点时，直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·福建·莆田一中高二期末）双曲线 ，离心率 ，虚轴长为 2
．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)经过点 的直线 与双曲线 相交于 两点，且 为 的中点，求直线 的方程．例题4．（2022·广东·信宜市第二中学高二开学考试）已知抛物线 上的点 (点
位于第四象限)到焦点 的距离为 .
（1）求 的值；
（2）过点 作直线 交抛物线 于 两点，且点 是线段 的中点，求直线 的方程.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·甘肃兰州·高二期末（理））点P(8，1)平分椭圆x2+4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程
是_______.
3．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（文））椭圆 的一个焦点 ，
离心率 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)求以点 为中点的弦 所在的直线方程.
4．（2022·全国·高二课时练习）已知 是直线l被椭圆 所截得的线段 的中点，求直
线l的方程．
5．（2022·江苏·高二课时练习）已知椭圆C： ，直线m与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB的中点为M(1，1)，求直线m的方程．
6．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高二开学考试（文））已知椭圆 的离心率
为 ，短轴长为 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.
角度2：由中点弦确定曲线方程
典型例题
例题1．（2022·四川南充·高二期末（文））过椭圆 ： 右焦点 的直线 ：
交 于 ， 两点， 为 的中点，且 的斜率为 ，则椭圆 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 ，直线 与其相
交于 ， 两点，若 中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是
A． B．
C． D．
例题3．（2022·江苏南京·模拟预测）已知椭圆 ： （ ）过点 ，直线 ：与椭圆 交于 ， 两点，且线段 的中点为 ， 为坐标原点，直线 的斜率为-0.5.
(1)求椭圆 的标准方程；
例题4．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）斜率为1的直线交抛物线 于 ，
两点，且弦 中点的纵坐标为2.
(1)求抛物线 的标准方程；
同类题型归类练
1．（2022·四川南充·二模（文））已知椭圆 的左焦点为 ，过点 的直线
与椭圆 相交于不同的两点 ，若 为线段 的中点， 为坐标原点，直线 的斜率为
，则椭圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆 ： 的左､右焦点分别为 ， ，离心
率为 ，过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点， 的中点坐标为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知椭圆C∶ 经过点P（ ， ），O为坐
标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为- .
(1)求椭圆C的标准方程；4．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物
线C交于A，B两点，且 的中点的纵坐标为2．
（1）求C的方程
题型三：弦长问题
典型例题
例题1．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，
过 且斜率为1的直线 交椭圆 于 、 两点，则 等于（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）经过双曲线 的左焦点 作倾斜角为 的直线 ，分别交
双曲线的左、右支为点 、 ．求弦长 =_____
例题3．（2022·贵州遵义·高二期末（理））椭圆 ： 左右焦点为 ， ，离心率为
，点 在椭圆C上．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)经过点 ，倾斜角为 直线l与椭圆交于 ， 两点，求 ．
例题4．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）已知椭圆 的离心率为 ，
且过点 ．
(1)求 的方程；
(2)若 是 上两点，直线 与圆 相切，求 的取值范围．例题5．（2022·内蒙古赤峰·高二期末）已知动圆 过定点 ，且与直线 相切，圆心 的轨
迹为 ．
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)已知直线 交轨迹 于两点 ， ，且 中点的纵坐标为 ，则 的最大值为多少？
同类题型归类练
1．（2022·重庆市青木关中学校高二阶段练习）已知双曲线C： 的一条渐近线方程是
，过其左焦点 作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2022·四川·遂宁中学高二期中（文））已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 且过点
，
(1)求椭圆的标准方程；
(2)倾斜角为45°的直线 过椭圆的右焦点 交椭圆于 ､ 两点，求
3．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）（1）已知A， 两点的坐标分别是 ， ，直线 ，
相交于点 ，且它们的斜率之积是 .求点 的轨迹方程，并判断轨迹的形状：（2）已知过双曲线 上的右焦点 ，倾斜角为 的直线交双曲线于A， 两点，求 .
4．（2022·安徽·六安一中高二开学考试）已知点 ， ，动点 满足直线 与 的
斜率之积为 ，记 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)若直线 ： 和曲线 相交于 ， 两点，求 .
5．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））已知抛物线C： ，圆O： .
(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为C和圆O的一个交点，求 ；
(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求 的最小值及相应p的值.
6．（2022·安徽省舒城中学三模（文））已知抛物线C： （p＞0），抛物线C的焦点为F，点P
在抛物线上，且 的最小值为1．
(1)求p；
(2)设O为坐标原点，A，B为抛物线C上不同的两点，直线OA，OB的斜率分别为 ， ，且满足
，求｜AB｜的取值范围．
题型四：直线与椭圆、双曲线、抛物线的综合问题
典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 上关于原点对称的两个点，
点 在椭圆上．当 和 斜率存在时，求证： 为定值．
例题2．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知抛物线 ， ， 是 上两个不同
的点．
(1)求证：直线 与C相切；
(2)若 为坐标原点， ，点 满足 均与 相切，求 的值．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，过定点 的直线与椭圆交于两点 ，
（可重合），求 的取值范围．
同类题型归类练
1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知椭圆 的离心率为 ，且过点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 、 分别是椭圆 的左、右顶点， 是直线 上不与 点重合的任意一点， 是坐标原点，
与直线 垂直的直线 与 的另一个交点为 .求证： 、 、 三点共线.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，过右焦点 的直线交椭圆于 、 ，
且 是线段 的中点， 是椭圆左焦点，求 的面积．
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系 中， 、 分别是椭圆 的顶点，
过坐标原点的直线交椭圆于 ， 两点，其中点 在第一象限，过 作 轴的垂线，垂足为 ，设直线
的斜率为 ．
(1)若直线 平分线段 ，求 的值；
(2)求 面积 的最大值，并指出对应的点 的坐标；
(3)对任意的 ，过点 作 的垂线交椭圆于 ，求证： ， ， 三点共线．
4．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆 ： 的离心率为 是椭圆的焦点，点，直线 的斜率为 为坐标原点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设过点 的直线与 相交于 两点，当 的面积最大时，求 的方程．
第四部分：高考真题感悟
1．（多选）（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线与C
交于A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
2．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交
于M，N两点，且 ，则l的方程为___________．
3．（2022·全国·高考真题）已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q两点，直
线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．
4．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求 的最小值．
5．（2022·北京·高考真题）已知椭圆： 的一个顶点为 ，焦距为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，
当 时，求k的值．
