文档内容
第10讲 圆锥曲线的弦长问题万能公式（硬解定
理）（高阶拓展、竞赛适用）
（3 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
求椭圆的离心率
根据椭圆过的点求标准方程
2024年新I卷，第16题,15分 求弦长
椭圆中三角形(四边形)的面积
根据韦达走理求参数
抛物线标准方程
由导数求函数的最值 (不含参)
2023年新I卷，第22题,12分 求直线与抛物线相交所得弦的弦长
基本(均值)不等式的应用
求平面轨迹方程
根据抛物线方程求焦点或准线
2022年新I卷，第11题,5分 求直线与抛物线相交所得弦的弦长
判断直线与抛物线的位置关系
根据离心率求椭圆的标准方程
求椭圆中的弦长
2021年新Ⅱ卷，第20题,12分 根据弦长求参数
椭圆中的直线过定点问题
2020年新I卷，第13题,5分 求抛物线焦点弦长 无
2020年新Ⅱ卷，第14题,5分 求抛物线焦点弦长 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的弦长公式及其相关计算
2.理解、掌握圆锥曲线的弦长万能公式（硬解定理）及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，
需强化训练复习知识讲解
1. 弦长公式
若直线 与圆雉曲线相交于 两点，则弦长
2. 圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理）
设直线方程为: y=kx+b (特殊情况要对 k 进行讨论),
圆锥曲线的方程为: f (x,y)=0, 把直线方程代入曲线方程,
可化为 ax2+bx+c=0(a≠0)或(a y2+by+c=0),(a≠0),
设直线和曲线的两交点为 A(x ,y ),B(x ,y ), 求根公式为
1 1 2 2
−b±√b2−4ac
x=
2a
(1) 若消去 y, 得ax2+bx+c=0(a≠0)
则弦长公式为:
|AB|=√(x −x ) 2+(y −y ) 2=√1+k2 ⋅|x −x |
1 2 1 2 1 2
|−b+√b2−4ac −b−√b2−4ac|
¿=√1+k2 ⋅ −
2a 2a
√Δ
¿=√1+k2
|a|
(2) 若消去 x,得a y2+by+c=0(a≠0)则弦长公式为:
√ 1
|AB|=√(x −x ) 2+(y −y ) 2= 1+ ⋅|y −y |
1 2 1 2 k2 1 2
√ 1 |−b+√b2−4ac −b−√b2−4ac|
¿= 1+ ⋅ −
k2 2a 2a
√ 1 √Δ
¿= 1+
k2 |a|
考点一、 椭圆中的弦长问题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知A，B是椭圆 与直线 的交点，求线段AB的长度.
【答案】
【分析】
先设出 两点坐标，再联立方程，根据韦达定理及弦长公式计算结果即可.
【详解】
解：设点A的坐标为(x ,y )，点B的坐标为(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，可得 ，
由题知 是上式方程的根，由韦达定理可得 ，
所以
，
所以 .
2．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知点 为椭圆 上不同两点，点
为椭圆的一个焦点.
(1)求椭圆 的标准方程和离心率；
(2)若 的面积 ，求直线 的方程.【答案】(1) ；
(2) 或
【分析】（1）根据椭圆上点 坐标以及焦点坐标解方程可得椭圆 的标准方程，由离心率定义计算可得离
心率；
（2）对直线 的斜率是否存在进行分类讨论，联立直线以及椭圆方程并求得弦长|AB|,再由面积
即可得出直线 的方程.
x2 y2
【详解】（1）由 在椭圆C: + =1(a>b>0)上可得 ，
a2 b2
解得 ，
又F(1,0)可得 ，因此 ，即
所以椭圆 的标准方程为 ,
其离心率为 .
（2）根据题意可知，若直线 的斜率不存在，则 ，如下图所示：
此时 ， 的面积为 ，满足题意；
可得此时直线 的方程为 ；
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，如下图所示：
联立 ，消去 并整理可得 ，
解得 或 ，又 ，所以此时 ，
点F(1,0)到直线 的距离为 ，
所以 的面积为 ，
解得 ，
所以直线 的方程为 ；
综上可知，直线 的方程为 或
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆 的左、右顶点分别是 ，点
在 上，且 的面积 ．
(1)求 的标准方程；
(2)过点 作直线 与 交于另一点 ，求直线 的斜率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 的面积 结合 可先列方程求出 ，进一步将点 坐标代入椭圆方程可
得 的值，由此即可得解.
（2）设 ，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式以及 即可列方程求出 ，由
此即可得解.
【详解】（1）依题意可得 ．
．
将点 的坐标代入 的方程，得 ，解得 ．所以 的标准方程为 ．
（2）
依题意得直线 存在斜率，设 ．
代入 的方程得 ，即 ，
所以 ，且 ，
解得 ，
，
解得 ，即 ．
4．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心率为
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的
充要条件是 ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）由离心率公式可得 ，进而可得 ，即可得解；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证 ；
充分性：设直线 ，由直线与圆相切得 ，联立直线与椭圆方程结合弦长公
式可得 ，进而可得 ，即可得解.
【详解】（1）由题意，椭圆半焦距 且 ，所以 ，又 ，所以椭圆方程为 ；
（2）由（1）得，曲线为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 ，不合题意；
当直线 的斜率存在时，设 ，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，解得 ，
联立 可得 ，所以 ，
所以 ,
所以必要性成立；
充分性：设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，所以 ，
联立 可得 ，
所以 ，
所以
，
化简得 ，所以 ，
所以 或 ，所以直线 或 ，
所以直线 过点 ，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是 ．
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.1．（2023·全国·模拟预测）直线 与椭圆 交于 两点，长轴的右顶点为点 ，
则 的面积为 .
【答案】
【分析】根据弦长公式以及点到直线的距离即可结合三角形面积公式进行求解.
【详解】直线 与椭圆 联立 得 .
设点 ，则 .所以
.
由椭圆 知点 ，故点 到直线 的距离： ，
所以 的面积为 .
故答案为: .
2．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知椭圆 的上顶点 ，点 在椭
圆 上，斜率为 的直线 过点 交椭圆 于另一点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)当 的面积是 时，求 .
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据椭圆上顶点的坐标得到 的值，由 在椭圆上，代入椭圆方程求出 的值；
（2）联立直线和椭圆的方程得到点 的横坐标，由弦长公式得到 ，由点到直线的距离公式得到点到 的距离 ，从而用 表示出 的面积，由面积为 ，解出 的值.
【详解】（1）因为椭圆 的上顶点为 ，所以 ，
则椭圆方程为 ，
因为 在椭圆 上，所以 ，解得 ，
所以椭圆的方程为 .
（2）
设直线 的方程为 ， ，
联立 消去 并整理得 ，
由 ，得 ，
则 ，
到直线 的距离 ，
则 ，
解得 或 .
3．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点
为椭圆 上一点，且 的面积为 ．(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若倾斜角为 的直线l与C相交于两个不同的点 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助椭圆上的点的坐标， 的面积与 计算即可得；
（2）设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与弦长公式计算即可得.
【详解】（1）由题意可得 ，解得 ，
故椭圆 的标准方程为 ；
（2） ，故可设 ，A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，消去 可得 ，
，即 ，
， ，
则
，
则当 时，|AB|有最大值，且其最大值为 .
4．（2024·河北衡水·一模）已知椭圆 过 和 两点. 分别为椭圆的左､右焦点， 为椭圆上的点（ 不在 轴上），过椭圆右焦点 的直线 与椭圆交于 两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求 的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点 代入椭圆方程，即可求出椭圆C的标准方程；
（2）分类讨论直线斜率是否为0，从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关
于 的关系式，再分析即可得解；
【详解】（1）由题意可知，将点 代入椭圆方程，
得 ，解得 ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）由（1）知F (−1,0)，F (1,0)，
1 2
当直线l的斜率为0时， ，
当直线l的斜率不为0时，设直线 的方程为 ，A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，消去 ，得 ，
易得 ，则 ，
所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
综上， ，即|AB|的范围是 .考点二、 双曲线中的弦长问题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知 是双曲线 与直线 的交点，求线段 的长度.
【答案】30
【分析】
联立直线方程和双曲线方程后利用弦长公式可求线段 的长度.
【详解】
设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
因为 是双曲线 与直线 的交点，
所以点 的坐标满足 ，所以 ，
此时 ，由韦达定理可得
因为
，
所以 ，
2．（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点 ，点 在双曲线上，且其两条渐近线相互
垂直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点 的直线 与双曲线交于 ， 两点， 的面积为 ，求直线 的方程.
【答案】(1)(2) 或 ．
【分析】（1）设所求双曲线方程为 ， ，把点 代入，即可得出答案．
（2）根据题意设直线 的方程为 ，联立直线与双曲线的方程，分别用点到直线的距离公式，弦长
公式，三角形面积公式，建立方程，即可得出答案．
【详解】（1）因为双曲线 的两条渐近线互相垂直，
所以双曲线 为等轴双曲线，
所以设所求双曲线方程为 ， ，
又双曲线 经过点 ，
所以 ，即 ，
所以双曲线的方程为 ，即 ．
（2）根据题意可知直线 的斜率存在，又直线 过点 ，
所以直线 的方程为 ，
所以原点 到直线 的距离 ，
联立 ，得 ，
所以 且 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以 的面积为 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以直线 的方程为 或 ．
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）过双曲线 右焦点 的直线与 的左､右支分别交于点 ，与圆 ： 交于 （异于 ）两点.
(1)求直线 斜率的取值范围；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设A(x ,y ),B(x ,y )，直线 的方程为 ，与椭圆联立消x得
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，利用韦达定理结合已知列不等式，根据直线与圆的位置关系列不等式求解m
范围，即可得解.
（2）利用弦长公式求解 ，利用垂径定理求得 ，从而求得 的表达
式，然后设 ，利用二次函数性质求解范围即可.
【详解】（1）设A(x ,y ),B(x ,y )，由题意可得直线 的斜率存在且不为零，
1 1 2 2
设直线 的方程为 ，
与 联立得 ，
所以 ，
又 两点在 轴同一侧，所以 .此时 ，即 .
圆 的方程为 ，点 到直线 的距离 ，
由 得 ，由 得 ，所以 或
因为直线 的斜率 ，所以直线 斜率的取值范围是 .
（2）由（1）可得
.
，所以
设 ，则 ，
所以 的取值范围是 .
1．（22-23高二上·四川凉山·期末）已知双曲线 的实轴长为2，右焦点为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据实轴长可求 ，根据焦点坐标可求 ，然后可得方程；
（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案.
【详解】（1）由已知 ， ，
又 ，则 ，
所以双曲线方程为 .
（2）由 ，得 ，
则 ，
设 ， ，则 ， ，所以 .
2．（2024·海南·模拟预测）已知双曲线 的实轴长为 ，点 在双曲线
上.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 且斜率为 的直线与双曲线 的另一个交点为 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点 代入双曲线 方程即可求解；
（2）写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果.
【详解】（1）因为双曲线的实轴长为 ，所以 ，解得： ；
又因为点 在双曲线 上，所以 ，解得： ，
所以双曲线的标准方程为：
（2）设 ，Q(x ,y )
2 2
由题可得过点 且斜率为 的直线方程为： ，即 ，
联立 ，消去 可得： ，
所以 ， ，
所以3．（2023·河南·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， .过 的直线l交C
的右支于M，N两点，且当l垂直于x轴时，l与C的两条渐近线所围成的三角形的面积为4.
(1)求C的方程；
(2)证明： ，求 .
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据题意，表示出两交点的坐标，然后结合三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果；
（2）当直线 的斜率存在时，设l的方程为 ，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理，再由
弦长公式，即可得到结果；
【详解】（1）根据题意有 ，C的渐近线方程为 ，
将 代入两个渐近线方程得到交点坐标为 ， ，
l与C的两条渐近线所围成的三角形的面积为 ，
所以 ，C的方程为 .
（2）
设 ， ，其中 ， ，
由（1）可知 ， ，
当 轴时，显然MN与 不垂直.
当l不垂直于x轴时，设l的方程为 时，代入C的方程有：
，故 ， ，
， ，
当 时有： ①，由 得到 ，代入 ，
整理有 ②，
由①，②可得 .
所以 .
考点三、 物线中的弦长问题
1．（2022·全国·高考真题）（多选）已知O为坐标原点，点 在抛物线 上，过点
的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可
判断C、D.
【详解】将点 的代入抛物线方程得 ，所以抛物线方程为 ，故准线方程为 ，A错误；
，所以直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故B正确；
设过 的直线为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，
所以，直线 的斜率存在，设其方程为 ， ，
联立 ，得 ，
所以 ，所以 或 ， ，
又 ， ，
所以 ，故C正确；因为 ， ，
所以 ，而 ，故D正确.
故选：BCD
2．（2023·全国·高考真题）已知直线 与抛物线 交于 两点，且
．
(1)求 ；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出 ；
（2）设直线 ： ， 利用 ，找到 的关系，以及 的面
积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
【详解】（1）设 ，
由 可得， ，所以 ，
所以 ，
即 ，因为 ，解得： ．
（2）因为 ，显然直线 的斜率不可能为零，
设直线 ： ， ，
由 可得， ，所以， ，
，
因为 ，所以 ，
即 ，
亦即 ，
将 代入得，
， ，
所以 ，且 ，解得 或 ．
设点 到直线 的距离为 ，所以 ，，
所以 的面积 ，
而 或 ，所以，
当 时， 的面积 ．
【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到 的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关
系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.
3．（2023·全国·高考真题）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记动点
的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）设 ，根据题意列出方程 ，化简即可；
（2）法一：设矩形的三个顶点 ，且 ，分别令
， ，且 ，利用放缩法得 ，设函数
，利用导数求出其最小值，则得 的最小值，再排除边界值即可.
法二：设直线 的方程为 ，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得
，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可.
法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.
【详解】（1）设 ,则 ，两边同平方化简得 ，
故 .（2）法一：设矩形的三个顶点 在 上,且 ，易知矩形四条
边所在直线的斜率均存在，且不为0，
则 ,令 ，
同理令 ，且 ，则 ，
设矩形周长为 ,由对称性不妨设 ， ，
则 ，易知
则令 ,
令 ，解得 ，
当 时， ，此时 单调递减，
当 ， ，此时 单调递增，
则 ，
故 ,即 .
当 时, ,且 ，即 时等号成立，矛盾，故 ,
得证.
法二：不妨设 在 上，且 ，依题意可设 ，易知直线 ， 的斜率均存在且不为0，
则设 , 的斜率分别为 和 ，由对称性，不妨设 ，
直线 的方程为 ，
则联立 得 ，
，则
则 ，
同理 ，
令 ，则 ，设 ，
则 ，令 ，解得 ，
当 时， ，此时 单调递减，
当 ， ，此时 单调递增，
则 ，
，但 ，此处取等条件为 ，与最终取等时
不一致，故 .
法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动 个单位得抛物线 ,
矩形 变换为矩形 ,则问题等价于矩形 的周长大于 .
设 , 根据对称性不妨设 .
则 , 由于 , 则 .
由于 , 且 介于 之间,
则 . 令 ,
,则 ,从而
故
①当 时,
②当 时,由于 ,从而 ,
从而 又 ,
故 ,由此
，当且仅当 时等号成立，故 ，故矩形周长大于 .
.
【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得 ，同时为了简便
运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.
1．（2024·广东东莞·模拟预测）已知直线l： 与抛物线C： 交于P、Q两点，O为坐标原点，
则三角形OPQ的面积等于 ．
【答案】
【分析】利用方程思想，结合韦达定理，来求出弦长 ，再利用点到直线的距离公式计算
，从而即可求面积.
【详解】
由直线 与抛物线 ，联立方程组消元得：
即 ，设交点
则有 ，
由弦长公式可得： ，
再由点到直线的距离公式得： ，所以三角形面积为： ，
故答案为：12.
2．（2024·广东江门·二模）已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为2的直线 与 交
于A，B两点，且 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 作 轴的平行线 是动点，且异于点 ，过点 作AP的平行线交 于 ， 两点，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件，得到直线方程为 ，设A(x ,y ),B(x ,y )，联立抛物线方程，根据抛
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物线的弦长求得 ，即得答案；
（2）设直线MN的方程为 ，联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得 ，由 ，所
以 ，由（1）可知， 计算即可证得结论.
【详解】（1）设A(x ,y ),B(x ,y )．
1 1 2 2
因为点 的坐标为 ，所以 ，
由 得 ，
则 ，
从而
得 ，所以 的方程为 ．
（2）证明：因为点 的坐标为 ，直线MN的斜率不为0，所以设直线MN的方程为 ．
设 ，由 可得 ，
则
所以 ．
由（1）可知，
因为点A，P的纵坐标分别为 ，且 ，所以可得 ，即 ．
3．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知抛物线 上一点 的纵坐标为4，点 到焦点 的
距离为5，过点 做两条互相垂直的弦 、 ．
(1)求抛物线 的方程．
(2)求 的最小值．
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，依题意根据抛物线的定义得到 ，解
得即可；
（2）设直线 方程为 ，且 ， ，联立直线与抛物线方程，表示出弦长
，同理得到 ，再由基本不等式计算可得.
【详解】（1）抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
由题可知 ，
解得 或 （舍），
所以，抛物线 的方程为 ．
（2）依题意直线 的斜率存在且不为 ，
设直线 方程为 ，且 ， ，
联立 ，可得 ，显然 ，
所以 ， ，
则．
同理 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为16．
一、单选题
1．（23-24高二上·天津河西·期末）过双曲线 的右焦点 ，倾斜角为 的直线交双曲线于A，
B两点，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】确定直线 的方程，代入双曲线方程，求出 ， 的坐标，即可求线段 的长．
【详解】由双曲线的方程得 ， ，直线 的方程为 ①
将其代入双曲线方程消去 得， ，解之得 ， ．
将 ， 代入①，得 ， ，
故 ．
故选：C．
2．（2022高三·全国·专题练习）设F为抛物线 的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B
两点，则 （ ）
A． B．8 C．12 D．
【答案】B
【分析】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可
得出答案.
【详解】依题意可知抛物线 焦点为 ，直线AB的方程为 ，
代入抛物线方程得 ，可得 ，
根据抛物线的定义可知直线AB的长为 ．
故选：B．
二、填空题
3．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知直线 与椭圆 交于 两点，则
.
【答案】 /
【分析】联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案.
【详解】联立 与 ，得 ，设 ，
则 ，
故 .
故答案为：
4．（23-24高二下·上海·期中）已知点 、 分别椭圆 的左、右焦点，过 作倾斜角为 的直
线交椭圆于 、 两点，则弦 的长为 .
【答案】 /
【分析】首先得到右焦点坐标，即可得到直线 的方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，再由两
点间的距离公式计算可得.
【详解】椭圆 的右焦点 ，
因为直线 的倾斜角为 且过点 ，
所以直线 ，设 ， ，
联立 ，消去 得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 .
故答案为：
5．（24-25高三上·云南·阶段练习）动圆 经过原点，且与直线 相切，记圆心 的轨迹为 ，直线
与 交于 两点，则 .
【答案】6【分析】设点M(x,y)，由题意得到 ，化简得圆心 的轨迹方程为 ，将其
与直线 联立，写出韦达定理，利用弦长公式计算即得.
【详解】
如图，设动圆 的圆心M(x,y)，由题意得 ，
两边取平方， ，化简得 ，故圆心 的轨迹方程为 .
联立方程 ，消去 整理得，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
故 .
故答案为：6.
三、解答题
6．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知椭圆 左焦点的 、右顶点 ，过 且斜率为 的
直线l与椭圆交于 两点，求 的面积.
【答案】
【分析】画出图形并根据标准方程写出 ，联立直线和椭圆方程并利用弦长公式和点到直
线距离公式即可求出 的面积为 .
【详解】如下图所示：易知 ，直线 的方程为 ，
设 ，
联立直线与椭圆方程 ，消去 可得 ，
由勾股定理可得 ，
可得 ，
点 到直线 的距离为 ，
所以 的面积为 .
即 的面积为 .
7．（21-22高二上·河北保定·期中）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M 满足直线AM与BM的斜率之
积为 ，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)若直线 和曲线C相交于E，F两点，求 .
【答案】(1) ，曲线 是一个双曲线，除去左右顶点
(2)
【分析】（1）设 ，则 的斜率分别为 ， ，根据题意列出方程，化简后
即得C的方程，根据方程可以判定曲线类型，注意特殊点的去除；
（2）联立方程，利用韦达定理和弦长公式计算可得.【详解】（1）解：设 ，则 的斜率分别为 ， ，
由已知得 ，
化简得 ，
即曲线C的方程为 ，
曲线 是一个双曲线，除去左右顶点.
（2）解：联立 消去 整理得 ，
设 ， ，则 ，
.
8．（2023·新疆喀什·模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦
点，且与C相交于A、B两点.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.
【答案】(1) =1
(2)3
【分析】（1）根据双曲线的准线方程公式，结合双曲线的离心率公式进行求解即可.
（2）根据题意设出直线l的方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、双曲线弦长公式进
行求解即可.
【详解】（1）因为直线l经过C的右焦点，
所以该双曲线的焦点在横轴上，
因为双曲线C两条准线之间的距离为1，
所以有 ，
又因为离心率为2，
所以有 代入 中，可得 ，
∴C的标准方程为： ；（2）
由上可知：该双曲线的渐近线方程为 ，
所以直线l的斜率为 ，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称，
所以两条直线与双曲线的相交弦相等.
又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，
所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为 ，
方程为 与双曲线方程联立为：
，
设 ，则有 ，
9．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知椭圆C： 的焦距为 ，离心率为 .
(1)求C的标准方程；
(2)若 ，直线l： 交椭圆C于E，F两点，且 的面积为 ，求t的值.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到 ， ，即可得到答案.
（2）首先设 ， ，根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到 ，设直线
l与x轴的交点为 ，再根据 求解即可.
【详解】（1）由题意得， ， ，
又 ，则 ，
则 ，
所以C的标准方程为 .
（2）由题意设 ， ，如图所示：
联立 ，
整理得 ， ，
则 ， ，
故 .
设直线l与x轴的交点为 ，
又 ，则 ，故 ，
结合 ，解得 .
10．（2023·四川绵阳·模拟预测）设椭圆 的左、右焦点分别为 是椭圆上的一
点， ，原点 到直线 的距离为 .
(1)求椭圆 的离心率；
(2)平面上点B满足 ，过 与 平行的直线交 于 两点，若 ，求椭圆 的
方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出 点坐标，即可求出 的方程，利用点到直线的距离公式得到 ，整理
即可求出离心率；
（2）由（1）问可设椭圆方程为 ，即可得到 点坐标，从而得到 的斜率，即可得到直线
的方程，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式求出 ，即可求出 、 ，即可得
到方程.
【详解】（1）由题设 及 ，不妨设 ，
所以 ， ，解得 或 （舍去），从而 ，
直线 的方程为 ，整理得 ，
原点 到直线 的距离为 ，将 代入整理得 ，
即 ，
所以离心率 .
（2）由（1）问可设椭圆方程为 ，则 ，
因为 ，所以 为平行四边形，所以直线 过 点，则 斜率为 ，
则设直线 方程为 ，
联立椭圆方程得 ，显然 ，则 ，
则 ，解得 （负值舍去），
所以 ，所以椭圆方程为 .
一、单选题
1．（2024·北京·模拟预测）已知双曲线 的两个焦点分别为 ，过 的直线与双曲线 的
同一支交于 ， 两点，且 ，则线段 的长度为（ ）
A． B．9 C． D．6
【答案】C
【分析】根据对称性不妨设过 的直线为 ，与双曲线的方程联立，运用韦达定理
和向量共线的坐标表示，结合弦长公式，计算可得．
【详解】双曲线 中 ， ， ，则 ，
根据对称性不妨设过 的直线为 ，
联立 ，可得 ，则
设A(x ,y )，B(x ,y )，则 ， ，①
1 1 2 2
由 ，可得 ，
即有 ，②
由①②可得 ， ，所以 ，
解得 （负值已舍去）， ，
所以 ．
故选：C．
2．（24-25高三上·河南·开学考试）已知 是双曲线 的左焦点，过点 的直线与 交于
两点（点 在 的同一支上），且 ，则 （ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】首先由双曲线方程求出点 的坐标，并设出过点 的直线方程 ，然后借助直线
与双曲线联立，得到 和与积的关系，再由 ，得到 的等量关系，从而解出 的值，
最后根据弦长公式求出|AB|得长.
【详解】由 可得 .根据对称性，不妨设过点 的直线为 ，
联立 可得 .
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 .①
1 1 2 2
由 ，则 ，又 所以 .②
由①②可得 ，所以 ，
解得 或 （舍）， ，
所以 .
故选：D.
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线 的左焦点为 ，圆 .若
过 的直线分别交 的左、右两支于A，B两点，且圆 与 相切， 的离心率为 到 的渐近线的距
离为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ，可得 ，进而可求直线 的方程 ，联
立方程组可求弦长.
【详解】由 ，得 .
双曲线 的渐近线方程为 ， ，
因为 到 的渐近线的距离为 ，所以 ，解得 ，所以
，过 的直线 与圆 相切于 ，则可得 ，
所以 ，
过 且与圆 相切的直线方程为 ，
联立方程组 ，消去 得 .设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
则 ，所以 .
故选：D.
4．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为F，
，过点M的直线l与C交于A，B两点，且 ，直线BN与C的另一
个交点为P，若直线AN与PM的斜率满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得 ，则可设直线 ，直线 ，分别与抛物线方程联立，
设 ，由韦达定理可得 ， ，结合 ，可解得 的值，从
而可得 的值，再利用弦长公式即可求解.
【详解】由题意得 ，
，
，
设直线 ，直线 ，
联立 ，得 ，设 ，则 ，
联立 ，得 ，则 ，
则 ，则 ，故 ，
由 ，得 ，解得 ，
则 ，故 .
故选： .
二、填空题
5．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 为 上的两点．若直线 的斜率为 ，
且 ，延长 分别交 于 两点，则四边形 的面积为 ．
【答案】50
【分析】通过抛物线的焦点坐标，直线 的斜率和直线 的垂直关系，求出对角线 ；再利
用两对角线垂直的四边形面积公式，即可求得.
【详解】由题可知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)．
因为直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，
与抛物线 的方程联立，得 ，所以 ．
设 ，则 ， ，
故 ．
因为 ，所以 ，
所以直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
与抛物线 的方程联立，得 ．所以 ．设 ，则 ， ，
故 ．
所以四边形 的面积为 ．
故答案为：50.
三、解答题
6．（23-24高二下·湖南·期末）已知椭圆 过点 ，且离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 过点 ，且与 交于 两点，当 最大时，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出 即可得解；
（2）分直线斜率是否存在两种情况讨论，当直线 的斜率存在时，设方程为 ，
联立方程，利用韦达定理求出 ，再根据弦长公式即可得解.
【详解】（1）由题意得 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）当直线 的斜率不存在时，方程为 ，
此时 ，
当直线 的斜率存在时，设方程为 ，
联立 ，消 得 ，
恒成立，故 ，
则 ，
所以，
令 ，则 ，
所以
，
当 ，即 时，|AB|取得最大值 ，此时 ，
综上所述，当|AB|最大时，求直线 的方程为 .
7．（2024高三·全国·专题练习）已知直线 ： 交椭圆 ： 于A，B两点， 为椭
圆上一点．
(1)证明 ；
(2)求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析 ；
(2)32．
【分析】（1）先联立直线 与椭圆方程求解A，B坐标关系式，由 ，得 ，将垂直关系
转化为对应向量的数量积等于0证明结论；
（2）第一步：求解|AB|及点 到 距离, 第二步：由等面积法得 ,设
，由二次函数的性质即可求解 最大值.
【详解】（1）联立直线 与椭圆方程， ，得 ，
设A(x ,y )，B(x ,y )，∴ ， ，
1 1 2 2
∵
，
∴
（2）设 为点 到直线 的距离，则 ，
由弦长公式得
．
由三角形面积得 ，
设 ，则 ，
由于 ，
∴ ，当 ，即 时，等号成立，
∴ 的最大值为32．
8．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知 和 为椭圆 上的两
点.
(1)求椭圆 的离心率；
(2)设直线 与椭圆 交于 两点，求 的取值范围.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程即可联立求解方程，进而由离心率公式求解.
（2）由点到直线距离以及弦长公式，结合面积公式先表示出 的面积 ，即可结合换元法以及二次函
数的性质得出 的范围．
【详解】（1）将 和 代入椭圆方程可得 且 ，
解得 ，故所求椭圆方程为：
故离心率为 ，
（2）设 , ， , ，
将 ，代入椭圆的方程，
整理得 ，
，
所以点 到直线 的距离为 ，
，
，
设 ，则 ，
，
当 时上式取等号． 的最大值为
故9．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）分别过椭圆 的左、右焦点 作两条平行直线，与
C在x轴上方的曲线分别交于点 ．
(1)当P为C的上顶点时，求直线PQ的斜率；
(2)求四边形 的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）结合图形，易得 ，求得 的斜率，由直线 与椭圆的方程联立，求得点
，即得直线PQ的斜率；
（2）结合图形，由对称性可知，四边形 是平行四边形，四边形 的面积是 面积的一半，
设直线 的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出 和点 到直线 的距离 ，
得到四边形 的面积函数式，利用换元和对勾函数的单调性即可求得面积的最大值.
【详解】（1）由 可知 ,椭圆上顶点为 ，即 ,
直线 的斜率为 ，则直线 的方程为： ，
将其代入 整理得， ，解得， 或 ，
因点 在x轴上方,故得点 ，于是直线PQ的斜率为： ；
（2）如图，设过点 的两条平行线分别交椭圆于点 和 ，
利用对称性可知，四边形 是平行四边形，且四边形 的面积是 面积的一半.
显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成构成四边形），可设直线 的方程为
代入 ，整理得： ，显然 ，
设 ，则 ，
于是，
，
点 到直线 的距离为 ，
则四边形 的面积为 ，
令 ，则 ，且 ，代入得， ，
因函数 在 上单调递增，故，当 时， 取得最小值为4，此时 .
10．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点
在椭圆上，且直线 与 的斜率之积为 ．
(1)求C的方程；
(2)直线 与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B．
（ⅰ）若A，B恰为弦MN的两个三等分点，求直线l的方程；
（ⅱ）若点B与点 重合，线段MN的垂直平分线与x轴交于点Q，求 的值．
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）
【分析】（1）根据点在椭圆上及斜率积列方程组计算 即可得出椭圆方程；（2）（i）设 结合 ， 向量关系列方程求出点的坐标，
即可求出直线方程；（ⅱ）设方程 联立方程组，韦达定理结合弦长公式计算求解.
【详解】（1）将点 代入C的方程得： ①，
设C的焦距为 ，则 ，
故 ，解得 ②，
又 ③，由①②③解得 或 ，
所以C的方程为 ．
（2）（ⅰ）由题， ，设 ，O为坐标原点，
因为A，B恰为弦MN的两个三等分点，所以 ,
则 ，即 ，解得 ，所以 ，
又 ，即 ，解得 ，所以
将点M，N的坐标代入C的方程得 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以直线l的方程为 ．
（ⅱ）由题直线l过点 ，所以 ，
与椭圆方程联立 ，得 ，
，设 ，则 ，
所以
，
又 ，
所以MN中点为 ，
所以MN的垂直平分线方程为 ，
令 得 ，故 ，
所以 ，
所以 ．
【点睛】关键点点睛：（2）（i）解题的关键点是应用 向量关系列方
程求出点的坐标即可求出直线方程；
1．（2022·北京·高考真题）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，
当 时，求k的值．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得 ，即可求出 ，从而求出椭圆方程；
（2）首先表示出直线方程，设 、 ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线
、 的方程，表示出 、 ，根据 得到方程，解得即可；
【详解】（1）解：依题意可得 ， ，又 ，
所以 ，所以椭圆方程为 ；
（2）解：依题意过点 的直线为 ，设 、 ，不妨令 ，
由 ，消去 整理得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，
直线 的方程为 ，令 ，解得 ，
直线 的方程为 ，令 ，解得 ，
所以
，
所以 ，即
即
即
整理得 ，解得
2．（2022·全国·高考真题）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为
．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．
过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用焦点坐标求得 的值，利用渐近线方程求得 的关系，进而利用 的平方关系求得
的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线 的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x,y),由③|AM|=|BM|等价分析
0 0
得到 ；由直线 和 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到
直线PQ的斜率 ，由② 等价转化为 ，由① 在直线 上等价于 ，
然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
【详解】（1）右焦点为 ，∴ ,∵渐近线方程为 ，∴ ，∴ ，∴
，∴ ，∴ ．
∴C的方程为： ；
（2）由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则 为线段 的中点，假若直线 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知 在 轴
上，即为焦点 ,此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 ，已知不符；
总之，直线 的斜率存在且不为零.
设直线 的斜率为 ,直线 方程为 ,
则条件① 在 上，等价于 ；
两渐近线的方程合并为 ,
联立消去y并化简整理得：
设 ,线段中点为 ,则 ,
设 ,
则条件③ 等价于 ,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即 ,
即 ；
由题意知直线 的斜率为 , 直线 的斜率为 ,
∴由 ,
∴ ,
所以直线 的斜率 ,
直线 ,即 ,
代入双曲线的方程 ,即 中，
得： ,
解得 的横坐标： ,
同理： ，∴
∴ ,
∴条件② 等价于 ，
综上所述：
条件① 在 上，等价于 ；
条件② 等价于 ；
条件③ 等价于 ；
选①②推③:
由①②解得： ,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得： ， ，
∴ ，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得： ， ，∴ ，
∴ ，∴①成立.
3．（2021·全国·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上点
的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于 的等式，即可解出 的值；
（2）设点 、 、 ，利用导数求出直线 、 ，进一步可求得直线 的方程，
将直线 的方程与抛物线的方程联立，求出 以及点 到直线 的距离，利用三角形的面积公式结合
二次函数的基本性质可求得 面积的最大值.
【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值由题意知， ，设圆M上的点 ，则 ．
所以 ．
从而有 ．
因为 ，所以当 时， ．
又 ，解之得 ，因此 ．
[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值
抛物线 的焦点为 ， ，
所以， 与圆 上点的距离的最小值为 ，解得 ；
（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线 的方程为 ，即 ，对该函数求导得 ，
设点 、 、 ，
直线 的方程为 ，即 ，即 ，
同理可知，直线 的方程为 ，
由于点 为这两条直线的公共点，则 ，
所以，点A、 的坐标满足方程 ，
所以，直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以， ，
点 到直线 的距离为 ，
所以， ，，
由已知可得 ，所以，当 时， 的面积取最大值 .
[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值
同方法一得到 ．
过P作y轴的平行线交 于Q，则 ．
．
P点在圆M上，则
．
故当 时 的面积最大，最大值为 ．
[方法三]：直接设直线AB方程法
设切点A，B的坐标分别为 ， ．
设 ，联立 和抛物线C的方程得 整理得 ．
判别式 ，即 ，且 ．
抛物线C的方程为 ，即 ，有 ．
则 ，整理得 ，同理可得 ．
联立方程 可得点P的坐标为 ，即 ．
将点P的坐标代入圆M的方程，得 ，整理得 ．
由弦长公式得 ．
点P到直线 的距离为 ．所以 ，
其中 ，即 ．
当 时， ．
【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得 关于圆M上的点 的坐标的表达式，进一
步转化为关于 的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得 的值；方法二，利用圆的性质，
与圆 上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点 、
、 ，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线AB的坐标满足方程
，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得 ， ，利用弦长公式求得
的长，进而得到面积关于 坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于 的二次函数最值问题；
方法二，同方法一得到 ， ，过P作y轴的平行线交 于Q，则 ．由
求得面积关于 坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法
灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线 ，联立直线AB和抛物线方程，利用韦达定理
判别式得到 ，且 ．利用点 在圆 上，求得 的关系，然后利用导数求得
两切线方程，解方程组求得P的坐标 ，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于 的函
数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值；
