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第 10 讲 圆周运动
1.掌握描述圆周运动的物理量及它们之间的关系
2.理解向心力公式并能应用，圆周运动的动力学分析
3.了解物体做离心运动的条件
考点一 圆周运动中的运动学分析
1．线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．v＝＝.
2．角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．ω＝＝.
3．周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．T＝，T＝.
4．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．a＝rω2＝＝ωv＝r.
n
5．相互关系：(1)v＝ωr＝r＝ 2π rf . (2)a＝＝rω2＝ωv＝r＝4π2f2r.
n[例题1] （2024•齐齐哈尔一模）机动车检测站进行车辆尾气检测的原理如下：车的主动
轮压在两个相同粗细的有固定转动轴的滚筒上，可使车轮在原地转动，然后把检测传感器放入
尾气出口，操作员将车轮加速一段时间，在与传感器相连的电脑上显示出一系列相关参数，现
有如下简化图：车内轮A的半径为r ，车外轮B的半径为r ，滚筒C的半径为r ，车轮与滚
A B C
筒间不打滑，当车轮以恒定速度运行时，下列说法正确的是（ ）
A．A、B轮的角速度大小之比为r ：r
A B
B．A、B轮边缘的线速度大小之比为r ：r
A B
C．B、C的角速度之比为r ：r
B C
D．B、C轮边缘的向心加速度大小之比为r ：r
B C
[例题2] （2024•重庆模拟）小明同学站在原地，将圆形雨伞绕竖直伞柄以角速度 匀速
转动，使附在雨伞表面的雨滴均沿雨伞边缘的切线方向水平飞出，最终落至地面成一圆形ω区域，
已知雨伞边缘距地面的高度为h，到伞柄的垂直距离为R。忽略空气阻力，以下关于圆形区域
半径的表达式正确的是（ ）
A．
R
√2ℎω2
+1
B．
ωR
√2ℎ
+R
C．
ωR
√2ℎ D．R
g g g
[例题3] （2024•乌鲁木齐模拟）如图所示，轮 O 、O 固定在一转轴上，轮O 、O 用皮
1 3 1 2
带连接且不打滑。在O 、O 、O 三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径比r ：
1 2 3 1
r ：r ＝2：1：1，求：
2 3
（1）A、B、C三点的线速度大小之比v ：v ：v 。
A B C
（2）A、B、C三点的角速度之比 ： ： 。
A B C
（3）A、B、C三点的向心加速度大ω小之ω比aω：a ：a 。
A B C考点二 圆周运动中的动力学分析
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或
某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力．
3．向心力的公式
F＝ma ＝m＝ mω 2 r ＝mr＝ mr 4π 2 f 2
n n
[例题4] （2024•新郑市校级三模）如图甲所示，一艘正在进行顺时针急转弯训练的航母，
运动轨迹可视作半径为R的水平圆周。航母在圆周运动中，船身发生了向外侧倾斜，且甲板法
线与竖直方向夹角为 ，船体后视简图如图乙所示。一质量为m的小物块放在甲板上，与甲板
始终保持相对静止，两θ 者之间的动摩擦因数为 （ ＞tan ）。假设航母的运动半径R、夹角
不随航速改变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。μ下μ列说法θ正确的是（ ） θ
A．航母对小物块的支持力F ＝mgcos
N
θB．小物块可能只受重力、支持力两个力作用
C．航母的航速越大，则小物块受到的摩擦力越大
√μ−tanθ
D．航母的最大航速v= gR
1+tanθ
[例题5] （2024•西城区校级模拟）如图甲、乙所示为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开
关控制，其结构如图丙所示，弹簧一端固定在顶部，另一端与小物块 P连接，当车轮转动的角
速度达到一定值时，P拉伸弹簧后使触点A、B接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点B与
车轮圆心距离为R，车轮静止且气嘴灯在最低点时触点A、B距离为d，已知P与触点A的总
质量为m，弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g，不计接触式开关中的一切摩擦，小物块
P 和触点 A、B 均视为质点。当该自行车在平直的道路上行驶时，下列说法中正确的是
（ ）
√kd+mg
A．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为
mR
√kd−mg
B．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为
mR
√kd+2mg
C．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为
mR
√kd+mg
D．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为
mR
[例题6] （2023•温州三模）在东北严寒的冬天，有一项“泼水成冰”的游戏，具体操作
是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀快速地泼向空中，泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成
冰而形成壮观的场景。如图甲所示是某人玩泼水成冰游戏的精彩瞬间，图乙为其示意图。假设
6π
泼水过程中杯子做匀速圆周运动，在0.4s内杯子旋转了 。下列说法正确的是（ ）
5A．P位置的小水珠速度方向沿a方向
B．P、Q两位置，杯子的向心加速度相同
C．杯子在旋转时的线速度大小约为6 m/s
D．杯子在旋转时的向心加速度大小约π为9 2m/s2
π
考点三 圆周运动的临界问题
1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．
2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着
“起止点”，而这些起止点往往就是临界点．
3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，
这些极值点也往往是临界点．
[例题7] （多选）（2024•南明区校级一模）如图所示，质量均为m的甲、乙、丙三个小
物块（均可看作质点）水平转盘一起以角速度 绕OO′轴做匀速圆周运动，物块甲叠放在物
块乙的上面，所有接触面间的动摩擦因数均为ω。已知甲、乙到转轴的距离为r ，丙到转轴的
1
距离为r ，且r ＞r 。最大静摩擦力等于滑动摩μ擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（
2 2 1
）
A．甲受到的摩擦力一定为 mg
B．乙受到转盘的摩擦力一定μ为2m 2r
1
ωC．若角速度增大，丙先达到滑动的临界点
D．若角速度增大，甲先达到滑动的临界点
[例题8] （2023•山东模拟）如图所示，水平机械臂BC固定在竖直转轴CD上，B处固定
一与BC垂直的光滑水平转轴，轻杆AB套在转轴上。轻杆可在竖直面内转动，其下端固定质
量为m的小球，轻杆和机械臂的长度均为L，开始小球静止，缓慢增大竖直轴转动的角速度，
直至杆与竖直方向的夹角为 37°，已知 sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度为 g，则
（ ）
√5g
A．此时小球的角速度大小为
4L
√3gL
B．此时小球的线速度大小为
2
4
C．此过程中杆对小球做的功为 mgL
5
3
D．此过程中杆对小球做的功为 mgL
5
[例题9] （多选）（2023•河南模拟）一个可以转动的玩具装置如图所示，四根轻杆OA、
OC、AB和CB与两小球及一小环通过铰链连接，轻杆长均为 L，球和环的质量均为m，O端
固定在竖直的轻质转轴上。套在转轴上的轻质弹簧连接在 O与小环之间，原长为L。装置静止
3
时，弹簧长为 L。如果转动该装置并缓慢增大转速，发现小环缓慢上升。弹簧始终在弹性限
2
度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）4mg
A．弹簧的劲度系数k=
L
2mg
B．弹簧的劲度系数为k=
L
√8g
C．装置转动的角速度为 时，AB杆中弹力为零
5L
√6g
D．装置转动的角速度为 时，AB杆中弹力为零
5L
考点四 竖直平面内圆周运动绳、杆模型
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑
(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、
在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”．
2．绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型 杆模型
常见类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高点的 由mg＝m得
由小球恰能做圆周运动得v ＝0
临
临界条件 v ＝
临
(1)当v＝0时，F ＝mg，F 为支持力，沿
N N
(1)过最高点时，v≥，F ＋mg
N
半径背离圆心
＝m，绳、圆轨道对球产生弹
(2)当0时，F ＋mg＝m，F 指向圆心并
N N
圆轨道
随v的增大而增大
[例题10]（2024•石景山区一模）如图所示，轻杆的一端固定在通过 O点的水平转轴上，
另一端固定一小球，轻杆绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中 A点为最
高点、C点为最低点，B点与O点等高，下列说法正确的是（ ）A．小球经过A点时，所受杆的作用力一定竖直向下
B．小球经过B点时，所受杆的作用力沿着BO方向
C．从A点到C点的过程，杆对小球的作用力不做功
D．从A点到C点的过程，小球重力的功率先增大后减小
[例题11] （多选）（2024•绵阳模拟）如图甲所示，质量为0.2kg的小球套在竖直固定的光
滑圆环上，并在圆环最高点保持静止。受到轻微扰动后，小球由静止开始沿着圆环运动，一段
时间后，小球与圆心的连线转过 角度时，小球的速度大小为v，v2与cos 的关系如乙图所示，
g取10m/s2。则（ ） θ θ
A．圆环半径为0.6m
π
B．θ= 时，小球所受合力为4N
2
C．0≤ ≤ 过程中，圆环对小球的作用力一直增大
D．0≤θ≤π过程中，圆环对小球的作用力先减小后增大
[例θ 题π12]（2024•雨花区校级模拟）如图所示，半径R＝1m的光滑圆环形滑杆MNP竖直
固定放置，左侧端点M和圆心O 的连线与竖直方向夹角的余弦值cos ＝0.15，右侧端点P和
1
圆心O 、O 在同一水平线上，P点的切线沿竖直方向。现有一质量m ＝θ0.2kg的小橡胶环A以
1 2 1
v ＝1.2m/s的初速度水平抛出，恰好沿滑杆左侧端点M的切线套入滑杆，在滑杆的最高点静止
0
着质量m ＝0.2kg的小橡胶环B。在右侧端点P的正下方h＝4.15m处，有一质量m ＝0.1kg、
2 3
长度L＝3m的长直木杆C竖直静止在水平面上，但跟水平面并不黏合。已知小橡胶环 B与长
直木杆C之间的滑动摩擦力大小f＝2N，最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，小橡胶环 A、B均可视为质点，两小橡胶环之间和小橡胶环与水平面间的碰撞都是弹性碰撞；小橡胶环B套入
长直木杆C后，长直木杆C不倾倒，且每次与水平面碰撞瞬间都会立即停下而不反弹、不倾
倒。不计空气阻力，取g＝10m/s2。
（1）小橡胶环A到达滑杆最低点Q时所受弹力大小；
（2）小橡胶环B在长直木杆C上上滑的最大距离；
（3）长直木杆C跟水平面第一次碰撞瞬间损失的机械能；
（4）小橡胶环B在长直木杆C上运动的总路程。
题型1圆周运动基本物理量的关系
1. （2023•漳州模拟）如图为明代出版的《天工开物》中记录的“牛转翻车”，该设备
利用畜力转动不同半径齿轮来改变水车的转速，从而将水运送到高处。图中a、b分别为两个
齿轮边缘上的点，齿轮半径之比为r ：r ＝4：3；a、c在同一齿轮上且a、c到转轴的距离之比
a b
为r ：r ＝2：1，则在齿轮转动过程中（ ）
a c
A．a、b的角速度相等
B．b的线速度比c的线速度小C．b、c的周期之比为3：4
D．a、b的向心加速度大小之比为4：3
2. （2023•绵阳模拟）如图，带车牌自动识别系统的直杆道闸，离地面高为1m的细直杆
可绕O在竖直面内匀速转动。汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为2.3s，自动识别系
统的反应时间为0.3s；汽车可看成高1.6m的长方体，其左侧面底边在aa′直线上，且O到汽
车左侧面的距离为0.6m，要使汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为（ ）
π 3π π π
A． rad/s B． rad/s C． rad/s D． rad/s
6 8 8 12
题型2三种传动方式及特点
3. （2023•台州二模）某款机械表中有两个相互咬合的齿轮A、B，如图所示，齿轮A、
B的齿数之比为1：2，齿轮匀速转动时，则A、B齿轮的（ ）
A．周期之比T ：T ＝2：1
1 2
B．角速度之比为 ： ＝2：1
1 2
C．边缘各点的线速ω度大ω小之比v ：v ＝1：2
1 2
D．转速之比为n ：n ＝1：2
1 2
4. （2023•崇明区二模）如图为车库出入口采用的曲杆道闸，道闸由转动杆 OP与横杆
PQ链接而成，P、Q为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平，则在抬起过程中P和Q两点（ ）
A．线速度相同，角速度相同
B．线速度相同，角速度不同
C．线速度不同，角速度相同
D．线速度不同，角速度不同
5. （多选）（2024•鹿城区校级模拟）如图甲所示，光电编码器由码盘和光电检测装置
组成，电动机转动时，码盘与电动机旋转轴同速旋转，发光二极管发出的光经凸透镜转化为平
行光，若通过码盘镂空的明道照在光敏管上，信号端输出高电位，反之输出低电位，两个光敏
管分布在同一半径上。根据输出两路信号可以测量电动机的转速和判断旋转方向。从左往右看，
内、外都均匀分布20个明道的码盘如图乙所示，电动机转动时两信号的图像如图丙所示，则
（ ）
A．从左往右看，电动机顺时针转动
B．从左往右看，电动机逆时针转动
C．电动机转动的转速为50r/s
D．电动机转动的转速为125r/s
题型3锥摆模型
6. （多选）（2024•东莞市一模）如图（a）为游乐场中的“空中飞椅”项目。“空中飞椅”结构示意图如图（b），转动轴带动顶部圆盘转动，悬绳一端系在圆盘边缘，另一端系着
椅子。若所有椅子质量相等，悬绳长短不一定相等，忽略悬绳质量与空气阻力，则坐在椅子上
的游客与椅子整体随圆盘匀速转动的过程中（ ）
A．任一时刻，所有游客的线速度都相同
B．所有游客做圆周运动的周期都相同
C．悬绳越长，悬绳与竖直方向的夹角就越大
D．悬绳与竖直方向的夹角与游客质量无关
7. （2023•龙华区校级四模）如图所示，小球甲在竖直面内摆动的周期为T ，悬线长为
0
L；小球乙在水平面内做匀速圆周运动，悬点为O 、轨迹圆圆心为O ，甲、乙两小球都能视为
1 2
质点。下列说法正确的是（ ）
A．小球甲的向心力由合力来充当
B．小球乙的向心力由拉力来充当
C．若小球乙运动的周期为T ，则与小球乙连接的悬线长度为L
0
D．若O 、O 两点间的距离为L，则小球乙运动的周期为T
1 2 0
8. （2023•江苏一模）如图所示，一轻支架由水平段ON和竖直段OO'组成。轻弹簧一端
固定于O点，另一端与套在水平杆ON上的A球相连，一根长为L＝10cm的轻绳连接A、B两
球。A球质量m ＝1kg，B球质量m ＝4kg，A球与水平杆的动摩擦因数 ＝0.36，弹簧原长l
A B
＝20cm，劲度系数k＝450N/m。初始时使A球尽量压缩弹簧并恰好处于静μ止状态。现使系统
绕OO'轴缓慢转动起来，转动过程中保持A、B两球始终与OO'在同一竖直平面内。当系统以
某角速度稳定转动时，细绳与竖直方向成37°角，此时弹簧的弹力大小恰好与初始时相同。设
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2，求：（1）初始时弹簧的长度；
（2）细绳与竖直方向成37°角时，系统转动的角速度；
（3）整个过程中驱动力对系统所做的总功。
题型4转弯模型
9. （2023•昆明一模）图甲是市区中心的环岛路，A、B两车正在绕环岛做速度大小相等
的匀速圆周运动，如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．A、B两车的向心加速度大小相等
B．A车的角速度比B车的角速度大
C．A、B两车所受的合力大小一定相等
D．A车所受的合力大小一定比B车的大
1
10. （2024•济南模拟）如图所示，MN为半径为r的 圆弧路线，NP为长度13.5r的直线
4
1
路线，MN'为半径为4r的 圆弧路线，N'P'为长度10.5r的直线路线。赛车从M点以最大安全
4
速度通过圆弧路段后立即以最大加速度沿直线加速至最大速度v 并保持v 匀速行驶。已知赛
m m
车匀速转弯时径向最大静摩擦力和加速时的最大合外力均为车重的n倍，最大速度v ＝5√ngr
m
，g为重力加速度，赛车从M点按照MNP路线到P点与按照MN'P'路线运动到P'点的时间差
为（ ）π 13 √ r π 3 √ r
A．( − ) B．( − )
2 10 ng 2 2 ng
23 √ r π √ r
C．(π− ) D．( +4−2√7)
10 ng 2 ng
11. （2024•成都模拟）图甲是正在水平面内工作的送餐机器人，该机器人沿图乙中
ABCD曲线给16号桌送餐，已知弧长和半径均为4m的圆弧BC与直线路径AB、CD相切，
AB段长度也为4m，CD段长度为12m，机器人从A点由静止匀加速出发，到B点时速率恰好
为1m/s，接着以1m/s的速率匀速通过BC，通过C点后以1m/s的速率匀速运动到某位置后开
始做匀减速直线运动，最终停在16号桌旁的D点。已知餐盘与托盘间的动摩擦因数 ＝0.1，
关于该运动的说法正确的是（ ） μ
A．B到C过程中机器人的向心加速度a＝0.2m/s2
B．餐盘和水平托盘不发生相对滑动的情况下，机器人从C点到D点的最短时间t＝12.5s
C．A到B过程中餐盘和水平托盘会发生相对滑动
D．若重新设置机器人，使其在BC段以3m/s匀速率通过，餐盘与水平托盘间不会发生相对滑动题型5圆盘模型
12. （多选）（2023•上饶模拟）如图所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根细铁钉，将
可视为质点的小球C用长为L 的轻绳拴在铁钉B上，轻绳能承受足够大的拉力，t＝0时刻，
0
A、B、C在同一直线上，给小球C一个垂直于轻绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上
做圆周运动，每次轻绳碰到铁钉时小球的速度大小不变。在第5s末时轻绳第一次碰到铁钉
A，轻绳的拉力由4N突变为5N，小球碰到铁钉时立即停止运动，下列说法正确的是（ ）
2
A．A、B间的距离为 L
5 0
1
B．A、B间的距离为 L
5 0
C．在t＝13s时轻绳第二次碰到铁钉
D．在t＝9s时轻绳第二次碰到铁钉
13. （多选）（2023•郴州模拟）如图所示。在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着
用轻绳相连的物体A和B，A和B质量都为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为R
A
＝r，R ＝3r，A、B与盘间的动摩擦因数相同且均为 。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当
B
圆盘转速从零开始逐渐加快到两物体刚好要发生但μ还未发生滑动时，下列说法正确的是
（ ）
A．绳子的最大张力为F ＝2 mg
T
μ √2μg
B．当A所受的摩擦力为零时，圆盘的角速度为 =
r
ω
C．随着角速度的增大，A所受摩擦力的方向和大小都会变化，而B所受的摩擦力方向不变
D．随着角速度的增大，A所受的摩擦力一直减小，而B所受的摩擦力一直增大
14. （2023•丰台区一模）如图所示，一圆盘在水平面内绕过圆盘中心的轴匀速转动，角
速度是2.0rad/s。盘面上距圆盘中心10cm的位置有一个质量为0.1kg的小物体随圆盘一起做匀
速圆周运动。小物体与圆盘之间的动摩擦因数 ＝0.4，两者之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦
μ力，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）小物体随圆盘匀速转动时所需向心力的大小F；
（2）要使小物体在圆盘上不发生相对滑动，圆盘角速度的最大值 ；
m
（3）若圆盘由静止开始转动，逐渐增大圆盘的角速度，小物体从圆ω盘的边缘飞出，经过 0.4s落
地，落地点距飞出点在地面投影点的距离为40cm。在此过程中，摩擦力对小物体所做的功W。
题型6离心现象的应用与防止
15. （2023•浙江模拟）高速离心机用于快速沉淀或分离物质。如图所示，水平试管固定
在高速离心机上，离心机的转速为n，在水平试管中有质量为m的某固体颗粒，某时刻颗粒离
转轴的距离为r。已知试管中充满液体，颗粒与试管内壁不接触。下列说法正确的是（ ）
2π
A．颗粒运动的角速度为
n
B．颗粒此时受到的合外力大小必为4 2mrn2
C．离转轴越远，分离沉淀效果越好 π
D．此款高速离心沉淀机，适用于任何颗粒，颗粒都会到试管底部沉淀
16. （2023•东莞市校级模拟）如图为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在 A端，
另一端拴接重物，当车轮高速旋转时，LED灯就会发光。下列说法正确的是（ ）A．安装时A端比B端更远离圆心
B．高速旋转时，重物由于受到离心力的作用拉伸弹簧从而使触点接触，电路导通，LED灯发光
C．增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光
D．匀速行驶时，若LED灯转到最低点时能发光，则在最高点时也一定能发光
