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专题 07 圆周运动
[题型导航]
题型一 圆周运动的运动学问题...........................................................................................................1
题型二 圆周运动的动力学问题...........................................................................................................4
题型三 竖直面内圆周运动的两类模型问题.......................................................................................6
题型四 圆周运动中的两类临界问题.................................................................................................10
[考点分析]
题型一 圆周运动的运动学问题
1．线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．v＝＝.
2．角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．ω＝＝.
3．周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．T＝，T＝.
4．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．a＝rω2＝＝ωv＝r.
n
5．相互关系：(1)v＝ωr＝r＝ 2π rf . (2)a＝＝rω2＝ωv＝r＝4π2f2r.
n
[例题1] 如图为车牌自动识别系统的直杆道闸，离地面高为1m的细直杆可绕O在竖直面
内匀速转动。汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为3.3s，自动识别系统的反应时间为
0.3s；汽车可看成高1.6m的长方体，其左侧面底边在aa′直线上，且O到汽车左侧面的距离
为0.6m，要使汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为（ ）π 3π π π
A． rad/s B． rad/s C． rad/s D． rad/s
4 4 6 12
[例题2] 某机器的齿轮系统如图所示，中间的轮叫做太阳轮，它是主动轮。从动轮称为行
星轮，主动轮、行星轮与最外面的大轮彼此密切啮合在一起，如果太阳轮一周的齿数为 n ，行
1
星轮一周的齿数为n ，当太阳轮转动的角速度为 时，最外面的大轮转动的角速度为（ ）
2
ω
A． n B． n
1 ω 2 ω
n +2n n +n
1 2 1 2
C． n D． n
1 ω 2 ω
n +n n -n
1 2 1 2
[例题3] 无级变速是在变速范围内任意连续变换速度的变速系统．如图所示是无级变速模
型示意图，主动轮、从动轮中间有一个滚轮，各轮间不打滑，通过滚轮位置改变实现无级变速。
A、B为滚轮轴上两点，则（ ）A．从动轮和主动轮转动方向始终相反
B．滚轮在A处，从动轮转速大于主动轮转速
C．滚轮在B处，从动轮转速大于主动轮转速
D．滚轮从A到B，从动轮转速先变大后变小
[例题4] 由于高度限制，车库出入口采用图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆OP与横杆PQ
链接而成，P、Q为横杆的两个端点．在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平．杆OP绕O点
从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．P点的线速度大小不变
B．P点的加速度方向不变
C．Q点在竖直方向做匀速运动
D．Q点在水平方向做匀速运动
[例题5] 如图所示为旋转脱水拖把结构图。把拖把头放置于脱水筒中，手握固定套杆向下
运动，固定套杆就会给旋转杆施加驱动力，驱动旋转杆、拖把头和脱水筒一起转动，把拖把上
的水甩出去。旋转杆上有长度为 35cm的螺杆，螺杆的螺距（相邻螺纹之间的距离）为 d＝
5cm，拖把头的托盘半径为10cm，拖布条的长度为6cm，脱水筒的半径为12cm。某次脱水时，
固定套杆在1s内匀速下压了35cm，该过程中拖把头匀速转动，则下列说法正确的是（ ）A．拖把头的周期为7s
B．拖把头转动的角速度为14 rad/s
C．紧贴脱水筒内壁的拖布条上π附着的水最不容易甩出
D．旋转时脱水筒内壁与托盘边缘处的点向心加速度之比为5：6
题型二 圆周运动的动力学问题
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或
某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力．
3．向心力的公式F＝ma ＝m＝ mω 2 r ＝mr＝ mr 4π 2 f 2
n n
解决圆周运动问题的主要步骤
(1)审清题意，确定研究对象；明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环；
(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；
(3)分析物体的受力情况，画出受力分析图，确定向心力的来源；
(4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．
[例题6] （多选）如图所示，足够大的水平圆台中央固定一光滑竖直细杆，原长为L的轻
质弹簧套在竖直杆上，质量均为m的光滑小球A、B用长为L的轻杆及光滑铰链相连，小球A
穿过竖直杆置于弹簧上。让小球B以不同的角速度 绕竖直杆匀速转动，当转动的角速度为
时，小球B刚好离开台面。弹簧始终在弹性限度内ω，劲度系数为 k，重力加速度为g，则（
0
ω）mg
A．小球均静止时，弹簧的长度为L-
k
B．角速度 ＝ 时，小球A对弹簧的压力为mg
0
ω ω√ kg
C．角速度 =
0 kL-2mg
ω
D．角速度从 继续增大的过程中，小球A对弹簧的压力不变
0
[例题7]ω（多选）如图所示，半径为R的半球形容器固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台
上，转台转轴与过容器球心O的竖直线重合，转台以一定角速度 匀速旋转。有两个质量均
为m的小物块落入容器内，经过一段时间后，两小物块都随容器一ω起转动且相对容器内壁静止，
两物块和球心O点的连线相互垂直，且A物块和球心O点的连线与竖直方向的夹角 ＝60°，
已知重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（ ） θ
(√3-1)mg
A．若A物块受到的摩擦力恰好为零，B物块受到的摩擦力的大小为
4
(√3-1)mg
B．若A物块受到的摩擦力恰好为零，B物块受到的摩擦力的大小为
2
(√3-1)mg
C．若B物块受到的摩擦力恰好为零，A物块受到的摩擦力的大小为
2
(√3-1)mg
D．若B物块受到的摩擦力恰好为零，A物块受到的摩擦力的大小为
4
[例题8] 如图所示，在竖直面内固定三枚钉子a、b、c，三枚钉子构成边长d＝10cm的等
边三角形，其中钉子a、b沿着竖直方向。长为L＝0.3m的细线一端固定在钉子a上，另一端
系着质量m＝200g的小球，细线拉直与边ab垂直，然后将小球以v =√3m/s的初速度竖直向
0下抛出，小球可视为质点，不考虑钉子的粗细，重力加速度 g＝10m/s2，细线碰到钉子c后，
物块到达最高点时，细线拉力大小为（ ）
A．0N B．1N C．2N D．3N
[例题9] （多选）如图所示为波轮式洗衣机的工作原理示意图，当甩衣桶在电机的带动下
高速旋转时，衣服紧贴在甩衣桶器壁上，从而迅速将水甩出。衣服（带水，可视为质点）质量
为m，衣服和器壁的动摩擦因数约为 ，甩衣桶的半径为 ，洗衣机的外桶的半径为R，当角
速度达到 时，衣服上的水恰好被甩μ出，假设滑动摩擦力γ和最大静摩擦力相等，重力加速度
0
为g，则下ω列说法正确的是（ ）
A．衣服（带水）做匀变速曲线运动
√ g
B．电动机的角速度至少为 时，衣服才掉不下来
μr
C．当 ＝ 时，水滴下落高度
g(R-r) 2
打到外筒上
0
2ω2r2
0
ω ω
D．当 ＝ 时，水滴下落高度
g(R2-r2
)打到外筒上
0
2ω2r2
0
ω ω
[例题10] 现将等宽双线在水平面内绕制成如图1所示轨道，两段半圆形轨道半径均为R
=√3m，两段直轨道AB、A'B长度均为l＝1.35m。在轨道上放置个质量m＝0.1kg的小圆柱体，
如图2所示，圆柱体与轨道两侧相切处和圆柱截面圆心O连线的夹角 为120°，如图3所示，
两轨道与小圆柱体的动摩擦因数均为 ＝0.5，小圆柱尺寸和轨道间距相θ对轨道长度可忽略不计，
μ初始时小圆柱位于 A 点处，现使之获得沿直轨道 AB 方向的初速度 v 。求：
0
（1）小圆柱沿AB运动时，内外轨道对小圆柱的摩擦力f 、f 的大小；
1 2
（2）当v ＝6m/s，小圆柱刚经B点进入圆弧轨道时，外轨和内轨对小圆柱的压力N 、N 的大
0 1 2
小；
（3）为了让小圆柱不脱离内侧轨道，v 的最大值，以及在v 取最大值情形下小圆柱最终滑过的
0 0
路程s。
题型三 竖直面内圆周运动的两类模型问题
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑
(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、
在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”．
2．绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型 杆模型
常见类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高点的 由mg＝m得
由小球恰能做圆周运动得v ＝0
临
临界条件 v ＝
临
(1)过最高点时，v≥，F N ＋mg (1)当v＝0时，F N ＝mg，F N 为支持力，沿
讨论分析 ＝m，绳、圆轨道对球产生弹 半径背离圆心
力F N (2)当0时，F ＋mg＝m，F 指向圆心并
N N
圆轨道
随v的增大而增大
[例题11] 如图甲，ABC为竖直放置的半径为0.1m的半圆形轨道，在轨道的最低点和最高
点A、C各安装了一个压力传感器，可测定小球在轨道内侧，通过这两点时对轨道的压力 F 和
A
F ．质量为0.1kg的小球，以不同的初速度v由A点冲入ABC轨道．（g取10m/s2）
C
（1）若轨道ABC光滑，则小球能通过最高点C的最小速度多大？
（2）若轨道ABC光滑，小球均能通过C点．试推导F 随F 变化的关系式，并在图乙中画出其
C A
图线；
（3）若F 和F 的关系图线如图丙所示，求：当F ＝13N时小球滑经A点时的速度v ，以及小
C A A A
球由A滑至C的过程中损失的机械能
[例题12] （多选）如图甲所示，轻杆一端固定在 O点，另一端固定质量为m的小球。现
让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，速度大小
为v，其F﹣v2图象如图乙所示。则（ ）
mb
A．小球做圆周运动的半径R=
a
b
B．当地的重力加速度大小g=
RC．v2＝c时，小球受到的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力大小与重力大小相等
[例题13] （多选）如图所示，水平的木板B托着木块A一起在竖直平面内做匀速圆周运动，
从水平位置a沿逆时针方向运动到最高点b的过程中（ ）
A．B对A的支持力越来越大 B．B对A的支持力越来越小
C．B对A的摩擦力越来越小 D．B对A的摩擦力越来越大
[例题14] 摆动是生活中常见的运动形式，秋千、钟摆的运动都是我们熟悉的摆动。摆的形
状各异，却遵循着相似的规律。
（1）如图1所示，一个摆的摆长为L，小球质量为m，拉起小球使摆线与竖直方向夹角为 时
将小球由静止释放，忽略空气阻力。 θ
a．求小球运动到最低点时绳对球的拉力的大小F。
b．如图2所示，当小球运动到摆线与竖直方向夹角为 （ ＜ ）时，求此时小球的角速度大小
。 α α θ
1
ω（2）如图3所示，长为L的轻杆，一端可绕固定在O点的光滑轴承在竖直平面内转动，在距O
L
点为 和L处分别固定一个质量为m、可看作质点的小球，忽略轻杆的质量和空气阻力。
2
a．将杆与小球组成的系统拉到与竖直方向成 角的位置由静止释放，当系统向下运动到与竖直
方向夹角为 （ ＜ ）时，求此时系统的角速度θ 大小 。
2
b．若 较小α，系α统θ的运动可看作简谐运动，对比 2ω和
1
的表达式，参照单摆的周期公式T＝
θ ω ω
√L
2 ，写出此系统做简谐运动的周期的表达式，并说明依据。
g
π[例题15] （多选）一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动的轻杆，另一端与一
小球相连，如图甲所示。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平
向右为正方向，小球的水平分速度v 随时间t的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，下列说
x
法中正确的是（ ）
A．t 时刻小球通过最高点，t 时刻小球通过最低点
1 3
B．t 时刻小球通过最高点，t 时刻小球通过最低点
2 3
C．v 大小一定小于 v 大小，图乙中 S 和 S 的面积一定相等
1 2 1 2
D．v 大小可能等于 v 大小，图乙中 S 和 S 的面积可能不等
1 2 1 2
题型四 圆周运动中的两类临界问题
1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．
2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着
“起止点”，而这些起止点往往就是临界点．
3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，
这些极值点也往往是临界点．
[例题16] （多选）如图所示，物体P用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它
随杆转动，若转动角速度为 ，则（ ）
ωA． 只有超过某一值时，绳子AP才有拉力
B．绳ω子BP的拉力随 的增大而不变
C．绳子BP的张力一定ω大于绳子AP的张力
D．当 增大到一定程度时，绳子AP的张力大于绳子BP的张力
[ω例题17] （多选）汽车在出厂前要进行性能测试。某次测试中，测试人员驾驶着汽车在一
个空旷的水平场地上沿直线以恒定的速度v 匀速行驶，突然发现正前方的道路出现故障，为了
0
躲避故障，测试人员采取了一些应急措施。设汽车与路面间的滑动摩擦因数为 ，最大静摩擦
力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则关于测试人员采取的应急措施说法正确μ的是（ ）
A．若直线刹车，则至少应该在道路故障前 v 2 的距离处采取刹车
0
2μg
B．若以原有速率转弯，转弯半径越大，汽车受到的侧向摩擦力越大
C．若以原有速率转弯，转弯的最小半径为v 2
0
μg
D．以原速率转弯要比以直线刹车更安全一些
[例题18] （多选）如图所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆
周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为 r的匀速圆
周运动，则只要运动角速度合适，螺丝恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为
，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力。则在该同学手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，
μ下列分析正确的是（ ）A．螺丝帽的重力与其受到的最大静摩擦力平衡
B．螺丝帽受到塑料管的弹力方向水平向外，背离圆心
√ g
C．此时手转动塑料管的角速度ω=
μr
D．若塑料管的转动加快，螺丝帽不可能相对塑料管发生运动
[例题19] 如图1，用一根长为L＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球（可视为质
点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角 ＝37°，当小球在水平面内绕锥
θ
3
体的轴做匀速圆周运动的角速度为 时，细线的张力为T．求（g＝10m/s2，sin37°= ，cos37°
5
ω
4
= ，计算结果可用根式表示）：
5
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度 至少为多大？
0
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小ω球的角速度 ′为多大？
（3）细线的张力T与小球匀速转动的加速度 有关，当ω 的取值范围在0到 ′之间时，请通
过计算求解T与 2的关系，并在图2坐标纸上ω作出T﹣ 2ω的图象，标明关键点ω的坐标值。
ω ω
