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第 3 讲 圆周运动
目标要求 1.熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系.2.掌握匀速圆周运动由周期性
引起的多解问题的分析方法.3.会分析圆周运动的向心力来源，掌握圆周运动的动力学问题的
分析方法，掌握圆锥摆模型．
考点一 圆周运动的运动学问题
1．描述圆周运动的物理量
定义、意义 公式、单位
①描述圆周运动的物体运动快慢
的物理量 ①v＝(定义式)＝(与周期的关系)
线速度(v)
②是矢量，方向和半径垂直，和 ②单位：m/s
圆周相切
①描述物体绕圆心转动快慢的物 ①ω＝(定义式)＝(与周期的关系)
角速度(ω) 理量 ②单位：rad/s
②是矢量，但不研究其方向 ③ω与v的关系：v＝ωr
①周期是做匀速圆周运动的物体
①T＝＝(与频率的关系)
周期(T) 沿圆周运动一周所用的时间，周
②T的单位：s
转速(n) 期的倒数为频率
n的单位：r/s、r/min
频率(f) ②转速是单位时间内物体转过的
f的单位：Hz
圈数
①描述线速度方向变化快慢的物
向心加速 ①a＝＝ ω 2 r ＝r＝ωv
n
理量
度(a
n
) ②单位：m/s2
②方向指向圆心
2．匀速圆周运动
(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，所做的运动就是匀速圆周
运动．
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动．
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
1．匀速圆周运动是匀变速曲线运动．( × )2．物体做匀速圆周运动时，其线速度是不变的．( × )
3．物体做匀速圆周运动时，其合外力是变力．( √ )
4．匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比．( × )
1．对公式v＝ωr的理解
当ω一定时，v与r成正比．
当v一定时，ω与r成反比．
2．对a＝＝ω2r的理解
n
在v一定时，a 与r成反比；在ω一定时，a 与r成正比．
n n
3．常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，
即v ＝v .
A B
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边
缘线速度大小相等，即v ＝v .
A B
(3)同轴转动：如图所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ω ＝ω ，由v＝ωr知v与r
A B
成正比．
考向1 圆周运动物理量的分析和计算
例1 (多选)如图所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图．已知质
量为60 kg的学员在A点位置，质量为70 kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5.0
m，B点的转弯半径为4.0 m，则学员和教练员(均可视为质点)( )A．线速度大小之比为5∶4
B．周期之比为5∶4
C．向心加速度大小之比为4∶5
D．受到的合力大小之比为15∶14
答案 AD
解析 学员和教练员一起做圆周运动的角速度相等，根据v＝rω，知半径之比为5∶4，则线
速度大小之比为5∶4，A正确；学员和教练员做圆周运动的角速度相等，根据T＝，知周期
相等，B错误；学员和教练员做圆周运动的角速度相等，半径之比为 5∶4，根据a＝rω2，
则向心加速度大小之比为5∶4，C错误；所受合力提供做圆周运动所需向心力，根据F＝
ma，向心加速度大小之比为5∶4，质量之比为6∶7，则所受合力大小之比为15∶14，D正
确．
考向2 圆周传动问题
例2 如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转轴上，其半径
之比为R ∶R ＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其
B C
中心的竖直轴转动时，由于摩擦力作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三
轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的( )
A．线速度大小之比为3∶2∶2
B．角速度之比为3∶3∶2
C．转速之比为2∶3∶2
D．向心加速度大小之比为9∶6∶4
答案 D
解析 A、B靠摩擦传动，则边缘上a、b两点的线速度大小相等，即v∶v ＝1∶1，选项A
a b
错误；B、C同轴转动，则边缘上b、c两点的角速度相等，即ω＝ω，转速之比＝＝，选项
b c
B、C错误；对a、b两点，由a ＝得＝＝，对b、c两点，由a ＝ω2r得＝＝，故a∶a∶a
n n a b c＝9∶6∶4，选项D正确．
考向3 圆周运动的多解问题
例3 如图所示为一个半径为5 m的圆盘，正绕其圆心做匀速转动，当圆盘边缘上的一点 A
处在如图所示位置的时候，在其圆心正上方20 m的高度有一个小球正在向边缘的A点以一
定的速度水平抛出，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，要使得小球正好落在A点，则( )
A．小球平抛的初速度一定是2.5 m/s
B．小球平抛的初速度可能是2.5 m/s
C．圆盘转动的角速度一定是π rad/s
D．圆盘转动的加速度可能是π2 m/s2
答案 A
解析 根据h＝gt2可得t＝＝2 s，则小球平抛的初速度v ＝＝2.5 m/s，A正确，B错误；根
0
据ωt＝2nπ(n＝1、2、3、…)，解得圆盘转动的角速度ω＝＝nπ rad/s(n＝1、2、3、…)，圆
盘转动的加速度为a＝ω2r＝n2π2r＝5n2π2 m/s2(n＝1、2、3、…)，C、D错误．
考点二 圆周运动的动力学问题
1．匀速圆周运动的向心力
(1)作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
(2)大小
F＝m＝ mrω 2 ＝mr＝mωv.
n
(3)方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
2．离心运动和近心运动
(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心
力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
(2)受力特点(如图)①当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动．
②当0mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动．
(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需
要的向心力．
3．匀速圆周运动与变速圆周运动合力、向心力的特点
(1)匀速圆周运动的合力：提供向心力．
(2)变速圆周运动的合力(如图)
①与圆周相切的分力F产生切向加速度a，改变线速度的大小，当a与v同向时，速度增大，
t t t
做加速圆周运动，反向时做减速圆周运动．
②指向圆心的分力F 提供向心力，产生向心加速度a，改变线速度的方向．
n n
1．做匀速圆周运动的物体，当所受合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出．( × )
2．摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用
的缘故．( × )
3．向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力．( √ )
4．变速圆周运动的向心力不指向圆心．( × )
1．向心力来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的
合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．匀速圆周运动的向心力来源
运动模型 向心力的来源图示
汽车在水平路面转弯水平转台(光滑)
圆锥摆
飞车走壁
飞机水平转弯
火车转弯
3．变速圆周运动的向心力
如图所示，当小球在竖直面内摆动时，半径方向的合力提供向心力，F －mgcos θ＝m，如
T
图所示．
4．圆周运动动力学问题的分析思路考向1 圆周运动的动力学问题
例4 如图所示，一个圆盘绕过圆心 O且与盘面垂直的竖直轴匀速转动，角速度为 ω，盘
面上有一质量为m的物块随圆盘一起做匀速圆周运动，已知物块到转轴的距离为r，下列说
法正确的是( )
A．物块受重力、弹力、向心力作用，合力大小为mω2r
B．物块受重力、弹力、摩擦力、向心力作用，合力大小为mω2r
C．物块受重力、弹力、摩擦力作用，合力大小为mω2r
D．物块只受重力、弹力作用，合力大小为零
答案 C
解析 对物块进行受力分析可知物块受重力、圆盘对它的支持力及摩擦力作用．物块所受的
合力等于摩擦力，合力提供向心力．根据牛顿第二定律有F ＝F＝mω2r，选项A、B、D错
合 f
误，C正确．
例5 如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，
绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则( )
A．绳的张力可能为零
B．桶对物块的弹力不可能为零
C．随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变
D．随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大
答案 C
解析 当物块随圆桶做匀速圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，因此
绳的张力为一定值，且不可能为零，故A、D错误，C正确；当绳的水平分力恰好提供向心
力的时候，圆桶对物块的弹力恰好为零，故B错误．
例6 (2020·全国卷Ⅰ·16)如图，一同学表演荡秋千．已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg.绳的质量忽略不计．当该同学荡到秋千支架的正下方时，
速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
A．200 N B．400 N
C．600 N D．800 N
答案 B
解析 取该同学与踏板为研究对象，到达最低点时，受力如图所示，设每根绳子中的平均拉
力大小为F.
由牛顿第二定律知：2F－mg＝，
取g＝9.8 m/s2，代入数据得F＝405 N，故每根绳子平均承受的拉力约为405 N，
选项B正确．
考向2 圆锥摆模型
例7 (2022·辽宁六校联考)四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动．
如图甲所示，其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动(连接B球的绳较长)；如图乙所
示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角
相同(连接D球的绳较长)，则下列说法错误的是( )
A．小球A、B角速度相等
B．小球A、B线速度大小相同
C．小球C、D向心加速度大小相同
D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
答案 B解析 对题图甲A、B分析：设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，小球A、B到悬
点O的竖直距离为h，则mgtan θ＝mω2lsin θ，解得ω＝＝，所以小球A、B的角速度相等，
线速度大小不相同，故A正确，B错误；对题图乙C、D分析：设绳与竖直方向的夹角为
θ，小球的质量为m，绳长为L，绳上拉力为F ，则有mgtan θ＝ma，F cos θ＝mg得a＝
T T
gtan θ，F ＝，所以小球C、D向心加速度大小相同，小球C、D受到绳的拉力大小也相同，
T
故C、D正确．
例8 如图所示，质量相等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆
周运动，甲在乙的上方．则( )
A．球甲的角速度一定大于球乙的角速度
B．球甲的线速度一定大于球乙的线速度
C．球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期
D．球甲对筒壁的压力一定大于球乙对筒壁的压力
答案 B
解析 对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，设支持力与竖直
方向夹角为θ，根据牛顿第二定律有mgtan θ＝m＝mRω2，解得v＝ ，ω＝，球甲的轨迹半
径大，则球甲的角速度一定小于球乙的角速度，球甲的线速度一定大于球乙的线速度，故A
错误，B正确；根据T＝，因为球甲的角速度一定小于球乙的角速度，则球甲的运动周期一
定大于球乙的运动周期，故C错误；因为支持力F ＝，结合牛顿第三定律，球甲对筒壁的
N
压力一定等于球乙对筒壁的压力，故D错误．
例9 如图所示，质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球
a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方
向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，重力加速度为g，则下列说
法正确的是( )
A．a、b 两小球都是所受合外力充当向心力
B．a、b两小球圆周运动的半径之比为tan θ
C．b小球受到的绳子拉力为
D．a小球运动到最高点时受到的绳子拉力为
答案 C解析 小球a速度变化，只有在最低点时所受合外力充当向心力，而小球b做匀速圆周运动，
所受合外力充当向心力，故A错误；由几何关系可知，a、b两小球圆周运动的半径之比为，
故B错误；根据矢量三角形可得Fcos θ＝mg，即F ＝，故C正确；a小球到达最高点时速
b b
度为零，将重力正交分解有F＝mgcos θ，故D错误．
a
圆锥摆模型
1.如图所示，向心力F ＝mgtan θ＝m＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝，ω＝.
向
2．稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝和运
动所需向心力也越大．
考向3 生活中的圆周运动
例10 列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离
为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为α(α很小，可近似认为tan α≈sin
α)，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用
B．列车过转弯处的速度v＝时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨
C．列车过转弯处的速度v<时，列车轮缘会挤压外轨
D．若减小α角，可提高列车安全过转弯处的速度
答案 B
解析 列车以规定速度转弯时受到重力、支持力，重力和支持力的合力提供向心力，A错误；
当重力和支持力的合力提供向心力时，则m＝mgtan α＝mg，解得v＝，列车轮缘不会挤压
内轨和外轨，B正确；列车过转弯处的速度v<时，转弯所需的合力F
