文档内容
第 9 讲 平抛运动
目录
考点一 平抛运动的基本规律.......................................................................................................1
考点二 斜面上的平抛运动问题...................................................................................................2
考点三 平抛运动中的临界问题...................................................................................................5
考点四 类平抛运动模型...............................................................................................................6
练出高分...........................................................................................................................................8
考点一 平抛运动的基本规律
1．性质
加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
2．基本规律
以抛出点为原点，水平方向(初速度v 方向)为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐
0
标系，则：
(1)水平方向：做匀速直线运动，速度v＝v，位移x＝vt.
x 0 0
(2)竖直方向：做自由落体运动，速度v＝gt，位移y＝gt2.
y
(3)合速度：v＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝.
(4)合位移：s＝，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝.
3．对规律的理解
(1)飞行时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与 初速度 v 无关．
0
(2)水平射程：x＝vt＝v，即水平射程由 初速度 v 和 下落高度 h 共同决定，与其他因素无关．
0 0 0
(3)落地速度：v＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速
t
度也只与 初速度 v 和 下落高度 h 有关．
0
(4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度 g，所以做平抛运动的物体在任意相
等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图1所示．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分1 百】图1
(5)两个重要推论
图2
①做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移
的中点，如图2中A点和B点所示．
②做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角
为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
[例题1] （2023•赣州一模）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看
作圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，这样，在分
析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。将一
质量为m＝0.5kg的小球（可视为质点）从空中O点以速度v ＝3m/s水平抛出，经过
0
轨迹上的P点时速度方向与水平方向夹角为53°，如图甲所示。现沿小球运动轨迹铺
设一条光滑轨道，如图乙所示，让小球从O点由静止释放开始沿轨道下滑，不计一切
阻力，重力加速度g取10m/s2，则（ ）
A．小球下滑到P处时的速度大小为4m/s
B．小球从O点下滑到P点的时间为0.4s
C．O、P两点的水平距离为0.8m
27
D．在P点处，小球对轨道的压力为 N
25
[例题2] （2023•五华区校级模拟）为迎接2022年北京冬奥会，运动员都进行了
刻苦的训练。某滑雪运动员在训练过程中，从倾角为37°的倾斜直雪道顶端以4.00m/s
的速度水平飞出，落在雪道上，然后继续沿雪道下滑。若空气阻力忽略不计，已知
sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则他在空中运动的时间为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分2 百】A．0.4s B．0.6s C．0.8s D．1.0s
[例题3] （2023•台州二模）如图所示，一架战斗机沿水平方向匀速飞行，先后释
放三颗炸弹，分别击中山坡上水平间距相等的A、B、C三点。已知击中A、B的时间
间隔为t ，击中B、C的时间间隔为t ，释放炸弹的时间间隔分别为Δt 、Δt 。不计空
1 2 1 2
气阻力，则（ ）
A．t ＞t B．t ＝t C．Δt ＞Δt D．Δt ＝Δt
1 2 1 2 1 2 1 2
[例题4] （2023•浙江模拟）某天，小陈同学放学经过一座石拱桥，他在桥顶 A
处无意中把一颗小石子水平沿桥面向前踢出，他惊讶地发现小石子竟然几乎贴着桥面
一直飞到桥的底端D处，但是又始终没有与桥面接触。他一下子来了兴趣，跑上跑下
量出了桥顶高OA＝3.2m，桥顶到桥底的水平距离OD＝6.4m。这时小陈起一颗小石，
在A处，试着水平抛出小石头，欲击中桥面上两块石板的接缝 B处（B点的正下方
B'是OD的中点），小陈目测小石头抛出点离 A点高度为1.65m，下列说法正确的是
（ ）
A．石拱桥为圆弧形石拱桥
B．小陈踢出的小石头速度约为6.4m/s
C．小陈抛出的小石头速度约为4.6m/s
D．先后两颗小石子在空中的运动时间之比为2：1
[例题5] （2023•临泉县校级三模）在俄乌战争中，俄罗斯大量使用了“卡﹣52
武装直升机”。假设在某次执行任务时，“卡﹣52直升机”悬停在水平地面O点正上
方320m处。悬停中直升机沿图中水平虚线方向，发射一枚无动力炸弹，炸弹离开飞
机时的速度为30m/s，此后飞机水平转过90°，仍在悬停状态向正前方发射另一枚无动
力炸弹，炸弹离开飞机时的速度为40m/s，g取10m/s2，不计空气阻力，则两枚炸弹落
地点的距离为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分3 百】A．400m B．560m C．420m D．480m
考点二 斜面上的平抛运动问题
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和
速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，
从而使问题得到顺利解决．常见的模型如下：
方法 内容 斜面 总结
分
水平：v＝v
x 0
解 分解速度，构建速度
竖直：v＝gt
y
速 三角形
合速度：v＝
度
分
水平：x＝vt
0
解 分解位移，构建位移
竖直：y＝gt2
位 三角形
合位移：s＝
移
[例题6] （多选）（2023•金凤区校级一模）A、D分别是斜面的顶端、底端，
B、C是斜面上的两个点，AB＝BC＝CD，E点在D点的正上方，与A等高．从E点
以一定的水平速度抛出质量相等的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，关于球
1和球2从抛出到落在斜面上的运动过程（ ）
A．球1和球2运动的时间之比为2：1
B．球1和球2动能增加量之比为1：2
C．球1和球2抛出时初速度之比为2√2：1
D．球1和球2运动时的加速度之比为1：2
[例题7] （2023•蚌埠模拟）如图所示，小球以速度v 正对倾角为 的斜面水平
0
θ
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分4 百】抛出，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是（重力加速度为 g）
（ ）
v
A．小球在空中的运动时间为 0
gtanθ
2v2
B．小球的水平位移大小为 0
gtanθ
v2
C．小球的竖直位移大小为 0
gtanθ
D．由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解
[例题8] （2023•湖南二模）如图所示，物体在倾角为 、足够长的斜面上做平抛
运动，最终落在斜面上，从抛出到第一次落到斜面上的过程，下列说法正确的是（
θ
）
A．物体在空中运动的时间与初速度成正比
B．落到斜面上时、速度方向与水平面的夹角随初速度的增大而增大
C．抛出点和落点之间的距离与初速度成正比
D．物体在空中运动过程中，离斜面的最远距离与初速度成正比
[例题9] （2023•邯山区校级二模）如图所示，以10m/s的水平初速度v 抛出的物
0
体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为 30°的斜面上，则飞行时间 t 是（g 取
10m/s2）（ ）
√3 2√3
A． s B．2√3s C． s D．√3s
3 3
[例题10]（2023•汕头一模）如图所示，在竖直平面中，有一根水平放置的，长度
为L的不可伸长的轻绳，绳的一端固定在O点，另一端连有质量为m的小球。现从A
点静止释放小球，当小球运动到O点正下方B点时，绳子突然断裂。B点位于斜面顶
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分5 百】端，斜面足够长，倾角为 ，则下面的说法正确的是（ ）
θ
√2L
A．小球落至斜面所需的时间为2 tanθ
g
√2L
B．小球落至斜面所需的时间为 tanθ
g
C．小球落至斜面C点与B点的距离为4Ltan
sinθ
θ
D．小球落至斜面C点与B点的距离为4L
cos2θ
[例题11] （2023•浙江二模）如图所示，将小球从倾角为 ＝30°的光滑斜面上A
点以速度v ＝10m/s水平抛出（即v ∥CD），最后从B处离开斜面，已知AB间的高
0 0 θ
度h＝5m，g取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
10√3
A．小球的加速度为 m/s2
3
B．小球做平抛运动，运动轨迹为抛物线
C．小球到达B点时的速度大小为10√2m/s
D．小球从A点运动到B点所用的时间为1s
[例题12]如图所示的光滑斜面长为L，宽为s，倾角为 ＝30°，一小球（可视为质
点）沿斜面右上方顶点A处水平射入，恰好从底端B点离开斜面，重力加速度为g。
θ
则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动的加速度为g
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分6 百】√2L
B．小球由A运动到B所用的时间为
g
√ g
C．小球由A点水平射入时初速度v 的大小为s
0
2L
√ g
D．小球离开B点时速度的大小为 (s2+4L2 )
4L
[例题13]（多选）如图所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平
面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等．有三个完全相同的小球 a、b、c，
开始均静止于同一高度处，其中b小球在两斜面之间，a、c两小球在斜面顶端．若同
时释放，小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t 、t 、t ．若同时沿水平方向抛出，
1 2 3
初速度方向如图所示，小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t ′、t ′、t ′．下
1 2 3
列关于时间的关系正确的是（ ）
A．t ＞t ＞t B．t ＝t ′、t ＝t ′、t ＝t ′
1 3 2 1 1 2 2 3 3
C．t ′＞t ′＞t ′ D．t ＜t ′、t ＜t ′、t ＜t ′
1 2 3 1 1 2 2 3 3
考点四 类平抛运动模型
1．受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直．
2．运动特点
在初速度v 方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加
0
速度a＝.
3．求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即
沿合外力的方向)的匀加速直线运动．两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时
性．
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度 a分解为
a、a，初速度v 分解为v、v，然后分别在x、y方向列方程求解．
x y 0 x y
[例题14]（2023•贵阳模拟）如图所示，一网球运动员用球拍先后将两只球从 O
点水平击出。第一只球落在自己一方场地上A处弹跳起来刚好擦网而过，落在对方场
地B处。第二只球直接擦网而过，也落在B处。球与地面的碰撞是完全弹性的，且空
气阻力不计。则第一只球与第二只球被击出时的速度之比为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分7 百】A．1：2 B．1：3 C．3：4 D．2：3
[例题15]如图所示，某次排球比赛中，球员A在离水平地面3m的高处将排球以
30m/s的速度垂直球网水平击出，此时排球与球网的水平距离为 9m。球网的高度为
2m，对方的球员B站立在球网处，直立伸直手臂可拦到离地高度为2.3m的排球，起
跳拦网可拦到离地高度为2.75m的排球，取重力加速度大小g＝10m/s2。已知球员A、
B的连线与球网垂直，不计空气阻力，下列关于球员B拦排球的说法，正确的是（
）
A．排球运动到球网正上方的时间为0.3s
B．球员B站在球网前直立伸直手臂可拦到排球
C．若球员B未拦到排球则排球不会出界
D．若球员B未拦到排球，则排球落地点到球网的距离约为2.6m
[例题16]（2023•陈仓区一模）如图所示，边长为1m的正方体空间图形ABCD﹣
A B C D ，其下表面在水平地面上，将可视为质点的小球从顶点A在∠BAD所在范
1 1 1 1
围内（包括边界）分别沿不同的水平方向抛出，落点都在A B C D 平面范围内（包括
1 1 1 1
边界）。不计空气阻力，g取10m/s2，则（ ）
A．小球落在B 点时，初速度为√10m/s，是抛出速度的最小值
1
B．小球落在C 点时，初速度为√5m/s，是抛出速度的最大值
1
C．落在B D 线段上的小球，平抛时初速度的最小值与最大值之比是1：2
1 1
D．落在B D 线段上的小球，平抛时初速度的最小值与最大值之比是1：√2
1 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分8 百】[例题17]（2023•东城区模拟）如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6m，墙的
厚度d＝0.4m，某人在离墙壁距离L＝1.4m、距窗子上沿h＝0.2m处的P点，将可视为
质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝
10m/s2。则v的取值范围是（ ）
A．v＞7 m/s B．v＜2.3 m/s
C．3 m/s＜v＜7 m/s D．2.3 m/s＜v＜3 m/s
[例题18]（多选）（2023•山东模拟）如图所示，一同学练习踢毽子，水平场地上
有矩形标线EFGH，在标线GH处的竖直面内挂有挡网ABCD，挡网高1.5m，场地宽
EH为4.8m，长EF＝6.4m。该同学从场地的E点将毽子踢出，毽子踢出时速度大小为
10m/s，方向在过对角线 EG的竖直面内，与EG成37°角斜向上，重力加速度 g＝
10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力。则毽子将（ ）
A．在空中飞行1s后触网
B．越过网后再在空中飞行0.2s落地
C．击中水平地面上距E为9.6m的点
D．击中竖直挡网上距地面高为1.0m的点
练出高分
一．多选题（共12小题）
（多选）1．（2023•海南二模）飞镖运动是一种可全民参与的运动。若每次飞镖都是水平
投掷，飞镖在空中的运动可视为平抛运动。如图，某次将飞镖水平投出后正中靶心，下
列正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分9 百】A．若飞镖质量较大，则空中飞行的时间会变短
B．若出手位置变高，为了正中靶心，应当减小投掷速度
C．飞镖对准靶心投掷，投出时靶也做自由落体，则镖正中靶心
D．飞镖对准靶心投掷，投出时靶也做自由落体，则镖命中靶心上方位置
（多选）2．（2023•衡水模拟）一个半径为R＝0.75m的半圆柱体放在水平地面上，截面
图如图所示。一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出（小球可视为质点），到
达C点时速度方向恰好沿圆弧切线方向。已知O为半圆弧的圆心，OC与水平方向夹角
为53°，取g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是（ ）
A．小球从B点运动到C点所用的时间为0.3s
B．小球从B点运动到C点所用的时间为0.5s
C．小球做平抛运动的初速度大小为4m/s
D．小球做平抛运动的初速度大小为6m/s
（多选）3．（2023•邵阳二模）如图所示，小球以v ＝10m/s的瞬时速度从水平地面斜向
0
右上方抛出，速度方向与水平方向的夹角是 53°，不计空气阻力，下列说法正确的是
（取g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）（ ）
A．小球到达最高点时的瞬时速度为零
B．小球离地面的最大高度是3.2m
C．小球在空中的运动时间是0.8s
D．保持小球速度大小不变，改变速度方向，小球的水平分位移（射程）的最大值是
10m
（多选）4．（2023•河南模拟）如图所示，竖直平面内半径为R的圆盘绕中轴О顺时针匀
速转动，当圆盘上的A点转至最高点时，紧贴A点以水平速度v=√gR（g为重力加速
度）抛出一个可视为质点的小球，当A点转至水平位置时，小球刚好落到过О点的水平
面，则圆盘的角速度可能为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分10百】π √ g √ g 3π √ g √ g
A． B． C． D．2
2 2R 2R 2 2R 2R
π π
（多选）5．（2023•永丰县校级一模）如图所示，在斜面上一定先后以初速度v 和2v 水
0 0
平抛出 A、B 两个小球，则从抛出至第一次着地，两小球的水平位移之比可能为
（ ）
A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．2：5
（多选）6．（2023•上饶模拟）如图所示，将两小球A、B从直角三角形斜面（足够长）
的顶端分别向左、向右水平抛出，两小球分别落在两个斜面上，三角形的两底角分别为
， ，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
α β
A．将A球先后以v 与2v 的速度向左水平抛出，A球两次落在斜面上的时间之比为
0A 0A
1：2
B．将A球先后以v 与2v 的速度向左水平抛出，A球两次落在斜面上的速度方向不
0A 0A
同
C．将A、B两小球分别以v 的速度水平向左、向右抛出，两小球落在斜面上的时间之
0
比为tan ：tan
D．将A、B两小球分别以v 的速度水平向左、向右抛出，两小球落在斜面上的下落高
β α 0
度之比为tan2 ：tan2
（多选）7．（2023•昆明一模）排球比赛中运动员从某一高度将排球击出，击出排球瞬间
α β
开始计时，排球在空中飞行的速率v随时间t的变化关系如图所示，图中相关坐标值均
为已知，若t 时刻排球恰好落到对方的场地上，排球可视为质点，运动过程中受到的阻
2
力不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分11百】A．击球点到落地点间的水平距离为v t
02
B．击球点到落地点间的水平距离为v t
12
v2−v2
C．排球运动过程中离地的最大高度为 2 1
2g
v2−v2
D．排球运动过程中离地的最大高度为 2 0
2g
（多选）8．（2023•岳阳一模）2022年9月18日上午，随着岳阳队摘得湖南省第十四届省
运会田径项目U12团体赛金牌，为期4天的省运会田径比赛所有运动项目圆满结束。我
市田径运动仍然保持着强劲的发展势头，来自临湘市二中的谈仁哲在 U18男子铅球项目
中，以17.96米的成绩打破赛会记录，在铅球比赛中，若某运动员以初速度v ＝12m/s
0
将质量为m＝7kg的铅球推出，初速度与水平方向成 42°角，推出点所在位置离水平地
面1.8m高，重力加速度取10m/s2，已知sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，忽略空气阻力的
影响，从铅球推出到落地过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．铅球在空中运动时间约为1.6s
B．铅球上升时间与下降时间相等
C．铅球到达最高点时速度为8.88m/s
D．铅球落地的速度大小为6√5m/s
（多选）9．（2023•淄博一模）如图所示，足球球门宽为L，一个球员在球门线中点正前
方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角（图中P点），球员顶球点O
距地面的高度为h。足球做平抛运动（足球可看成质点，忽略空气阻力），重力加速度
大小为g。下列说法正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分12百】√L2
A．足球位移OP的大小为 +
ℎ
2
4
√L2
B．足球位移OP的大小为 +s2+
ℎ
2
4
√ g L2
C．足球刚落到P点的速度大小为 ( +s2 )+2gℎ
2ℎ 4
√ g L2
D．足球刚落到P点的速度大小为 ( +s2 )+gℎ
2ℎ 4
（多选）10．（2023•宜宾模拟）如图所示，为冬奥会单板滑雪大跳台项目简化模型。运动
员以水平初速度v 从P点冲上半径为R的六分之一光滑圆弧跳台，离开跳台经最高点
0
M后落在倾角为 的斜坡上，落点距Q点的距离为L，若忽略一切阻力并将其看成质点，
重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
θ
A．运动员在最高点M的速度为0
3
v2
R
B．最高点M距水平面PQ的竖直距离为 ( 0+ )
8 g 3
√3v2
2Lsinθ R
√3v2
3R
C．运动员离开圆弧跳台后在空中运动的时间 0 + + − 0 −
4g2 g 4g 4g2 4g
D．运动员落在斜面时的速度大小为√v2+2gLsinθ
0
（多选）11．（2023•青岛一模）水平地面上有一足够长且足够宽的固定斜面，倾角为
37°，小明站在斜面底端向斜面上投掷可视作质点的小石块。若石块出手时的初速度方
向与水平方向成45°，出手高度为站立点正上方1.8m，重力加速度g＝10m/s2。下列说
法正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分13百】A．若石块的飞行轨迹所在平面与斜面底边垂直，石块在斜面上的落点恰好与出手点等
高，则石块出手时的初速度为2√6m/s
B．若石块的飞行轨迹所在平面与斜面底边垂直，石块在斜面上的落点恰好与出手点等
高，则石块出手时的初速度为2√3m/s
C．若石块的初速度大小一定，当石块的飞行轨迹所在平面与斜面底边垂直时，石块飞
行时间最短
D．若投出石块的最大初速度为8m/s，则石块在斜面上与出手点等高的所有落点所组成
的线段长度不会超过12m
（多选）12．（2023•濠江区校级二模）若物体被抛出时的速度不沿水平方向，而是向斜上
方或向斜下方（这种情况常称为斜抛），则它的受力情况与平抛运动完全相同。如图甲
所示，球状烟花中有一部分是做斜上抛运动，其中一火药做斜抛运动的轨迹如图乙所示，
图乙中初速度v 和初速度与水平方向的夹角 均为已知量，重力加速度大小为g，不计
0
空气阻力，下列说法正确的是（ ）
θ
v2sin2θ
A．该火药的射高为 0
2g
v2cos2θ
B．该火药的射高为 0
2g
2v2
C．若斜抛运动的初速度v 大小不变，抛射角 改变，则该火药射程的最大值为 0
0
g
θ
v2
D．若斜抛运动的初速度v 大小不变，抛射角 改变，则该火药射程的最大值为 0
0
g
θ
二．计算题（共3小题）
13．（2023•潍坊二模）“打水漂”是很多同学体验过的游戏，小石片被水平抛出，碰到水
面时并不会直接沉入水中、而是擦着水面滑行一小段距离再次弹起飞行，跳跃数次后沉
入水中，俗称“打水漂”。如图所示，某同学在岸边离水面高度h ＝0.8m处，将一质量
0
m＝20g的小石片以初速度v ＝16m/s水平抛出。若小石片第1次在水面上滑行时受到水
0
平阻力的大小为1.2N，接触水面0.1s后弹起，弹起时竖直方向的速度是刚接触水面时竖
3
直速度的 。取重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力。求：
4
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分14百】（1）小石片第1次离开水面后到再次碰到水面前，在空中运动的水平距离；
（2）第1次与水面接触过程中，水面对小石片的作用力大小。
14．（2023•上饶模拟）如图所示，在水平地面上固定一倾角 ＝53°、表面光滑的斜面体，
物体A以v ＝8m/s的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方，有一物体B以某一
0 θ
初速度水平抛出。当A上滑到最高点时恰好被物体B击中，A、B均可看作质点，取
sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，重力加速度大小g＝10m/s2，求：
（1）物体B被抛出时的初速度v ；
OB
（2）物体A、B间初始位置的高度差H。
15．（2022•浙江模拟）目前，乒乓球运动员都使用发球机来练球。现建立如下简化模型，
如图所示，水平乒乓球球台离地高度H＝0.75m，总长L＝3.2m，置于居中位置的球网
高h＝0.15m，发球机装在左侧球台的左边缘中点，发球过程简化为：球从 C点出发后
1
（C点与球台等高），通过半径R＝0.2m的 圆弧管道，在最高点D点水平且平行于球
4
台中轴线发出（定义该速度为发球速度），D点在球台上方且与球台左边缘的水平距离
l＝0.1m。可视为质点的乒乓球质量m＝0.003kg，运动中所受空气阻力不计，与球台的
碰撞视为弹性碰撞，即碰撞后速度大小不变，碰后方向与碰前方向关于竖直线对称。发
球规则为：乒乓球必须在左侧球台碰撞一次（仅限一次），跨网后能与右侧球台碰撞即
视为发球成功。
（1）若发球速度为v＝5m/s，求乒乓球对D点轨道压力的大小和方向；
（2）求发球机成功发球的速度范围；
（3）现定义有效回球时间：球第一次碰撞右侧球台后至再次碰撞球台的时间间隔为有
效回球时间，若第一次碰撞右侧球台后不再第二次碰撞球台，球第一次碰撞右侧球台后
至球运动到球台平面以下离球台竖直高度差为0.25m前的时间间隔为有效回球时间。则
以（2）问中的最小速度和最大速度发球的有效回球时间各为多少？
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