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第 19 讲 圆周运动的临界问题
目录
复习目标
网络构建
考点一 水平面内的圆盘临界模型
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点 水平面内的圆盘临界模型临界规律
【提升·必考题型归纳】
考向 水平面内的圆盘临界模型临界规律应用
考点二 竖直面内圆周运动临界模型
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 常见绳杆模型特点及临界规律
知识点2 拱形桥和凹形桥类模型特点及临界规律
【提升·必考题型归纳】
考向1 绳类模型
考向2 杆类模型
考向3 拱形桥和凹形桥类模型
真题感悟
1、掌握水平面内圆盘模型的动力学分析及临界条件。
2、掌握竖直面内圆周运动的基本规律，并能够联系实际问题做出相应问题的分析。
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学学学学学学 科科科科科科 网网网网网网 （（（（（（ 北北北北北北 京京京京京京 ）））））） 股股股股股股 份份份份份份 有有有有有有 限限限限限限 公公公公公公 司司司司司司考点要求 考题统计 考情分析
高考对圆周运动的临界问题的单独考
2022年全国甲卷第1题
（1）水平面内圆周运动临界 查不是太常见，大多在综合性的计算
2022年1月浙江卷第21题
题中出现的比较频繁，并且会结合有
（2）竖直面内圆周运动临界
2021年湖北卷第15题
关的功能关系。
水平面内的圆盘临界模型 圆盘临界模型临界规律
圆周运动的临界问
1.常见绳杆模型
题
竖直面内圆周运动临界模型
2.拱形桥和凹形桥类模型
考点一 水平面内的圆盘临界模型
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学学学学学学 科科科科科科 网网网网网网 （（（（（（ 北北北北北北 京京京京京京 ）））））） 股股股股股股 份份份份份份 有有有有有有 限限限限限限 公公公公公公 司司司司司司知识点 水平面内的圆盘临界模型临界规律
①口诀：“谁远谁先飞”；
②a或b发生相对圆盘滑动的各自临界角速度：
√ μg
ω=
f =μmg=mω2r r
m ；
①口诀：“谁远谁先飞”；
√μg
ω =
1 r
②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度： B ；
③AB一起相对圆盘滑动时，临界条件：
隔离A：T=μm g；隔离B：T+μm g=m ω2r
A B B 2 B
整体：μm g+μm g=m ω2r
A B B 2 B
√μ(m
A
+m
B
)g
√ μg
ω = =
2 m r m r
B B B B
(m +m )
AB相对圆盘滑动的临界条件： A B
①口诀：“谁远谁先飞”；
√μg
ω =
1 r
②轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度： B
；
③同侧背离圆心，f 和f 指向圆心，一起相对圆盘滑动时，
Amax Bmax
临界条件：
隔离A：μm g-T=m ω2r ；隔离B：T+μm g=m ω2r
A A 2 A B B 2 B
整体：μm g+μm g=m ω2r +m ω2r
A B A 2 A B 2 B
√ μ(m A +m B )g √ μg
ω = =
2 m r +m r m r +m r
A A B B A A B B
(m +m )
AB相对圆盘滑动的临界条 A B
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学学学学学学 科科科科科科 网网网网网网 （（（（（（ 北北北北北北 京京京京京京 ）））））） 股股股股股股 份份份份份份 有有有有有有 限限限限限限 公公公公公公 司司司司司司①口诀：“谁远谁先飞”（r >r ）；
B A
√μg
ω =
1 r
轻绳出现拉力临界条件： B
② ；
此时B与面达到最大静摩擦力，A与面未达到最大静摩擦力。
此时隔离A：f +T=m ω2r ；隔离B：T+μm g=m ω2r
A A A B B B
f μm g-(m r -m r )ω2
A= B B B A A
消掉T：
③当m r =m r 时，f =μm g，AB永不滑动，除非绳断；
B B A A A B
④AB一起相对圆盘滑动时，临界条件：
1）当m r >m r 时，f ↓ μm g-(m r -m r )ω2↑→f =0→反向→f 达到最
B B A A A = B B B A A A A
大→从B侧飞出；
2）当m r <m r 时，f ↑ μm g+(m r -m r )ω2↑→f 达到最大
B B A A A = B A A B B A
→ω↑→T↑→f ↓→f =0→反向→f 达到最大→从A侧飞出；
B B B
√ μ(m A +m B )g √ μg
ω = =
2 m r +m r m r +m r
A A B B A A B B
(m +m )
AB相对圆盘滑动的临界条 A B
临界条件：
√μ g √μ g
ω= B ω= A
μ >μ r μ <μ r
① A B， B ② A B， B
；
临界条件：
√m g−μm g
B A
ω =
min r
①
√m g+μm g
B A
ω =
max r
②
考向 水平面内的圆盘临界模型临界规律应用
1．如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴 的距离为l，
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学学学学学学 科科科科科科 网网网网网网 （（（（（（ 北北北北北北 京京京京京京 ）））））） 股股股股股股 份份份份份份 有有有有有有 限限限限限限 公公公公公公 司司司司司司b与转轴 的距离为 。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘
从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用 表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
A．a可能比b先开始滑动
B．a、b所受的静摩擦力始终相等
C． 是b开始滑动的临界角速度
D．当 时，a所受摩擦力的大小为
2．如图，在水平转台上放一个质量M＝2kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力F ＝6.0N，绳的一端系
max
挂木块，通过转台的中心孔O（孔光滑），另一端悬挂一个质量m＝1.0kg的物体，当转台以角速度 ＝
5rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，木块到O点的距离可能值（ ）
A．0.40m B．0.25m C．0.20m D．0.06m
3．如图所示、放在水平转台上可视为质点的长方体A、B、C随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C
的质量分别为3m、2m、m，A与C之间的动摩擦因数为2μ、B和C与转台间的动摩擦因数均为μ，A、C
以及B离转台中心的距离分别为1.5r、r。设最大静靡擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正
确的是（ ）
A．物体A受到的摩擦力大小为6μmg
B．转盘对物体C的摩擦力大小为9
C．维持物体A、B、C能随转台一起转动，转盘的角速度应满足
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学学学学学学 科科科科科科 网网网网网网 （（（（（（ 北北北北北北 京京京京京京 ）））））） 股股股股股股 份份份份份份 有有有有有有 限限限限限限 公公公公公公 司司司司司司D．随着转台角速度增大，最先被甩出去的是物体B
4．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m（M>m），
它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的 倍，两物体用一根长为L（L<R）的轻绳连在一起，如图所
示。若将甲物体放在转轴的位置，甲、乙之间的轻绳刚好沿半径方向被拉直，让圆盘从角速度为0开始转
到，角速度逐渐增大，两物体与圆盘不发生相对滑动，（两物体均可看作质点，重力加速度为g）则下列
说法正确的是（ ）
A．随着角速度的增大的过程中，物块m受到的摩擦力先增加再逐渐减少
B．随着角速度的增大的过程中，物块M始终受到摩擦力
C．则圆盘旋转的角速度最大不得超过
D．则圆盘旋转的角速度最大不得超过
5．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为 的细绳连接，木块与转
的最大静摩擦力均为各自重力的 倍，A放在距离转轴 处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴 转动，
开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（
）
A．当 时，A、B相对于转盘会滑动
B．当 时，绳子一定有弹力
C． 在 范围内增大时，B所受摩擦力变大
D． 在 范围内增大时，A所受摩擦力一直不变
6．如图所示，两个质量相同的小物块A、B（可视为质点），用一根长为 的细线（不计质量）相连，放
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学学学学学学 科科科科科科 网网网网网网 （（（（（（ 北北北北北北 京京京京京京 ）））））） 股股股股股股 份份份份份份 有有有有有有 限限限限限限 公公公公公公 司司司司司司在绝缘的水平圆形转台的一条直径上，A、B与转台间的动摩擦因数都是 。转台可绕过圆心的竖直轴
以角速度 逆时针转动（俯视），且A、B到转轴的距离分别为 和 。初始时，A、B间的连接细线
恰好拉直但没有张力，转台的角速度 极为缓慢地增大，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为
，则（ ）
A．当 时，连接细线不会产生张力
B．当 时，随着的 缓慢增大，物块A所受的静摩擦力逐渐减小
C．若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，当 时，物块A、B一定会
和转台保持相对静止
D．若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，当 时，物块A、B已经与
转台发生相对滑动
考点二 竖直面内圆周运动临界模型
知识点1 常见绳杆模型特点及临界规律
轻绳模型 轻杆模型
情景图示
弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
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学学学学学学 科科科科科科 网网网网网网 （（（（（（ 北北北北北北 京京京京京京 ）））））） 股股股股股股 份份份份份份 有有有有有有 限限限限限限 公公公公公公 司司司司司司力学方程 mg＋F ＝m mg±F ＝m
T N
v＝0，即F ＝0，
向
临界特征 F ＝0，即mg＝m，得v＝
T
此时F ＝mg
N
(1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以
(1)“绳”只能对小球施加向下的力
模型关键 是支持力
(2)小球通过最高点的速度至少为
(2)小球通过最高点的速度最小可以为0
知识点2 拱形桥和凹形桥类模型特点及临界规律
拱形桥模型 凹形桥模型
情景图示
弹力特征 弹力可能向上，也可能等于零 弹力向上
受力示意图
v2 v2
力学方程 mg−F =m F −mg=m
N R N R
临界特征 F ＝0，即mg＝m，得v＝
N
v2
F =mg−m v2
①最高点: N R ，失重； F =mg+m
N R
模型关键 ①最低点： ，超重；
v≥√gR
② ，汽车脱离，做平抛运
②
v≠0
，v越大，F 越大。
N
动。
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学学学学学学 科科科科科科 网网网网网网 （（（（（（ 北北北北北北 京京京京京京 ）））））） 股股股股股股 份份份份份份 有有有有有有 限限限限限限 公公公公公公 司司司司司司考向1 绳类模型
1．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为 的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球
运动到最高点时绳对小球的拉力为 ，小球在最高点的速度大小为 ，其 图像如图乙所示，则（
）
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当 时，轻质绳的拉力大小为
D．只要 ，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为
2．如图甲所示，一质量m＝4kg的小球（可视为质点）以v＝4m/s的速度从A点冲上竖直光滑半圆轨道。
0
当半圆轨道的半径R发生改变时，小球对B点的压力与半径R的关系图像如图乙所示，g取10m/s2，下列
说法不正确的是（ ）
A．x＝2.5
B．y＝40
C．若小球能通过轨道上的C点，则其落地点距A点的最大水平距离为0.80m
D．当小球恰能通过轨道上的C点时，半圆轨道的半径R＝64cm
考向2 杆类模型
3．如图所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。小球在竖
直平面内恰好能做完整的圆周运动，已知小球质量为m，杆长为L，重力加速度为g，不计空气阻力。下列
说法正确的是（ ）
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学学学学学学 科科科科科科 网网网网网网 （（（（（（ 北北北北北北 京京京京京京 ）））））） 股股股股股股 份份份份份份 有有有有有有 限限限限限限 公公公公公公 司司司司司司A．小球在最高点时，小球的速度大小为
B．小球在最低点时，小球的速度大小为
C．小球在最低点时，杆对小球的作用力大小为
D．当杆处于水平位置时，杆对小球的作用力大小为
4．一半径为r的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动，如图甲所示。小球运动到最高点时管壁对
小球的作用力大小为 ，小球的速度大小为v，其 图像如图乙所示。已知重力加速度为g，规定竖
直向下为正方向，不计一切阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为
B．圆形管道内侧壁半径为
C．当 时，小球受到外侧壁竖直向上的作用力，大小为
D．小球在最低点的最小速度为
考向3 拱形桥和凹形桥类模型
5．在竖直平面内光滑圆轨道的外侧，有一小球（可视为质点）以某一水平速度从最高点A出发沿圆轨道
运动，至B点时脱离轨道，最终落在水平面上的C点，圆轨道半径为 ，重力加速度为 ，不计空气阻力。
下列说法中正确的是（ ）
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学学学学学学 科科科科科科 网网网网网网 （（（（（（ 北北北北北北 京京京京京京 ）））））） 股股股股股股 份份份份份份 有有有有有有 限限限限限限 公公公公公公 司司司司司司A．小球从A点出发的速度大小
B．小球经过B点时的速度大小
C．小球经过B点时速度变化率大小为
D．小球落在C点时的速度方向竖直向下
6．汽车行驶中经常会经过一些凹凸不平的路面，其凹凸部分路面可以看作圆弧的一部分，如图所示的A、
B、C处，其中B处的曲率半径最大，A处的曲率半径为 ，C处的曲率半径为 ，重力加速度为g。若有
一辆可视为质点、质量为m的小汽车与路面之间各处的动摩擦因数均为 ，当该车以恒定的速率v沿这段
凹凸路面行驶时，下列说法正确的是（ ）
A．汽车经过A处时处于失重状态，经过C处时处于超重状态
B．汽车经过B处时最容易爆胎
C．为了保证行车不脱离路面，该车的行驶速度不得超过
D．汽车经过C处时所受的摩擦力大小为
（2023湖南卷高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相
切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径
2R。小球从A点以初速度v 冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（ ）
0
A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v 增大，小球有可能从B点脱离轨道
0
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学学学学学学 科科科科科科 网网网网网网 （（（（（（ 北北北北北北 京京京京京京 ）））））） 股股股股股股 份份份份份份 有有有有有有 限限限限限限 公公公公公公 司司司司司司
