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2024 年高考一轮复习100 考点100 讲
第5 章 圆周运动
第5.8 讲 圆周运动中的临界极值问题
【知识点精讲】
圆周运动中的两类临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心．
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动
的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心
和沿半径指向圆心．
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．
【方法归纳】
1.审题时，要看题述是否有“恰好”、“刚好”、“取值范围”、“最大值”、
“最小值”等，是否存在临界条件和极值问题。
2. 解决圆周运动中的临界极值问题的一般思路是：首先分析临界条件时物
体所处的状态，及该状态下的受力特点，然后利用牛顿运动定律和圆周运
动知识列方程解答。
【最新高考题精练】
1.（2018 年11 月浙江选考物理）一质量为2.0×103kg 的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静
摩擦力为1.4×104N，当汽车经过半径为80m 的弯道时，下列判断正确的是
1
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A. 汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B. 汽车转弯的速度为20m/s 时所需的向心力为1.4×104N
C. 汽车转弯的速度为20m/s 时汽车会发生侧滑
D. 汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0m/s2
2.（2017 年11 月浙江选考）如图所示，照片中的汽车在水平路面上做匀速圆周运动，已知图中双向四车
道的总宽度约为15m，内车道边缘间最远的距离为150m。假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.7
倍，则运动的汽车
A、所受的合力可能为零
B、只受重力和地面的支持力作用
C、最大速度不能超过25m/s
D、所需的向心力由重力和支持力的合力提供
3.（2017 年4 月浙江选考）图中给出了一段“S”形单行盘山公路的示意图。弯道1、弯道2 可看作两个不
同水平面上的圆弧，圆心分别为O1、O2，弯道中心线半径分别为r1=10m，r2=20m，弯道2 比弯道1 高
h=12m，有一直道与两弯道圆弧相切。质量m=1200kg 的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的
最大径向静摩擦力时车重的1.25 倍，行驶时要求汽车不打滑。（sin37°=0.6，sin53°=0.8）
（1）求汽车沿弯道1 中心线行驶时的最大速度v1；
（2）汽车以v1进入直道，以P=30kW 的恒定功率直线行驶了t=8.0s 进入弯道2，此时速度恰为通过弯道中
心线的最大速度，求直道上除重力以外的阻力对汽车做的功；
第9 题图
2
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（3）汽车从弯道1 的A 点进入，从同一直径上的B 点驶离，有经验的司机会利用路面宽度，用最短时间匀
速安全通过弯道。设路宽d=10m，求此最短时间（A、B 两点都在轨道中心线上，计算时视汽车为质点）。
4．（2015·江苏）一转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB 和CB 与两小球以及一小环通过铰链连接，
轻杆长均为l，球和环的质量均为m，O 端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O 与小
环之间，原长为L，装置静止时，弹簧长为
，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。弹簧始终
在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）弹簧的劲度系数k；
3
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（2）AB 杆中弹力为零时，装置转动的角速度ω0；
（3）弹簧长度从
缓慢缩短为
的过程中，外界对转动装置所做的功W。
【最新模拟题精练】
1.（2022 浙江台州高一质检）14. 如图所示的杂技演员在表演水流星的节目时，手持两端系有盛水的
杯子的绳子中点在竖直平面内做圆周运动，若两只杯子内盛水的质量相等，当一只杯子在最高点时水恰好
洒不出来，这时另一只杯子中的水对杯底的压力大小是水的重力的（ ）
A. 2 倍
B. 4 倍
C. 5 倍
D. 6 倍
2.（2021 重庆模拟6）如题图1 所示为“铁笼飞车”的特技表演,据其抽象出来的理想模型为如题图2 所示
的内壁光滑的圆球,其中a、b、c 分别表示做圆周运动时的不同轨道,a 轨与b 轨均水平,c 轨竖直,一质点在
球内绕其光滑内壁做圆周运动时,下列有关说法正确的是（ ）
A.沿a 轨可能做变速圆周运动
B.沿c 轨运动的最小速度为0
C.沿a 轨运动的速度比沿b 轨运动的速度大
D.沿a 轨运动的周期比沿b 轨运动的周期大
3.（2023 安徽合肥名校联考）图示为运动员在水平道路上转弯的情景，转弯轨迹可看成一段半径为R 的圆
4
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弧，运动员始终与自行车在同一平面内。转弯时，只有当地面对车的作用力通过车(包括人)的重心时，车
才不会倾倒。设自行车和人的总质量为M，轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦
力，重力加速度为g。下列说法正确的是
A．车受到地面的支持力方向与车所在平面平行
B．转弯时车不发生侧滑的最大速度为√μgR
C．转弯时车与地面间的静摩擦力一定为μMg
D．转弯速度越大，车所在平面与地面的夹角越小
4. （2023 吉林长春高一期末）若将短道速滑运动员在弯道转弯的过程看成在水平冰面上的一段匀速圆周
运动，转弯时冰刀嵌入冰内从而使冰刀受与冰面夹角为
（蹬冰角）的支持力，不计一切摩擦，弯道半径
为R，重力加速度为g。以下说法正确的是（ ）
A. 地面对运动员的作用力与重力与重力大小相等
B. 武大靖转弯时速度的大小为
C. 若武大靖转弯速度变大则需要减小蹬冰角
D 武大靖做匀速圆周运动，他所受合外力保持不变
5. 如图所示，一质量为m 的小孩(可视为质点)做杂技表演。一不可伸长的轻绳一端固定于距离水平安全
网高为H 的O 点，小孩抓住绳子上的P 点从与O 点等高的位置由静止开始向下摆动，小孩运动到绳子竖直
时松手离开绳子做平抛运动，落到安全网上。已知P 点到O 点的距离为l(0<l<H)，空气阻力不计。下列说
法正确的是
5
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A.l 越大，小孩在O 点正下方松手前瞬间，对绳子的拉力越大
B.l 越小，小孩在O 点正下方松手前瞬间，对绳子的拉力越大
C.当l=
H
2 时，小孩在安全网上的落点距O 点的水平距离最大
D.当l=
√2
2 H
时，小孩在安全网上的落点距O 点的水平距离最大
6. (多选)如图14 所示，两个可视为质点的、相同的木块A 和B 放在转盘上，两者用长为L 的细绳连接，木
块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K 倍，A 放在距离转轴L 处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴
O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正
确的是( )
A．当ω>时，A、B 相对于转盘会滑动
B．当ω>，绳子一定有弹力
C．ω 在<ω<范围内增大时，B 所受摩擦力变大
D．ω 在0<ω<范围内增大时，A 所受摩擦力一直变大
7. 摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′
分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比r 甲∶r 乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今在两轮
盘上分别放置两个同种材料制成的完全相同的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离
轴心O、O′的间距RA＝2RB.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的
是( )
6
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A．滑块A 和B 在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω 甲∶ω 乙＝1∶3
B．滑块A 和B 在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值为aA∶aB＝2∶9
C．转速增加后滑块B 先发生滑动
D．转速增加后两滑块一起发生滑动
8. 如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m 的两个物体A 和B，它
们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ 相同，当圆盘转速缓慢加快到
两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是( )
A．此时绳子张力为3μmg
B．此时A 所受摩擦力方向沿半径指向圆内
C．此时圆盘的角速度为
D．此时烧断绳子，A 仍相对盘静止，B 将做离心运动
9. 如图所示，照片中的汽车在水平公路上做匀速圆周运动．已知图中双向四车道的总宽度为15 m，内车
道内边缘间最远的距离为150 m．假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.7 倍．g 取10 m/s2，则汽车(
)
A．所受的合力可能为零
B．只受重力和地面支持力的作用
C．所需的向心力不可能由重力和支持力的合力提供
D．最大速度不能超过3 m/s
10 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω 转动，盘面上离转轴距离
2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩
擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10 m/s2.则ω 的最大值是( )
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A. rad/s
B. rad/s
C．1.0 rad/s
D．0.5 rad/s
11．如图所示，两个相同的小木块A 和B(均可看做质点)，质量均为m，用长为L 的轻绳连接，置于水平圆
盘的同一半径上，A 与竖直轴的距离为L，此时绳子恰好伸直且无弹力，木块与圆盘间的最大静摩擦力为
木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω 表示圆盘转动
的角速度，下列说法正确的是( )
A．木块A、B 所受的摩擦力始终相等
B．木块B 所受摩擦力总等于木块A 所受摩擦力的两倍
C．ω＝是轻绳开始产生弹力的临界角速度
D．若ω＝，则木块A、B 将要相对圆盘发生滑动
12. 如图所示，一圆心为O 半径为R 的光滑半圆轨道固定在竖直平面内，其下端和粗糙的水平轨道在A 点
相切，AB 为圆弧轨道的直径。质量分别为m、2m 的滑块1、2 用很短的细线连接，在两滑块之间夹有压缩
的短弹簧(弹簧与滑块不固连)，滑块1、2 位于A 点。现剪断两滑块间的细线，滑块恰能过B 点，且落地点
恰与滑块2 停止运动的地点重合。滑块1、2 可视为质点，不考虑滑块1 落地后反弹，不计空气阻力，重力
加速度为g，求
(1)滑块1 过B 点的速度大小；
(2)弹簧释放的弹性势能大小；
(3)滑块2 与水平轨道间的动摩擦因数。
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13。(15 分)如图所示，用内壁光滑的薄壁细管弯成的“S”形轨道固定于竖直平面内，其弯曲部分是由两个
半径均为R＝0.2 m 的半圆平滑对接而成(圆的半径远大于细管内径)，轨道底端D 点与粗糙的水平地面相切。
现有一辆质量为m＝1 kg 的玩具小车以恒定的功率从E 点由静止开始出发，经过一段时间t＝4 s 后，出现
了故障，发动机自动关闭，小车在水平地面继续运动并进入“S”形轨道，从轨道的最高点飞出后，恰好垂
直撞在固定斜面B 上的C 点，C 点与下半圆的圆心O 等高。已知小车与地面之间的动摩擦因数为μ＝0.1，
ED 之间的距离为x0＝10 m，斜面的倾角为30°。求：(g 取10 m/s2)
(1)小车到达C 点时的速度大小为多少？
(2)在A 点小车对轨道的压力大小是多少，方向如何？
(3)小车的恒定功率是多少？
14．(14 分)如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB 平齐，静
止放于倾角为53°的光滑斜面上。一长为L＝9 cm 的轻质细绳一端固定在O 点，另一端系一质量为m＝1 kg
的小球，将细绳拉至水平，使小球从位置C 由静止释放，小球到达最低点D 时，细绳刚好被拉断。之后小
球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x＝5 cm。(取g＝10 m/s2，sin53°＝0.8，cos53°
＝0.6)求：
(1)细绳受到的拉力的最大值；
(2)D 点到水平线AB 的高度h；
(3)弹簧所获得的最大弹性势能Ep。
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