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2024 年高考一轮复习100 考点100 讲
第5 章 圆周运动
第5.8 讲 圆周运动中的临界极值问题
【知识点精讲】
圆周运动中的两类临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心．
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动
的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心
和沿半径指向圆心．
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．
【方法归纳】
1.审题时，要看题述是否有“恰好”、“刚好”、“取值范围”、“最大值”、
“最小值”等，是否存在临界条件和极值问题。
2. 解决圆周运动中的临界极值问题的一般思路是：首先分析临界条件时物
体所处的状态，及该状态下的受力特点，然后利用牛顿运动定律和圆周运
动知识列方程解答。
【最新高考题精练】
1.（2018 年11 月浙江选考物理）一质量为2.0×103kg 的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静
摩擦力为1.4×104N，当汽车经过半径为80m 的弯道时，下列判断正确的是
1
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A. 汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B. 汽车转弯的速度为20m/s 时所需的向心力为1.4×104N
C. 汽车转弯的速度为20m/s 时汽车会发生侧滑
D. 汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0m/s2
【参考答案】D
【名师解析】分析受力只能分析性质力，不能添加效果力，所以汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦
力，选项A 错误；由F=m
=2.0×103×
N=1.0×104N，选项B 错误；汽车转弯的速度为20m/s 时，所需
向心力1.0×104N，小于路面可提供的最大静摩擦力1.4×104N，汽车不会发生侧滑，选项C 错误；由
fmax=ma，解得a=7.0m/s2，即汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0m/s2，选项D 正确。
2.（2017 年11 月浙江选考）如图所示，照片中的汽车在水平路面上做匀速圆周运动，已知图中双向四车
道的总宽度约为15m，内车道边缘间最远的距离为150m。假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.7
倍，则运动的汽车
A、所受的合力可能为零
B、只受重力和地面的支持力作用
C、最大速度不能超过25m/s
D、所需的向心力由重力和支持力的合力提供
【参考答案】C
【名师解析】汽车在水平路面上做匀速圆周运动，受到重力、支持力和摩擦力，重力和地面的支持力平衡，
第9 题图
2
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摩擦力提供向心力，由0.7mg=mv2/R,R=0.5×150m+15m=90m，联立解得最大速度v=25m/s，选项C 正确。
3.（2017 年4 月浙江选考）图中给出了一段“S”形单行盘山公路的示意图。弯道1、弯道2 可看作两个不
同水平面上的圆弧，圆心分别为O1、O2，弯道中心线半径分别为r1=10m，r2=20m，弯道2 比弯道1 高
h=12m，有一直道与两弯道圆弧相切。质量m=1200kg 的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的
最大径向静摩擦力时车重的1.25 倍，行驶时要求汽车不打滑。（sin37°=0.6，sin53°=0.8）
（1）求汽车沿弯道1 中心线行驶时的最大速度v1；
（2）汽车以v1进入直道，以P=30kW 的恒定功率直线行驶了t=8.0s 进入弯道2，此时速度恰为通过弯道中
心线的最大速度，求直道上除重力以外的阻力对汽车做的功；
（3）汽车从弯道1 的A 点进入，从同一直径上的B 点驶离，有经验的司机会利用路面宽度，用最短时间匀
速安全通过弯道。设路宽d=10m，求此最短时间（A、B 两点都在轨道中心线上，计算时视汽车为质点）。
【运动情景分析】汽车在两个水平面内的弯道上做匀速圆周运动和倾斜直道上变速运动。此题存在两个临
界状态（径向静摩擦力达到最大值，轨迹与弯道内侧相切），要注意应用轨迹图的几何关系。
【思路分析】（1）当路面对轮胎的径向静摩擦力达到最大时，最大径向静摩擦力等于向心力。列出方程
得到汽车沿弯道1 中心线行驶时的最大速度v1和沿弯道1 中心线行驶时的最大速度v2。
（2）利用动能定理列方程得出直道上除重力以外的阻力对汽车做的功。
（3）画出汽车从弯道1 的A 点进入，从同一直径上的B 点驶离的最短轨迹图，利用几何关系得出轨迹半径，
利用最大径向静摩擦力等于向心力得出运动速度，然后应用速度公式得出运动的最短时间。
【考点】本题主要考察知识点：水平面内圆周运动临街问题，能量守恒
【规范解析】（1）设汽车在弯道1 的最大速度v1，有：kmg=m
2
1
1
v
r
3
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解得：v1=5 5 m/s。
（2）设汽车在弯道2 的最大速度v2，有：kmg=m
2
2
2
v
r
解得：v2=5 10 m/s。
汽车在直道上运动，由动能定理：Pt-mgh+Wf=
1
2 mv2
2-
1
2 mv1
2。
代入数据可得：Wf=-2.1×104J。
（3）设汽车在弯道2 按照最短时间行驶的最大速度v，轨迹半径为r’，有：kmg=m
2
'
v
r
解得：v=
'
kgr 。
由此可知，轨迹半径r 增大v 增大，r 最大，AB 弧长最小，对应时间最短，所以轨迹设计应如下图所示。
由图可以得到：r’2= r1
2+[r’-（r1-d/2）]2
代入数据可以得到r’=12.5m
汽车沿着该路线行驶的最大速度：v=
'
kgr =12.5m/s
由sinθ=
1
'
r
r =0.8，则对应的圆心角2θ=106°
4
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线路长度：s=
106
360 ×2πr’=23.1m。
最短时间：t‘=s/v=1.8s。
【总结】对于圆周运动，主要运用的知识点是圆周运动规律和牛顿运动定律。解答圆周运动问题一般是根
据题述情景画出轨迹图，根据图中的几何关系可得出根据半径；利用合外力提供向心力列方程可得出待求
量。
4．（2015·江苏）一转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB 和CB 与两小球以及一小环通过铰链连接，
轻杆长均为l，球和环的质量均为m，O 端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O 与小
环之间，原长为L，装置静止时，弹簧长为
，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。弹簧始终
在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）弹簧的劲度系数k；
（2）AB 杆中弹力为零时，装置转动的角速度ω0；
（3）弹簧长度从
缓慢缩短为
的过程中，外界对转动装置所做的功W。
【名师解析】：（1）装置静止时，设
、
杆中的弹力分别为
、
，
杆与转轴的夹角为
.
小环受到弹簧的弹力
小环受力平衡
小球受力平衡
；
解得
。
5
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（2）设
、
杆中的弹力分别为
、
，
杆与转轴的夹角为
，弹簧长度为
.
小环受到弹簧的弹力
小环受力平衡
解得：
对小球：
；
且
解得
。
（3）弹簧长度为
时，设
、
杆中的弹力分别为
、
，
杆与弹簧的夹角为
.
小环受到弹簧的弹力
小环受力平衡
且
对小球
,
解得
。
整个过程弹簧弹性势能变化为零，则弹力做的功为零，由动能定理
解得
。
【最新模拟题精练】
1.（2022 浙江台州高一质检）14. 如图所示的杂技演员在表演水流星的节目时，手持两端系有盛水的
杯子的绳子中点在竖直平面内做圆周运动，若两只杯子内盛水的质量相等，当一只杯子在最高点时水恰好
洒不出来，这时另一只杯子中的水对杯底的压力大小是水的重力的（ ）
6
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A. 2 倍
B. 4 倍
C. 5 倍
D. 6 倍
【参考答案】A
【名师解析】
杯子在最高点，设速度为v 时水恰好洒不出来，则有水的重力提供其做圆周运动的向心力，由牛顿第二定
律可得
2v
mg
m r
解得
v
gr
则在最低点的杯子的速度大小也为v
gr
，在最低点，由牛顿第二定律可得
2
N
v
F
mg
m r
N
2
F
mg
由牛顿第三定律可知，最低点杯子中的水对杯底的压力大小是
N=2
F
mg
则有
N
2
F
mg
A 正确，BCD 错误。
2.（2021 重庆模拟6）如题图1 所示为“铁笼飞车”的特技表演,据其抽象出来的理想模型为如题图2 所示
7
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的内壁光滑的圆球,其中a、b、c 分别表示做圆周运动时的不同轨道,a 轨与b 轨均水平,c 轨竖直,一质点在
球内绕其光滑内壁做圆周运动时,下列有关说法正确的是（ ）
A.沿a 轨可能做变速圆周运动
B.沿c 轨运动的最小速度为0
C.沿a 轨运动的速度比沿b 轨运动的速度大
D.沿a 轨运动的周期比沿b 轨运动的周期大
【参考答案】AD
【名师解析】沿a 轨可能做变速圆周运动，选项A 正确；沿c 轨运动属于绳模型，在最高点的最小速度为
，选项B 错误；与mgtanθ=mv2/r，r=Rsinθ，联立解得：v2=gRsinθtanθ，所以沿a 轨运动的速度
比沿b 轨运动的速度小，由T=2πr/v 可得T=2π
，可知，沿a 轨运动的速度比沿b 轨运动的速度
大，选项D 正确。
3.（2023 安徽合肥名校联考）图示为运动员在水平道路上转弯的情景，转弯轨迹可看成一段半径为R 的圆
弧，运动员始终与自行车在同一平面内。转弯时，只有当地面对车的作用力通过车(包括人)的重心时，车
才不会倾倒。设自行车和人的总质量为M，轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦
力，重力加速度为g。下列说法正确的是
A．车受到地面的支持力方向与车所在平面平行
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B．转弯时车不发生侧滑的最大速度为√μgR
C．转弯时车与地面间的静摩擦力一定为μMg
D．转弯速度越大，车所在平面与地面的夹角越小
【参考答案】BD
【命题意图】此题以运动员在水平道路上转弯的为情景，考查水平面内的匀速圆周运动，摩擦力及其
相关知识点。
【解题思路】车受到地面的支持力方向与车所在平面垂直，选项A 错误；由μmg=m
,解得转弯时车不发
生侧滑的最大速度为v=√μgR ，选项B 正确；转弯时车与地面间的静摩擦力一定小于或等于最大静摩擦
力μMg，选项C 错误；转弯速度越大，所需向心力越大，车所在平面与地面的夹角越小，选项D 正确。
【易错警示】解答此类题一定要注意静摩擦力与最大静摩擦力的区别，静摩擦力小于或等于最大静摩擦力。
4. （2023 吉林长春高一期末）若将短道速滑运动员在弯道转弯的过程看成在水平冰面上的一段匀速圆周
运动，转弯时冰刀嵌入冰内从而使冰刀受与冰面夹角为
（蹬冰角）的支持力，不计一切摩擦，弯道半径
为R，重力加速度为g。以下说法正确的是（ ）
A. 地面对运动员的作用力与重力与重力大小相等
B. 武大靖转弯时速度的大小为
C. 若武大靖转弯速度变大则需要减小蹬冰角
D 武大靖做匀速圆周运动，他所受合外力保持不变
【参考答案】BC
【名师解析】
地面对运动员的作用力与重力的合力提供向心力，则地面对运动员的作用力大于重力，故A 错误；
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由题意可知，武大靖转弯时，根据牛顿第二定律有
可得其转弯时速度的大小为
故B 正确；
武大靖转弯时速度的大小为
若减小蹬冰角
，则
减小，武大靖转弯速度
将变大，故C 正确；
武大靖做匀速圆周运动，他所受合外力始终指向圆心，大小不变，方向变化，故D 错误。
5. 如图所示，一质量为m 的小孩(可视为质点)做杂技表演。一不可伸长的轻绳一端固定于距离水平安全
网高为H 的O 点，小孩抓住绳子上的P 点从与O 点等高的位置由静止开始向下摆动，小孩运动到绳子竖直
时松手离开绳子做平抛运动，落到安全网上。已知P 点到O 点的距离为l(0<l<H)，空气阻力不计。下列说
法正确的是
A.l 越大，小孩在O 点正下方松手前瞬间，对绳子的拉力越大
B.l 越小，小孩在O 点正下方松手前瞬间，对绳子的拉力越大
C.当l=
H
2 时，小孩在安全网上的落点距O 点的水平距离最大
D.当l=
√2
2 H
时，小孩在安全网上的落点距O 点的水平距离最大
【参考答案】C
【命题意图】本题考查对机械能守恒、牛顿运动定律、平抛运动规律的理解和运用。
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【解题思路】小孩向下摆动，机械能守恒，由mgl=
mv2，解得v=
。运动到O 点正下方时，设绳子
拉力为F，由牛顿第二定律，F-mg=m
，解得F=3mg，由牛顿第三定律，绳子的拉力恒定为3mg，选项
AB 错误；小孩运动到绳子竖直时松手后做平抛运动，由平抛运动规律，x=vt，H-l=
gt2，联立解得：x=2
，由数学知识可知，当l=H/2 时，小孩在安全网上的落点距离O 点的水平距离x 最大，选项C
正确D 错误。
【易错警示】解答此题常见错误主要有：一是错误认为小孩速度越大就对绳子拉力越大，导致错选A；二
是不能正确运用相关知识列方程得出水平位移表达式，不能正确运用数学知识得出最大水平距离。
6. (多选)如图14 所示，两个可视为质点的、相同的木块A 和B 放在转盘上，两者用长为L 的细绳连接，木
块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K 倍，A 放在距离转轴L 处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴
O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正
确的是( )
图14
A．当ω>时，A、B 相对于转盘会滑动
B．当ω>，绳子一定有弹力
C．ω 在<ω<范围内增大时，B 所受摩擦力变大
D．ω 在0<ω<范围内增大时，A 所受摩擦力一直变大
【参考答案】ABD
【名师解析】
当A、B 所受摩擦力均达到最大值时，A、B 相对转盘即将滑动，Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得：ω
＝，A 项正确；当B 所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即：Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝，可知
当ω>时，绳子有弹力，B 项正确；当ω>时，B 已达到最大静摩擦力，则ω 在<ω<范围内增大时，B 受到的
摩擦力不变，C 项错误；ω 在0<ω<范围内，A 相对转盘是静止的，A 所受摩擦力为静摩擦力，所以Ff－FT
＝mLω2，当ω 增大时，静摩擦力也增大，D 项正确．
7. 摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图15 所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、
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O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比r 甲∶r 乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今在两
轮盘上分别放置两个同种材料制成的完全相同的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距
离轴心O、O′的间距RA＝2RB.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确
的是( )
图15
A．滑块A 和B 在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω 甲∶ω 乙＝1∶3
B．滑块A 和B 在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值为aA∶aB＝2∶9
C．转速增加后滑块B 先发生滑动
D．转速增加后两滑块一起发生滑动
【参考答案】ABC
【名师解析】
由题意可知两轮盘边缘的线速度v 大小相等，由v＝ωr，r 甲∶r 乙＝3∶1，可得ω 甲∶ω 乙＝1∶3，所以滑块相
对轮盘滑动前，A、B 的角速度之比为1∶3，故A 正确；滑块相对盘开始滑动前，根据加速度公式：a＝
Rω2，又RA∶RB＝2∶1，ωA：ωB＝1∶3，所以A、B 的向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9，故B 正确；滑块的
最大静摩擦力分别为 FfA＝μmAg，FfB＝μmBg，则最大静摩擦力之比为FfA∶FfB＝mA∶mB；转动中所受的静摩
擦力之比为FfA′∶FfB′＝mAaA∶mBaB＝mA∶4.5mB，由上可得滑块B 先达到最大静摩擦力而先开始滑动，故
C 正确，D 错误．
8. 如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m 的两个物体A 和B，它
们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ 相同，当圆盘转速缓慢加快到
两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是( )
A．此时绳子张力为3μmg
B．此时A 所受摩擦力方向沿半径指向圆内
C．此时圆盘的角速度为
D．此时烧断绳子，A 仍相对盘静止，B 将做离心运动
【参考答案】AC
【名师解析】
两物体A 和B 随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F＝mω2r，B 的半径比A 的半径大，所以B 所需
12
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向心力大，细绳拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B 的静摩擦力方向指向圆
心，A 的最大静摩擦力方向指向圆外，有相对圆盘沿半径指向圆内的运动趋势，根据牛顿第二定律得：FT
－μmg＝mω2r，FT＋μmg＝mω2·2r，解得：FT＝3μmg，ω＝ ，故A、C 正确，B 错误．烧断细绳瞬间A 物
体所需的向心力为2μmg，此时烧断细绳，A 的最大静摩擦力不足以提供向心力，则A 做离心运动，故D 错
误．
9. 如图所示，照片中的汽车在水平公路上做匀速圆周运动．已知图中双向四车道的总宽度为15 m，内车
道内边缘间最远的距离为150 m．假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.7 倍．g 取10 m/s2，则汽车(
)
A．所受的合力可能为零
B．只受重力和地面支持力的作用
C．所需的向心力不可能由重力和支持力的合力提供
D．最大速度不能超过3 m/s
【参考答案】CD
【名师解析】
汽车做匀速圆周运动，则所受的合力不可能为零，选项A 错误；汽车做匀速圆周运动，竖直方向受重力
和地面支持力的作用，水平方向受摩擦力作用，提供汽车做匀速圆周运动的向心力，选项B 错误；车在水
平公路上做匀速圆周运动，则汽车所需的向心力不可能由重力和支持力的合力提供，只由摩擦力提供，选
项C 正确；汽车转弯的最大半径为r＝ m＋15 m＝90 m，由牛顿第二定律可得μmg＝m，解得v＝＝ m/s＝
3 m/s，即汽车的最大速度不能超过3 m/s，选项D 正确．
10 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω 转动，盘面上离转轴距离
2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩
擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10 m/s2.则ω 的最大值是( )
A. rad/s
B. rad/s
C．1.0 rad/s
D．0.5 rad/s
【参考答案】C
【名师解析】
当小物体转动到最低点时为临界点，由牛顿第二定律知，μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2r
解得ω＝1.0 rad/s，故选项C 正确．
13
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11．如图所示，两个相同的小木块A 和B(均可看做质点)，质量均为m，用长为L 的轻绳连接，置于水平圆
盘的同一半径上，A 与竖直轴的距离为L，此时绳子恰好伸直且无弹力，木块与圆盘间的最大静摩擦力为
木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω 表示圆盘转动
的角速度，下列说法正确的是( )
A．木块A、B 所受的摩擦力始终相等
B．木块B 所受摩擦力总等于木块A 所受摩擦力的两倍
C．ω＝是轻绳开始产生弹力的临界角速度
D．若ω＝，则木块A、B 将要相对圆盘发生滑动
【参考答案】D
【名师解析】
当角速度较小时，A、B 均靠静摩擦力提供向心力，由于B 转动的半径较大，则B 先达到最大静摩擦力，角
速度继续增大，则轻绳出现拉力，当A 的静摩擦力达到最大时，角速度增大，A、B 开始发生相对滑动，可
知B 的静摩擦力方向一直指向圆心，在绳子出现张力前，A、B 的角速度相等，半径之比为1∶2，则静摩
擦力之比为1∶2，当轻绳出现张力后，A、B 的静摩擦力之比不是1∶2，故A、B 错误．当摩擦力刚好提
供B 做圆周运动的向心力时，轻绳开始产生拉力，则kmg＝mω2·2L，解得ω＝ ，故C 错误；当A 的摩擦
力达到最大时，A、B 将要开始滑动，对A 有：kmg－FT＝mLω′2，对B 有：FT＋kmg＝m·2Lω′2，解得
ω′＝ ，故D 正确．
12. 如图所示，一圆心为O 半径为R 的光滑半圆轨道固定在竖直平面内，其下端和粗糙的水平轨道在A 点
相切，AB 为圆弧轨道的直径。质量分别为m、2m 的滑块1、2 用很短的细线连接，在两滑块之间夹有压缩
的短弹簧(弹簧与滑块不固连)，滑块1、2 位于A 点。现剪断两滑块间的细线，滑块恰能过B 点，且落地点
恰与滑块2 停止运动的地点重合。滑块1、2 可视为质点，不考虑滑块1 落地后反弹，不计空气阻力，重力
加速度为g，求
(1)滑块1 过B 点的速度大小；
(2)弹簧释放的弹性势能大小；
(3)滑块2 与水平轨道间的动摩擦因数。
14
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【名师解析】（1）滑块1 恰能过B 点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律得
mg=m
可得vB=
(2)滑块1 从A 运动到B 的过程，根据动能定理有
-2mgR=
-
解得vB=
滑块1、2 被弹簧弹开的过程，取向右为正方向，根据动量守恒定律和能量守恒定律分别得
mvA-2 mv2=0
Ep=
-
。
联立解得Ep=
mgR
(3)滑块1 过B 点后做平抛运动，则水平方向有x=vBt
15
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竖直方向有2R=
gt2
滑块2 在水平面上做减速运动过程，由动能定理得-μ·2mgx=0-
解得：μ=5/16
13。(15 分)如图所示，用内壁光滑的薄壁细管弯成的“S”形轨道固定于竖直平面内，其弯曲部分是由两个
半径均为R＝0.2 m 的半圆平滑对接而成(圆的半径远大于细管内径)，轨道底端D 点与粗糙的水平地面相切。
现有一辆质量为m＝1 kg 的玩具小车以恒定的功率从E 点由静止开始出发，经过一段时间t＝4 s 后，出现
了故障，发动机自动关闭，小车在水平地面继续运动并进入“S”形轨道，从轨道的最高点飞出后，恰好垂
直撞在固定斜面B 上的C 点，C 点与下半圆的圆心O 等高。已知小车与地面之间的动摩擦因数为μ＝0.1，
ED 之间的距离为x0＝10 m，斜面的倾角为30°。求：(g 取10 m/s2)
(1)小车到达C 点时的速度大小为多少？
(2)在A 点小车对轨道的压力大小是多少，方向如何？
(3)小车的恒定功率是多少？
【参考答案】 (1)4 m/s (2)10 N 方向竖直向上 (3)5 W
【名师解析】
(1)把小车在C 点的速度分解为沿水平方向的分速度vA和沿竖直方向的分速度vy，
有v＝2g×3R，vC＝，
解得vC＝4 m/s。
(2)由(1)知小车在A 点的速度大小
vA＝vCsin30°＝2 m/s，
因为vA＝>，小车对外轨有压力，轨道对小车的作用力竖直向下，
根据牛顿第二定律有mg＋FN＝m，
解得FN＝10 N，
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根据牛顿第三定律得，小车对轨道的压力的大小FN′＝FN＝10 N，方向竖直向上。
(3)从E 到A 的过程中，由动能定理可得
Pt－μmgx0－mg×4R＝mv，
解得P＝5 W。
14．(14 分)如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB 平齐，静
止放于倾角为53°的光滑斜面上。一长为L＝9 cm 的轻质细绳一端固定在O 点，另一端系一质量为m＝1 kg
的小球，将细绳拉至水平，使小球从位置C 由静止释放，小球到达最低点D 时，细绳刚好被拉断。之后小
球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x＝5 cm。(取g＝10 m/s2，sin53°＝0.8，cos53°
＝0.6)求：
(1)细绳受到的拉力的最大值；
(2)D 点到水平线AB 的高度h；
(3)弹簧所获得的最大弹性势能Ep。
【参考答案】 (1)30 N (2)16 cm (3)2.9 J
【名师解析】 (1)小球由C 到D，由机械能守恒定律得：
mgL＝mv，解得v1＝①
在D 点，由牛顿第二定律得F－mg＝m②
由①②解得F＝30 N，
由牛顿第三定律知细绳所能承受的最大拉力为30 N。
(2)由D 到A，小球做平抛运动v＝2gh③
tan53°＝④
联立①③④解得h＝16 cm。
(3)小球从C 点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧系统的机械能守恒，即Ep＝mg(L＋h＋
xsin53°)，代入数据解得：Ep＝2.9 J。
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