文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题07 圆周运动
题型一 圆周运动的运动学问题...........................................................................................................1
题型二 圆周运动的动力学问题...........................................................................................................5
类型1 水平面上的圆周运动——圆锥摆模型.............................................................................6
类型2 生活中的圆周运动............................................................................................................9
题型三 竖直面内圆周运动的两类模型问题.....................................................................................13
题型四 圆周运动中的临界问题.........................................................................................................17
类型1 水平面的圆周运动临界问题..........................................................................................17
类型2 竖直平面内的圆周圆周运动临界问题...........................................................................20
类型3 斜面上的圆周运动临界问题..........................................................................................22
题型一 圆周运动的运动学问题
1．线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．v＝＝.
2．角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．ω＝＝.
3．周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．T＝，T＝.
4．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．an＝rω2＝＝ωv＝r.
5．相互关系：(1)v＝ωr＝r＝2π
rf .
(2)an＝＝rω2＝ωv＝r＝4π2f2r.
[题型专练1]. （2023 秋•广州期中）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将
活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示。曲
轴可绕固定的O 点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A 点和活塞上的B 点，若曲轴绕O
点做匀速圆周运动，转速n＝1800r/min，OA＝20cm，AB＝60cm。下列说法正确的是
（ ）
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．活塞在水平方向上做匀速直线运动
B．当OA 竖直时，活塞的速度为12πm/s
C．当OA 与AB 共线时，活塞的速度为12πm/s
D．当OA 与AB 垂直时，活塞的速度为4πm/s
【解答】解：A、根据题意，活塞可沿水平方向往复运动，故A 错误；
B、由公式v＝2πrn
可得，A 点线速度为vA＝12πm/s
将A 点和活塞的速度沿杆和垂直杆分解，如图所示，由几何关系有可得
vB＝vA＝12πm/s
故B 正确；
C、同理可知，A 点在沿杆方向的分速度是0，所以活塞的速度为0，（或者活塞在最右端，所
以速度为0），故C 错误；
D、同理可知，A 点的速度沿杆方向，活塞的速度分解如图，所以vBcosθ＝vA
由几何关系得cosθ =
AB
√A B
2+O A
2 = 3√10
10
可得vB= 4 π √10m/ s
故D 错误。
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故选：B。
[题型专练2]. （2023 秋•合肥期中）某小区门口的车闸杆如图所示，O 为杆上的转动轴，
A、B 分别为杆上的两点，且AO＝2BO。杆绕轴O 转动的过程中，A、B 两点（ ）
A．角速度之比为2：1
B．角速度之比为1：2
C．向心加速度大小之比为1：2
D．向心加速度大小之比为2：1
【解答】解：AB、A、B 两点随杆一起转动，为同轴传动，角速度相同，故AB 错误；
CD、向心加速度a＝ω2r，则A、B 两点的向心加速度之比为a1：a2＝r1：r2＝2：1
故C 错误，D 正确；
故选：D。
[题型专练3]. （2023 春•滁州期末）在我国东北地区严寒的冬天，人们经常玩一项“泼水
成冰”的游戏，具体操作是把一杯开水沿弧线均匀快速地泼向空中，图甲所示是某人玩“泼水
成冰”游戏的瞬间，可抽象为如图乙所示的模型，泼水过程中杯子的运动可看成匀速圆周运动，
人的手臂伸直，在0.5s 内带动杯子转动了210°，人的臂长约为0.6m，则泼水过程中（ ）
A．杯子沿顺时针方向运动
B．P 位置飞出的小水珠初速度沿1 方向
C．杯子运动的角速度大小为7 π
3 rad / s
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
D．杯子运动的线速度大小约为7 π
10 m/ s
【解答】解：AB．根据题意可知“泼水成冰”是一种离心运动，由图乙中做离心运动的轨迹可
知，杯子的旋转方向为逆时针方向，则P 位置飞出的小水珠初速度沿2 方向，故AB 错误；
C．根据相应的公式可得杯子旋转的角速度为：ω= Δθ
Δt = 210°
0.5 s =
7 π
6 rad
1
2 s
= 7 π
3 rad / s，故C 正
确；
D．杯子旋转的轨迹半径R 约为0.6 m，则线速度大小为：v =ωR = 7 π
3 rad / s× 3
5 s= 7 π
5 m/ s，
故D 错误。
故选：C。
[题型专练4]. （2023•广西模拟）学校门口的车牌自动识别系统如图所示，闸杆距地面高
为1m，可绕转轴O 在竖直面内匀速转动；自动识别区ab 到a'b'的距离为6.9m。汽车以速度
3m/s 匀速驶入自动识别区，识别的反应时间为0.3s；若汽车可看成高1.6m 的长方体，闸杆转
轴O 与车左侧面水平距离为0.6m。要使汽车匀速顺利通过，闸杆转动的角速度至少为
（ ）
A．π
8
rad/s
B．π
6
rad/s
C．π
4
rad/s
D．π
3
rad/s
【解答】解：闸杆转动时间为t= x
v -t0= 6.9
3
s﹣0.3s＝2s
汽车匀速顺利通过，闸杆转动的角度至少为tanθ= 1.6-1
0.6
解得θ= π
4
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
闸杆转动的角速度至少为ω= θ
t = π
8
rad/s，故A 正确，BCD 错误。
故选：A。
[题型专练5]. （2023 秋•洛宁县校级月考）如图甲所示，自动喂鱼投料机安装在鱼塘上方
的水平平台上，投料口距水面的高度为1.25m。投料机开机运行时饵料通过机内小孔向下落入
图乙所示的带挡板的银色转盘中，转盘在电动机的带动下转动将饵料甩出，从而实现自动投喂。
某次投喂时调好电动机转速，饵料投送的距离在2m～17m 的范围内，若忽略空气阻力的影响，
取重力加速度g＝10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．饵料被水平甩出时的最大速度为17m/s
B．饵料被水平甩出时的最小速度为1m/s
C．增大投料机的安装高度同时减小电动机转速，饵料的最大投放距离一定增大
D．降低投料机的安装高度同时增大电动机转速，饵料的最大投放距离可以不变
【解答】解：AB、饵料被水平甩出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，
有：h= 1
2 gt
2
解得：t =√
2h
g =√
2×1.25
10
s=0.5 s
水平方向做匀速直线运动，有：x＝vt
又2m≤x≤17m
解得：4m/s≤v≤34m/s
可得饵料被水平甩出时的最大径向速度为34m/s，最小径向速度为4m/s，故AB 错误；
C、增大投料机的安装高度同时减小电动机转速时，饵料的运动时间t 增大、初速度v 减小，可
知饵料的最大投放距离可能增大，可能减小，也可能不变，故C 错误；
D、降低投料机的安装高度同时增大电动机转速，初速度v 增大、饵料的运动时间t 减小，可知
饵料的最大投放距离可能增大，可能减小，也可能不变，故D 正确。
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故选：D。
题型二 圆周运动的动力学问题
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或
某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力．
3．向心力的公式Fn＝man＝m＝mω
2 r ＝mr＝mr
4π
2 f 2
解决圆周运动问题的主要步骤
(1)审清题意，确定研究对象；明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环；
(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；
(3)分析物体的受力情况，画出受力分析图，确定向心力的来源；
(4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．
类型1 水平面上的圆周运动——圆锥摆模型
[题型专练6]. （2023 春•运城期末）如图有一固定且内壁光滑的半球形容器，球心为O，
最低点为C，在其内壁上有两个质量相同的小球（可视为质点）A 和B，在两个高度不同的水
平面内做匀速圆周运动，A 球的轨迹平面高于B 球的轨迹平面。A、B 两球与O 点的连线与竖
直线OC 间的夹角分别为α＝53°和β＝37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则（ ）
A．A、B 两球所受弹力的大小之比为3：4
B．A、B 两球运动的角速度之比为4：3
C．A、B 两球运动的周期之比为4：3
D．A、B 两球的转速之比为2：√3
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：A．对A 球竖直方向平衡得NAcosα＝mg
同理对B 球NBcosβ＝mg
N A
N B
= cosβ
cosα = 4
3
故A 错误；
B．对A 球水平方向mgtanα =mrsinα ωA
2
对B 球水平方向mgtanβ =mrsinβ ωB
2
联立解得：ωA
ωB
=√
cosβ
cosα =√
4
3
故B 错误；
C．根据周期和角速度的关系可得：T = 2π
ω
因此T A
T B
= ωB
ωA
=√
3
4
故C 错误；
D．根据角速度和转速的关系可得：ω＝2πn
所以nA
nB
= ωA
ωB
= 2
√3
故D 正确。
故选：D。
[题型专练7]. （2023 秋•沈阳期中）两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点并
在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的（ ）
A．运动的线速度大小相等
B．运动的角速度大小相等
C．向心加速度大小相等
D．向心力大小相等
【解答】解：BD、对其中一个小球受力分析，如图，受重力，绳子的拉力，由于小球做匀速圆
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
周运动，故合力提供向心力；将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得，合力：F＝
mgtanθ
由向心力公式得到F＝mω2r
设绳子与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得：r＝htanθ；
联立可得：ω=√
g
h
，与绳子的长度转动半径无关，角速度相等，向心力不相等，故B 正确，D
错误；
A、由v＝ωr，两球转动半径不等，则线速度大小不等，故A 错误；
C、由a＝ω2r，两球转动半径不等，向心加速度不同，故C 错误；
故选：B。
[题型专练8]. （2023 秋•河西区期中）如图所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水
平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B 两个质量相同的小球在两圆锥内
壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．A、B 球受到的支持力之比为√3：3
B．A、B 球的向心力之比为√3：1
C．A、B 球运动的角速度之比为3：1
D．A、B 球运动的线速度之比为1：2
【解答】解：A、设圆锥母线与竖直方向夹角为θ。对小球A、B 受力分析，受到重力和支持力，
在竖直方向合力为零，则有
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
FNsinθ＝mg
解得：F N = mg
sinθ
可得A、B 球受到的支持力之比为：F NA
F NB
= sin60°
sin30° =√3，故A 错误；
B、小球在水平面内做匀速圆周运动，由重力和支持力的合力提供向心力，则有
F向= mg
tanθ
可得A、B 球的向心力之比为：F
A
向
F
B
向
= tan60°
tan30° =3，故B 错误；
C、小球的运动轨迹高度相同，则轨迹半径r＝htanθ
由牛顿第二定律可知
mg
tanθ =mω
2r
解得：ω=
1
tanθ√
g
h
可得A、B 球运动的角速度之比为：ωA
ωB
= tan 60°
tan30° =3，故C 正确；
D、线速度与角速度的关系为v＝ωr＝ωhtanθ，联立解得A、B 球运动的线速度之比为：v A
vB
=1，
故D 错误。
故选：C。
类型2 生活中的圆周运动
[题型专练9]. （2023 秋•小店区校级月考）汽车行驶中经常会经过一些凹凸不平的路面，
其凹凸部分路面可以看作圆弧的一部分，如图所示的A、B、C 处，其中B 处的曲率半径最大，
A 处的曲率半径为ρ1，C 处的曲率半径为ρ2，重力加速度为g。若有一辆可视为质点、质量为
m 的小汽车与路面之间各处的动摩擦因数均为μ，当该车以恒定的速率v 沿这段凹凸路面行驶
时，下列说法正确的是（ ）
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．汽车经过A 处时处于超重状态，经过C 处时处于失重状态
B．汽车经过B 处时最容易爆胎
C．为了保证行车不脱离路面，该车的行驶速度不得超过√g ρ1
D．汽车经过C 处时所受的摩擦力大小为μmg
【解答】解：A．汽车经过A 处时，位于竖直面内圆周运动的最高点，加速度向下，处于失重状
态，经过C 处时，位于竖直面内圆周运动最低点，加速度向上，处于超重状态，故A 错误；
B．因汽车在BC 两点处于超重状态，地面对汽车的支持力为F，根据牛顿第二定律得
F =mg+m v
2
R
在C 处的曲率半径小于B 处，可知根据汽车经过C 处时最容易爆胎，故B 错误；
C．汽车在A 点容易脱离桥面，则在A 点汽车对桥面的压力恰为零时，根据
mg=m v
2
R
可知，为了保证行车不脱离路面，该车的行驶速度不得超过
v =√g R A =√g ρ1
故C 正确；
D．汽车经过C 处时所受的摩擦力大小为
f = μ F NC = μ(mg+m v
2
ρ2
)＞μmg
故D 错误。
故选：C。
[题型专练10].
（2023 秋•沙河口区校级期中）如图甲为生产流水线上的水平皮带转弯
机，由一段直线皮带AB 和一段圆弧皮带BC 平滑连接而成，其俯视图如图乙所示，虚线ABC
是皮带的中线，AB 段长度L＝4m，BC 段半径R＝2.0m，中线上各处的速度大小均为v＝
1.0m/s。某次将一个质量m＝0.5kg 的小物件轻放在直线皮带的起点A 处后被传送至B 处，随
后滑上圆弧皮带。已知小物件与两皮带间的动摩擦因数均为μ＝0.5，设最大静摩擦力等于滑动
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
摩擦力。下列说法正确的是（ ）
A．小物件自A 点做匀加速直线运动到达B 点
B．小物件在圆弧皮带上运动时滑动摩擦力提供向心力
C．小物件在圆弧皮带上运动时所受的摩擦力大小为0.25N
D．若将中线上速度增大至3m/s，则小物体在圆弧皮带上运动时会打滑
【解答】解：A、小物件刚滑上直线皮带时，小物件在皮带上做匀加速直线运动，则有μmg＝
ma
解得a＝5m/s2
加速到与皮带共速，小物件的位移为x = v
2
2a =0.1m＜L= 4 m
故小物件要先做匀加速直线运动，再做匀速直线运动，故A 错误；
B、因小物件进入圆弧前就已相对皮带静止，故小物件在圆弧皮带上运动时由静摩擦力提供向心
力，故B 错误；
C、根据牛顿第二定律有：
f =m v
2
r =0.25 N
故C 正确；
D、小物件受的最大静摩擦力为fm＝μmg＝2.5N
若将中线上速度增大至3m/s，小物件做圆周运动所需要的向心力为F向=m v
2
r =2.25 N
可知F 向＜fm，故小物体在圆弧皮带上运动时不会打滑，故D 错误。
故选：C。
[题型专练11].
（2023 秋•包河区校级月考）港珠澳大桥总长约55km，是世界上总体跨
度最长、钢结构桥体最长、海底沉管隧道最长的路海大桥，设计时速100km/h。如图所示，该
路段是港珠澳大桥的一段半径R＝150m 的圆弧形弯道，总质量m＝1800kg 的汽车通过该圆弧
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
形弯道时以速度v＝90km/h 做匀速圆周运动（汽车可视为质点，路面视为水平且不考虑车道的
宽度）。已知路面与汽车轮胎间的径向最大静摩擦力为汽车所受重力的3
4 ，重力加速度g 取
10m/s2，则（ ）
A．汽车过该弯道时受到重力、支持力、摩擦力、牵引力和向心力
B．汽车过该弯道时所受径向静摩擦力大小为4000N
C．汽车过该弯道时的向心加速度大小为4m/s2
D．汽车能安全通过该弯道的最大速度为15√5m/ s
【解答】解：A．汽车过该弯道时受到重力、牵引力、支持力和摩擦力作用，静摩擦力提供做圆
周运动的向心力，向心力是效果力，受力分析要按性质力分析，故A 错误；
B．汽车过该弯道时所受径向静摩擦力大小为
f =m v
2
r =7500 N
故B 错误；
C．汽车过该弯道时的向心加速度大小为
a= v
2
r = 25
6 m/ s
2
故C 错误；
D．汽车能安全通过该弯道速度最大时满足
3
4 mg=m vm
2
r
解得
vm=15√5m/ s
故D 正确。
故选：D。
[题型专练12].
（2023 春•荔湾区校级期中）列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的
夹角为α（α 很小，可近似认为tanα≈sinα），重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用
B．列车过转弯处的速度v=√
gRh
d
时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨
C．列车过转弯处的速度v＜√
gRh
d
时，列车轮缘会挤压外轨
D．若减小α 角，可提高列车安全过转弯处的速度
【解答】解：A、列车转弯时受到重力、支持力和摩擦力的作用，向心力是效果力，是其它力的
合力，故A 错误；
B、对列车受力分析，当火车的重力和支持力的合力提供圆周运动所需的向心力时，由牛顿第二
定律得：mgtanα＝mv
2
R
根据题意可知：tanα≈sinα= h
d
联立解得临界速度为：v=√
gRh
d
，所以此时列车轮缘不会受挤压，故B 正确；
C、当v＜√
gRh
d
时，转弯所需的合力F＜mgtanα，故此时列车内轨受挤压，故C 错误；
D、若要提高列车速度，则列车所需的向心力增大，故需要增大α，故D 错误。
故选：B。
题型三 竖直面内圆周运动的两类模型问题
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑
(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、
在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”．
2．绳、杆模型涉及的临界问题
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
绳模型
杆模型
常见类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高点的
临界条件
由mg＝m 得
v 临＝
由小球恰能做圆周运动得v 临＝0
讨论分析
(1)过最高点时，v≥，FN＋mg
＝m，绳、圆轨道对球产生弹
力FN
(2)不能过最高点时，v<，在
到达最高点前小球已经脱离了
圆轨道
(1)当v＝0 时，FN＝mg，FN为支持力，沿
半径背离圆心
(2)当0<v<时，－FN＋mg＝m，FN背离圆
心，随v 的增大而减小
(3)当v＝时，FN＝0
(4)当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并
随v 的增大而增大
[题型专练13].
（2023 春•南宁期末）如图所示，长度均为l＝1m 的两根轻绳，一端共
同系住质量为m＝0.5kg 的小球，另一端分别固定在等高的A、B 两点，A、B 两点间的距离也
为l，重力加速度g 取10m/s2。现使小球在竖直平面内以AB 为轴做圆周运动，若小球在最高
点速率为v 时，每根绳的拉力恰好为零，则小球在最高点速率为2v 时，每根绳的拉力大小为
（ ）
A．5√3N
B．20√3N
C．15N
D．10√3N
【解答】解：小球在最高点速率为v 时，两根绳的拉力恰好均为零，由牛顿第二定律得
mg＝mv
2
r
当小球在最高点的速率为2v 时，由牛顿第二定律得
mg+2Fcos30°＝m(2v)
2
r
解得每根绳的拉力大小为F＝5√3N，故A 正确，BCD 错误。
故选：A。
[题型专练14].
（2023 秋•桃城区校级月考）如图所示，一质量为M 的人站在台秤上，
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
一根长为R 的悬线一端系一个质量为m 的小球，手拿悬线另一端，小球绕悬线另一端点在竖
直平面内做圆周运动，且小球恰好能通过圆轨道最高点，则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到最高点时，小球的速度为零
B．当小球运动到a 点时，人受到台秤给其向左的静摩擦力
C．小球在a、b、c 三个位置时，台秤的示数相同
D．小球从最高点运动到最低点的过程中台秤的示数增大，人处于超重状态
【解答】解：A、小球恰好能通过圆轨道最高点，由重力充当向心力，由向心力公式得
mg=m v
2
R
得v =√gR
故A 错误；
B、当小球运动到a 点时，细绳对人的拉力向左，则人受到台秤给其向右的静摩擦力，故B 错误；
C、小球在a、c 处时，绳对小球有一个水平方向指向圆心的弹力来充当向心力，由牛顿第三定
律得绳对人施加的也是水平方向的力，故小球在a、b、c 三个位置台秤的示数相同均为Mg，故
C 正确；
D、小球运动到最高点时，细线中拉力为零，台秤的示数为Mg；当小球处于如图所示状态时，
设其速度为v1，由牛顿第二定律有
T +mgcosθ =m v1
2
R
由最高点到该位置，由机械能守恒定律
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1
2 mv
2+mgR(1-cosθ)= 1
2 mv1
2
解得悬线拉力为
T＝3mg（1﹣cosθ）
其分力为
Ty＝Tcosθ＝3mgcosθ﹣3mgcos2θ
当cosθ＝0.5，即θ＝60°时，台秤的最小示数为
Fmin＝Mg﹣Ty＝Mg﹣0.75mg
到达最低点时即θ＝180°时，台称读数最大为
Fmax＝Mg﹣Ty＝Mg+6mg
即小球从最高点运动到最低点的过程中台秤的示数先减小后增大；人没有运动，不会有超重失
重状态，故D 错误。
故选：C。
[题型专练15].
（2023 春•滨州期末）如图甲所示，一长为l 的轻绳，一端穿在过O 点
的水平转轴上，另一端固定一质量为m 的小球，整个装置绕O 点在竖直面内转动。小球通过
最高点时，绳对小球的拉力F 与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g。下列说法
正确的是（ ）
A．图线与横轴交点b= g
l
B．图像函数表达式为F =m v
2
l +mg
C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更小
D．增加轻绳的长度，图线与横轴交点b 的位置不变
【解答】解：AB．小球在最高点时重力和拉力的合力提供向心力，即F +mg=m v
2
l
可得F = m
l v
2-mg
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当F＝0 时
v2＝gl＝b，故AB 错误；
C．结合公式F = m
l v
2-mg可知图像的斜率k = m
l ，绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的
图线斜率更小，故C 正确；
D．因b＝gl，则增加轻绳的长度，图线与横轴交点b 的位置变化，故D 错误。
故选：C。
[题型专练16].
（2023 春•杭州期中）如图所示，长为3L 的轻杆可绕光滑水平转轴O
转动，在杆两端分别固定质量均为m 的球A、B，球A 距轴O 的距离为已知。现给系统一定能
量，使杆和球在竖直平面内转动。当球B 运动到最高点时，水平转轴O 对杆的作用力恰好为
零，忽略空气阻力，已知重力加速度为g，则球B 在最高点时，下列说法正确的是（ ）
A．球B 的速度为√2 gL
B．球B 的速度为2√gL
C．球B 的速度为2√2gL
D．杆对球B 的弹力方向竖直向上
【解答】解：D．水平转轴O 对杆作用力是零，故球A、B 对杆的作用力是一对平衡力，由于A
球在最低点，杆对球A 的弹力竖直向上，则杆对球B 的弹力竖直向下，且两力大小相等，故D
错误；
ABC．设球A、B 转动的角速度为ω，由牛顿第二定律，对A 球有F﹣mg＝mω2L
对B 球有F+mg＝mω2•2L
解得ω=√
2 g
L
由线速度与角速度关系式，球A 速度v A =ωL=√2gL
球B 速度vB=ω⋅2 L=2√2 gL
故AB 错误，C 正确。
故选：C。
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
题型四 圆周运动中的临界问题
1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．
2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着
“起止点”，而这些起止点往往就是临界点．
3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，
这些极值点也往往是临界点．
类型1 水平面的圆周运动临界问题
[题型专练17].
（2023•桃城区校级开学）如图所示，O 为水平转盘的圆心，物块A 和
B 质量均为m，中间用轻绳连接在一起，A 与竖直转轴之间也用轻绳连接，两绳恰好且能承受
的张力足够大，A、B 随着圆盘转动时，始终与圆盘保持相对静止，已知A 与O 点距离为R，
B 与O 点距离为2R，A、B 与转盘之间动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，水平转盘的角速
度ω 从零开始缓慢增大的过程中，有（ ）
A．当ω=√
2 μg
R
时，AB 绳开始有张力
B．当ω=√
μg
R
时，AB 绳开始有张力
C．当ω=√
2 μg
3 R
时，OA 绳开始有张力
D．当ω=√
μg
R
时，OA 绳开始有张力
【解答】解：AB、由题可知，A、B 具有相同的角速度，根据向心力公式
F＝mω2r
可知角速度相同时，圆周运动半径越大，向心力越大
B 的圆周半径较大，当B 达到最大静摩擦力时，AB 绳即将产生拉力，此时对B 有
μmg＝mω2•2R
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
解得ω=√
μg
2 R
故A、B 错误；
CD、当A、B 整体达到最大静摩擦力时，OA 绳即将产生拉力，设AB 绳的拉力为T，此时对A
有μmg﹣T＝mω2R
对B 有μmg+T＝mω2•2R
联立解得ω=√
2 μg
3 R
故C 正确，D 错误。
故选：C。
[题型专练18].
（2023 春•潍坊期末）如图所示，置于竖直面内的光滑矩形框ABCD，
一个带孔的小球穿在竖直边BC 上，并与一根细绳相连，细绳另一端固定于上边AB 的中点
O。矩形框绕竖直对称轴OO'匀速转动，则（ ）
A．细绳的拉力可能为零
B．竖直边BC 对小球的弹力可能为零
C．转速越大，细绳的拉力越大
D．转速越大，竖直边BC 对小球的弹力越大
【解答】解：A、对小球受力分析，可以得知小球在竖直方向上如果没有受到细绳的拉力，则小
球在竖直方向上受力不平衡，则细绳上的拉力不可能为零。故A 错误。
B、通过对小球竖直方向的受力分析得知了小球一定受到细绳的拉力，只需要向心力与细绳在水
平方向上的分力相等，则竖直边BC 对小球的弹力就为零，所以竖直边BC 对小球的弹力可能为
零。故B 正确。
C、通过对小球竖直方向的受力分析得知，细绳在竖直方向的分力与小球的质量相等，则细绳拉
力与矩形框的转速无关。故C 错误。
D、通过对小球竖直方向的受力分析得知，细绳上的拉力是恒定的。则细绳在水平方向的力是恒
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
定的，再对小球水平方向进行受力分析。当转速越来越大时，通过向心力公式F向= m v
2
R 可以得
出，矩形框转速越大小球受到的向心力越来越大，但是从题干中我们不能确定刚开始小球的受
力情况，如果刚开始时小球受到竖直边BD 的弹力与细绳水平方向的力相反，则竖直边BD 对小
球的弹力是先变小再变大。故D 错误。
故选：B。
[题型专练19].
（2023 春•沙坪坝区期末）如图所示，叠放在水平圆形转台上的物体
A、B 能随转台在半径r 的圆周上运动，A、B 质量均为m，A 与B、B 与转台间的动摩擦因数
分别为0.2、0.3。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（
）
A．B 对A 的摩擦力一定为0.2mg
B．在转台的角速度不断增大的过程中，A 先相对滑动被甩出
C．在转台的角速度不断增大的过程中，A 受到的摩擦力一定指向圆心
D．A、B 能随转台一起转动的最大角速度为√
0.3 g
r
【解答】解：A、由题意，可知若A 与B 起以角速度ω 匀速转动，根据牛顿第二定律可得B 对
A 的摩擦力为静摩擦力，大小为f＝mrω2≤fmax＝μmg＝0.2mg，故A 错误；
B、在转台角速度不断增大的过程中，设当B 对A 的最大静摩擦力恰好提供向心力时，转台的角
速度为ω0，对A 根据牛顿第二定律，有：f max =0.2mg =mr ω0
2
此时设转台对B 的摩擦力为f，根据牛顿第二定律有：f - f max =mr ω0
2
求得此时转台对B 的摩擦力为f＝0.4mg 而转台对B 的最大静摩擦力为：fmax＝μ×2mg＝0.6mg＞
0.4mg
所以，可知在转台的角速度不断增大的过程中，A 先达到最大静摩擦力，则A 先相对滑动被甩
出，故B 正确；
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C、在转台的角速度不断增大的过程中，若A 发生相对滑动被甩出，在转台上发生滑动时，此时
A 不是做匀速圆周运动，其受到的摩擦力不指向圆心，故C 错误；
D、由选项B 分析可知，A、B 能随转台一起转动的最大角速度为ω0= f max
m =√
0.2 g
r
，故D 错误。
故选：B。
类型2 竖直平面内的圆周圆周运动临界问题
[题型专练20].
（2023•通辽模拟）如图，一质量为m 的小球从竖直光滑圆轨道的最低
点P 以v0开始运动，圆轨道的圆心为O，半径为R，圆轨道上有一点Q，OQ 与OP 间夹角为
θ，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．若小球能做完整的圆周运动，则小球做一次完整的圆周运动所用的时间小于2πR
v0
B．小球经过Q 点时对轨道的压力大小为mgcosθ+mv0
2-2gR(1-cosθ)
R
C．只有当v0≥√5 gR时，小球才不会脱离圆轨道
D．小球完成次完整的圆周运动的过程，小球重力的平均功率不为零
【解答】解：A、小球进入圆形轨道后先做加速度逐渐增大的减速运动，再做加速度逐渐增大的
加速运动，回到最低点时速度又变成了v0，所以小球的平均速率小于v0，因此小球做一次完整
的圆周运动所用的时间t＞2πR
v0
，故A 错误；
B、设质点经过Q 点时的速度大小为v，由机械能守恒定律有
1
2 m v0
2=mgR（1﹣cosθ）+ 1
2 m v
2
在Q 点，对小球，由向心力公式有：FN﹣mgcosθ＝mv
2
R
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
解得：FN＝mgcosθ+mv0
2-2gR(1-cosθ)
R
根据牛顿第三定律可知小球经过Q 点时对轨道的压力大小为mgcosθ+mv0
2-2gR(1-cosθ)
R
，故
B 正确；
C、当小球能过最高点时，满足mg≤mv1
2
R
从最低点到最高点，根据机械能守恒定律可得：mg•2R= 1
2 mv0
2- 1
2 mv1
2
解得v0≥√5 gR
当小球不能到达最高点时，满足：1
2 mv0
2≤mgR，解得v0≤√2gR，故C 错误；
D、完成一个完整的圆周运动时，重力做功为0，重力的平均功率也为0，故D 错误。
故选：B。
[题型专练21].
（2023•汕头一模）如图甲所示，被称为“魔力陀螺”玩具的陀螺能在
圆轨道外侧旋转不脱落，其原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R 的磁性圆轨道竖直固定，
质量为m 的铁球（视为质点）沿轨道外侧运动，A、B 分别为轨道的最高点和最低点，轨道对
铁球的磁性引力始终指向圆心且大小不变，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g，则
（ ）
A．铁球绕轨道可能做匀速圆周运动
B．由于磁力的作用，铁球绕轨道运动过程中机械能不守恒
C．铁球在A 点的速度必须大于√gR
D．轨道对铁球的磁性引力至少为5mg，才能使铁球不脱轨
【解答】解：AB、铁球在运动的过程中受到重力、轨道的支持力和磁力的作用，其中铁球受轨
道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，支持力的方向过圆心，它们都始终与运动的方向垂直，
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以磁力和支持力都不能对小铁球做功，只有重力会对小铁球做功，所以小铁球的机械能守恒，
在最高点的速度最小，在最低点的速度最大。小铁球不可能做匀速圆周运动，故AB 错误；
C、小铁球在运动的过程中受到重力、轨道的支持力和磁力的作用，在最高点轨道对小铁球的支
持力的方向可以向上，小铁球的速度只要大于0 即可通过最高点，故速度不一定可能大于 √gR，
故C 错误；
D、由于小铁球在运动的过程中机械能守恒，所以小铁球在最高点的速度越小，则机械能越小，
在最低点的速度也越小，根据：Fn= m v
2
r
，可知小铁球在最低点时需要的向心力越小；而在最低
点小铁球受到的重力的方向向下，支持力的方向也向下、只有磁力的方向向上。要使铁球不脱
轨，轨道对铁球的支持力一定要大于0；所以铁球恰好不脱轨的条件是：小铁球在最高点的速度
恰好为0，而且到达最低点时，轨道对铁球的支持力恰好等于0。
根据机械能守恒定律，小铁球在最高点的速度恰好为0，到达最低点时的速度满足：mg•2R= 1
2
mv2
轨道对铁球的支持力恰好等于0，则磁力与重力的合力提供向心力，即：F﹣mg＝mv
2
r
联立解得：F＝5mg
可知，要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg，故D 正确。
故选：D。
类型3 斜面上的圆周运动临界问题
[题型专练22].
（多选）（2022 秋•凉州区校级月考）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕
垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω 转动，盘面上离转轴距离2.5m 处有一小物体与圆
盘始终保持相对静止。小物体质量为1kg，与盘面间的动摩擦因数为√3
2 ，设最大静摩擦力等
于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10m/s2。则下列说法正确的是（ ）
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．角速度ω 的最大值是1rad/s
B．小物体运动过程中所受的摩擦力始终指向圆心
C．小物体在最高点的速度v≥5√2
2
m/s
D．小物体由最低点运动到最高点的过程中摩擦力所做的功为25J
【解答】解：A、当小物体随圆盘转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，
角速度最大，由牛顿第二定律得：
μmgcos30°﹣mgsin30°＝mω2r
代入数据解得：ω＝1rad/s，故A 正确；
B、由于小物体做匀速圆周运动，除了水平直径上的两点之外，在圆盘面内静摩擦力的一个分量
要与重力沿斜面向下的分量相平衡，另一个分量与重力沿半径方向上的分量的合力提供做圆周
运动的向心力，所以小物体运动过程中所受的摩擦力不一定始终指向圆心，故B 错误；
C、小物体在最高点的速度为：v＝rω＝2.5×1m/s＝2.5m/s＜5√2
2
m/s，故C 错误；
D、小物体由最低点运动到最高点的过程中，根据动能定理得：﹣mg•2rsin30°+Wf＝0，代入数
据解得摩擦力所做的功为：Wf＝25J，故D 正确。
故选：AD。
24
