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第 17 讲描述圆周运动的物理量 向心加速度向心力
学习目标
明 确目标 确定方向
1. 掌握描述圆周运动的物理量及其之间的关系.
2能够分析向心力来源，并且解决生活中的实际问题
【 知识回归 】 回 归课本 夯实基础
第一部分基础知识梳理
一、匀速圆周运动及描述
1.匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在任意相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动.
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动.
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心.
2.描述匀速圆周运动的物理量
定义、意义 公式、单位
(1)v＝＝
线速度 描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v)
(2)单位：m/s
(1)ω＝＝
角速度 描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)
(2)单位：rad/s
(1)T＝ ＝，单位： s
周期 物体沿圆周运动一圈的时间(T)
(2)f＝，单位：Hz
(1)描述速度方向变化快慢的物理量(a) (1)a＝＝ rω 2
n n
向心加速度
(2)方向指向圆心 (2)单位： m/s 2
3．圆周运动各物理量间的关系二、匀速圆周运动的向心力
1.作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小.
2.大小
F＝m＝ mrω 2 ＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
3.方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力.
4.来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供.
第二部分重难点知识辨析
一．常见的三种传动方式及特点
1皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即v ＝v 。
A B
2摩擦传动：如图甲所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即v ＝v 。
A B
3同轴传动：如图乙所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ω ＝ω 。
A B
【 典例分析 】 精 选例题 提高素
养【例1】多选．图示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r，从动轮的半径为r。已知主动轮做顺时针
1 2
转动，角速度为ω，转动过程中皮带不打滑。下列说法中正确的是（ ）
A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的角速度为 D．从动轮的角速度为
例1【答案】BC
【详解】AB．由于皮带交叉连接，则从动轮做逆时针转动，故A错误，B正确；
CD．同一皮带上线速度相等，有
则从动轮的角速度为
故C正确，D错误。
故选BC。
【例2】．如图所示，在水平转台的某一半径上的两点A、B下固定长度相等的轻质细绳，细绳另一端有质
量相等的两相同小球1和小球2。当水平转台绕着竖直轴做匀速转动稳定时（ ）
A．两小球线速度大小相等 B．两小球向心加速度大小相等
C．细线与竖直方向的夹角 大于 D．小球1所受细绳的拉力小于小球2所受细绳的拉力
【答案】D
【详解】A．小球1、2共轴转动，角速度相等，小球1转动的半径小于小球2，根据可知，小球1的线速度小，故A错误；
B．根据
知，两小球转动的半径不等，则向心加速度大小不等，故B错误；
CD．小球做圆周运动的向心力由重力和绳子的拉力提供，则有
由于小球2的半径大，则小球2的绳与竖直方向的夹角大，所以小球 1所受细绳的拉力小于小球2所受细
绳的拉力，故C错误，D正确。
故选D。
【例3】．风速仪结构如图（a）所示．光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转时，通过齿
轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住．已知风轮叶片转动半径为r，每转动n
圈带动凸轮圆盘转动一圈．若某段时间Δt内探测器接收到的光强随时间变化关系如图（b）所示，则该时
间段内风轮叶片
A．转速逐渐减小，平均速率为
B．转速逐渐减小，平均速率为
C．转速逐渐增大，平均速率为
D．转速逐渐增大，平均速率为
【答案】B
【详解】根据题意，从图（b）可以看出，在 时间内，探测器接收到光的时间在增长，圆盘凸轮的挡光
时间也在增长，可以确定圆盘凸轮的转动速度在减小；在 时间内可以从图看出有4次挡光，即圆盘转动4周，则风轮叶片转动了4n周，风轮叶片转过的弧长为 ，叶片转动速率为： ，故选项
B正确．
【例4】．图甲为游乐场某种型号的“魔盘”，儿童坐在圆锥面上，随“魔盘”绕通过顶点 的竖直轴
转动，图乙为“魔盘”侧视截面图，图丙为俯视图。可视为质点的三名儿童 、 、 ，其质量
，到顶点的距离 ，与锥面的动摩擦因数都相等。在“魔盘”转动过程
中，下列说法正确的是（ ）
A．若三名儿童均未在锥面上发生滑动，则 、 、 的向心力之比
B．若“魔盘”匀速转动且三名儿童均未在锥面上发生滑动， 、 、 所受合外力都指向顶点O
C．若“魔盘”转速缓慢增大且三名儿童均未在锥面上发生滑动，则 、 、 所受摩擦力均增大
D．若“魔盘”转速缓慢增大， 将最先发生滑动，然后 发生滑动，最后 发生滑动
例4【答案】C
【详解】A．未滑动时， 、 、 角速度相同，根据向心力公式
由题意可知做圆周运动的半径 之比等于到顶点的各距离之比，故可得 、 、 的向心力之比
A错误；
B．未滑动时， 、 、 所受合外力提供此时向心力，故合力沿水平方向指向转轴 ，B错误；
C．设锥面与竖直轴 夹角为 ，对沿锥面方向根据牛顿第二定律有
即①
随着转速缓慢增大， 在增大，故 、 、 所受摩擦力均增大，C正确；
D．对沿垂直于锥面方向根据牛顿第二定律有
②
达到临界角速度 时有
③
联立①②③解得
因为 做圆周运动的半径最大，故临界角速度最小，所以当转速缓慢增大时，最先滑动； 、 做圆周运动
的半径相同，故随着转速缓慢增大将同时发生滑动，D错误。
故选C。
【巩固练习】 举 一反三 提高能
力
多选1．某小区车库出入口采用如图所示的直杆道闸，杆OA长为 。道闸抬起的过程中，在时间t内，杆
OA绕O点由虚线位置匀速转动到图示位置，A点通过的弧长为s，对此过程中的A点，下列说法正确的是
（ ）
A．线速度大小为 ，方向不变 B．角速度大小为
C．向心加速度大小为 ，方向总指向O点 D．转过的角度为
1【答案】BD【详解】A．线速度大小为
方向不断变化，选项A错误；
B．角速度大小为
选项B正确；
C．向心加速度大小为
方向总指向O点 ，选项C错误；
D．转过的角度为
选项D正确。
故选BD。
多选2．陀螺是人们小时候特别喜欢玩的玩具，在公园里也经常可见很多老大爷通过玩陀螺来健身。如图
所示，陀螺上a、b、c三点钉了三颗质量均为m=0.01 kg的小钉子，其中钉子c距离中心的距离为R=5
cm，则当陀螺以 =10 rad/s旋转时，转轴在竖直方向，下列说法正确的是（ ）
A．三颗钉子的向心加速度a>a>a
B．三颗钉子的向心加速度a<a<aC．钉子c受到陀螺对它的作用力为 10-2N
D．钉子c受到陀螺对它的作用力为5×10-2 N
2【答案】BC
【详解】AB．由向心加速度公式，即
由于
a、b、c三点的角速度相同，故可得三颗钉子的向心加速度aa<ab <ac，A错误，B正确；
CD．对钉子受力分析可知，钉子c受到陀螺对它的作用力为
D错误，C正确。
故选C。
多选3．如图，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P.
它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W.重力加速度大小为g.设质点P在最低
点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则( )
A．a＝ B．a＝
C．N＝ D．N＝
3【答案】AC
【详解】试题分析: 质点P下滑的过程，由动能定理得 ，可得 ；在最低
点，质点P的向心加速度 ；根据牛顿第二定律得 ,解得
；故AC正确，BD错误．故选AC．
考点：考查动能定理；向心力．多选4．如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以 为圆心、 和 为半径的同心圆上，圆心处装有
竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相
应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用 、
、 和 、 、 表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴
水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
D．若 ，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则
4【答案】BD
【详解】AB．根据平抛运动的规律
解得
可知若h1=h2，则
v1:v2 =R1:R2
若v1=v2，则选项A错误，B正确；
C．若 ，则喷水嘴各转动一周的时间相同，因v1=v2，出水口的截面积相同，可知单位时间喷出水的
质量相同，喷水嘴转动一周喷出的水量相同，但因内圈上的花盆总数量较小，可知得到的水量较多，选项
C错误；
D．设出水口横截面积为S0，喷水速度为v，若 ，则喷水管转动一周的时间相等，因h相等，则水落
地的时间相等，则
相等；在圆周上单位时间内单位长度的水量为
相等，即一周中每个花盆中的水量相同，选项D正确。
故选BD。
5．如图所示为大众双离合变速箱的工作原理简化图。上面为动力输入轴承，下面为动力输出轴承，图为
变速箱挂到Ⅲ挡模式，此时1、3、5齿轮与轴承咬合，3齿轮与下方对应的输出齿轮咬合。已知A，B，C
三点所在齿轮半径大小关系为 ，则在此模式转动状态下（ ）
A．A点与B点的向心加速度大小相同 B．B点与C点的角速度大小相同
C．B点与C点的线速度相同 D．B点所在的轮与C点所在的轮的转动方向相反
5【答案】D【详解】A．A点与B点是同轴转动，角速度相等，由于转动的轨道半径不相等，由向心加速度公式
A点与B点的向心加速度大小不相同，A错误；
BC．B点与C点是齿轮带动的边缘上的点，线速度大小相同，方向不同由于两点轨道半径不相等，则角速
度不相同，BC错误；
D．根据题意可知，B点所在的轮通过齿轮带动C点所在的轮，两轮转动方向相反，D正确。
故选D。
6．2017年7月23日，在第13届莫斯科航展上“俄罗斯勇士”，飞行表演队完成了倒飞筋斗的动作，现
将其简化成如图所示的光滑的板（飞机）和小球（飞行员），让小球在竖直面内始终与板相对静止且做匀
速圆周运动。A为圆周的最高点，C为最低点，B，D与圆心O等高，且此时板与水平面成θ角。设小球的
质量为m，做圆周运动半径为R，线速度为v，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球通过C处时向心力与小球通过A处的向心力相同
B．小球在A处的线速度大小可能为
C．小球在C处受到板的弹力比在A处大5mg
D．在B、D两处板与水平面的倾角与小球的运动速度v应满足
6【答案】D
【详解】A．小球做匀速圆周运动，通过C处时向心力与小球通过A处的向心力大小相等，方向不同，故A
错误；
B．小球做在最高点至少受到重力作用，所以最高点的速度至少满足则
即小球做匀速圆周运动的线速度一定大于等于 ，不可能为 ，故B错误；
C．在A点根据向心力计算公式可得
在C点根据向心力计算公式可得
联立可得
故C错误；
在B、D两处板与水平面夹角为θ，在B、D两处，对小球进行受力分析
\
根据牛顿第二定律可得
所以在B、D两处板的倾角与小球的运动速度v应满足
故D正确。
故选D。
7．甲图为深圳“湾区之光”大转轮全景图，已知“湾区之光”摩天轮是一种轿厢自转式摩天轮，轿厢厢体通过轿厢圆环固定在大转轮外侧，如图乙所示，在大转轮绕转轴 转动时，轿厢厢体也在轿厢圆环内自
转，使得游客始终处于轿厢的最低处，与站在地面上的感觉一样。如果大转轮绕转轴 顺时针匀速旋转，
则轿厢厢体（ ）
A．轿厢厢体自转方向为顺时针方向
B．轿厢厢体边沿各点的线速度与大转轮边沿各点的线速度相等
C．轿厢厢体自转的周期与大转轮的周期一样
D．丙图中A、B两轿厢中的观光者受到的向心力均相同
7【答案】C
【详解】A．轿厢厢体自转方向为逆时针方向，使得游客始终处于轿厢的最低处，与站在地面上的感觉一
样。A错误；
B．根据 ，轿厢厢体边沿各点和大转轮边沿各点角速度相同，前者到转轴 的距离大于后者到转轴
的距离，轿厢厢体边沿各点的线速度大于大转轮边沿各点的线速度。B错误；
C．大转轮绕转轴 顺时针匀速旋转一周，轿厢厢体逆时针方向自转一周，使得游客始终处于轿厢的最低
处，与站在地面上的感觉一样。轿厢厢体自转的周期与大转轮的周期一样。C正确；
D．丙图中A、B两轿厢中的观光者受到的向心力方向不同，两观光者质量大小未知，无法判断所受向心力
大小是否相同。D错误；
故选C。
8．如图，为防止航天员的肌肉萎缩，中国空间站配备了健身自行车作为健身器材。 某次航天员健身时，
脚踏板始终保持水平，当脚踏板从图中的实线处匀速转至虚线处的过程中，关于脚踏板上P、Q两点的说
法正确的是（ ）A．P做匀速直线运动 B．Q做匀速圆周运动
C．P的线速度大小比Q的大 D．P的向心加速度大小比Q的大
8【答案】B
【详解】A B．以脚踏板的轴参考系，P、Q两点均做匀速圆周运动。A错误，B正确；
C．由 得，P、Q两点到转动轴的距离相等，P、Q两点的线速度大小相等；C错误；
D．由 得，P、Q两点的向心加速度大小相等。D错误。
故选B。
9．超级大摆锤又名大摆锤、流星锤，是国际上流行的新型游乐设备。常见于各大游乐园。游客坐在圆形
的座舱中，面向外。通常，大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险。座舱旋转的同时，悬
挂座舱的主轴在电机的驱动下绕O点做圆周运动。大摆锤的运行可以使置身其上的游客惊心动魄，如图是
大摆锤在摆动过程的瞬间，A、B是主轴上的两点，OA=r，OB=r，下列说法正确的是（ ）
1 2
A．摆锤在摆动过程中机械能守恒 B．角速度
C．向心加速度之比： D．线速度
9【答案】C
【详解】A．摆锤在摆动过程中电动机对其做功，因此机械能不守恒，A错误；B．大摆锤在摆动过程中A、B两点属于共轴传动，角速度相等，B错误；
C．根据向心加速度公式 ，A、B两点角速度相等，得
故C正确；
D．根据线速度与角速度的关系 ，A、B两点角速度相等， ，则 ，D错误。
故选C。
10．如图所示，正方形框ABCD竖直放置，两个完全相同的小球P、Q分别穿在方框的BC、CD边上，当
方框绕AD轴匀速转动时，两球均恰与方框保持相对静止且位于BC、CD边的中点，已知两球与方框之间
的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则两球与方框间的动摩擦因数为（ ）
A． B． C． D．
10【答案】B
【详解】对P球，根据牛顿第二定律可得
对Q球，根据牛顿第二定律可得
联立解得
故选B。
11．校排球队的小华同学，为了训练自己的球感，练就了好多特技。在一次表演中，他将双臂和肩背搭成
一个“轨道”，能将排球控制在水平面内做连贯的椭圆运动。如果排球的速率保持不变，则在排球运动一圈的过程中（ ）
A．人对排球不做功
B．排球所受的合力为零
C．“轨道”不可能是水平的
D．排球与轨道中心点的连线在单位时间内扫过的面积相等
11【答案】C
【详解】A．由于排球在水平面内做连贯的椭圆运动且速率保持不变，根据动能定理可知合外力做功为
零，重力始终与速度垂直不做功，摩擦阻力做负功，则人对排球做正功，故A错误；
B．由于排球速度方向时刻在改变，则有加速度，故排球所受的合力不为零，故B错误；
C．由于排球的向心力在水平方向，重力竖直向下，则所受支持力不能竖直向上，则轨道不可能是水平
的，故C正确；
D．由于排球速率不变，故在单位时间内经过的弧长相等，随着排球越来越接近短半轴，经过相同弧长所
转过的角度变大，故扫过的面积变大，故D错误。
故选C。
12．如图甲所示，市面上有种磁力轨道陀螺深受小朋友们喜爱。这种玩具由两个圆形磁力轨道，和一个转
动陀螺组成如图乙所示。两磁力轨道对陀螺轴有磁性吸引作用，可以使陀螺轴始终与磁力轨道紧贴着，饶
磁力轨道外沿运动。不考虑陀螺的自旋作用影响，将陀螺视为粗细不计的质量为m的细杆，磁力轨道半径
为R，重力加速度为g，单个磁力轨道对陀螺轴的磁性引力大小恒为5mg，不计轨道粗细及所有阻力作用。
磁力轨道竖直放置，陀螺从轨道最高点由静止沿轨道运动至最低点过程中（ ）
A．陀螺运动到最低点时，速度大小为
B．陀螺运动到最低点时，速度大小为
C．陀螺运动至最低点时，受到弹力大小和为3mg
D．陀螺运动至最低点时，受到弹力大小和为6mg12【答案】B
【详解】AB．陀螺运动过程中受重力、轨道弹力、磁力作用，其中轨道弹力、磁力与速度方向时刻垂直，
不做功，对于陀螺从最高点运动到最低点的过程应用动能定理
解得
故A错误，B正确；
CD．在最低点，设陀螺受到的弹力为F，由牛顿第二定律
解得
故CD错误。
故选B。
13．如图所示，一倾斜的匀质圆盘垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离
2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为 ．设最大静摩擦力等于滑
动摩擦力），盘面与水平面间的夹角为30°，g取10m/s2．则ω的最大值是( )
A． rad/s B． rad/s C．1.0rad/s D．0.5rad/s
13【答案】C
【详解】试题分析：随着角速度的增大，小物体最先相对于圆盘发生相对滑动的位置为转到最低点时，此
时对小物体有 ，解得 ，此即为小物体在最低位置发生相对滑
动的临界角速度，故选C．14．无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为 的半圆弧 与长 的直线路径 相切于B
点，与半径为 的半圆弧 相切于C点。小车以最大速度从A点驶入路径，到适当位置调整速率运动到
B点，然后保持速率不变依次经过 和 。为保证安全，小车速率最大为 。在 段的加速度最
大为 ， 段的加速度最大为 。小车视为质点，小车从A到D所需最短时间t及在 段做匀速
直线运动的最长距离l为（ ）
A．
B．
C．
D．
14【答案】B
【详解】在BC段的最大加速度为a1=2m/s2，则根据
可得在BC段的最大速度为
在CD段的最大加速度为a2=1m/s2，则根据
可得在CD段的最大速度为可知在BCD段运动时的速度为v=2m/s，在BCD段运动的时间为
AB段从最大速度vm减速到v的时间
位移
在AB段匀速的最长距离为
l=8m-3m=5m
则匀速运动的时间
则从A到D最短时间为
故选B。
15．一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不
同半径的小圆弧来代替．如图（a）所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧
的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体
沿与水平面成α角的方向已速度υ 抛出，如图（b）所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是
0
A． B．
C． D．15【答案】C
【详解】物体在其轨迹最高点P处只有水平速度，其水平速度大小为 ，在最高点，把物体的运动看
成圆周运动的一部分，物体的重力作为向心力，由向心力的公式得 ，所以在其轨迹最
高点P处的曲率半径是： ，故C正确．
．
