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第 18 讲 水平面内的圆周运动（圆锥摆模型）及其临界问题
1．（江苏高考）如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅 A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬
挂在旋转圆盘上，不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法
正确的是（ ）
A．A的速度比B的大
B．A与B的向心加速度大小相等
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
一.知识总结
1．圆周运动相关物理量
定义、意义 公式、单位
描述做圆周运动的物体沿圆弧运动快慢 (1)v＝＝
线速度
的物理量(v) (2)单位：m/s
(1)ω＝＝
角速度 描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)
(2)单位：rad/s
(1)T＝＝，单位：s
周期 物体沿圆周运动一圈的时间(T) (2)f＝，单位：Hz
(3)n＝，单位：r/s
(1)描述速度方向变化快慢的物理量(a) (1)a＝＝rω2
n n
向心加速度
(2)方向指向圆心 (2)单位：m/s2
2.圆周运动各物理量间的关系3.匀速圆周运动与变速圆周运动的区别与联系
匀速圆周运动 变速圆周运动
线速度的大小、方向都变，角速度
运动 线速度的大小不变，角速度、周期和频率
变，向心加速度的大小、方向都变，
特点 都不变，向心加速度的大小不变
周期可能变也可能不变
受力 所受到的合力不总指向圆心，合力产
特点 生两个效果：
①沿半径方向的分力F，即向心力，
所受到的合力为向心力，大小不变，方向 n
它改变速度的方向；
变，其方向时刻指向圆心
②沿切线方向的分力F，它改变速度
t
的大小
运动 非匀变速曲线运动(加速度大小不变，方 非匀变速曲线运动(加速度大小、方
性质 向变化) 向都变化)
二. 圆锥摆模型及其临界问题
1.圆锥摆模型的受力特点
受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。
2．运动实例
运动模型 向心力的来源图示
飞机水平转弯
火车转弯圆锥摆
物体在光滑半圆形碗
内做匀速圆周运动
3．解题方法
(1)对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。
(2)确定圆心和轨道半径。
(3)应用相关力学规律列方程求解。
4．规律总结
(1)圆锥摆的周期
如图摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ。
受力分析，由牛顿第二定律得：mgtanθ＝mr
r＝Lsinθ
解得T＝2π＝2π。
(2)结论
①摆高h＝Lcosθ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大。
②摆线拉力F＝，圆锥摆转得越快，摆线拉力F越大。
③摆球的加速度a＝gtanθ。
5．圆锥摆的两种变形
变形1：具有相同锥度角的圆锥摆(摆长不同)，如图甲所示。
由a＝gtanθ知A、B的向心加速度大小相等。由a＝ω2r知ω<ω，由a＝知v>v。
A B A B
变形2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。
由T＝2π知摆高h相同，则T＝T，ω＝ω，由v＝ωr知v>v，由a＝ω2r知a>a。
A B A B A B A B
6. 解决圆锥摆临界问题的技巧
圆锥摆的临界问题，主要就是与弹力有关的临界问题。(1)绳子松弛或断开的临界条件是：①绳恰好拉直且没有弹力；②绳上的拉力恰好达最大值。
(2)接触或脱离的临界条件是物体与物体间的弹力恰好为零。
(3)对于火车转弯、半圆形碗内的水平圆周运动有两类临界情况：①摩擦力的方向发生改变；
②发生相对滑动。
三.例题精讲
题型一：圆锥摆模型常规问题
例1．如图所示，一根不可伸长的轻质细绳（绳长为 L），一端系着质量为m的小球（可视为质
点），另一端悬于O点。重力加速度大小为g，当小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为
时，下列说法正确的是（ ） ω
A．细绳的拉力大小为2m 2l
ω 2g
B．悬点O到轨迹圆心高度为
ω2
C．小球的向心加速度大小为
√ω4l2-g2
D．小球的线速度大小为 √ g2
2 ω2l2-
ω2
题型二：圆锥摆模型临界问题
例2．质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方
向成 角，绳b在水平方向且长为L，当轻杆绕轴AB以角速度 匀速转动时，小球在水平面内
做匀速θ圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）ω
A．a绳的张力可能为零B．a绳的张力随角速度的增大而增大
√ g
C．当角速度ω＞ ，b绳将出现弹力
Ltanθ
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
四.举一反三，巩固训练
1. 有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速
行驶，做匀速圆周运动。如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为
h，下列说法中正确的是（ ）
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越小
D．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
2. 火车轨道的转弯处外轨高于内轨，如图所示。若已知某转弯处轨道平面与水平面夹角
为 ，弯道处的圆弧半径为R。在该转弯处规定的安全行驶的速度为 v，则下列说法中正确的
是（θ ）
A．该转弯处规定的安全行驶的速度为v=√Rgtanθ
B．该转弯处规定的安全行驶的速度为v=√Rgsinθ
C．当实际行驶速度大于v时，轮缘挤压内轨
D．当实际行驶速度小于v时，轮缘挤压外轨
3. 3D地图技术能够为无人驾驶汽车分析数据，提供操作的指令.如图所示为一段公路拐
弯处的地图，则（ ）A．若弯道是水平的，汽车拐弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力
B．若弯道是水平的，为防止汽车侧滑，汽车拐弯时收到的指令是让车速大一点
C．若弯道是倾斜的，为了防止汽车侧滑，道路应为内（东北）高外（西南）低
D．若弯道是倾斜的，为了防止汽车侧滑，道路应为外（西南）高内（东北）低
4. 如图所示是利用圆锥摆粗略验证向心力表达式的实验装置图，已知小球质量为m，小
球距悬点的竖直高度为h，小球在水平面内做圆周运动的半径为r，用秒表测得小球运动n圈的
时间为t，则下列说法正确的是（ ）
A．小球受到重力、拉力、向心力
B．向心力的表达式F ＝m4π2 r
n
t2
r
C．小球所受的合外力为F合 ＝mg
h
D．小球转动越快，细线与竖直方向的夹角越小
5. 铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为
，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于√gRtanθ，则（
θ）A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
mg
C．这时铁轨对火车的支持力等于
cosθ
mg
D．这时铁轨对火车的支持力大于
cosθ
6. 如图所示，一辆汽车正通过一段弯道公路，视汽车做匀速圆周运动，则（ ）
A．该汽车速度恒定不变
B．汽车左右两车灯的线速度大小相等
C．若速率不变，则跟公路内道相比，汽车在外道行驶时的向心力较小
D．若速率不变，则跟晴天相比，雨天路滑时汽车在同车道上行驶时的向心力较小
7. 一球绕直径匀速转动，如图所示，球面上有A、B两点，则（ ）
A．可能v ＜v ，也可能v ＞v
A B A B
B．A、B两点的向心加速度都指向球心O
v2
C．由a= 可知a ＞a
A B
r
D．由a＝ 2r可知a ＜a
A B
8. ω如图所示，转动轴垂直于光滑平面，交点O的上方h处固定细绳的一端，细绳的另一端拴接一质量为m的小球B，绳长AB＝l＞h，小球可随转动轴转动并在光滑水平面上做匀速
圆周运动．要使球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是（ ）
1 √g √ l 1 √g
A． B． √gh C．2 D．
2π l g 2π h
π π
9. （多选）如图所示，足够大的水平圆台中央固定一光滑竖直细杆，原长为L的轻质弹
簧套在竖直杆上，质量均为m的光滑小球A、B用长为L的轻杆及光滑铰链相连，小球A穿过
竖直杆置于弹簧上。让小球B以不同的角速度 绕竖直杆匀速转动，当转动的角速度为 时，
0
小球B刚好离开台面。弹簧始终在弹性限度内，ω劲度系数为k，重力加速度为g，则（ ω）
mg
A．小球均静止时，弹簧的长度为L-
k
B．角速度 ＝ 时，小球A对弹簧的压力为mg
0
ω ω√ kg
C．角速度 =
0
kL-2mg
ω
D．角速度从 继续增大的过程中，小球A对弹簧的压力不变
0
10. （多ω选）如图所示，叠放在水平转台上的物体 A、B、C能随转台一起以角速度 匀
速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与 B、B和C与转台间的动摩擦因数都ω为
，A和 B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法
μ正确的是（ ）A．B 对 A 的摩擦力一定为 3 mg
B．B 对 A 的摩擦力一定为 3mμ 2r
√μωg
C．转台的角速度一定满足 ≤
r
ω
√2μg
D．转台的角速度一定满足 ≤
3r
ω
11. （多选）转笔（PenSpinning）是一项用不同的方法与技巧、以手指来转动笔的休闲活
动，如图所示．转笔深受广大中学生的喜爱，其中也包含了许多的物理知识，假设某转笔高手
能让笔绕其上的某一点O做匀速圆周运动，下列有关该同学转笔中涉及到的物理知识的叙述正
确的是（ ）
A．笔杆上的点离O点越近的，做圆周运动的向心加速度越小
B．笔杆上的各点做圆周运动的向心力是由万有引力提供的
C．若该同学使用中性笔，笔尖上的小钢珠有可能因快速的转动做离心运动被甩走
D．若该同学使用的是金属笔杆，且考虑地磁场的影响，由于笔杆中不会产生感应电流，因此金
属笔杆两端一定不会形成电势差
12. 某同学用如图甲所示装置做探究向心力大小与线速度大小的关系。装置中光滑水平直
杆随竖直转轴一起转动，一个滑块套在水平光滑杆上，用细线将滑块与固定在竖直转轴上的力
传感器连接，当滑块随水平杆一起转动时，细线的拉力就是滑块做圆周运动需要的向心力。拉
力的大小可以通过力传感器测得，滑块转动的线速度可以通过速度传感器测得。（1）要探究影响向心力大小的因素，采用的方法是 。
A．控制变量法 B．等效替代 C．微元法 D．放大法
（2）实验中，要测量滑块做圆周运动的半径时，应测量滑块到 （选“力传感器”或
“竖直转轴”）的距离。若仅多次改变竖直转轴转动的快慢，测得多组力传感器的示数F及速
度传感器的示数v，将测得的多组F、v值，在图乙F﹣v2坐标轴中描点，请将描出的点进行作图。
若测得滑块做圆周运动的半径为r＝0.2m，由作出的F﹣v2的图线可得滑块与速度传感器的总质
量m＝ kg（结果保留两位有效数字）。
13. 如图甲所示是某同学探究做圆周运动的物体质量、向心力、轨道半径及线速度关系的
实验装置，圆柱体放置在水平光滑圆盘上做匀速圆周运动。力传感器测量向心力F，速度传感
器测量圆柱体的线速度v，该同学通过保持圆柱体质量和运动半径不变，来探究向心力 F与线
速度v的关系：
（1）该同学采用的实验方法为 。
A．等效替代法
B．控制变量法
C．理想化模型法
（2）改变线速度v，多次测量，该同学测出了五组F、v数据，如下表所示：v/（m•s﹣ 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
1）
F/N 0.88 2.00 3.50 5.50 7.90
该同学对数据分析后，在图乙坐标纸上描出了五个点。
①作出F﹣v2图线；
②若圆柱体运动半径r＝0.2m，由作出的F﹣v2的图线可得圆柱体的质量m＝ kg．（结果
保留两位有效数字）
14. 如图所示为赛车场的一个“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R的大圆弧和r的小圆
弧，直道与弯道相切，直道长度L。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力
是赛车重力的K倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在圆心角为 120°弯道上做匀速圆
周运动，若R＝4r，要使赛车安全且绕赛道一圈时间最短（发动机功率足够大，重力加速度为
g）。求：
（1）赛车行驶的最大速率；
（2）赛车绕赛道一圈的最短时间。
