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专题06 圆周运动模型中临界问题和功与能
目录
1．圆周运动的三种临界情况.................................................................................................................................... 1
2．常见的圆周运动及临界条件................................................................................................................................ 1
3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论...............................................................................................................2
1．圆周运动的三种临界情况
(1)接触面滑动临界：Ff＝Fmax。
(2)接触面分离临界：FN＝0。
(3)绳恰好绷紧：FT＝0；绳恰好断裂：FT达到绳子可承受的最大拉力。
2．常见的圆周运动及临界条件
(1)水平面内的圆周运动
水平面内
动力学方程
临界情况示例
水平转盘上的物体
Ff＝mω2r
恰好发生滑动
圆锥摆模型
mgtan θ＝mrω2
恰好离开接触面
(2)竖直面及倾斜面内的圆周运动
轻绳模型
最高点：FT＋mg＝m
恰好通过最高点，绳的拉力
恰好为0
轻杆模型
最高点：mg±F＝m
恰好通过最高点，杆对小球
的力等于小球的重力
带电小球在叠加场中的圆周
运动
关注六个位置的动力学方
程，最高点、最低点、等效
恰好通过等效最高点，恰好
做完整的圆周运动
1
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等效法
最高点、等效最低点，最左
边和最右边位置
倾斜转盘上的物体
最高点：mgsin θ±Ff＝mω2r
最低点Ff－mgsin θ＝mω2r
恰好通过最低点
3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论
【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A 和最低点
记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为
要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A 的向心力恰好等于重力时，由
可得
①
对应C 点的速度有机械能守恒
得
②
当小球在C 点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O 点等高的D 位置则由机械能守恒
得
③
小结：(1).当
时小球能通过最高点A 小球在A 点受轨道向内的支持力
由牛顿第二定律
④
(2).当
时小球恰能通过最高点A 小球在A 点受轨道的支持力为0
由牛顿第二定律
。⑤
(3).当
时小球不能通过最高点A 小球在A 点，上升至DA 圆弧间的某一位向右做斜抛
运动离开圆周，且v 越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0
2
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在DA 段射重力与半径方向的夹角为
则
、
(4).当
时小球不能通过最高点A 上升至CD 圆弧的某一位置速度减为0 之后沿圆弧返回。上
升的最高点为C 永不脱离轨道
【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力
(1)从最高点A 点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒
在C 点由牛顿运动定律：
得
⑥
(2)从与O 等高的D 点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒
在C 点由牛顿运动定律：
得
⑦
(3)从A 点以初速度
释放小球到达最低点
由机械能守恒
在C 点由牛顿运动定律：
得
⑧
【模型演练1】（2023 上·安徽·高三校联考期中）“旋转秋千”是游乐园里常见的游乐项目，如图甲所示，
其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边上，绳子下端连接座椅，游客坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞
旋。若将“旋转秋千”简化为如图乙所示的模型，人和座椅看作质点，总质量约为m=80kg，圆盘的半径
为R=2.5m，绳长
，圆盘以恒定的角速度转动时，绳子与竖直方向的夹角为θ=45°，若圆盘到达最
3
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高位置时离地面的高度为h=22.5m，重力加速度g 取10m/s2.在游玩过程中，游客的手机不慎从手中自由滑
落。忽略空气阻力的影响，求：
（1）手机滑落瞬间的速度大小；
（2）手机落地点距离中心转轴的距离。
【模型演练2】（2023 上·黑龙江佳木斯·高三校联考期中）如图，在竖直平面内，一半径为R 的光滑圆弧
轨道ABC 和水平轨道PA 在A 点相切，BC 为圆弧轨道的直径，O 为圆心，OA 和OB 之间的夹角为α，
，一质量为m 的小球沿水平轨道向右运动，经A 点沿圆弧轨道通过C 点，落至水平轨道；在整个
过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C 点所受合力的方
向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。（提示：可以尝试把小球所受合
力看作新的重力）求：
（1）水平恒力的大小和小球到达C 点时速度的大小；
（2）小球到达A 点时动量的大小；
【总结提升】解决圆周运动问题的基本思路
→
→
【模型演练3】(2023·北京市海淀区一模)如图所示，轻杆的一端固定在通过O 点的水平转轴上，另一端固
定一小球，轻杆绕O 点在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A 点为最高点，C 点为最低点，
B 点与O 点等高，下列说法正确的是( )
4
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A．小球经过A 点时，所受杆的作用力一定竖直向下
B．小球经过B 点时，所受杆的作用力沿着BO 方向
C．从A 点到C 点的过程，小球重力的功率保持不变
D．从A 点到C 点的过程，杆对小球的作用力做负功
【提炼总结】解决竖直面内圆周运动的三点注意
1．竖直面内的圆周运动通常为变速圆周运动，合外力沿半径方向的分力提供向心力，在轨迹上某点对物
体进行受力分析，根据牛顿第二定律列出向心力方程。
2．注意临界问题：物体与轨道脱离的临界条件是FN＝0 或FT＝0。
3．求物体在某一位置的速度，可根据动能定理或机械能守恒定律，将初、末状态的速度联系起来。
【模型演练4】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、静
止于A 点的滑块P 接触但不粘连，滑块P 所在光滑水平轨道与半径为0.8m 的光滑半圆轨道平滑连接于B 点，
压缩的弹簧储存的弹性势能为2.8J，重力加速度取10m/s2，现将弹簧解除锁定，滑块P 被弹簧弹出，脱离
弹簧后冲上半圆轨道的过程中（ ）
A．可以到达半圆轨道最高点D
B．经过B 点时对半圆轨道的压力大小为9N
C．不能到达最高点D，滑块P 能到达的最大高度为1.35m
D．可以通过C 点且在CD 之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图所示，质量为 m 的小物块开始静止在一半径为 R 的球壳内，它
和球心O 的连线与竖直方向的夹角为30°。现让球壳随转台绕转轴
一起转动，物块在球壳内始终未滑
动，重力加速度大小为g，则（ ）
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A．静止时物块受到的摩擦力大小为
B．若转台的角速度为
，小物块不受摩擦力作用
C．若转台的角速度为
，小物块受到的摩擦力沿球面向下
D．若转台的角速度为
，小物块受到的摩擦力沿球面向下
2．（2023 上·山西忻州·高三校联考阶段练习）如图所示，长度为l 的轻绳一端固定在O 点，另一端系着一
个质量为m 的小球，当小球在最低点时，获得一个水平向右的初速度
，重力加速度为g，不计空
气阻力。在此后的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球恰好能到达竖直面内的最高点
B．当小球运动到最右端时，小球所受的合力大小为2mg
C．轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直方向夹角的余弦值为
D．初状态在最低点时，细绳对小球的拉力大小为4mg
3．（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）如图所示，小球m 在竖直放置的光滑圆形管
道内做圆周运动，下列说法中正确的有（ ）
6
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A．小球通过最高点的最小速度为
B．小球通过最高点的最小速度为零
C．小球在水平线ab 以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab 以下管道中运动时，外侧管壁对小球可能无作用力
4．（2023 上·山东德州·高三统考期中）如图所示，一半径为R 的圆环处于竖直平面内，A 是与圆心等高点，
圆环上套着一个可视为质点的、质量为m 的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O 的连线
与竖直方向的夹角记为θ，转速不同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω 匀速转动且
小球与圆环相对静止时（ ）
A．若圆环光滑，则角速度
B．若圆环光滑，则角速度
C．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A 点，则角速度ω 可能等
D．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A 点，则角速度ω 可能等于
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5．（2023 上·重庆梁平·高三统考阶段练习）如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道
对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”。其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R 的磁性圆
轨道竖直固定，质量为m 的小铁球视为质点在轨道外侧转动，A、B 两点分别为轨道上的最高、最低点，
铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力，下列说法正确
的是（ ）
A．铁球可能做匀速圆周运动
B．铁球绕轨道转动时机械能不守恒
C．铁球在A 点的速度一定大于或等于
D．要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg
6.（多选）（2024·四川成都·校考一模）如图所示，倾角为
的斜面体置于粗糙的水平地面上，斜面上有
一质量为
的滑块，通过轻绳绕过光滑的滑轮与质量为
的带正电的小球（可视为质点）相连，滑轮下
方有一个光滑的小孔，轻绳与斜面平行。小球在水平面内做圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角也为
。
斜面体和滑块始终静止，滑块与斜面的动摩擦因数为
，小球与小孔之间的绳长为
，重力加速度为
，
下列说法正确的是（ ）
A．斜面体所受到地面的摩擦力大小为mg
B．若增大小球的转速，绳子对小孔的作用力减小
C．若增大小球的转速，小球能达到的最大转速为
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D．若此时在空间加上竖直向下的电场，要使小球的转速不变，则小球到转动中心的距离增大
7.（多选）．（2023 上·陕西咸阳·高三统考期中）如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A 和
B，
，
，它们分居在圆心两侧，与圆心距离为
，
，中间用细线相连，
A、B 与盘间的动摩擦因数均为
＝0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴
非常缓慢地加速转动，
，以下说法正确的是（ ）
A．B 的摩擦力先达到最大
B．当
时，绳子出现张力
C．当
时，A、B 两物体出现相对滑动
D．当
时，A、B 两物体出现相对滑动
8.（多选）（2024·湖南株洲·统考一模）如图，质量为m 的电动遥控玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以
恒定速率v 运动，已知圆轨道的半径为R，玩具车所受的摩擦阻力为玩具车对轨道压力的k 倍，重力加速
度为g， P、Q 为圆轨道上同一竖直方向上的两点，不计空气阻力，运动过程中，玩具车（ ）
A．在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为6mg
B．通过 P、Q 两点时对轨道的压力大小之和为
C．由最低点到最高点克服摩擦力做功为kπmv²
D．由最低点到最高点电动机做功为2kπmv²+2mgR
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9．（多选）（2023 上·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）在X 星球表面宇航员做了一个实验：如图
甲所示，轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，小球
运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其
图像如图乙所示。已知X 星球的半径为
，
引力常量为G，不考虑星球自转，则下列说法正确的是（ ）
A．X 星球的第一宇宙速度
B．X 星球的密度
C．X 星球的质量
D．环绕X 星球的轨道离星球表面高度为
的卫星周期
10.（多选）（2023 上·安徽·高三校联考阶段练习）如图所示，在竖直平面内固定有半径为R 的光滑圆弧轨
道ABC，其圆心为O，B 点在O 的正上方，A、C 点关于OB 对称，
。可看成质点的物块自A 点
以初速度
沿着轨道切线方向向上运动，并且能沿轨道运动到B 点。已知重力加速度为g，
，
下列说法正确的有（ ）
10
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A．若
，则物块在A 点初速度可能为
B．若
，则物块在A 点初速度可能为
C．若
，则物块在A 点初速度可能为
D．若
，则物块在A 点初速度可能为
11．（多选）（2023 上·湖南·高三校联考期中）如图所示，半圆竖直轨道与水平面平滑连接于B 点，半圆
轨道的圆心为O，半径为R，C 为其最高点。BD 段为双轨道，D 点以上只有内轨道，D 点与圆心的连线与
水平方向夹角为θ，一小球从水平面上的A 点以一定的初速度向右运动，能沿圆弧轨道恰好到达C 点。不
计一切摩擦。则（ ）
A．小球到达C 点时速度为0
B．小球到达C 点后做平抛运动落在地面上
C．小球在A 点的初速度为
D．若小球到达D 点时对内外轨道均无弹力，则
12．（多选）（2023 上·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）如图，固定在竖直面内的光滑
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轨道ABC 由直线段AB 和圆弧段 BC 组成，两段相切于B 点，AB 段与水平面夹角为
，BC 段圆心为O，
最高点为C、A 与C 的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A 点以初速度
上轨道，能沿轨道运动恰好
到达C 点，下列说法正确的是（ ）
A．小球从B 到C 的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球A 从到C 的过程中，重力的功率先增大后减小
C．小球的初速度
D．若小球初速度
增大，小球有可能从B 点脱离轨道
13.（2023 上·湖北·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）生产流水线可以提高劳动效率，下图是某工厂生
产流水线的水平传输装置的俯视图，它由同一水平面的传送带和转盘组成，每间隔0.2 秒在A 处无初速放
一个物品到传送带上，物品（可视为质点）运动到B 处后进入匀速转动的转盘表面，随其做半径R=2.0m
的圆运动（与转盘无相对滑动），到C 处被取走装箱，已知A、B 的距离L=6.4m，物品与传送带间的动摩
擦因数μ1=0.5，传送带的传输速度和转盘上与转轴O 相距为R 处的线速度均为v=2.0m/s，取g=10m/s2，问：
（1）物品从A 处运动到B 处的时间t 多大？
（2）若物品在转盘上的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，则物品与转盘间的动摩擦因数μ2至少为多大？
14．（2023 上·江苏盐城·高三校联考阶段练习）如图所示，质量为m 的茶杯（视为质点）放在水平餐桌的
转盘上，茶杯到转轴的距离为r，转盘匀速转动，每秒钟转n 周，茶杯与转盘保持相对静止。求：
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（1）茶杯所受的摩擦力大小f；
（2）每转半周茶杯的动量变化量大小
。
15.（2024·四川自贡·统考一模）如图，在竖直平面内，固定有半径R1=1m 和半径R2=0.3m 的光滑圆形轨道，
他们轨道弧长分别占圆周的
和
，圆轨道与水平轨道分别相切于B 点和D 点，且平滑连接。某时刻，让
质量为m1=0.1kg，不带电的绝缘小滑块P 从A 点静止释放，经圆轨道滑至B 点，从B 点进入水平轨道，与
静止在C 点的带电小滑块Q 发生弹性碰撞，滑块Q 的质量为m2=0.1kg，电荷量为q=+1C。整个过程中滑块
Q 的电荷量始终保持不变，滑块P、Q 均可视为质点，与水平轨道BC 间的动摩擦因数均为μ=0.1，BC 间距
x=2m，CD 段光滑。滑块Q 从D 点进入光滑轨道DMN 时，此时加入水平向右范围足够大的匀强电场，场
强大小
。已知重力加速度g=10m/s2。求：
（1）小滑块P 刚到
滑道最低点B 时对圆轨道的压力；
（2）小滑块P 与小滑块Q 碰撞后Q 的速度大小为多少？
（3）通过计算判断当Q 进入光滑绝缘半圆轨道DMN 后是否会脱离轨道？若不会，则求经过N 点的速度大
小；若会，试求Q 离开半圆轨道时的速度大小为多少？（计算结果可用根式表示）
16．（2023 上·内蒙古呼和浩特·高三呼和浩特市回民中学校考阶段练习）如图所示，质量为
的小球通过
长度为
的轻绳悬挂于固定点
，现将其拉到某一高处
点让
绷直并由静止释放，当小球摆动到
点正下方
点时，绳恰好断掉，之后小球恰好垂直落到斜面
上，已知斜面倾角为
三点在
同一竖直线上，绳能承受的最大拉力为
，不计空气阻力，重力加速度为
求：
（1）小球到达
点时的速度
及释放点距离
点的高度h；
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（2）小球落到
上的位置与
的距离s
17．（2023 上·江西·高三校联考阶段练习）有一款弹球游戏的装置如图所示。平台离地面的高为R，一半
径为R、下端有一小缺口的竖直光滑圆轨道固定在平台上，圆轨道的最低点与平台边缘重合。地面上的弹
射装置将质量为m 的小球A 以一定的速度斜射出，到最高点恰好射入平台，与放在圆轨道最低点的半径等
大的小球B 相撞。已知小球A 与B 碰撞前的速度大小
，其中g 为重力加速度。忽略空气阻力、
小球的大小以及弹射装置的高度。
（1）求弹射装置与平台边缘的水平距离s；
（2）若在B 上附着橡皮泥，球和泥总质量为m，两球碰撞后共同运动，求碰撞过程中损失的机械能E；
（3）若小球B 的质量为
，A、B 的碰撞为弹性碰撞，碰撞后立即撤去球A，将小缺口补上，变成完整的
圆轨道，要使球B 被碰后始终沿圆道运动，求
的范围。
18．（2023 上·辽宁丹东·高三统考期中）粗糙水平地面
与半径
的光滑半圆轨道
平滑连接，
且在同一竖直平面内，
是
的圆心。质量
的小物块在
的水平恒力
的作用下，从A 点
由静止开始做匀加速直线运动。在运动到半圆轨道上的
点时撤去恒力
。（小物块与水平地面间的动摩
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擦因数
，
）求：
（1）若
，小物块运动到半圆轨道上的
点时，轨道对它的支持力的大小；
（2）若小物块恰好能运动到半圆轨道上的
点，则
间的距离
多大。
19．（2023 上·陕西西安·高三校考期中）如图所示，水平粗糙轨道OB 与处于竖直平面内的半圆形光滑轨
道BC 平滑连接，半圆的直径与地面垂直，半圆形光滑轨道半径
。一质量
的小物块（可视
为质点）将弹簧压缩至A 点后由静止释放，小物块恰好通过C 点，并落回至A 点，小物块与地面间的动摩
擦因数
，重力加速度
。
（1）求A、B 两点间的距离；
（2）求弹簧被压缩至A 点时的弹性势能；
（3）若改变半圆形光滑轨道的半径，小物块从C 点飞出后做平抛运动的水平距离也将改变，则R 为多少
时，水平距离有最大值？最大值为多少？
20．（2023 上·四川绵阳·高三统考阶段练习）如图所示，不可伸长、长为L 的轻质细绳一端固定在P 点，
另一端系一质量为m 的小球。现将小球拉至细绳沿水平方向绷紧的状态后，由静止释放，小球在竖直平面
内运动，经过某位置Q 点，已知P、Q 连线与水平面的夹角为θ。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求：
（1）求小球在位置Q 点时细绳对小球拉力T 的大小；
（2）若小球在位置Q 点时小球竖直分速度最大，求
的值。
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21．（2023 上·陕西商洛·高三校联考期中）一竖直平面内半径为R 的光滑圆轨道如图所示，一质量为m 的
小球（可视为质点）在大小恒定、方向始终指向圆心的外力的作用下，在圆轨道外侧沿着轨道做圆周运动，
当小球通过最低点B 时，小球的速度大小
（g 为重力加速度大小），轨道对小球的弹力大小为
2mg，求：
（1）外力的大小；
（2）小球运动到最高点时所受的弹力大小。
22．（2023·四川德阳·统考一模）为助力2025 年全运会，2023 年11 月25 日—26 日，粤港澳大湾区滑板公
开赛在广州大学城体育中心滑板场顺利举办，为大湾区市民群众带来了一场精彩纷呈的极限运动盛会。如
图所示为一质量m=50kg 的运动员，从离水平地面高h=7m 的斜坡上静止滑下，滑过一段水平距离后无碰
撞进入半径为R=5m、圆心角为θ=53°的圆弧轨道BC，从C 点冲出轨道后，在空中做出各种优美动作后落
于水平地面的D 点。已知圆弧轨道的B 点切线水平，运动员在运动过程中不计一切摩擦，同时将其视为质
点，重力加速度大小为10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6.求：
（1）运动员运动到B 点时，地面对运动员的支持力大小；
（2）运动员从C 点离开轨道至落地的过程，在空中运动的时间。（
）
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