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第 4 讲 圆周运动 天体的运动
目标要求 1.会分析常见圆周运动的向心力来源，并会处理圆周运动的问题。2.知道开普勒定律，掌握万
有引力定律，会分析天体的运动规律，会比较卫星的运行参量。
考点一 圆周运动
1.圆周运动的三种临界情况
(1)接触面滑动临界：F=F 。
f fmax
(2)接触面分离临界：F =0。
N
(3)绳恰好绷紧：F =0；绳恰好断裂：F 达到绳子可承受的最大拉力。
T T
2.常见的圆周运动及临界条件
(1)水平面内的圆周运动
水平面内 动力学方程 临界情况示例
水平转盘上的物体
F=mω2r 恰好发生滑动
f
圆锥摆模型
mgtan θ=mrω2 恰好离开接触面
(2)竖直面及倾斜面内的圆周运动
轻绳模型
最高点： 恰好通过最高
v2 点，绳的拉力
F +mg=m
T
r 恰好为0
轻杆模型
恰好通过最高
最高点：
点，杆对小球
v2
mg±F=m 的力等于小球
r
的重力
恰好通过等效
关注六个位置
最高点，恰好
带电小球在叠加 的动力学方
做完整的圆周
场中的圆周运动 程，最高点、
运动
最低点、等效最高点、等效
最低点，最左
边和最右边位
等效法 置
倾斜转盘上的物
最高点：mgsin
体
θ±F=mω2r 恰好通过最低
f
最低点F- 点
f
mgsin θ=mω2r
例1 (2023·全国甲卷·17)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，
运动周期与轨道半径成反比，则n等于( )
A.1 B.2
C.3 D.4
例2 (2024·广东深圳市二模)某摩天轮的直径达120 m，转一圈用时1 600 s。某同学乘坐摩天轮，随座
舱在竖直平面内做匀速圆周运动，依次从A点经B点运动到C的过程中( )
3π
A.角速度为 rad/s
20
B.座舱对该同学的作用力一直指向圆心
C.重力对该同学做功的功率先增大后减小
D.如果仅增大摩天轮的转速，该同学在B点受座舱的作用力将不变
例3 (2024·江西卷·14)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、
(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固
定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转
椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
(1)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω 匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径
1
为r 的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值。
1(2)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O 点做半径为r 的匀速
1 2
圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A B与O B的夹角为β。求此时圆盘
1 1
的角速度ω 。
2
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_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
考点二 万有引力与宇宙航行
1.开普勒定律理解
(1)根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上运动时，相等时间内扫过的面积相等，则v r =v r ；
1 1 2 2
r3
(2)根据开普勒第三定律， =k，若为椭圆轨道，则r为半长轴，若为圆轨道，则r=R；
T2
(3)运行过程中行星的机械能守恒，即E +E =E +E 。
k1 p1 k2 p2
Gm m
1 2
2.万有引力定律F=
r2
(1)r为两质点之间的距离或两个均匀球体的球心间的距离；
(2)G为引力常量，由物理学家卡文迪什测出。
3.天体质量和密度的计算
4.卫星的发射、运行及变轨
在地面附近静止
Mm
忽略自转：G =mg，故GM=gR2(黄金代换式)
R2
考虑自转：
Mm
两极：G =mg
R2
Mm
赤道：G =mg +mω2R
R2 0
卫星的发射√GM
地球的第一宇宙速度：v= =√gR=7.9 km/s是最小的发射速度和最大的环绕速度
R
(天体)卫星在圆轨道上运行
GM 1
ma →a = →a ∝
n n r2 n r2
v2 √GM 1
m →v= →v∝
Mm r r √r
G =F=
r2 n
mω2r→ω=
√GM
→ω∝
1
r3 √r3
4π2 √4π2r3
m r→T= →T∝√r3
T2 GM
“轨高速低周期大”
变轨
(1)由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度较小、动能较小、机械能较大；由高轨变低轨，
反之
(2)卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度
(3)根据开普勒第三定律，半径(或半长轴)越大，周期越长
例4 (2024·江西卷·4)“嫦娥六号”探测器于2024年5月8日进入环月轨道，后续经调整环月轨道高度
和倾角，实施月球背面软着陆。当探测器的轨道半径从r 调整到r 时(两轨道均可视为圆形轨道)，其动
1 2
能和周期从E 、T 分别变为E 、T 。下列选项正确的是( )
k1 1 k2 2
E r T √r 3
A.
k1
=
2， 1
=
1
E r T √r 3
k2 1 2 2
E r T √r 3
B.
k1
=
1， 1
=
1
E r T √r 3
k2 2 2 2
E r T √r 3
C.
k1
=
2， 1
=
2
E r T √r 3
k2 1 2 1
E r T √r 3
D.
k1
=
1， 1
=
2
E r T √r 3
k2 2 2 1
例5 (2024·湖北卷·4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运
动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使
空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半
径。则( )A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
例6 (2023·湖北卷·2)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，
此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地
球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出( )
A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D.下一次“火星冲日”出现在2023年12月8日之前
例7 (2022·福建卷·4)2021年美国“星链”卫星曾近距离接近我国运行在距地390 km近圆轨道上的天
宫空间站。为避免发生危险，天宫空间站实施了发动机点火变轨的紧急避碰措施。已知质量为m的物
Mm
体从距地心r处运动到无穷远处克服地球引力所做的功为G ，式中M为地球质量，G为引力常量；
r
现将空间站的质量记为m ，变轨前后稳定运行的轨道半径分别记为r 、r ，如图所示。空间站紧急避碰
0 1 2
过程发动机做的功至少为( )
1 1 1 1 1
A. GMm ( - ) B.GMm ( - )
2 0 r r 0 r r
1 2 1 2
3 1 1 1 1
C. GMm ( - ) D.2GMm ( - )
2 0 r r 0 r r
1 2 1 2答案精析
k
例1 C [质点做匀速圆周运动，根据题意设周期T= ，质点所受合外力等于质点圆周运动的向心力，根
r
4π2 4mπ2 4mπ2
据F =F =m r，联立可得F = r3，其中 为常数，r的指数为3，故题中n=3，故选C。]
合 n T2 n k2 k2
2π π
例2 C [根据角速度的计算公式有ω= = rad/s，故A错误；该同学乘坐摩天轮，随座舱在竖直平
T 800
面内做匀速圆周运动，则座舱对该同学的作用力和该同学的重力的合力提供向心力，指向圆心，所以座舱
对该同学的作用力不是一直指向圆心，故B错误；根据重力功率的计算公式P=mgv，可知重力对该同学做
y
功的功率先增大后减小，故C正确；在B点有√F2+(mg) 2=mRω2，可知如果仅增大摩天轮的转速，该同学
在B点受座舱的作用力将增大，故D错误。]
μg
例3 (1)
ω 2r
1 1
√ μgsinθcosβ
(2)
(sinθsinβ+μcosθ)r
2
解析 (1)设转椅做匀速圆周运动时轻绳拉力为F ，转椅质量为m，受力分析可知轻绳拉力沿切线方向的分
T
量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供转椅做圆周运动的向心力，故可得
F cos α=mω 2r ，μmg=F sin α
T 1 1 T
μg
联立解得tan α=
ω 2r
1 1
(2)设此时轻绳拉力为F '，沿A B方向和垂直A B方向竖直向上的分力分别为F =F 'sin θ，F =F 'cos θ
T 1 1 T1 T T2 T
对转椅根据牛顿第二定律得
F cos β=mω 2r
T1 2 2
沿切线方向根据平衡条件有
F sin β=F=μF
T1 f N
竖直方向根据平衡条件有
F +F =mg
N T2
√ μgsinθcosβ
联立解得ω = 。
2 (sinθsinβ+μcosθ)r
2
例4 A [探测器在环月轨道做匀速圆周运动，则月球对探测器的万有引力提供向心力，设月球的质量为
Mm v 2 4π2 Mm v 2 4π2
M，探测器的质量为m，则半径为r 时有G =m 1 =m r ，半径为r 时有G =m 2 =m r ，再
1 r 2 r T 2 1 2 r 2 r T 2 2
1 1 1 2 2 2
1 E r T √r 3
k1 2 1 1
根据动能E = mv2，可得动能和周期的比值分别为 = ， = ，故选A。]
k 2 E r T √r 3
k2 1 2 2例5 A [在P点变轨前后空间站所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P
点的加速度相同，故A正确；
因为变轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，
故B错误；
变轨后在P点获得竖直向下的反冲速度，原水平向左的圆周运动速度不变，因此合速度变大，故C错误；
由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大，而比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在
近地点的小，故D错误。]
例6 B [火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定律有
r 3 T 2 T √r 3 3√3
火 = 火 ，可得 火 = 火 = ，故A错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当
r 3 T 2 T r 3 2√2
地 地 地 地
火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确；在星球表面根
Mm
据万有引力定律有G =mg，由于不知道火星和地球的质量比，故无法得出火星和地球表面的自由落体
r2
2π 2π
加速度，故C错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω = ，ω = ，要发生下一次火星冲日
火 T 地 T
火 地
2π 2π T T
则有( - )t=2π，得t= 火 地 >T ，可知下一次“火星冲日”出现在2023年12月8日之后，故D错
T T T -T 地
地 火 火 地
误。]
例7 A [空间站从轨道半径r 变轨到半径r 的过程，根据动能定理有
1 2
W+W =ΔE
引力 k
依题意可得引力做功
Mm Mm
0 0
W =G -G
引力 r r
2 1
Mm v2
0
万有引力提供空间站在圆形轨道上做匀速圆周运动的向心力，由牛顿第二定律有G =m
r2 0 r
空间站在轨道上运动的动能为
Mm
E =G 0
k
2r
动能的变化量
Mm Mm
0 0
ΔE =G -G
k 2r 2r
2 1
GMm 1 1
0
联立解得W= ( - )，故选A。]
2 r r
1 2
