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专题06 竖直面内圆周运动模型
一．汽车过拱（凹）形桥模型
1．汽车过拱形桥：汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心
力。如图甲所示。
由牛顿第二定律得：G－FN＝m，则FN＝G－m。
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即F′N＝FN＝G－m，因此，汽车对桥的压力
小于重力，而且车速越大，压力越小。
(1)当0≤v<时，0<FN≤G。
(2)当v＝时，FN＝0.
(3)当v>时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险。
甲 乙
2．汽车过凹形桥
如图乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提
供向心力，则FN－G＝m，故FN＝G＋m。由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力F′N＝G＋m，大于汽
车的重力。
二．竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，都是绳模型，如
图所示。
甲 乙
(1)向心力分析
①小球运动到最高点时受向下的重力和向下的绳子拉力(或轨道弹力)作用，由这两个力的合力提供向
心力，mg＋FN＝m。
1
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②小球运动到最低点时受向下的重力和向上的绳子拉力(或轨道弹力)作用，由这两个力的合力提供向
心力，FN－mg＝m。
(2)临界条件
小球恰好过最高点时，应满足弹力FN＝0，即mg＝m，可得小球在竖直面内做圆周运动的临界速度v
＝。
(3)能过最高点的条件：v≥v 临。
(4)不能通过最高点的条件：v＜v 临，实际上小球在到达最高点之前就脱离了圆轨道，如图所示。
三．竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，都是杆模型，
如图所示。
甲 乙
(1)向心力分析
①小球运动到最高点时受杆(或轨道)的弹力和向下的重力作用，由这两个力的合力提供向心力。若弹
力向上：mg－FN＝m；若弹力向下：mg＋FN＝m。
②小球运动到最低点时受杆(或轨道)向上的弹力和向下的重力作用，由这两个力的合力提供向心力，
FN－mg＝m。
(2)临界条件：由于硬杆或管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度v 临＝0，轻杆或轨道对小球
有支持力FN＝mg。
(3)当0＜v＜时，杆或内管壁对小球的支持力FN＝mg－m，支持力FN随v 的增大而减小，其取值范围
是0＜FN＜mg。
(4)当v＞时，杆对小球施加的是拉力，且拉力F＝m－mg；或外管壁对小球有竖直向下的压力FN＝m
－mg。
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【模型演练1】（2023 下·北京延庆·高一统考期中）杂技表演中有一个“水流星”的节目：在一只水杯中
装上水，然后让水杯在竖直平面内做圆周运动，水不会洒出来。如图所示为水流星运动的示意图，一细绳
与水杯相连，杯中装有水，水杯与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m=0.5 kg，水的重心到
转轴的距离L=40 cm。（g=10 m/s2）
（1）若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；
（2）若在最高点水桶的速率v=4 m/s，求桶底对水的压力大小
【答案】（1）2m/s；（2）15N
【详解】（1）根据
解得
（2）根据
解得
【方法总结】竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。
【模型演练2】（2024·高一课时练习）长度为
的轻杆OA 绕O 点在竖直平面内做圆周运动，A 端连着
一个质量
的小球，g 取
。求在下述两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方
向。
(1)杆做匀速圆周运动的转速为
；
3
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(2)杆做匀速圆周运动的转速为
。
【答案】(1)138N，方向竖直向上；(2)10N，方向竖直向下
【详解】(1)设小球在最高点时受到杆的作用力的方向竖直向下，则其受力分析如图所示。
杆的转速为
时，有
由牛顿第二定律得
故小球所受杆的作用力
即杆对小球提供了138N 的拉力。
由牛顿第三定律知，小球对杆的拉力大小为138N，方向竖直向上。
(2)杆的转速为
时
同理可得小球所受杆的作用力
力
为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故由牛顿第三定律知，小球对杆的压力大小为
10N，方向竖直向下。
【方法总结】(1)注意r/s 与rad/s 的不同。
(2)先求小球受到杆的弹力，再用牛顿第三定律得出杆受小球的力。
(3)当未知力的方向不确定时，要采用假设正方向的办法。
【模型演练3】（2023 下·山东日照·高一校考阶段练习）如图所示，质量m=2.0×104kg 的汽车以不变的速率
先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m，如果桥面承受的压力不得超过3.0×105N，重
力加速度g=10m/s2，则：
（1）分析汽车以相同速率分别通过凹形桥面最低点和凸形桥面最高点时，哪种情况对桥面压力较大？
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（2）汽车允许的最大速率是多少？
（3）若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
【答案】（1）汽车过凹形桥面最低点时，汽车对桥面的压力较大；（2）
；（3）
【详解】（1）汽车以相同速率分别通过凹形桥面最低点和凸形桥面最高点时，受力分析如图
通过凹形桥面最低点由牛顿第二定律可知
解得
通过凸形桥面最高点由牛顿第二定律可知
解得
由此可知汽车过凹形桥面最低点时，汽车对桥面的压力较大；
（2）汽车过在凹形桥面最低点时，汽车对桥面的压力较大，如果桥面承受的压力不得超过3.0×105N，则
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解得
（3）当汽车过凸形桥面最高点时，支持力最小，由（1）知
根据牛顿第三定律得，最小的压力为
【规律总结】对于汽车过桥问题，具体的解题步骤如下：
(1)选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径；
(2)正确分析研究对象的受力情况，明确向心力是按作用效果命名的力，在受力分析时不能列
出，明确向心力的来源；
(3)根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解。
【模型演练4】1.（2023 下·高一全国联考期中）如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接绕定点O 在竖直面内
做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为v，此时绳子拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如
图乙所示，图像中的数据a 和b 以及重力加速度g 都为已知量，以下说法正确的是( )
A.数据a 与小球的质量有关
B.数据b 与小球的质量无关
C.比值只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关
D.利用数据a、b 和g 能够求出小球的质量和圆周轨道半径
【答案】 D
【解析】当v2＝a 时，此时绳子的拉力为零，物体的重力提供向心力，则有mg＝m，解得v2＝gr 即a＝gr，
故与物体的质量无关，A 错误；当v2＝2a 时，对物体受力分析，则有mg＋b＝m，解得b＝mg，故与小球
的质量有关，B 错误；根据以上分析可知：＝，与小球的质量有关，与圆周轨道半径有关，C 错误；若F
＝0，由图知v2＝a，则有mg＝m，解得r＝，当v2＝2a 时，则有mg＋b＝m，解得m＝，D 正确。
2.如图所示，一轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。小球运
动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN－v2图像如图所示。下列说
法正确的是( )
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A.当地的重力加速度大小为
B.小球的质量为R
C.v2＝c 时，杆对小球弹力方向向上
D.若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a
【答案】 B
【解析】 通过图分析可知：当v2＝b，FN＝0 时，小球做圆周运动的向心力由重力提供，即mg＝m，g＝，
A 错误；当v2＝0，FN＝a 时，重力与弹力FN大小相等，即mg＝a，所以m＝＝R，B 正确；当v2＞b 时，杆
对小球的弹力方向与小球重力方向相同，竖直向下，故v2＝c＞b 时，杆对小球的弹力方向竖直向下，C 错
误；若v2＝2b 时，mg＋FN＝m，解得FN＝a，方向竖直向下，D 错误。
【数理思想与模型建构】
1.数理思想是基于物理现象的数学模型，利用数学知识解决物理问题的科学思维方法。
2.模型建构
(1)轻绳模型：①v＞时绳子的弹力F＝m－mg，方向竖直向下
②v＝时绳子的弹力为零，是安全通过最高点的临界条件
(2)轻杆模型
①v＞时轻杆对物体的弹力F＝m－mg ，方向竖直向下
②v＝时轻杆对物体的弹力为零，是物体所受弹力方向变化的临界速度。
③v＜时轻杆对物体的弹力FN＝mg－m，方向竖直向上。
【思维建构】
1.根据物理现象列出物理方程。如1：FT＋mg＝m。
2.根据物理方程整理成函数关系。如1：FT＝v2－mg。
3.将物理方程与一次函数相对应。如1：FT＝v2－mg――→y＝kx＋b。
4.根据函数思想对应物理图像分析求解。
【题后感悟】
1.清楚圆周运动中绳、杆模型的物理规律，列出正确的物理方程。
2.对一次函数y＝kx＋b 要非常熟练，会用会画。
3.熟练地将数学和物理结合起来，用图像法来解决物理问题。
一、单选题
1．（2023 下·江苏苏州·高一校考阶段练习）如图所示，一同学表演荡秋千，已知秋千的两根绳长均为
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10m，该同学的质量为50kg，秋千踏板的质量约为
，绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正
下方时，速度大小为
，此时每根绳子平均承受的拉力约为（ ）（g=10m/s2）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据牛顿第二定律
解得
T=600N
故选C。
2．（2023 下·江苏·高一阶段练习）如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管道，质量为M，管道里
有一个直径略小于管道内径的小球，质量为m，小球在管道内做圆周运动，已知M > m，下列说法正确的
是（ ）
A．小球通过管道最低点时，管道对地面的压力为(m＋M)g
B．小球通过管道最高点时，管道对地面的压力可能大于(m＋M)g
C．小球通过管道最高点时，管道对地面的压力不可能为零
D．小球通过管道最高点时，管道对地面压力可能为Mg
【答案】D
【详解】A．小球通过管道最低点时，具有向上的向心加速度，系统超重，故系统对地面的压力一定大于
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，故A 错误；
B．小球通过管道最高点时，具有向下的向心加速度，系统失重，故系统对地面的压力一定小于等于
，故B 错误；
C．小球在最高点时，对管道受力分析，若小球给管道的力向上等于Mg，则管道对地面无压力，故C 错误；
D．当小球在最高点时，运动的速度等于
时，管道对小球无作用力，对管道受力分析可知，管道对地
面的压力为Mg，故D 正确。
故选D。
3．（2023·四川眉山·统考一模）如图，竖直面内两个完全相同的
光滑圆弧轨道平滑对接，P、Q 是等高
的两端。让一可视为质点的小球以沿切线的初速度从P 端进入轨道，则（ ）
A．小球在轨道最低点的机械能最大
B．小球在轨道最低点对轨道的压力最大
C．初速度足够大时，小球可能飞离“凹形”轨道
D．初速度足够大时，小球一定能通过“凸形”轨道最高点
【答案】B
【详解】A．小球在光滑圆弧轨道上运动，只有重力做功，机械能守恒，故A 错误；
B．小球在轨道最低点有
根据机械能守恒
则小球在轨道最低点速度最大，则球在轨道最低点轨道对球的支持力最大，根据牛顿第三定律球对轨道的
压力最大，故B 正确；
C．设小球与竖直方向的夹角为
，在“凹形”轨道运动，根据牛顿第二定律有
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球的重力与轨道对球的支持力的合力提供向心力，初速度足够大时，小球不可能飞离“凹形”轨道，故C
错误；
D．在“凸形”轨道运动，根据牛顿第二定律有
初速度足够大时，球的重力与轨道对球的支持力的合力不足以提供向心力，小球不能通过“凸形”轨道最
高点，故D 错误。
故选B。
4．（2024 上·江苏扬州·高三统考期末）某同学将手机用长约1m 的充电线悬挂于固定点，拉开小角度释放，
手机在竖直面内摆动，手机传感器记录角速度随时间变化的关系，如图所示，则手机（ ）
A．在A→B 过程中，速度增大
B．在A、C 两点时，速度方向相反
C．在C 点时，线中的拉力最小
D．在B、D 两点时，线中拉力方向相同
【答案】B
【详解】A．根据
可知，在A→B 过程中，角速度减小，速度减小，故A 错误；
B．A、C 两点刚好相差半周期，单摆的速度最大，即在最低点，则速度方向相反，故B 正确；
C．在C 点时，单摆速度最大，在最低点，根据牛顿第二定律
可知，线中的拉力最大，故C 错误；
D．B、D 两点相差半个周期，速度为0，可知单摆在对称的两侧最高点，线中拉力方向不相同，故D 错误；
故选B。
5．（2024 下·高一课时练习）如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m 的小球沿轨道做完整的
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圆周运动，已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，速度大小为v1，在最高点时对轨道的压力大小为
N2，速度大小为v2，重力加速度大小为g，且v1、v2满足关系式
，则N1-N2的值为（ ）
A．3mg
B．4mg
C．5mg
D．6mg
【答案】D
【详解】在最高点，根据牛顿第二定律可得
在最低点，根据牛顿第二定律可得
又
联立三式可得
N1-N2=6mg
故选D。
6．（2023 下·贵州遵义·高一仁怀市第一中学校联考期中）如图所示，长为
的轻杆一端固定质量为
的小
球，另一端固定在转轴
，现使小球在竖直平面内做圆周运动，
为圆周的最高点，若小球通过圆周最低
点时的速度大小为
，忽略摩擦阻力和空气阻力，则以下判断正确的是（ ）
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A．小球不能到达
点
B．小球到达
点时轻杆受到的弹力为0
C．小球能到达
点，且在
点受到轻杆向上的弹力
D．小球能到达
点，且在
点受到轻杆向下的弹力
【答案】C
【详解】A．根据机械能守恒
得到达
点速度为
故小球能达到
点，A 错误；
BCD．小球到达
点时，根据牛顿第二定律
得
小球到达
点时轻杆受到的弹力
，方向向上。BD 错误，C 正确。
故选C。
7．（2024 上·北京海淀·高一清华附中校考期末）在公路上常会看到凸形和凹形的路面，如图所示。一辆质
量为m 的汽车，通过凸形路面的最高处时对路面的压力为
，通过凹形路面最低处时对路面的压力为
，
则（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】汽车通过凸形路面的最高处时，加速度方向向下，合力方向向下，处于失重状态，则有
汽车通过凹形路面最低处时，加速度方向向上，合力方向向上，处于超重状态，则有
故选A。
8．（2024 上·上海静安·高一上海市市西中学校考期末）如图所示，拱桥可以视为半径为40m 的圆弧面，
如果要使汽车行驶至桥顶时对桥顶恰无压力，
，则汽车通过桥顶的速度应为（ ）
A．10m/s
B．20m/s
C．25m/s
D．30m/s
【答案】B
【详解】要使汽车行驶至桥顶时对桥顶恰无压力，则有
可得
故选B。
9．（2023 上·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）一个质量为m 的物体（体积可忽略），在
半径为R 的光滑半球顶点处以水平速度
运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是
（ ）
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A．若
，则物体对半球顶点压力为mg
B．若
，则物体对半球顶点的压力为
C．若
，则物体对半球顶点的压力为
D．若
，则物体对半球顶点的压力为零
【答案】B
【详解】A．根据题意，在最高点有
若
解得
由牛顿第三定律可知，物体对半球顶点压力为0，故A 错误；
B．同理可得，若
则有
由牛顿第三定律可知，物体对半球顶点压力为
故B 正确；
CD．若
，物体处于平衡状态，则有
由牛顿第三定律可知，物体对半球顶点压力为
，故CD 错误。
故选B。
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10．（2023 下·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期中）为美观和经济，许多桥面建成拱形。汽车通
过桥顶时，对桥面的压力会减小，过快的汽车将失去控制、无法转向，造成安全隐患，故拱形桥上都会有
限速标志。设汽车对桥面的压力是其重力的0.6 倍时，其速度就是限速标志对应的速度，桥顶圆弧对应的
半径为100m，则该限速标志所示速度约为（取
）（ ）
A．36km/h
B．54km/h
C．72km/h
D．80km/h
【答案】C
【详解】设该限速标志所示速度为，根据题意有
其中
联立解得
故选C。
11．（2023 下·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）如图所示，一汽车过半径均为50m 的圆弧形凹桥和凸桥，
在凹桥的最低处和凸桥的最高处的速度大小均为10m/s，取重力加速度大小g=10m/s2，则在凸桥的最高处
和凹桥的最低处汽车对桥面的压力大小之比为（ ）
A．3:2
B．2:3
C．2:1
D．3:1
【答案】B
【详解】在最高点，根据牛顿第二定律
在最低点，根据牛顿第二定律
解得
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故选B。
12．（2023 下·四川德阳·高一什邡中学校考阶段练习）为美观和经济，许多桥面建成拱形。汽车通过桥顶
时，对桥面的压力会减小，过快的汽车将失去控制、无法转向，造成安全隐患，故拱形桥上都会有限速标
志。设汽车对桥面的压力是其重力的0.6 倍时，其速度就是限速标志对应的速度，桥顶圆弧对应的半径为
100m，则该限速标志所示速度约为（取
）（ ）
A．36km/h
B．54km/h
C．70km/h
D．80km/h
【答案】C
【详解】在最高点对汽车受力分析，根据牛顿第二定律可知
由于桥面对汽车的支持力与汽车对桥面的压力大小相等，即
联立解得该限速标志所示速度约为
故选C。
二、多选题
13．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，杆的一端固定一小球，另一端固定在水平转轴上，小球随转
轴在竖直平面内做圆周运动的圆心为O，半径为l，重力加速度为g。当小球通过最高点时（
）
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A．若速度大小为
杆对小球的作用力竖直向上
B．若速度大小为
杆对小球的作用力竖直向下
C．若速度大小为
杆对小球的作用力竖直向上
D．若速度大小为
杆对小球的作用力竖直向下
【答案】AD
【详解】小球运动到最高点时，设杆对球的作用力为竖直向下的
，则牛顿第二定律可得
AB．若速度大小为
，解得
负号表示杆对小球的作用力竖直向上，A 正确，B 错误；
CD．若速度大小为
，解得
即杆对小球的作用力竖直向下，C 错误，D 正确。
故选AD
14．（2023 下·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考阶段练习）如图甲所示，一轻杆一端固定在O 点，另一
端固定一小球，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，
小球在最高点的速度大小为v，
图像如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
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A．当地的重力加速度大小为
B．小球的质量为
R
C．v2=c 时，杆对小球弹力方向向下
D．若c=2b，则杆对小球弹力大小为2a
【答案】BC
【详解】A．由图乙可知，当
时，对小球在最高点由牛顿第二定律得
可得当地的重力加速度大小为
故A 错误；
B．当
时，在最高点有
可得小球的质量
故B 正确；
C．当
时，在最高点对小球由牛顿第二定律得
可得
则杆对小球弹力方向向下，故C 正确；
D．在最高点对小球由牛顿第二定律得
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解得
则杆对小球的弹力大小为
，故D 错误。
故选BC。
15．（2023 下·天津和平·高一统考期末）如图甲所示，小球（可视为质点）穿在竖直平面内光滑的固定圆
环上，绕圆心O 点做半径为 R 的圆周运动。小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F， 小球在
最高点的速度大小为v， 其F-v2图像如图乙所示，g 取10m/s2，则（ ）
A．小球的质量为 2kg
B．固定圆环的半径 R 为 0.4m
C．小球在最高点速度为 4m/s 时，圆环受到小球施加的竖直向下20N 的弹力
D．若小球恰好能做完整圆周运动，则其运动中所受圆环给的最大弹力为100N
【答案】AD
【详解】A．对小球在最高点进行受力分析，速度为0 时
结合图像可知
故A 正确；
B．当
时，由重力提供向心力可得
结合图像可知
故B 错误；
C．小球在最高点的速度为4 m/s 时，有
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解得小球受到的弹力
方向竖直向下，由牛顿第三定律可知圆环受到小球施加的竖直向上，故C 错误；
D．小球经过最低点时，其受力最大，由牛顿第二定律得
若小球恰好做圆周运动，由机械能守恒得
由以上两式得
代入数据得
故D 正确。
故选AD。
三、解答题
16．（2024 上·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）如图，轻杆长为3L，在杆的两端分别固定质量均为m 的
球A 和球B，杆上距球A 为L 处的点O 装在光滑的水平转动轴上，杆和球可在竖直面内转动，已知球B 运
动到最高点时，球B 对杆恰好无作用力，重力加速度为g。
（1）当球B 在最高点时，球B 的速度为多大；
（2）当球B 在最高点时，杆对球A 的作用力为多大；
（3）若球B 转到最低点时的速度大小为
，求此时杆对球A 的作用力。
【答案】（1）
；（2）1.5mg；（3）0.3mg，方向竖直向下
20
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【详解】（1）球B 在最高点时只受重力作用，根据牛顿第二定律有
得
（2）AB 两球的角速度大小相等，设球B 在最高点时的角速度为
，由向心力公式，有
此时球A 在最低点，由向心力公式，有
解得
（3）设球B 在最低点时的角速度为
1，由向心力公式，对AB 分别有
；
此时球A 在最高点，由向心力公式，有
解得
方向竖直向下。
17．（2023 上·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）如图，长为
的细绳一端拴一质量为
的小
球，另一端固定在
点。现使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，转轴
离地高
，绳所能承受的最
大张力为
。
（1）求小球通过最高点时最小速度的大小；
（2）分析小球在何位置绳最易被拉断?求出在此位置绳恰被拉断时小球的角速度大小；
（3）在（2）的情况下，求小球落地点距转轴
的水平距离及落地速度的大小和方向。
21
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【答案】（1）
；（2）最低点，
；（3）4.8m，10m/s，与水平面成
角向下
【详解】（1）小球要做完整圆周运动，在最高点当重力提供向心力时，速度最小，则有
其中
，解得
（2）当小球运动到最低点时，小球速度最大，此时根据牛顿第二定律有
可知此时绳子的张力最大，所以小球最低点时绳最易被拉断。此时有
解得，绳恰被拉断时小球的角速度大小为
（3）绳断后小球做平抛运动，平抛运动的初速度为
根据平抛规律，竖直方向上有
解得，绳断后小球落到地面的时间为
则小球落地点距转轴
的水平距离为
22
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小球落到地面时，竖直方向的分速度大小为
则落地速度的大小为
而小球速度偏转角的正切值为
则小球落地速度的方向为与水平面成
角向下。
18．（2023 下·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期中）如图，AB 为竖直半圆轨道的竖直直径，轨道
A 端与水平面相切。质量为0.4kg 的光滑木块从水平面上滑上A 再经过B，若在A、B 两点速度大小分别是
、
，到B 点对轨道的压力恰好为零，g 取10m/s2，求
（1）轨道半径的大小；
（2）木块经A 点时对轨道的压力；
（3）木块落地点到A 点的距离。
【答案】（1）10m；（2）24N，方向竖直向下；（3）20m
【详解】（1）木块经B 点时，对轨道的压力恰好为零，重力刚好提供向心力，则有
解得轨道半径的大小为
（2）在A 点，根据牛顿第二定律可得
解得
23
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根据牛顿第三定律可知，木块经A 点时对轨道的压力大小为
，方向竖直向下。
（3）木块离开B 点后做平抛运动，则竖直方向有
水平方向有
联立解得
19．（2023 下·河北邢台·高一邢台市第二中学校考阶段练习）如图所示，一质量为
的小球，用长
为
的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g 取
，求：
（1）小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？
（2）当小球在最高点的速度为
时，轻绳拉力多大？
（3）若轻绳能承受的最大张力为
，小球的速度不能超过多大？
【答案】（1）2 m/s；（2）15 N；（3）m/s
【详解】（1）在最高点，由牛顿第二定律得
由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1不可能取负值，亦即
F1≥0
联立得
v≥
代入数值得
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v≥2 m/s
所以小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s。
（2）小球在最高点的速度为
时，有
得
F2=15 N
（3）小球在最低点时轻绳张力最大，由牛顿第二定律得
代入得
v3= m/s
即小球的速度不能超过m/s。
20．（2023 下·广东广州·高一统考期末）现有一根长
的刚性轻绳，其一端固定于
点，另一端系
着一质量
的小球（可视为质点），将小球提至
点正上方的A 点处，此时绳刚好伸直且无拉力，
如图所示。不计空气阻力，取
。
（1）为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A 点小球至少需要获得多大的水平速度；
（2）在小球以
的速度水平抛出的瞬间，绳中的拉力为多大；
（3）小球以
的速度水平抛出，求绳再次伸直时所经历的时间。
【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）要使小球在竖直面内能够做完整的圆周运动，在最高点时重力恰好提供向心力，则有
25
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解得
（2）因为
，所以绳中有拉力，根据牛顿第二定律得
解得
即绳中的拉力大小为
（3）小球以
的速度水平抛出，小球将做平抛运动，设经过时间绳拉直，如图所示
在竖直方向有
在水平方向有
由几何关系得
解得
21．（2023 下·广东梅州·高一丰顺县丰顺中学校联考期中）如图所示，小球A 质量为m，固定在长为
的
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轻细直杆一端，并随杆一起绕杆的另一端O 点在竖直平面内做圆周运动。当小球经过最高点时，杆对球的
弹力大小为
，求这时小球的瞬时速度大小。
【答案】若F 向上，
；若F 向下，
【详解】杆在最高点处，球的重力与杆的弹力的合力提供球的向心力。
若F 向上，根据牛顿第二定律得
解得
若F 向下，根据牛顿第二定律得
解得
22．（2023 下·江西景德镇·高一统考期中）轻杆长L＝60cm，一端固定于转轴O，另一端系一质量为m＝
0.5kg 的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动，重力加速度
，求：
（1）若小球在最低点速率v＝6m/s，小球对杆的作用力；
（2）若小球刚好能做圆周运动，在最高点的速度为多大；
（3）若小球经过最高点时受杆的作用力向上，则通过最高点的速率的范围。
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【答案】（1）35N，方向向下；（2）0；（3）
【详解】（1）当到达最低点时，根据牛顿第二定律得
解得
根据牛顿第三定律得小球对杆的作用力大小是35N，方向向下。
（2）小球刚好能做圆周运动，在最高点的速度为0。
（3）当到达最高点时若
则
重力完全提供向心力，杆对小球的作用力为零；
若
，则
，杆的作用力方向向下；
若
，则
，杆的作用力方向向上；
则小球经过最高点时受杆的作用力向上，通过最高点的速率的范围是
。
23．（2023 下·四川南充·高一四川省南充高级中学校考阶段练习）如图所示，长L=0.5m、质量可忽略的硬
杆，其一端固定于O 点，另一端连有质量m=2kg 的小球，它绕O 点做竖直平面内的圆周运动。当小球通
过最高点时，求下列情况球对杆的作用力（g 取10m/s2）。
（1）当
时；
（2）当v=4m/s 时。
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【答案】（1）16N，方向竖直向下；（2）44N，方向竖直向上
【详解】解法一：
（1）杆对球没有作用力时
当
，杆对球有支持力，由牛顿第二定律
解得
由牛顿第三定律，球对杆有竖直向下的压力16N。
（2）当
，杆对球有拉力，由牛顿第二定律
解得
由牛顿第三定律，球对杆有竖直向上的拉力44N。
解法二：
（1）
时，假设杆对球有支持力，由牛顿第二定律
得
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因力取正值，假设成立，杆对球有支持力，由牛顿第三定律，球对杆有竖直向下的压力16N。
（2）
时，假设杆对球有支持力，由牛顿第二定律
得
因力取负值，假设不成立，杆对球有拉力，由牛顿第三定律，球对杆有竖直向上的拉力44N。
24．（2023 下·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）如图甲所示，长
的轻杆的一端固定在
水平转轴O 上，另一端固定一质量
的小球，小球随轻杆绕转轴在竖直平面内做线速度
的匀速圆周运动，重力加速度g 取
，不计空气阻力。
（1）小球运动到最高点时，求轻杆对小球的作用力
；
（2）小球运动到水平位置A 时，求轻杆对小球的作用力大小
。
【答案】（1）
，方向竖直向上；（2）
【详解】（1）小球运动到最高点时，根据牛顿第二定律可得
解得
可知轻杆对小球的作用力大小为
，方向竖直向上。
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（2）小球运动到水平位置A 时，水平方向根据牛顿第二定律可得
竖直方向根据受力平衡可得
可知轻杆对小球的作用力大小为
25．（2023 下·江西南昌·高一统考期中）如图，图甲和图乙分别是竖直平面内圆周运动的绳模型和杆模型，
甲乙两模型中小球
和
的质量均为
，绳长均为
，小球过最高点时，细绳恰好对小球没有作用力，而
轻杆对小球的作用力大小
，其中
为当地的重力加速度，不计空气阻力。求：
（1）小球
在最高点的加速度；
（2）小球
和
在最高点时的速度大小之比。
【答案】（1）
，方向竖直向下；（2）
或
【详解】（1）对处于最高点的
球受力分析
解得
方向竖直向下
（2）对绳模型中处于最高点的小球
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对杆模型中处于最高点的小球
，若
为支持力，则有
解得小球
和
在最高点时的速度大小之比
若
为拉力，有
解得小球
和
在最高点时的速度大小之比
综上所述小球
和
在最高点时的速度大小之比为
或
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