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2023 届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
专题25 竖直面内的圆周运动
导练目标 导练内容
目标1 绳（轨道内侧）类竖直面内圆周运动
目标2 杆（管）类竖直面内圆周运动
目标3 拱形桥和凹形桥类竖直面内圆周运动
【知识导学与典例导练】
一、常见绳杆模型特点：
轻绳模型 轻杆模型
情景图示
弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
力学方程 mg＋F ＝m mg±F ＝m
T N
v＝0，即F ＝0，
向
临界特征 F ＝0，即mg＝m，得v＝
T
此时F ＝mg
N
(1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以
(1)“绳”只能对小球施加向下的力
是支持力
模型关键
(2)小球通过最高点的速度至少为
(2)小球通过最高点的速度最小可以为0（一）绳（轨道内侧）类竖直面内圆周运动
【例1】如图所示，用长为L的轻绳把一个小铁球悬挂在高2L的O点处，小铁球以O为圆心在竖直平面内
做圆周运动且恰能到达最高点B处，则有（ ）
A．小铁球在运动过程中轻绳的拉力最大为6mg
B．小铁球在运动过程中轻绳的拉力最小为mg
C．若运动中轻绳断开，则小铁球落到地面时的速度大小为
D．若小铁球运动到最低点时轻绳断开，则小铁球落到地面时的水平位移为2L
【答案】AC
【详解】AB．小铁球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B处，说明小铁球在最高点B
处时，轻绳的拉力最小，为零 对小球由B点运动到最低点的过程应用动能定理
在最低点时轻绳的拉力最大，由牛顿第二定律 联立解得轻绳的拉力最
大为F＝6mg，A正确，B错误；
C．以地面为重力势能参考平面，小铁球在B点处的总机械能为 无论轻绳是在何处
断开，小铁球的机械能总是守恒的，因此到达地面时的动能 落到地面时的速度大小C正确；
D．小铁球运动到最低点时速度 由平抛运动规律 ； 联立解得小铁球落到地面时的
水平位移 ，D错误。故选AC。
【例2】如图所示，半径为 的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在
瞬间得到一个水平初速 ，若 大小不同，则小球能够上升到的最大高度（距离底部）也不同。下列说法
中不正确的是（ ）
A．如果 ，则小球能够上升的最大高度等于
B．如果 ，则小球能够上升的最大高度等于
C．如果 ，则小球能够上升的最大高度小于
D．如果 ，则小球能够上升的最大高度等于
【答案】B
【详解】A．如果 ，则有 小球始终在轨道下半部分运动，不会脱离轨道，能够上升的
最大高度为 ，故A正确；BD．假设小球能够以速度v恰好通过轨道最高点，则在最高点，根据牛顿第二定律有
对小球从最低点到最高点的过程，根据动能定理有 联立解得 所以 是
小球为了能够通过最高点而在最低点获得的最小速度，由此可知B错误，D正确；
C．如果 ，设其能够上升的最大高度为h，由于小球做圆周运动，所以在最大高度处速度不能为
零，设为 ，根据动能定理有 解得 故C正确。故选B。
（二）杆（管）类竖直面内圆周运动
【例3】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆
周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其 图象如，
乙图所示。则（ ）
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度小为
C． 时，小球对杆弹力方向向下
D． 时，杆对小球弹力大小为2mg【答案】A
【详解】AB．在最高点，当 时，有 当 时，有 解得 ， 故
A正确；B错误；
C．由图可知，当 时，杆对小球弹力方向向上，当 时，杆对小球弹力方向向下，所以当
时，杆对小球弹力方向向下，故C错误；
D．若 ，由图可知，杆与小球间的弹力为0，故D错误。故选A。
【例4】如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，
管道对小球的弹力与最高点时的速度平方的关系如图乙所示（取竖直向下为正方向）。MN为通过圆心的
一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。则下列说法中正确的是（ ）
A．管道的半径为
B．小球的质量为
C．小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定没有有作用力
D．小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】BC【详解】A．由图可知：当 ， ，此时 解得 故A错误；
B．当 时，此时 所以 故B正确；
C．小球在 下方的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持
力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有力，故C正确；
D．小球在 上方的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故可能是外侧管壁受力，
也可能是内侧管壁对小球有作用力，还可能均无作用力，故D错误。故选BC。
二、拱形桥和凹形桥模型特点
拱形桥模型 凹形桥模型
情景图示
弹力特征 弹力可能向上，也可能等于零 弹力向上
受力示意图
力学方程
临界特征 F ＝0，即mg＝m，得v＝
N
模型关键
①最高点: ，失重； ①最低点： ，超重；② ，汽车脱离，做平抛运
② ，v越大，F 越大。
N
动。
（三）拱形桥和凹形桥类竖直面内圆周运动
【例5】城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB
横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v，
1
若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则( )
A．小汽车通过桥顶时处于失重状态
B．小汽车通过桥顶时处于超重状态
C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为F ＝mg－m
N
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于
【答案】A
【详解】AB．由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得
mg－F ＝m 解得F ＝mg－m ＜mg故其处于失重状态，A正确，B错误；
N N
C．F ＝mg－m 只在小汽车通过桥顶时成立，而在其上桥过程中不成立，C错误；
ND．由mg－F ＝m ，F ≥0，解得v≤ ，D错误。故选A。
N N 1
【例6】如图所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放
置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为 ，则物体在最低点时，
下列说法正确的是（ ）
A．受到的摩擦力为
B．受到的摩擦力为
C．受到向心力为
D．受到的合力方向竖直向上
【答案】A
【详解】AB．根据牛顿第二定律得 则 所以滑动摩擦力
故A正确B错误；
C．向心力的大小 故C错误；
D．由于重力支持力的合力方向竖直向上，滑动摩擦力方向水平向左，则物体合力的方向斜向左上方，D错
误。故选A。
【多维度分层专练】1．如图所示，在同一竖直平面内有两个正对着的半圆形光滑轨道，轨道的半径都是R。轨道端点所在的水
平线相隔一定的距离x。一质量为m的小球能在其间运动而不脱离轨道，经过最低点B时的速度为v。小球
在最低点B与最高点A对轨道的压力之差为ΔF（ΔF>0）。不计空气阻力。则（ ）
A．m、x一定时，R越大，ΔF一定越大
B．m、x一定时，v越大，ΔF一定越大
C．m、R一定时，x越大，ΔF一定越大
D．m、R一定时，v越大，ΔF一定越大
【答案】C
【详解】设m在A点时的速度为v ，在B点时速度为v=v ；对m从A到B点时，根据动能定理有：
A B
对 m 在 B 点时，受重力和支持力 N 的作用，根据牛顿第二定律：
B
所以 ；对m在A点，受重力和支持力N ，根据牛顿第二定律：
A
所以 小球在最低点B与最高点A对轨道的压力之差A．m、x一定时，R越大，ΔF一定越小，选项A错误；
B．m、x一定时，ΔF与v无关，选项B错误；
C．m、R一定时，x越大，ΔF一定越大，选项C正确；
D．m、R一定时，ΔF与v无关，选项D错误；故选C。
2．在离心浇铸装置中，电动机带动两个支承轮同向转动，管状模型放在这两个轮上靠摩擦转动，接触处
不打滑，如图所示。铁水注入后，由于离心作用，铁水紧紧靠在模型的内壁上，从而可得到密实的铸件，
浇铸时转速不能过小，否则铁水会脱离模型内壁，产生次品。已知管状模型内壁的半径为R，铁水与模型
转动的角速度相同，铁水的厚度可忽略。则（ ）
A．管状模型转动的最小角速度
B．管状模型转动的最小角速度
C．若发现产生次品，应增大浇铸时转动的周期
D．支承轮边缘转动的线速度大于模型外边缘转动的线速度
【答案】A
【详解】AB．要使经过最高点的铁水紧压模型内壁，临界情况是铁水的重力恰好提供向心力，根据牛顿第
二定律，有 则 管状模型转动的最小角速度 故A正确，B错误；
C．若发现产生次品，应提高转速，减小转动的周期，故C错误；
D．支承轮边缘和模型外边缘相切，线速度大小相等，故D错误。故选A。3．如图（a）所示，小球的初速度为v，沿光滑斜面上滑，能上滑的最大高度为h，在图(b)中，四个物体
0
的初速度均为v。在A图中，小球沿一光滑内轨向上运动，内轨半径大于h；在B图中，小球沿一光滑内
0
轨向上运动，内轨半径小于h；在图C中，小球固定在轻绳的下端，轻绳的长度为h的一半，小球随轻绳
绕O点向上转动。在D图中，小球以与水平方向成30°斜抛。则小球上升的高度能达到h的有（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】A
【详解】对图（a）中的小球应用机械能守恒定律有 解得 所以，小球上升高度h时
的末速度一定等于零；
A．根据机械能守恒定律得 解得 ，A能上升到h处，A正确；
BC．两个小球上升到h前已经离开轨道，最高点速度不为零，所以B、C两个小球无法上升到h处，BC错
误；
D．D球无法到达h处，因为最高点速度不为零，D错误。故选A。
4．如图，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一水平线上。若小滑块第一次由
A滑到C，所用的时间为t，平均摩擦力f，到C点的速率v。第二次由C滑到A，所用时间为t，平均摩
1 1 1 2
擦力f，到A点的速率v，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的
2 2
动摩擦因数恒定，则（ ）A．f > f B．t = t C．t > t D．v > v
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】D
【详解】ABCD．在AB段，由牛顿第二定律得 滑块受到的支持力 则速度v越大，
滑块受支持力F越小，摩擦力f = μF就越小。在BC段，由牛顿第二定律得 滑块受到的支持
力 则速度v越大，滑块受支持力F越大，摩擦力f = μF就越大。由题意知从A运动到C相比
从C到A，在AB段速度较大，在BC段速度较小，所以从A到C运动过程受摩擦力较小（f < f），用时
1 2
短（t < t），克服摩擦力做功较小，根据动能定理可得v > v，故D正确，ABC错误。故选D。
1 2 1 2
5．2018 年国际雪联单板滑雪U形池世锦赛决赛在西班牙内华达山收官，女子决赛中，中国选手蔡雪桐以
90．75 分高居第一，成功卫冕．如图所示，单板滑雪 U形池场地可简化为固定在竖直面内的半圆形轨道
场地，雪面不同曲面处的动摩擦因数不同．因摩擦作用， 滑雪运动员从半圆形场地的坡顶下滑到坡底的
过程中速率不变，则（ ）
A．运动员下滑的过程中加速度不变
B．运动员下滑的过程所受摩擦力先增大后减小
C．运动员下滑过程中与雪面的动摩擦因数变小
D．运动员滑到最低点时对轨道的压力等于物体的重力
【答案】C【详解】A．运动员在下滑过程中速率不变，故可看做匀速圆周运动，根据： 可知加速度大小不变，
方向始终指向圆心，方向时刻在变，故加速度时刻在变；故A错误
B．设支持力 与竖直方向的夹角为θ，则摩擦力 ： 在下滑过程中，由于角度变小，故
变小，则 变小；故B错误。
C．设支持力 与竖直方向的夹角为θ，则 ； 由于合力大小不变，
故在下滑过程中，由于角度变小，故 变大， 变小，故 变大， 变小，根据： 可知，
摩擦因数减小；故C正确
D．在最低点时： 依题意，有速度，则支持力不等于重力，根据牛顿第三定律，压力等于支
持力，所以压力不等于重力；故D错误。
6．现有一根长0.4m的刚性轻绳，其一端固定于O点，另一端系着一个可视为质点且质量为1kg的小球，
将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示。不计空气阻力，g=10m/s2，则（
）
A．小球以1m/s的速度水平抛出到绳子再次伸直时的位置在过O点的水平线之上
B．小球以1m/s的速度水平抛出到绳子再次伸直时的位置在过O点的水平线之下C．小球以2m/s的速度水平抛出的瞬间，绳子的张力大小为10 N
D．小球以4m/s的速度水平抛出的瞬间，绳中的张力大小为30N
【答案】BD
【详解】AB．若要想使得细绳恰在与O点水平线时细绳伸直，则需满足 ； 解得
则若小球以1m/s的速度水平抛出，则到绳子再次伸直时的位置在过O点的水平线之下，选项A错误，B正
确；
CD．要使小球在竖直面内能够做完整的圆周运动，在最高点时重力恰好提供的向心力，根据牛顿第二定律
可得mg＝m 解得v＝ ＝2m/s小球以2m/s的速度水平抛出的瞬间，轻绳刚好有拉力，
张力为0；小球以4m/s的速度水平抛出的瞬间，对小球受力分析，由牛顿第二定律得T+mg＝m
解得T＝30N故D正确，C错误；故选BD。
7．如图所示，轻质的细杆一端连接有质量为m的小球，轻杆可绕另一端在竖直平面内转动，杆的长度为
l，小球可以当作质点，当杆转动到竖直平面的最高点时，小球的速度为 ，忽略小球受到的阻力，g
为重力加速度。下列说法中正确的是
A．小球在最高点时小球对轻杆的弹力方向向上B．小球在最高点时轻杆对小球的弹力大小为 mg
C．小球转动到最低点时，杆对小球的弹力大小为 mg
D．若小球在最高点受到杆的弹力大小为 mg，小球在最高点的速度一定为
【答案】BC
【详解】AB.对位于最高点的小球分析受力，设轻杆对小球的弹力F方向向下，由牛顿第二定律有
，代入速度值，解得 ，负号表示方向向上，轻杆对小球的弹力方向向上，小球对
轻杆的弹力方向向下，选项A错误、B正确；
C.设轻杆在最低点对球的弹力为F，由牛顿第二定律有 ，根据动能定理可求小球的速度
1
，则 ，选项C正确；
D.若小球在最高点受到杆的弹力大小为 ，小球受到杆的力可能是拉力也可能是支持力，
， 或 ，选项 D 错误；故选择：BC；
8．如图所示，一个内部光滑的螺旋状管道固定在竖直平面内，外、中、内三段圆周的直径之比为5∶4∶3，
最外侧管道的直径d。某时刻，小球以大小为v 的初速度从水平管道的左端O处射入管道，小球恰好能够
0
在管道内自由移动。管道的粗细远小于其螺旋半径，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）A．当小球的初速度 时，小球能够运动到M点，且对管道的压力等于mg
B．当小球的初速度 时，小球能够运动到N点，且对管道的压力等于零
C．当小球的初速度 时，小球恰好运动到N点，且对管道的压力等于mg
D．当小球的初速度 时，小球能够运动到M点，且对管道的压力等于零
【答案】AB
【详解】A．从O点到M点根据机械能守恒定律有 设在M点，管道对小球的作用力为
F，根据牛顿第二定律有mg+F = 当 时，解得小球到M点的速度v =0；F =mg所以小球对
M M M
管道的压力等于mg，A正确。
B．同理当 时，根据机械能守恒定律有 小球运动到N点时速度大小为根据 对轨道的压力大小为0，B正确。
CD．当 时，设小球能够到达的最大高度为h，根据机械能守恒有 解得
可见，小球在最外侧轨道运动到与N点等高的位置时，速度变为零，不会运动到N点，更不会运动到M点，
则CD错误。故选AB。
