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专题 09 竖直面内的圆周运动模型
目录
一．一般圆周运动的动力学分析......................................................................................................................1
二．竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析..............................................................................1
三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论..................................................................................................2
三.过拱凹形桥模型...........................................................................................................................................29
一．一般圆周运动的动力学分析
如图所示，做圆周运动的物体，所受合外力与速度成一般夹角时，可将合外力沿速度和垂直速度分解，则
由牛顿第二定律，有：
F
τ
F
n
v
F
，a 改变速度v的大小
τ
，a 改变速度v的方向，
n
作一般曲线运动的物体，处理轨迹线上某一点的动力学时，可先以该点附近的一小段曲线为圆周的一部分
作曲率圆，然后即可按一般圆周运动动力学处理。
F
τ
F
n v
F
，a 改变速度v的大小
τ
，a 改变速度v的方向， ，ρ为曲率圆半径。
n
二．竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比分析
轻绳模型（没有支撑） 轻杆模型（有支撑）
常见
类型
过最高点的临
由mg＝m得v
临
＝ 由小球能运动即可得v
临
＝0√5gr √4gr
界条件
对应最低点速度v ≥ 对应最低点速度v ≥
低 低
绳不松不脱轨 √5gr √2gr
不脱轨
条件 v ≥ 或v ≤
低 低
F -mg =mv 2/r F -mg =mv 2/r
低 低 低 低
最低点弹力
F =mg+mv 2/r，向上拉力 F =mg+mv 2/r，向上拉力
低 低 低 低
(1)当v＝0时，F ＝mg，F 为向上支持力
N N
(2)当0＜v＜时，－F ＋mg＝m，F 向上支持
过最高点时，v≥，F ＋mg＝m，绳、轨 N N
N 力，随v的增大而减小
最高点弹力
道对球产生弹力F
N
＝m-mg
(3)当v＝时，F ＝0
向下压力 N
(4)当v＞时，F ＋mg＝m，F 为向下压力并随
N N
v的增大而增大
在最高
点的F
N
图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向
三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论
【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A和最低点
记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为
要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A 的向心力恰好等于重力时，由 可得 ①
对应C点的速度有机械能守恒
得 ②
当小球在C点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O点等高的D位置则由机械能守恒
得 ③
小结：(1).当 时小球能通过最高点A小球在A点受轨道向内的支持力
由牛顿第二定律 ④(2).当 时小球恰能通过最高点A小球在A点受轨道的支持力为0
由牛顿第二定律 。⑤
(3).当 时小球不能通过最高点A小球在A点，上升至DA圆弧间的某一位向右做斜抛
运动离开圆周，且v越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0
在DA段射重力与半径方向的夹角为 则 、
(4).当 时小球不能通过最高点A上升至CD圆弧的某一位置速度减为0之后沿圆弧返回。上
升的最高点为C永不脱离轨道
【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力
(1)从最高点A点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律： 得 ⑥
(2)从与O等高的D点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律： 得 ⑦
(3)从A点以初速度 释放小球到达最低点
由机械能守恒
在C点由牛顿运动定律： 得 ⑧
【模型演练1】（2023·山东·模拟预测）如图所示，两个圆弧轨道竖直固定在水平地面上，半径均为R，a轨道由金属凹槽制成，b轨道由金属圆管制成（圆管内径远小于R），均可视为光滑轨道。在两轨道右端
的正上方分别将金属小球A和B（直径略小于圆管内径）由静止释放，小球距离地面的高度分别用 和
表示，两小球均可视为质点，下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，两小球都能沿轨道运动到轨道最高点
B．若 ，两小球沿轨道上升的最大高度均为R
C．适当调整 和 ，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处
D．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出， 的最小值为 ，B小球在 的任何高度释放均可
【答案】BD
【详解】AD．B轨道是双轨模型，到达最高点的最小速度为零。即若 时，B球能沿轨道运动到最
高点；若A小球恰好运动到最高点，则有
解得
可知，若小球A能够到达最高点，需要
选项A错误，D正确；
B．若 ，根据机械能守恒定律可知，两小球沿轨道上升的最大高度均为R，不超过过圆心的水平线，选项B正确；
C．B小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口，则有
对B球有
解得
对A球，从最高点射出时最小速度为 此时根据
解得
则无论如何调节h 都不可能使A小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处，选项C错误；
A
故选BD。
【模型演练2】．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）一不可伸长的轻绳上端悬挂于 点，另一端系
有质量为 的小球，保持绳绷直将小球拉到绳与竖直方向夹角为 的 点由静止释放，运动到 点的正下
方时绳断开，小球做平抛运动，已知 点离地高度为 ，绳长为 ，重力加速度大小为 ，不计空气阻力，
下列说法正确的是（ ）
A．在绳断开前，小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．在绳断开前瞬间，小球处于失重状态C．在绳断开前瞬间，小球所受绳子的拉力大小为
D．若夹角 不变，当 时，落点距起点的水平距离最远
【答案】CD
【详解】A．在绳断开前，小球在竖直平面内做圆周运动，小球只受重力和绳的拉力作用，故A错误；
B．在绳断开前瞬间，小球加速度方向竖直向上，处于超重状态，故B错误；
C．在绳断开前瞬间，设小球受绳子拉力为 ，根据牛顿第二定律可得
质量为 的小球由静止开始，运动到 点正下方过程中机械能守恒，则有
联立解得
故C正确；
D．绳断开后，小球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则有
在竖直方向上做自由落体运动，则有
联立解得
根据基本不等式可知，当
即 时，落点距起点的水平距离最远，故D正确。
故选CD。
【模型演练3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、
静止于A点的滑块P接触但不粘连，滑块P所在光滑水平轨道与半径为0.8m的光滑半圆轨道平滑连接于B
点，压缩的弹簧储存的弹性势能为2.8J，重力加速度取10m/s2，现将弹簧解除锁定，滑块P被弹簧弹出，脱离弹簧后冲上半圆轨道的过程中（ ）
A．可以到达半圆轨道最高点D
B．经过B点时对半圆轨道的压力大小为9N
C．不能到达最高点D，滑块P能到达的最大高度为1.35m
D．可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s
【答案】BC
【详解】A．设滑块P恰能通过最高点D，则有
解得
则滑块P从B点到D点，根据动能定理有
解得滑块在B点的动能为
所以滑块不能到达半圆轨道最高点D，故A错误；
B．滑块经过B点时的速度大小为v ，根据功能关系可得
B
在B点根据牛顿第二定律可得
联立解得
根据牛顿第三定律可知对半圆轨道的压力大小为9N，故B正确；
CD．滑块在C点的重力势能为则滑块可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，此时的速度大小为v
根据功能关系可得
根据牛顿第二定律可得
联立解得
，
滑块离开轨道后做斜上抛运动
根据功能关系可得
解得滑块P能到达的最大高度为
故C正确，D错误。
故选BC。
【模型演练4】．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）如图甲所示，若有人在某星球上用一轻质绳拴
着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时速度大小为v，
绳对小球的拉力为T，其 图像如图乙所示，则下列选项正确的是（ ）A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当 时，轻质绳的拉力大小为
D．只要 ，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为6a
【答案】BD
【详解】A．在最高点时，绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力，则有
得
由图像知， 时， 。图像的斜率
则有
解得绳长
A错误；
B．当 时， ，代入得
得
B正确；
C．当 时，代入
解得
C错误；
D．由图知只要 ，在最高点绳子的拉力大于0，根据牛顿第二定律知，在最高点有
在最低点有
从最高点到最低点的过程中，根据机械能守恒定律得
联立解得
即小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为 ，D正确。
故选BD。
【模型演练5】．（2023春·山东济南·高三统考阶段练习）如图所示，长为L的轻绳一端固定在O点，另
一端固定一小球（可看成质点），现使小球在最低点获得 的水平初速度，取重力加速度为g，在
此后的运动过程中，下列说法正确的是（ ）A．轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直向上方向夹角的余弦值为
B．轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直向上方向夹角的余弦值为
C．小球第一次运动到最高点时与O点的高度差为
D．小球第一次运动到最高点时与O点的高度差为
【答案】BC
【详解】AB．小球以初速度 绕O点做圆周运动，当轻绳第一次刚好松弛时，绳的拉力为零，设
此时的速度大小为 ，轻绳与竖直向上方向夹角为 ，如图所示
由径向合力提供向心力，有
由动能定理有
联立解得，
故A错误，B正确；
CD．绳子松弛后，小球只受重力，以速度 做斜上抛运动，竖直向上做匀减速直线运动，当小球到达最高
点时竖直方向的速度减为零，有
而
则小球第一次运动到最高点时与O点的高度差为
故C正确，D错误。
故选BC。
【模型演练6】．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，
管道半径为R，小球直径略小于管径（管径远小于R），则下列说法正确的是（重力加速度为g）（ ）
A．小球通过最高点时的最小速度
B．小球通过最高点时的最小速度v ＝0
min
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】BC
【详解】AB．小球沿管道上升到最高点时的速度可以为0，故A错误，B正确；
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力F 与小球重力在背离圆心方向的分
N
力F的合力提供向心力，即因此，外侧管壁一定对球有作用力，而内侧管壁无作用力，故C正确；
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，当只有重力提供向心力时，外侧管壁对小球无作用力，故D错
误。
故选BC。
【模型演练7】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一轻绳系一小球竖直悬挂在O点，现保持绳处
于拉直状态，将小球拉至与O等高的A点，由静止自由释放小球。球运动过程中经过C点时，绳与竖直方
向的夹角为 ，以下判断正确的是（ ）
A．小球下摆到最低点的过程中，重力平均功率为0
B．小球运动至C点时，其加速度大小为
C．小球运动至C点时，轻绳对小球的拉力大小
D．若小球经过C点时重力功率最大，则
【答案】CD
【详解】A．下落的过程中，重力做功不等于0，根据
可知重力的平均功率不为0，A错误；
B．小球运动至C点时，对小球分析可知，其切向有
解得切向加速度大小为小球做圆周运动，沿半径方向还具有向心加速度，因此小球运动至C点时，其加速度大小必定大于 ，
B错误；
C．设绳长为l，根据机械能守恒
，
解得
C正确；
D．重力功率最大时，小球在竖直方向的分速度应该达到最大值，可知此时竖直方向合力为0，因此
解得
D正确。
故选CD。
【模型演练8】．（2023·高三课时练习）如图所示，轻绳的上端系于天花板上的O点，下端系有一只小球。
将小球拉离平衡位置一个角度后无初速释放。当绳摆到竖直位置时，与钉在O点正下方P的钉子相碰。在
绳与钉子相碰瞬间，以下判断正确的是（ ）
A．小球的线速度突然增大 B．小球的角速度突然增大
C．小球的向心加速度突然减小 D．小球所受拉力突然增大
【答案】BD
【详解】A．绳碰钉瞬间，球受的重力和拉力都在竖直方向，与速度方向垂直，因此不改变速度大小，即
线速度不变，故A错误；
B．该瞬间球做圆周运动的半径突然变小，根据 可知，v不变，r变小，则 突然增大，故B正确；
C．根据 可知，v不变，r变小，则a突然增大，故C错误；
D．此时根据牛顿第二定律有可知r变小，则F突然增大，故D正确。
故选BD。
【模型演练9】．（2023·湖北·模拟预测）有一种被称为“魔力陀螺”的玩具如图甲所示，陀螺可在圆轨道
外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，它可等效为一质点在圆轨道外侧运动模型，如图乙所
示。在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为 ，A、 两点分别为轨道的最高点与最低点。质点沿轨道
外侧做完整的圆周运动，受圆轨道的强磁性引力始终指向圆心 且大小恒为 ，当质点以速率 通
过A点时，对轨道的压力为其重力的7倍，不计摩擦和空气阻力，质点质量为 ，重力加速度为 ，则
（）
A．强磁性引力的大小
B．质点在 点对轨道的压力小于在 点对轨道的压力
C．只要质点能做完整的圆周运动，则质点对A、 两点的压力差恒为
D．若强磁性引力大小为 ,为确保质点做完整的圆周运动，则质点通过 点的最大速率为
【答案】ACD
【详解】A．在A点，对质点，由牛顿第二定律有
根据牛顿第三定律有
解得故A正确；
BCD．质点能完成圆周运动，在A点根据牛顿第二定律有
根据牛顿第三定律有
在B点，根据牛顿第二定律有
根据牛顿第三定律有
从A点到B点过程，根据动能定理
解得
若磁性引力大小恒为F，在B点，根据牛顿第二定律
当F =0，质点速度最大
B
v =v
B Bm
解得
选项B错误，CD正确。
故选ACD。
【模型演练10】．（2023·湖南·模拟预测）一半径为r的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动，
如图甲所示。小球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为 ，小球的速度大小为v，其 图像如图乙所示。已知重力加速度为g，规定竖直向下为正方向，不计一切阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为
B．圆形管道内侧壁半径为
C．当 时，小球受到外侧壁竖直向上的作用力，大小为
D．小球在最低点的最小速度为
【答案】AB
【详解】A．规定竖直向下为正方向，设圆形管道内侧壁半径为R，小球受到圆形管道的作用力大小为 ，
在最高点，由牛顿第二定律，当 时
当 时，由重力提供向心力有
解得
当 时，由牛顿第二定律有
解得当 时，由牛顿第二定律有
解得
故
故小球的质量为 或 ，故A正确；
B．当 时
解得圆形管内侧壁半径
故B正确；
C．当 时，小球受到外侧壁竖直向下的作用力，由牛顿第二定律有
解得
故C错误；
D．根据能量守恒定律，当小球在最高点具有最小速度（为零）时，其在最低点的速度最小，即故D错误。
故选AB。
【模型演练11】（2023·福建·模拟预测）如图1，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道 ，半径为
，小球以一定的初速度从最低点A冲上轨道，图2是小球在半圆形轨道上从A运动到 的过程中，其
速度平方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点 受到轨道的作用力为 ，空气阻力不计， 点
为 轨道中点，重力加速度 取 ，下列说法错误的是（ ）
A．最高点时小球所受的合外力竖直向下
B．图2中
C．小球在B点受到轨道作用力为
D．小球质量为
【答案】C
【详解】A．在最高点，小球所受合外力提供向心力，故方向竖直向下，A正确，不符合题意；
D．由图2可得在最高点，小球的速度 ，由牛顿第二定律
可解得小球的质量
故D正确，不符合题意；
B．小球从A运动到 的过程中，由机械能守恒定律
解得故B正确，不符合题意；
C．小球从A运动到B的过程中，由机械能守恒定律
解得
小球在B点受到轨道作用力为
故C错误，符合题意。
故选C。
【模型演练12】．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为 的小球，在竖直
平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为 ，小球在最高点的速度大
小为 ，其 图像如图乙所示，则（ ）
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当 时，轻质绳的拉力大小为
D．只要 ，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为
【答案】D
【详解】A．小球运动到最高点时，对小球受力分析，由牛顿第二定律有可得
可知图线斜率为
可得轻质绳长为
故A错误；
B．由图像可知纵轴上截距的绝对值为
则有
故B错误；
C．由图像可知
故当 时，有
故C错误；
D．从最高点到最低点，由机械能守恒有
在最低点对小球受力分析，由牛顿第二定律有
联立可得小球在最低点和最高点时绳的拉力差为
故D正确。故选D。
【模型演练13】．（2023·辽宁·校联考模拟预测）如图所示，一长为L的轻绳拉着质量为m的小球保持静
止。现在给小球一个水平初速度，使小球在竖直面内做完整的圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为
g，则下列判断正确的是（ ）
A．小球在最高点的速度可以等于0
B．小球获得的初速度大小为
C．小球做圆周运动的过程中仅有一处合力指向圆心
D．小球过最低点与最高点时受到绳的拉力大小之差等于6mg
【答案】D
【详解】A．小球在竖直面内做完整的圆周运动，若小球恰好能通过最高点，则有重力提供向心力，可得
解得
可知小球能通过最高点的最小速度是 ，因此小球在最高点的速度不可以等于0，A错误；
B．若小球恰好能通过最高点，设小球获得的初速度大小为v＇，则在最低点时由动能定理，则有
解得
由以上计算可知， 是小球获得的初速度大小的最小值，有可能比这个速度要大，B错误；
C．小球在竖直面内做完整的变速圆周运动，由以上分析可知，小球在最高点和最低点处合力指向圆心，C
错误；
D．设小球在最高点时的速度为v，在最低点时的速度为 ，由动能定理可得
0小球在最高点时，由牛顿第二定律可得
小球在最低点时，由牛顿第二定律可得
联立以上各式解得
D正确。
故选D。
【模型演练14】（2023春·重庆·高三统考阶段练习）如图所示，半径为R的光滑细圆管用轻杆固定在竖直
平面内。某时刻，质量为1kg、直径略小于细圆管内径的小球A（可视为质点）从细管最高点静止释放，
当小球A和细圆管轨道圆心连线与竖直方向夹角为37°时，小球对轨道的压力大小为（ ）（
）
A．38N B．40N C．42N D．44N
【答案】D
【详解】以小球为对象，根据动能定理可得
解得
根据牛顿第二定律可得解得
根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力大小为 。
故选D。
【模型演练15】．（2023秋·黑龙江牡丹江·高三校考阶段练习）如图所示，质量为M的物体内有光滑圆形
轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道的竖直面做圆周运动，A、C为圆周的最高点和最低点，B、
D与圆心O在同一水平线上。小滑块运动时物体M保持静止，关于物体M对地面的压力N和地面对物体
的摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．滑块运动到A点时， ，M与地面无摩擦力
B．滑块运动到B点时， ，物体所受摩擦力方向向右
C．滑块运动到C点时， ，M与地面无摩擦力
D．滑块运动到D点时， ，物体所受摩擦力方向向左
【答案】B
【详解】A．当到达最高点时，整个装置处于失重状态，所以地面对整体的
且与地面之间无摩擦力，A错误；
B．滑块运动到B点时，物块与M之间的作用力在水平方向上，所以N=Mg，且M对物体的作用力提供了
向心力，M对物体作用力向右，所以物体对M作用力向左，而M静止，地面对M的摩擦力向右，B正确；
C．物块到达C点时，M对物块的作用力竖直向上，与物块重力的合力一起提供了向心力，处于超重状态，
所以
N>( M+m) g水平方向没有作用力，可以判断M与地面无摩擦力，C错误；
D．运动到D点时，物块与M之间的作用力在水平方向上，所以N=Mg，且M对物体的作用力提供了向心
力，M对物体作用力向左，所以物体对M作用力向右，而M静止，地面对M的摩擦力向左，D错误。
故选B。
【模型演练16】（2023·四川成都·统考三模）某同学用图（a）所示装置探究竖直面内的圆周运动。固定在
同一竖直面的轨道由三部分构成，直轨道 与圆轨道 在 端相切，最低点 处有压力传感器，圆轨
道 的 端与 等高且两端的切线均竖直， ，两圆轨道的半径相同、圆心等高。将一小
球从轨道 上不同位置静止释放，测出各次压力传感器的示数 ，得到 与释放点到 点的高度 的关
系图像如图（b）。小球可视为质点且恰好能自由通过D、E端口，不计摩擦力和空气阻力，重力加速度
。
（1）求小球的质量 和两圆轨道的半径 ；
（2）要让小球沿圆轨道通过 点，求释放点的高度 满足的条件。
【答案】（1） ， ；（2）
【详解】（1）从释放到C点，由机械能守恒定律有
在C点，由牛顿第三定律知，支持力大小等于压力大小，由牛顿第二定律有
两式联立得结合题图（b）的 图像可知
解得
（2）从释放到G点，由机械能守恒定律有
恰好到达 点的条件是球对轨道的压力恰为零，由牛顿第二定律有
代入数据解得
故满足的条件是： 。
【模型演练17】（2023·河北·校联考三模）如图所示，半径为R的光滑圆轨道固定在竖直平面内，一小球
（可看成质点）静止在轨道的最低点，现使小球在最低点获得 的水平初速度，重力加速度为g，
在此后的运动过程中，求：
（1）小球刚要脱离圆轨道时，小球与轨道圆心的连线与竖直向上方向夹角的余弦值；
（2）小球第一次运动到最高点时与轨道圆心的高度差。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）小球刚要脱离圆轨道时，小球与轨道圆心的连线与竖直方向夹角为 ，此时小球的速度大小为 ，此时对小球
对小球由动能定理可得
解得
（2）小球到达最高点的速度大小为
对小球由动能定理可得
解得
小球第一次运动到最高点时与轨道圆心的高度差为
【模型演练18】．（2023·上海·高三专题练习）如图所示，AB段是长s=2.5m 的粗糙水平轨道，BC段是半
径R=0.5m的光滑半圆弧轨道，半圆弧轨道在B处与AB相切，且处于竖直面内。质量m=0.1kg的小滑块，
受水平恒力F的作用由A点从静止开始运动，到达B点时撤去力F。已知小滑块与AB间的动摩擦因数为
0.25，设小滑块在AB上所受最大静摩力的大小即为滑动摩擦力的大小，g取10m/s2。
（1）为使小滑块能到达C点，小滑块在B点时的速度至少为多大？
（2）为使小滑块能做沿圆弧轨道返回的运动，F的取值范围是什么？
（3）第（2）问的条件下，小滑块是否有可能返回到A点？试分析说明理由。【答案】（1）5m/s；（2）0.25N < F ≤ 0.45N；（3）见解析
【详解】（1）在C点时由
推得
（2）要使小滑块在AB轨道上能动起来，必需满足 ，即
为使小滑块能做沿圆弧轨道返回的运动，小滑块最高只能到达与 O 点同高的位置：
对于小滑块在AB轨道上的匀加速运动，有
由
推得所以
0.25 N < F ≤ 0.45 N
（3）当 F = 0.45 N 时
小滑块从 B 点返回 A 点，克服摩擦力做的功
J
因为 ，所以小滑块不可能返回 A 点。
当 F 取其它值时，小滑块在 B 点时的动能更少，更不可能返回到 A 点。总之，第（2）问的条件下，
小滑块不可能回到 A 点。
【模型演练19】．（2022·全国·高三专题练习）物体做圆周运动时所需的向心力F 由物体运动情况决定，
需
合力提供的向心力F 由物体受力情况决定。若某时刻F ＝F ，则物体能做圆周运动；若F >F ，物体
供 需 供 需 供
将做离心运动；若F v，故绳受拉力。根据牛顿第二定律有
1 0
代入数据得绳所受拉力
T＝3 N
（3）因为vmg，且速度v越大，F 越
N N
大。
（3）当0≤v≤ 时，0≤F ≤mg，且速度v越大，F 越小；
N N
（4）当v> 时，汽车将脱离桥面，将在最高点做平抛运
动，即所谓的“飞车”。
【模型演练21】（2023·湖南·统考高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧
段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等
于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v 冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是
0
（ ）
A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变C．小球的初速度
D．若小球初速度v 增大，小球有可能从B点脱离轨道
0
【答案】AD
【详解】A．由题知，小球能沿轨道运动恰好到达C点，则小球在C点的速度为
v 0
则小球从C到B的过程中，有
联立有
F = 3mgcosα－2mg
N
则从C到B的过程中α由0增大到θ，则cosα逐渐减小，故F 逐渐减小，而小球从B到C的过程中，对轨
N
道的压力逐渐增大，A正确；
B．由于A到B的过程中小球的速度逐渐减小，则A到B的过程中重力的功率为
P = －mgvsinθ
则A到B的过程中小球重力的功率始终减小，则B错误；
C．从A到C的过程中有
解得
C错误；
D．小球在B点恰好脱离轨道有
则
则若小球初速度v 增大，小球在B点的速度有可能为 ，故小球有可能从B点脱离轨道，D正确。
0
故选AD。【模型演练22】（2023·全国·高三专题练习）在竖直平面内光滑圆轨道的外侧，有一小球（可视为质点）
以某一水平速度从最高点A出发沿圆轨道运动，至B点时脱离轨道，最终落在水平面上的C点，圆轨道半
径为 ，重力加速度为 ，不计空气阻力。下列说法中正确的是（ ）
A．小球从A点出发的速度大小
B．小球经过B点时的速度大小
C．小球经过B点时速度变化率大小为
D．小球落在C点时的速度方向竖直向下
【答案】C
【详解】A．根据题意可知，小球在A点没有脱离轨道，则小球对圆轨道的压力不为零，由牛顿第二定律
有
解得
故A错误；
B．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，则小球对圆轨道的压力为零，只受重力作用，设此时小球与圆
心的连线与竖直方向的夹角为 ，由牛顿第二定律有
解得
故B错误；
C．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，则小球对圆轨道的压力为零，只受重力作用，小球的加速度为
，即小球经过B点时速度变化率大小为 ，故C正确；
D．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，速度方向为斜向下，只受重力作用，水平方向做匀速直线运动，小球落地时，水平方向速度不为零，则小球落在C点时的速度方向不可能竖直向下，故D错误。
故选C。
【模型演练23】．（2023秋·辽宁盘锦·高三辽河油田第二高级中学校考期末）如图所示，上表面光滑，半
径为 的半圆柱体放在水平面上，小物块位于半圆柱体顶端，若给小物块一水平速度 ，重
力加速度 取 ，下列说法正确的是（ ）
A．小物块将沿半圆柱体表面滑下来
B．小物块落地时水平位移大小为
C．小物块落地速度大小为
D．小物块落地时速度方向与水平地面成 角
【答案】C
【详解】A．设小物块在半圆柱体顶端做圆周运动的临界速度为 ，则重力刚好提供向心力时，由牛顿第
二定律得
解得
因为
所以小物块将离开半圆柱体做平抛运动，故A错误；
B．小物块做平抛运动时竖直方向满足
水平位移为
联立解得故B错误；
C．小物块落地时竖直方向分速度大小为
落地时速度的大小为
联立解得
故C正确；
D．由于
故落地时速度方向与水平地面成 角，满足
解得
故D错误。
故选C。
【模型演练24】(2023·湖北荆州市高三上学期质量检测)一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又
以相同速率通过一圆弧形凹形桥．设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力 F 为车重
N1
的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为F ，则F 与F 之比为( )
N2 N1 N2
A．3∶1 B．3∶2
C．1∶3 D．1∶2
【答案】选C.
【解析】：汽车过圆弧形桥的最高点(或最低点)时，由重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力．如
图甲所示，汽车过圆弧形拱形桥的最高点时，由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面
的压力大小相等，即F ＝F′ ①
N1 N1
所以由牛顿第二定律可得
mg－F′ ＝②
N1同样，如图乙所示，F′ ＝F ，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有F′ －mg＝③
N2 N2 N2
由题意可知F ＝mg④
N1
由①②③④式得F ＝mg，所以F ∶F ＝1∶3.
N2 N1 N2
【模型演练25】(2023·安徽合肥市第二次质检)如图，在一固定在水平地面上A点的半径为R的球体顶端放
一质量为m的物块，现给物块一水平初速度v，则( )
0
A．若v＝，则物块落地点距离A点为 R
0
B．若球面是粗糙的，当v<时，物块一定会沿球面下滑一段，再斜抛离开球面
0
C．若v<，则物块落地点离A点为R
0
D．若v≥，则物块落地点离A点至少为2R
0
【答案】D.
【解析】：若v≥，物块将离开球面做平抛运动，由y＝2R＝、x＝vt，得x≥2R，A错误，D正确；若v<，
0 0 0
物块将沿球面下滑，若摩擦力足够大，则物块可能下滑一段后停在球面上某位置，若摩擦力较小，物块将
在球心上方球面上某处离开，向下做斜抛运动，落地点到A点距离大于R，B、C错误．
