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专题03 动态圆模型
模型(一) “平移圆”模型
适用
条件
粒子源发射速度大小、方向一定，
入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周
运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示
圆心
共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连
线平行
界定
方法
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移
圆”法
模型(二) “旋转圆”模型
适用
条件
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子垂直进入匀强磁场时，它们在
磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径
为R＝，如图所示
圆心
共圆
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R＝的
圆上
界定
方法
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称
为“旋转圆”法
模型(三) “放缩圆”模型
适用
条件
粒子源发射速度方向一定、大小不同的同种带电粒子垂直进入匀强磁场时，这些带
电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
圆心
1
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共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。可以发
现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定
方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界
条件，这种方法称为“放缩圆”法
【模型演练1】（2023 上·河南洛阳·高二统考期中）在 Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B 的匀
强磁场，磁场方向如图所示，AD、AC 边界的夹角为30°，边界 AC 与边界 MN 平行，Ⅱ区域宽度为d、
质量为m、电荷量为q 的正粒子，可在边界AD 上的不同点以垂直AD 且垂直磁场的方向射入磁场，若入射
速度大小为
不计粒子重力，则（ ）
A．粒子在磁场中运动的半径为0.5d
B．粒子在距A 点0.5d 处射入，会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A 点1.5d 处射入，在 Ⅰ 区域内运动的时间为
D．能够进入 Ⅱ 区域的粒子，在 Ⅱ区域内运动的最短时间为
【答案】BC
【详解】AB．粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有
2
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其中
解得
r=d
画出恰好不进入Ⅱ区的临界轨迹，如图所示
结合几何关系，有
故从距A 点0.5d 处射入，会进入Ⅱ区，故A 错误，B 正确；
C．粒子距A 点1.5d 处射入，在Ⅰ区内运动的轨迹为半个圆周，故时间为
故C 正确；
D．从A 点进入的粒子在磁场中运动的轨迹最短（弦长也最短），时间最短，轨迹如上图所示，轨迹对应
的圆心角为60°，故时间为
故D 错误。故选BC。
【模型演练2】．（2022·黑龙江·统考二模）如图所示，半径为R 的圆形区域内有一垂直纸面向外的匀强磁
场，磁感应强度大小为B ，P 是磁场边界上的最低点。大量质量均为m，电荷量为-q（q > 0）的带电粒子，
以相同的速率从P 点向纸面内的各个方向射入磁场区域。已知粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r =
2R， A、C 为圆形区域水平直径的两个端点，粒子的重力、空气阻力和粒子间的相互作用均不计，则下列
说法正确的是（ ）
3
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A．粒子射入磁场时速率为
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．不可能有粒子从C 点射出磁场
D．不可能有粒子从A 点沿水平方向射出磁场
【答案】BD
【详解】A．粒子在磁场中做圆周运动，根据牛顿第二定律：
且r＝2R，所以
A 选项错误；
B．要使带电粒子在圆形磁场中的运动时间最长，则粒子圆周运动的轨迹应以磁场圆直径为弦，则粒子的
运动轨迹如图甲。由几何关系知，此轨迹在磁场中的偏转角为60°，所以最长时间为
故B 选项正确；
C．当入射速度的方向合适时，是可以确定从C 点射出的粒子圆周运动的圆心的，如图乙所示，作PC 的中
垂线，以P 或C 点为圆心以2R 为半径画圆弧交PC 中垂线于O，O 点即为能通过C 点轨迹的圆心，故C 选
项错误；
D．若粒子能从A 点水平射出磁场，则在A 点作速度方向的垂线，再作AP 两点的中垂线，交点即为圆心，
此时圆周运动的半径r≠2R，如图丙所示，故D 选项正确。
故选BD。
4
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【模型演练3】（2024 上·四川内江·高二统考期末）如图，在真空中有一等腰直角三角形ADC 的区域内，
存在方向垂直纸面向外的匀强磁场。图中D、O、C 三点在同一直线上，AO 与CD 垂直。A 点处的粒子源
持续将比荷一定但速率
不同的带正电的粒子沿AO 方向射入磁场区域中，不计粒子的重力及粒子之间的
相互作用。关于粒子在匀强磁场中运动的情况，下列说法正确的是（ ）
5
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A．从AD 边出射的粒子，入射速度越大，其运动轨迹越短
B．从CD 边出射的粒子，入射速度越大，其运动轨迹越短
C．从AD 边出射的粒子的运动时间不相等，从CD 边出射的粒子的运动时间不相等
D．从AD 边出射的粒子的运动时间都相等，从CD 边出射的粒子的运动时间都相等
【答案】B
【详解】
A．粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力
则可知
由题知，粒子源持续将比荷一定但速率
不同的带正电的粒子沿AO 方向射入磁场区域中，由图知，从AD
边出射的粒子，
越大，半径越大，轨迹越长。A 错误；
B．同理由图知，从CD 边出射的粒子，入射速度越大，半径越大，轨迹越短。B 正确；
CD．如图所示，带正电的粒子沿AO 方向射入磁场区域中，则可知圆周运动半径垂直于AO，从AD 边出射
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的粒子由几何关系知，圆心角都相同，由周期公式知，
，则AD 边出射的粒子运动时间相同。CD
边出射的粒子如图所示，圆心角不同，运动时间不同。CD 错误；
故选B。
一、单选题
1．（2020·全国·统考高考真题）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中
虚线所示，
为半圆，ac、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q
（q>0）的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。
在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动
，
可得粒子在磁场中的周期
粒子在磁场中运动的时间
则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长；过点做半圆的切线交
7
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于点，如图所示
由图可知，粒子从点离开时，轨迹对应的圆心角最大，在磁场中运动时间最长；由图中几何关系可知，
此时轨迹对应的最大圆心角为
则粒子在磁场中运动的最长时间为
故选C。
2．（2023 下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面
向外，其边界如图中虚线所示，
为半圆，ac，bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径R。一束
质量为m、电荷量为q（
）的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不
计粒子之间的相互作用，在磁场中运动时间最长的粒子，其对应的运动速率为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】C
【详解】根据题意，粒子的运动轨迹如图所示
不论粒子所经轨迹如何，其圆心必在cd 连线上，则对应圆心角为平角加上下面的角（如图中
和
）。根据
可知，粒子在磁场中运动的周期相同，要时间最长，则要对应的圆心角最大，即
要
或
最大。显然，在Ⅰ、Ⅱ这两个不同的轨迹圆中，
和
是圆心角，它们分别等
于对应圆周角∠ecd 或∠fcd 的两倍。即圆周角越大，圆心角会越大。显然，最大的圆周角是从c 点引半圆
的切线ce 所成∠ecd，可知对应不同速率的轨迹最大圆心角为
，对应最长时间为
，对应的轨迹
圆半径为R，根据牛顿第二定律有
可得
故ABD 错误C 正确。
故选C。
3．（2024 上·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）如图，空间分布着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面
向外的匀强磁场。关于O 点对称的薄板MN 的长度为3a，O 点到MN 的距离为a。O 点有一粒子源，能沿
纸面内任意方向发射速率相同、质量为m、电荷量为q 的正电粒子。已知水平向右发射的粒子恰能垂直打
在MN 上，打到MN 上、下表面的粒子均被吸收。不计粒子的重力，则被MN 吸收的粒子在磁场中运动的
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最长时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角越大，在磁场中运动的时间越长，由题可知，水平向右发射的
粒子恰能垂直打在MN 上，故粒子粒子轨迹的半径为a，打到MN 上、下表面的粒子均被吸收，如图所示
有两种情况
打在MN 上表面时，粒子运动轨迹最大的圆心角为
，当粒子打在MN 下表面时，若OP 为轨迹圆的弦，
则轨迹所对圆心角最大，其中
故粒子运动轨迹最大的圆心角为
根据
可知
粒子在磁场中运动的时间为
故粒子在磁场中运动的最长时间为
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故选A。
4．（2024 上·辽宁丹东·高二统考期末）如图所示，以三角形ACD 为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强
度为B，
，
，AO 垂直于CD。在O 点放置一个电子源，在ACD 平面中，磁场范围内均
匀发射相同速率的电子，发射方向由CO 与电子速度间夹角
表示。（不计电子重力），恰好有三分之一
的电子从AC 边射出，则下列说法正确的是（ ）
A．没有电子经过D 点
B．
为
时电子在磁场中飞行时间最短
C．AC 边上有电子射出区域占AC 长度的三分之一
D．经过AC 边的电子数与经过AD 边的电子数之比为
【答案】D
【详解】A．由于粒子源发生的电子速率相同，电子在磁场中做匀速圆周运动，有
解得
即所有电子的半径都相等，由题意可知，其恰好有三分之一的电子从AC 边射出。由左手定则可知，电子
进入电场后逆时针做圆周运动，所以其从AC 边射出的一个临界位置为从A 点射出，此时
，如图所
示
设AO 的距离为L，由几何关系可知其电子的半径为
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将该圆进行旋转，可知，当
，电子从D 点射出，故A 项错误；
B．电子在磁场中做匀速圆周运动，其周期为T，有
在磁场中运动的时间为t，有
整理有
即电子运动的圆心角越小，其在磁场中运动的时间就越小，由几何关系可知，圆心角所对应的弦长越长，
其圆心角越大，所以最短时间即为弦长的最小值，由几何关系可知，弦长最短的为垂直于AD，由几何关
系可知，此时
时，所以
为
时电子在磁场中飞行时间并不是最短的，故B 项错误；
C．由上述分析可知，电子从AC 边上射出，其中一个临界为A 点，另一个临界为E 点，如图所示
由之前的分析可知。粒子的半径为L，AO 的距离也为L，有几何关系可知，AC 为2L，E 点为AC 的中点，
即AC 边上有电子射出区域占AC 长度的二分之一，故C 项错误；
D．由题意及之前的分析可知，当
范围内，电子从AC 边上射出，当粒子在
范围
内，电子从AD 边射出，所以经过AC 边的电子数与经过AD 边的电子数之比为
故D 项正确。
故选D。
5．（2023·云南·一模）空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面，线段
是屏与纸面
的交线，长度为
，其左侧有一粒子源S，可沿纸面内各个方向不断发射质量为m、电荷量为q、速率相
同的粒子；
，P 为垂足，如图所示，已知
，若
上所有的点都能被粒子从其右侧
直接打中，则粒子的速率至少为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】粒子要打中
的右侧所有位置，最容易的方式为粒子从
飞出，绕过距离最近的
点，从右侧
打中
最下端的
点，粒子运动的轨迹如图所示
为轨迹圆的弦长，
为
中点，
，
；粒子运动的半径为，根据几何关系可知
四边形
为平行四边形，则
解得
粒子在匀强磁场中匀速圆周运动，洛伦兹力完全提供向心力，根据牛顿第二定律可知
解得粒子的最小速率为
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故选C。
6．（2024 上·海南海口·高二海南中学校考期末）如图所示，在矩形GHIJ 区域内分布着垂直纸面向里的匀
强磁场，P 点是GH 边的中点，四个完全相同的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下，以大小不同的速率从P
点射入匀强磁场，它们的轨迹在同一平面（纸面）内，下列说法正确的是（ ）
A．④粒子的速率最大
B．③粒子的向心加速度最大
C．②粒子在矩形GHIJ 磁场区域运动的时间最长
D．①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ 磁场区域的运动周期不相同
【答案】A
【详解】CD．对于完全相同的粒子，其比荷相同，在同一匀强磁场中，则周期相同，由图知③粒子在磁场
中转过的圆心角最大，所以③粒子在矩形GHIJ 磁场区域经历的时间最长，故CD 错误；
A．根据洛伦兹力提供向心力有
可得
由于④粒子的半径最大，则④粒子的速率最大，故A 正确；
B．粒子的向心加速度为
可知④粒子的向心加速度最大，故B 错误。
故选A。
7．（2024 上·湖南邵阳·高二统考期末）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界
如图中虚线所示，
为半圆，ac，bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆半径的
。一束质量为m、电
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荷量为
的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相
互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据牛顿第二定律和圆周运动规律有
可得粒子做匀速圆周运动的周期为
如图所示，过c 点做半圆边界的切线，切点为e。设半圆边界的圆心为O，粒子运动轨迹的圆心为O′。根
据几何关系可知，当粒子从e 点射出时，粒子转过的圆心角最大，运动时间最长，设
，则
可得
所以
即粒子转过的圆心角为254°，可得运动时间为
故选B。
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8．（2024 上·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）如图（a）是一种防止宇宙射线危害字航员的装置，在
航天器内建立半径分别为R 和
的同心圆柱，圆柱之间加上沿轴向方向的磁场，其横截面如图（b）所
示。宇宙射线中含有大量的质子，质子沿各个方向运动的速率均为
，质子的电荷量为e、质量为m。下
列说法中正确的是（ ）
A．若沿任何方向入射的质子都无法进入防护区，则磁感应强度大小至少为
B．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则磁感应强度大小为
C．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则该情况下质子从进入磁场到离开磁场的总时
间为
D．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则该情况下质子在磁场中的轨迹对应的圆心角
为60°
【答案】A
【详解】A．为使所有速度为v0的粒子都不进入防护区，半径最大的粒子轨迹如图
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则粒子的半径最大为
由洛伦兹力提供向心力
解得磁感应强度至少为
故A 正确；
BCD．设正对防护区圆心入射的质子的轨迹半径为r，粒子运动轨迹如图
由几何关系得
解得
由洛伦兹力提供向心力得
解得
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则
质子在磁场中的轨迹对应的圆心角为120°，质子从进入磁场到离开磁场的总时间为
故BCD 错误。
故选A。
9．（2024 上·四川攀枝花·高二统考期末）如图所示，水平直线边界
的上方空间内有方向垂直纸面向外、
磁感应强度大小为
的匀强磁场，长为
、与
平行的挡板
到
的距离为
，边界
上的点处
有一电子源，可在纸面内向
上方各方向均匀的发射电子。已知电子质量为
、电荷量为，速度大小均
为
，N、S 的连线与
垂直，不计电子之间的作用力，则挡板
的上表面没有被电子击中部分的长
度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
得
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做出粒子从不同方向射出的 轨迹，如图
则挡板
的上表面被电子击中部分为CD，根据几何关系可得
所以没有被电子击中部分的长度为
故选D。
10．（2023 上·黑龙江大庆·高二铁人中学校考期末）如图所示，在直角坐标系xOy 的第一象限内存在磁感
应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在y 轴上S 处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方
向射出速率相等、质量均为m、电荷量均为q 的同种带负电粒子，所有粒子射出磁场时离S 最远的位置是x
轴上的P 点。已知
，
，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则（ ）
A．粒子的速度大小为
B．从O 点射出的粒子在磁场中运动的时间为
C．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最短时间与最长时间之比为2 9∶
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D．沿平行于x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O 点的距离为
【答案】C
【详解】A．粒子射出磁场时离S 最远的位置是x 轴上的P 点，如图所示
其轨迹为轨迹1，可知SP 为轨迹圆的直径，由几何关系知
解得
R=d
洛伦兹力提供向心力，有
解得
故A 错误；
B．粒子运动的周期
从O 点射出的粒子其轨迹为轨迹3，由几何关系可知
解得
θ=60°
即轨迹所对的圆心角为60°，粒子在磁场中运动的时间
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故B 错误；
C．运动时间最长的粒子为运动轨迹与x 轴相切的粒子，其轨迹为轨迹2，对应的圆心角为270°，则运动的
最长时间
运动时间最短的粒子为从原点飞出的粒子，其轨迹为轨迹3，对应的圆心角为60°，则运动的最短时间
所以
故C 正确；
D．沿平行于x 轴正方向射入的粒子，圆心在原点处，运动轨迹为四分之一圆，离开磁场时的位置到O 点
的距离为d，故D 错误。
故选C。
11．（2023 上·河北邢台·高二校联考期中）如图所示，边长为L 的等边三角形ABC 内有垂直于纸面向里、
磁感应强度大小为
的匀强磁场，D 是AB 边的中点，一质量为m、电荷量为
的带电的粒子从D
点以速度v 平行于BC 边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子可能从B 点射出
B．若粒子垂直于BC 边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为
C．若粒子从C 点射出，则粒子在磁场中运动的时间为
D．若粒子从AB 边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短
【答案】C
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【详解】A．带负电的粒子从D 点以速度v 平行于BC 边方向射入磁场，由左手定则可知，粒子向下偏转，
由于BC 边的限制，粒子不能到达B 点，故A 错误；
B．粒子垂直于BC 边射出，如图甲所示
则粒子做匀速圆周运动的半径等于D 点到BC 边的距离，即
故B 错误；
C．粒子从C 点射出，如图乙所示
根据几何关系可得
解得
则粒子轨迹对应的圆心角的正弦值为
22
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则
粒子在磁场中运动的时间为
故C 正确；
D．由
，可知
若粒子从AB 边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，如图丙所示
粒子从AB 边射出时的圆心角相同，其在磁场中运动的时间相同，故D 错误。
故选C。
二、多选题
12．（2024 上·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）如图所示，在荧光板MN 的上方分布了水平方向的匀强
磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。距荧光板距离为d 处有一粒子源S。能够在纸面内不断均
匀地向各个方向发射速度大小为
、电荷量为q、质量为m 的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒
子源发射粒子的总个数为N，则（ ）
23
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A．从粒子源出发到板的最短时间为
B．同一时刻发射的粒子打到荧光板上的最大时间差为
C．粒子能打到板上的区域长度为2d
D．打到板上的粒子数为
【答案】BD
【详解】A．在磁场中运动时间最长和最短的粒子运动轨迹示意图如下，粒子做整个圆周运动的周期
由几何关系可知最短时间
故A 错误；
B．粒子在磁场中最长时间
故B 正确；
C．粒子运动的半径
粒子运动到绝缘板的两种临界情况如图：设SC 垂直于MN 与MN 交于C 点，由几何关系可知，左侧最远
处与S 之间的距离恰好是圆的直径，则左侧最远处A 离C 距离为
，右侧离C 最远处为B，距离为d，
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所以粒子能打在板上的区域长度是
，故C 错误；
D．当向垂直于板竖直方向左侧发射时，均可打到板上，而向垂直于板竖直方向右侧发射时，均打不到板
上，所以打到板上的粒子数为
，故D 正确。
故选BD。
13．（2023 上·辽宁·高三校联考阶段练习）如图所示，多边形区域内有磁感应强度为B 的垂直纸面向里的
匀强磁场（边界处有磁场），粒子源P 可以沿底边向右发射质量为m、电荷量为
的粒子，粒子速率各不
相同；右侧边界中点处有一粒子源Q 可以在纸面内沿各个方向向磁场内部发射质量为m、电荷量为
、
速率为
的粒子。下列说法正确的是（ ）
A．由粒子源P 发射的粒子，能够到达的边界长度为3a
B．由粒子源P 发射的粒子，能够到达的边界长度为4a
C．由粒子源Q 发射的粒子，首次到达边界（除Q 所在的边界）的最短时间为
D．由粒子源Q 发射的粒子，首次到达边界的最长时间为
【答案】AC
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【详解】AB．由粒子源P 发射的粒子轨迹的圆心在图（a）中虚线
上，如图
由
可知
轨迹半径r 随速度增大而增大。当
时，粒子能够到达
之间；当
时，粒子能够到达
之
间；当
时，粒子能够到达Q 点正下方的边界上，A 正确，B 错误；
CD．由粒子源Q 发射的粒子，速率相同，将
代入
可得
如图（b）所示
粒子首次到达M 点的时间最短，由几何关系
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则
粒子恰好没有落在M 点时，落点为N，此时是首次到达边界的最长时间，由几何关系
所以
故C 正确，D 错误。
故选AC。
14．（2023·全国·高二专题练习）如图所示，A 点的离子源沿纸面垂直OQ 方向向上射出一束负离子，离子
的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP 之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A 两点间
的距离为s，负离子的比荷为
，速率为v，OP 与OQ 间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B 的
大小和方向可能是（ ）
A．
，垂直纸面向里
B．
，垂直纸面向里
C．
，垂直纸面向外
D．
，垂直纸面向外
【答案】BD
【详解】AB．当所加匀强磁场方向垂盲纸面向里时，由左手定则知：负离子向右偏转。约束在OP 之下的
区域的临界条件是离子运动轨迹与OP 相切。如图（大圆弧）
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由几何知识知
而
所以
所以当离子轨迹的半径小于s 时满足约束条件。由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出
所以得
故A 错误，B 正确；
CD．当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则知：负离子向左偏转。约束在OP 之下的区域的临
界条件是离子运动轨迹与OP 相切。如图（小圆弧）
由几何知识知道相切圆的半径为
，所以当离子轨迹的半径小于
时满足约束条件。
由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出
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所以得
故C 错误，D 正确。
故选BD。
15．（2024 上·河南新乡·高二统考期末）如图所示，∠C=30°的直角三角形ABC 中存在一匀强磁场（边界
有磁场），比荷相同的两粒子沿AB 方向从A 点射入磁场，分别从AC 边上的三等分点P，Q 射出，下列说
法正确的是（ ）
A．从Q 点射出的粒子速度较小
B．两粒子在磁场中运动的时间一样长
C．只改变粒子的入射速度的大小，不可以使粒子从C 点射出磁场
D．若改变粒子的入射速度的大小，能从BC 边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为二分之一周期
【答案】BC
【详解】A．两带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示
由图看出，从Q 点射出的粒子半径大，根据
可得
则从Q 点射出的粒子速度大，选项A 错误；
B．粒子在磁场中运动的周期为
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可见两粒子周期相同，如图所示，设粒子运动轨迹的圆心分别为O1、O2点，弦AP、AQ 的中垂线交AC 于
M 点和N 点，由于∠AO1M=∠AO2N，所以∠MO1P=∠NO2Q，即两粒子运动轨迹所对应的圆心角相等，又因
为两粒子周期相同，由
可知内粒于在磁场中运动的时间一样长，选项B 正确；
C．改变粒子的入射速度大小，则由对称性可知，若粒子从C 点射出磁场，则速度方向与AC 边的夹角也为
60°，此时粒子已经从BC 边射出，选项C 正确；
D．若改变粒子的入射速度的大小，能从BC 边射出的粒子在磁场中运动的时间最长时，弧长对应的圆心角
为90°，故运动时间为四分之一周期，选项D 错误。
故选BC。
16．（2024 上·安徽芜湖·高二统考期末）如图所示，等腰直角三角形
区域内（包含边界）有垂直纸面
向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为
，在
的中点
处有一粒子源，沿与
平行的方向发射速率不
同，质量为
，电荷量为
的带负电粒子，已知这些粒子都能从
边离开
区域，
，不计粒子重
力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．速度的最大值为
B．速度的最大值为
C．在磁场中运动的最长时间为
D．在磁场中运动的最长时间为
【答案】AD
【详解】粒子从ab 边离开磁场时的临界运动轨迹如图所示
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AB．设粒子最大轨迹半径为
，由图中几何关系可得
解得
根据洛伦兹力提供向心力可得
可得速度的最大值为
故A 正确，B 错误；
CD．由图可知粒子在磁场中运动轨迹对应的最大圆心角为
，则粒子在磁场中运动的最长时间为
故C 错误，D 正确。
故选AD。
17．（2023 上·湖北十堰·高二郧西县第一中学校联考阶段练习）如图所示，边界
与
之间分布有垂直
纸面向里的匀强磁场，边界
上有一粒子源S。某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电
的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量
粒子从边界
射出磁场。已知
，从边界
穿出的粒子在磁场中运动的最长时间等于
（
为
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粒子在磁场中运动的周期），则从边界
穿出的粒子在磁场中运动的时间的说法正确的是（ ）
A．若
，则从边界
穿出的粒子在磁场中运动的时间最短为
B．若
，则从边界
穿出的粒子在磁场中运动的时间最短为
C．若
，则从边界
穿出的粒子在磁场中运动的时间最短为
D．从边界
穿出的粒子在磁场中运动的时间的长短与
的大小无关
【答案】ABC
【详解】题中的条件说明，很多相同m、q 的粒子在同一点以相同的速率沿不同方向射入磁场，由
知道，所有粒子轨道半径相等，由
知道，所有粒子的运动周期是相等的，从边界
穿出的粒子在磁场中运动的最长时间等于
，说明在不
同边界的磁场中粒子源S 到O 点的距离不同，所以要分别作图分析。
A．若
，如图1 所示，所有粒子运动轨迹的圆心为以S 为圆心以
为半径的半圆弧
上。
从边界
穿出的粒子在磁场中运动的最长时间等于
，该粒子的轨迹所对应的弦为直径
，随着轨迹圆
的旋转，轨迹所对应的弦先减小再增大，弦最长为
对应的圆心为D；弦最短为
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对应的圆心为
，在
中，各边等长，即对应的圆心角为
从边界
穿出的粒子在磁场中运动的时间最短为
，故A 正确。
B．若
，同理分析，如图2 所示，圆周运动的半径为
，故从边界
穿出的粒子在磁场中运动
的最短时间为
故B 正确；
C．若
，同理分析，如图3 所示，圆周运动的半径为
，故从边界
穿出的粒子在磁场中运
动的最短时间为
故C 正确；
D．由图4 可知在
边界上，只有
段有粒子穿出，所以从边界
穿出的粒子在磁场中运动的时间的
长短与
的大小有关，故D 错误。
故选ABC。
图1 图2
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图3 图4
三、解答题
18．（2024 上·广东江门·高二统考期末）阿尔法磁谱仪是目前在太空运行的一种粒子探测器，其关键的永
磁体系统是由中国研制的。如图，探测器内矩形OMPN 空间内存在垂直于平面向里、磁感应强度大小为B
的匀强磁场，有大量速率不同、质量均为m、带电量均为
的带负电粒子从O 点沿着ON 方向进入磁场，
OM 长度为3d，ON 长度为2d，忽略粒子间的相互作用，粒子重力不计，求
（1）粒子在磁场里运动的最长时间；
（2）从MP 上射出的粒子的最大速度及有粒子射出部分的长度。
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，则
qvB=m
周期
运动时间
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当粒子速度较小时从OM 边射出，圆心角均为π，此时对应的圆心角最大，故运动最长时间为
（2）如图所示，当粒子运动轨迹和NP 相切，粒子从MP 射出且速度最大
由几何关系得
r=2d
由洛伦兹力提供向心力
qvB=m
解得从MP 上射出的粒子的最大速度为
MP 有粒子射出的范围为BM 长度，由几何关系得
19．（2024 上·四川成都·高二统考期末）如图，在
平面内存在垂直纸面向里的范围足够大的匀强磁场，
O 点右侧与O 相距d 处有一与x 轴垂直的足够大的收集板。某时刻，大量速率介于v 到
（v 与
未知且
）的电子同时从坐标原点O 沿各个方向垂直磁场射入Ⅰ、Ⅱ象限。已知速率为
且沿y 轴正方向射
入磁场的电子刚好垂直打在收集板上，磁场磁感应强度大小为B，电子比荷为
，不计电子间的相互作用
及电子的重力。求：
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（1）速度
的大小；
（2）收集板上电子击中的范围大小；
（3）若磁场仅存在于
的足够宽的范围内，从发射电子到电子全部离开磁场（打在收集板或
从边界离开）经历的时间恰好为电子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。最后离开磁场的电子从O 射入
磁场时的速度的大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）因为速率为
且沿y 轴正方向射入磁场的电子刚好垂直打在收集板上，其轨迹如图（1）所
示。
其半径为d。根据
解得
（2）由于电子速度越大，能够打在收集板上的范围也越大，故速率为 v0的电子击中的范围最大
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可得：
电子运动的半径：R=d
如答图（2），收集板上最远可打到 A 点
由几何关系可得
收集板下侧最远可打到B 点
由几何关系可得
收集板上被电子击中的范围为
（3）由分析可得以最小速度
从 O 射入磁场的电子最后离开，相同速率的电子做匀速圆周运动轨迹为劣
弧时，轨迹对应的弦长越长，运动时间越长，电子在磁场中最长时间恰好为四分之一周期，综上可得电子
运动轨迹如答图（3）所示， N 为收集板与
的交点。
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由几何关系可得
经验算可知，电子能达到N 点，由
可得
解得
20．（2023 上·天津河西·高二统考期末）如图所示，矩形ABCD 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁
场的磁感应强度大小为B，AB 边长为d，BC 边长为2d，O 是BC 边的中点，E 是AD 边的中点。在O 点有
一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子
射出的速度大小相同，速度与OB 边的夹角为60°的粒子恰好从E 点射出磁场，不计粒子的重力，求：
（1）粒子带电荷的电性；
（2）粒子运动的速度大小；
（3）从AD 边离开的粒子在磁场中运动的最短时间；
（4）从AD 边离开的粒子在磁场中经过的区域形成的面积。
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【答案】（1）负电；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）速度与OB 边的夹角为60°的粒子恰好从E 点射出磁场，由左手定则可知，粒子带负电。
（2）速度与OB 边的夹角为60°的粒子恰好从E 点射出磁场，粒子在磁场中的运动轨迹如图
粒子的运动轨迹结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为
由牛顿第二定律
解得粒子运动的速度大小为
（3）作图可知，粒子从AD 边离开时的运动轨迹都会劣弧，由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此从
AD 边离开的粒子在磁场中运动的轨迹越短，即该轨迹对应的弦越短，时间越短，分析可知，O 点到AD 的
最短距离为EO，即从E 点射出的粒子在磁场中运动时间最短，因此最短时间为六分之一周期，由
可得最短时间
（4）如图，当粒子水平向左飞入时刚好从A 点飞出，当粒子竖直向上飞入时，刚好从D 点飞出，由图可
知，从AD 边离开的粒子在磁场中经过的区域的面积为图中
区域的面积
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该区域面积为
21．如图所示，一足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从矩
形区域ad 边的中点O 处垂直磁场射入一速度方向跟ad 边夹角θ＝30°、大小为v0的带正电粒子，已知粒子
质量为m，电荷量为q，ad 边长为L，ab 边足够长，粒子重力不计。
（1）求粒子能从ab 边上射出磁场的v0大小范围。
（2）问粒子在磁场中运动的最长时间是多少？在这种情况下，粒子v0大小范围。
【答案】（1）
<v0≤
；（2）
【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得
即
若粒子轨迹恰好与ab 边相切，其轨迹如图中Ⅰ所示，设圆心为O1，相应速度为v01，轨道半径为r1，由几
何知识得
r1＋r1sin θ＝
解得
40
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r1＝
，v01＝
若粒子轨迹恰好与cd 边相切，轨迹如图中Ⅱ所示，设圆心为O2，相应速度为v02，轨道半径为r2，由几何
知识得
r2－r2sin θ＝
解得
r2＝L，v02＝
所以粒子能从ab 边上射出磁场的速度v0应满足
（2）粒子在磁场中运动的半径r≤r1时，运动时间最长，此时，粒子从ad 边射出，射出时速度与ad 边夹角
为θ，圆弧所对圆心角α 为(2π－2θ)，粒子在磁场中做圆周运动的周期
则运动时间
则粒子速度
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