文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题02 渡河模型
1.模型特点
小船参与的两个分运动：小船在河流中实际的运动(站在岸上的观察者看到的运动)可视为船同时参与
了这样两个分运动：
(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船身的指向相同。
(2)船随水漂流的运动(即速度等于水的流速)，它的方向与河岸平行。船在流水中实际的运动(合运动)
是上述两个分运动的合成。
2．区分好三个速度
(1)分速度v 水：水流的速度；
(2)分速度v 船：船在静水中的速度；
(3)合速度v：表示船的实际航行的速度。
2.两类最值问题与三种情境
(1)渡河时间最短问题：若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分
速度。因此，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图可知，t 短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足
tan θ＝。
(2)渡河位移最短问题
情况一：v 水＜v 船
最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游河岸夹角θ 满足v 船cos θ＝v 水，如图甲所示。
甲
情况二：v 水＞v 船
如图乙所示，以v 水矢量的末端为圆心，以v 船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速
度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短。由图可知sin α＝，最短航程为x＝＝d。此时船头指
向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝。
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
乙
【模型演练1】一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度为v1＝2.5 m/s。船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求：
(1)小船渡河的最短时间为多少？此时位移多大？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？
(3)如果水流速度变为v1＝6.25 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？此时最短航程为多少？
【解题误区】
1．小船渡河时间最短与位移最短是两种不同的运动情境，时间最短时，位移不是最短。
2．求渡河的最小位移时，要先弄清v 船与v 水的大小关系，不要盲目地认为最小渡河位移一定等于河的
宽度。
3．渡河时间与船随水漂流速度的大小无关，只要船头指向与河岸垂直，渡河时间即为最短。
【模型演练2】（2024·全国·高一专题练习）深刻理解运动的合成和分解的思想，可以帮助我们轻松处理比
较复杂的问题。小船在流动的河水中行驶时，如图甲所示。假设河水静止，小船在发动机的推动下沿OA
方向运动，经时间t 运动至对岸A 处，位移为x1；若小船发动机关闭，小船在水流的冲击作用下从O 点沿
河岸运动，经相同时间t 运动至下游B 处，位移为x2。小船在流动的河水中，从O 点出发，船头朝向OA
方向开动发动机行驶时，小船同时参与了上述两种运动，实际位移x 为上述两个分运动位移的矢量和，即
此时小船将到达对岸C 处。请运用以上思想，分析下述问题：弓箭手用弓箭射击斜上方某位置处的一个小
球，如图乙所示。弓箭手用箭瞄准小球后，以初速度v0将箭射出，同时将小球由静止释放。箭射出时箭头
与小球间的距离为L，空气阻力不计。请分析说明箭能否射中小球，若能射中，求小球下落多高时被射中；
若不能射中，求小球落地前与箭头的最近距离。
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【点评】：本题的实质是小船渡河模型研究方法的迁移应用，也是运动合成分解思想在解决复杂问题中的
体现，也为今后学习抛体运动奠定方法基础。
1．（2023 上·四川成都·高一校考期末）如图，小船在静水中的速度为v1=5m/s，当小船在A 处，船头与上
游河岸夹角θ=53°过河，经过一段时间正好到达正对岸B 处。已知河宽d=240m，小船在静水中速度大小不
变，水流的速度不变，sin53°=0.8，cos53°=0.6 则下列说法中正确的（ ）
A．河中水流速度为4m/s
B．小船的此次渡河时间为60s
C．小船若重新渡河，其渡河的最短时间为80s
D．若小船在此次渡河过程中，水流速度突然增大，则小船渡河时间增大
2．（2024 上·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习）如图所示，河水流动的速度为v 且处处相同，河宽度
为a。在船下水点A 的下游距离为b 处是瀑布，为了使小船渡河安全（不掉到瀑布里去） ，则（ ）
A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为
B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河时间也最短
C．当小船沿轨迹 AB 渡河时，船在静水中的最小速度为
D．当小船沿轨迹 AB 渡河时，船在静水中的最小速度为
3．（2023 下·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）如图所示，两次渡河时船头指向均垂直于岸，且船相对水的
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
速度大小不变。已知第一次实际航程为A 至B，位移为
，实际航速为
，所用时间为
，由于水速增大，
第二次实际航程为A 至C，位移为
，实际航速为
，所用时间为
。则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考一模）如图所示，有一条宽度为800m 的小河自西向东流淌，
水流速度为v0，各点到较近河岸的距离为
，
与
之间的关系为
（均采用国际单位）。让
小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船相对于河水的速度恒为
下列说法正确的选项是（ ）
A．小船在水中做类平抛运动
B．小船到达北岸时位移大小为
C．小船刚到达北岸时，相对于河岸的速度大小为5m/s
D．小船在行驶过程中，水流一直对小船做正功
5．（2023 上·河南鹤壁·高三校考阶段练习）有一条两岸平直且平行的河流，河水流速恒定，大小为v1，一
条小船在河上横渡，已知船在静水中的速度大小为v2，第一次过河时船头始终指向与河岸垂直的方向，第
二次过河时行驶路线与河岸垂直，若v1、v2均不变，试求第一次过河与第二次过河所用时间的比值为（
）
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
6.（2023 下·山东泰安·高一泰安一中校考阶段练习）有一条两岸平直、河水流速恒为
的河流。小明驾着
小船渡河，去时小船的实际位移始终与河岸垂直，返回时小船的船头与河岸垂直。小明去时与返回时所用
时间的比值为k，小船在静水中的速度大小相同，小船在静水中的速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·陕西商洛·陕西省山阳中学校考一模）一只小船过河，河中水流速度各处相同且恒定，小船的初
速度大小为v、方向垂直于平直河岸，小船在河中的运动轨迹如图中虚线所示，其中虚线AB 为直线。小船
相对于水面分别做匀加速运动、匀减速运动、匀速运动。由此可以确定（ ）
A．船沿AB 轨迹运动时，相对于静水做匀加速直线运动
B．船沿AC 轨迹过河所用的时间最短
C．船沿三条不同路径渡河的时间相同
D．船沿AD 轨迹到达对岸前瞬间的速度最大
8.（2023 上·江西抚州·高三江西省南丰县第一中学校联考阶段练习）骑马射箭是蒙古族传统的体育项目，
如图甲所示。选手骑马沿图乙所示直线
匀速前进，速度大小为
，运动员静止时射出的箭速度大小为
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，靶中心P 到
的垂直距离为d，垂足为D，忽略箭在竖直方向的运动，下列说法正确的是（ ）
A．为保证箭能命中靶心，选手应瞄准靶心放箭
B．为保证箭能命中靶心，选手必须在到达D 点之前某处把箭射出
C．若箭能命中靶心，且运动位移最短，则箭射中靶心的时间为
D．若箭能命中靶心，且运动位移最短，则箭射中靶心的时间为
9．（2023 上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）2023 年8 月，受台风“杜苏芮”影响，我国京津冀
等地发生了极端强降雨，导致部分地区被淹，中部战区组织官兵紧急救援。如图所示，在一次救援中，某
河道水流速度大小恒为v，A 处的下游C 处有个半径为r 的漩涡，其与河岸相切于B 点，AB 两点距离为
。若解放军战士驾驶冲锋舟把被困群众从河岸的A 处沿直线避开漩涡送到对岸，冲锋舟在静水中的速
度最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023 上·云南·高三校联考阶段练习）夏季是溺水事故的多发季节，每年夏天都有溺水身亡的事件发
生，在搭救落水人员的过程中，时间就是生命，要求救生员以最短的时间搭救落水人员。假设落水人员被
水草束缚在
点（相对于河岸的位置不变），水流速度的大小不变、方向平行于河岸，救生船在静水中
的速度不变，为使救生船在水中到落水人员处所需时间最短，下列关于救生船的船头方向以及救生船的轨
迹正确的是（ ）
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
11．（2023 上·安徽·高三校联考阶段练习）2023 年7 月底，受台风“杜苏芮”影响，河北涿州市遭遇罕见
特大暴雨洪水灾害，多个村庄和小区积水严重，导致人员被困。如图所示，武警战士驾驶冲锋舟去解救被
困于对岸的人员，假设河岸是平直的且足够长，河的宽度
，冲锋舟在静水中的速度大小
，
河水的流速大小
。则（ ）
A．冲锋舟到达河对岸的最短时间为
B．冲锋舟以最短时间渡河发生的位移是
C．冲锋舟以最短位移渡河所用时间是
D．若水流速度突然变大，则武警战士到达对岸所用的最短时间将变长
12．（2024 上·辽宁鞍山·高一统考期末）如图，小船从河岸处A 点出发渡河。若河宽为100m，河水流速
v1=4m/s，方向平行于河岸指向河的下游，船在静水中速度v2=5m/s，船头方向与河岸垂直，船视为质点，
则下列说法正确的是（ ）
A．小船从A 点出发经过20s 到达对岸
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
B．小船到达对岸的位置在河正对岸下游125m 处
C．若河水流速变慢，小船从A 点到对岸的时间可能低于20s
D．若小船行驶到河中央时水流变快，小船的实际速度方向会改变
13．（2024 上·甘肃兰州·高一兰州一中校考期末）某段江面宽80m，水流速度5m/s，有一木船在A 点要过
江，如图所示，A 处下游60m 的B 处是一片与河岸垂直的险滩，则下列说法正确的是（ ）
A．若木船相对静水速度大小为8m/s，则木船最短渡江时间为10s
B．若木船相对静水速度大小为8m/s，则木船最短渡江时间为12s
C．若木船相对静水速度大小为4m/s，则木船能安全渡河
D．若木船相对静水速度大小为4m/s，则木船不能安全渡河
14．（2023 上·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）京津冀第五届滹沱河公开水域游泳挑战赛在叶子广场
周边水域进行，比赛前某运动员热身时游过一段宽
的河道，河水的流速
与离河岸的距离
变化
的关系如图所示，运动员在静水中的速度为
，若运动员以最短的时间渡河，则（ ）
A．运动员在渡河过程中，
的方向应与上游河岸成
角
B．运动员运动的轨迹是曲线
C．运动员渡河的最短时间是
D．运动员在河水中的最大速度是
15．（2023 上·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考期末）在宽度为d 的河中，水流速度为
v2，船在静水中速度为v1（且v1>v2），船头方向可以选择，现让该船开始渡河，则该船（ ）
A．不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水速均无关
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
B．过河的最短渡河时间为
，此时需船头垂直河岸
C．过河的最短位移是
D．当最短位移过河时，船头与河岸夹角为
，
，船身斜向下游过河
16．（2023 上·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）小船匀速横渡一条河流，当船头垂直
对岸方向航行时，出发后
到达对岸下游
处；当船头保持与上游河岸成
角航行，出发后
到达正对岸。水流速度保持不变，下列说法正确的是（ ）
A．水流的速度大小为
B．
C．小船在静水中的速度大小为
D．河的宽度为
17.（2023 上·江苏南京·高一校联考阶段练习）在抗洪抢险中，战士驾驶冲锋舟救人，假设江岸是平直的，
洪水沿江自上游而下，水流速度
，冲锋舟在静水中的航速
，战士救人的地点A 离岸边最
近点O 的距离为100m。
（1）若战士想通过最短的时间将人送上岸，求最短时间和上岸点与O 点距离；
（2）若战士想通过最短的航程将人送上岸，求冲锋舟的船头朝向与上游河岸夹角和上岸时间。
18．（2023 下·四川眉山·高一校考期中）已知河宽200m，一艘小艇从河岸上的A 处出发渡河，小艇艇身保
持与河岸垂直，经过t1=10min，小艇到达正对岸下游x=120m 的C 处，如图所示，如果小艇保持速度大小
不变逆水斜向上游与河岸成
角方向行驶，则经过t2=12.5min，小艇恰好到达正对岸的B 处，求：
（1）水流的速度v1：
（2）小艇在静水中的速度v2；
（3）小艇与河岸的夹角
。
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
19．（2023 下·四川眉山·高一仁寿一中校考阶段练习）河宽为200m，河水的流速与离河岸距离的变化关系
如图所示，船在静水中的航行速度恒为4m/s，则小船渡河的最短时间是多少？在此过程中，小船在河水中
航行的最大速度是多少？速度方向与河岸夹角是多少？
20.（2023 下·新疆阿克苏·高一兵团第一师高级中学校考阶段练习）如图所示，一探险者正从某瀑布上游划
船渡河，已知河流的宽度
，此时探险者正处于河流正中央A 点处，该点与下游瀑布危险区的最短
距离为
。已知水流速度为
（
，
）。从此时开始计时，
（1）若小船在静水中速度为
，则船到岸的最短时间是多少？所到目的地与河流正对岸间的距离
是多少？
（2）若小船在静水中速度为
，则小船以最短的距离到岸时所需时间是多少？此时船头方向与河
岸上游的夹角是多少？
（3）为了使小船能避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是多少？
21．（2023 下·广东广州·高一广东番禺中学校考期中）小船匀速横渡一条河流，水流速度的大小
，船在
静水中的速度大小
，第一次船头垂直对岸方向航行时，在出发后
到达对岸下游30m 处；第二次
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
船头保持与河岸成
角向上游航行时，小船恰好经过时间
能垂直河岸到达正对岸，已知
，
，求：
（1）求船在静水中的速度大小
；
（2）求第二次过河的时间
；
（3）若上游大暴雨，导致水流速度增大到
时，求小船到达河对岸的最短位移x 及所用时间
。
11
