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专题04 自由落体与竖直上抛模型
模型一 自由落体运动
一．自由落体运动
1．条件：物体只受重力，从静止开始下落。
2．运动性质：初速度为零、加速度为g 的匀加速直线运动。
3．基本规律：
(1)速度与时间的关系式：v＝gt。
(2)位移与时间的关系式：h＝gt2。
(3)速度位移关系式：v2＝2gh。
二．自由落体运动的推论和比例[来源:Zxxk.Com]
（1）两个推论：① 逐差法Δh=gT 2 ；②平均速度 v= Δx/Δt =(v0+v)/2=vt/2
（2）两个比例：①相等时间位移之比1：3：5……；②相等位移时间之比1：（√2 -1）：（√3 -√2
）……
三．“由局部求整体”方法
方法一、基本公式法
解得t.
方法二、基本公式法
解得t.
方法三、中间时刻速度法
解得t.
方法四、平均速度法
解得t.
模型二 竖直上抛运动
1．运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动。
Δh
g
Δt
t
v
O t=？
Δh
Δt
g
1
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2．运动性质：匀变速直线运动。
3．基本规律
(1)速度与时间的关系式：v＝v0－gt。
(2)位移与时间的关系式：x＝v0t－gt2。
4．竖直上抛运动的对称性(如图所示)
(1)时间对称：物体上升过程中从A→C 所用时间tAC和下降过程中从C→A 所用时间tCA相等，同理tAB＝tBA。
(2)速度对称：物体上升过程经过A 点的速度与下降过程经过A 点的速度大小相等。
1．竖直上抛运动的研究方法：
分段法
上升阶段：a＝g 的匀减速直线运动
下降阶段：自由落体运动
全程法
初速度v0向上，加速度g 向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以
竖直向上为正方向)
若v>0，物体上升，若v<0，物体下落
若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方
2.竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，
造成多解，在解决问题时要注意这个特性。
【例1】某校物理兴趣小组，为了了解高空坠物的危害，将一个鸡蛋从离地面20 m 高的高楼面由静止释放，
下落途中用Δt＝0.2 s 的时间通过一个窗口，窗口的高度为2 m，忽略空气阻力的作用，重力加速度g 取10
m/s2，求：
(1)鸡蛋落地时的速度大小和落地前最后1 s 内的位移大小；
2
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(2)高楼面离窗的上边框的高度。
【听课笔记】
【总结提升】
1．自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，故初速度为零的匀加速直线运动的规律、比例关系及
推论等规律都适用。
2．物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，
等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。
【例2】(多选)从高度为125 m 的塔顶先后自由释放a、b 两球，自由释放这两个球的时间差为1 s，g 取10
m/s2，不计空气阻力，以下说法正确的是( )
A．b 球下落高度为20 m 时，a 球的速度大小为20 m/s
B．a 球接触地面瞬间，b 球离地高度为45 m
C．在a 球接触地面之前，两球速度差恒定
D．在a 球接触地面之前，两球离地的高度差恒定
【听课笔记】
【方法点拨】
自由落体运动中的两个物体先后从同一高度下落，两物体加速度相同，故先下落物体相对后下落物体做匀
速直线运动，两者的距离随时间均匀增大。
【例3】为测试一物体的耐摔性，在离地25 m 高处，将其以20 m/s 的速度竖直向上抛出，重力加速度g＝
10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)经过多长时间到达最高点；
(2)抛出后离地的最大高度是多少；
(3)经过多长时间回到抛出点；
(4)经过多长时间落到地面；
(5)经过多长时间离抛出点15 m。
【例4】打弹弓是一款传统游戏，射弹花样繁多，燕子钻天是游戏的一种，如图所示，一表演者将弹丸竖
直向上射出后，弹丸上升过程中在最初1 s 内上升的高度与最后1 s 内上升的高度之比为9 1∶，不计空气阻
力，重力加速度g＝10 m/s2，则弹丸在上升过程中最初1 s 内中间时刻的速度大小和上升的最大高度分别为
3
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( )
A．45 m/s 125 m
B．45 m/s 75 m
C．36 m/s 125 m
D．36 m/s 75 m
一、单选题
1．某人在室内以窗户为背景摄影时，恰好把窗外从高处落下的一个小石子拍摄在照片中，已知本次摄影
的曝光时间是
s，测得照片中石子运动痕迹的长度为
，窗框上下边在照片中的长度为
，已知窗框上下边的实际长度为
下列说法正确的是（ ）
A．曝光时刻石子运动的速度为
B．曝光时刻石子运动的速度为100m/s
C．石子大约离窗户上沿
下落
D．石子大约离窗户上沿
下落
2．从距地面一定高度处自由释放一个小球（可视为质点），已知最后一秒内位移为第一秒内的位移的4 倍，
g = 10 m/s2，则出发点距地面高度为（ ）
A．20.25 m
B．31.25 m
C．30.25 m
D．25 m
3．一矿井深80m，在井口每隔一定时间自由释放一个小球（下落过程可视为自由落体运动），当第9 个小
球刚从井口下落时，第1 个小球恰好到井底（重力加速度
），则（ ）
A．第1 个小球落至井底时的速度为30m/s
B．此时第1 个小球与第2 个小球相距45m
C．相邻两个小球下落的时间间隔是0.4s
D．第1、2 小球都在空中时，第1 个小球相对第2 个小球做匀速直线运动
4．一个物体从某一高度做自由落体运动，已知它在第1s 内的位移恰为它在最后1s 内位移的三分之一，则
4
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它开始下落时距地面的高度为（g＝10m/s2） （ ）
A．15m
B．20m
C．11.25m
D．31.25m
5．如图所示，某同学要测量屋檐离地的高度，观测一个由屋檐边自由下落的雨滴，雨滴通过高为d 的窗口
所用时间为t，此后再经过
落地，重力加速度为g，不计空气阻力，则屋檐离地高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．利用水滴下落可以粗略测量重力加速度g 的大小。某同学调节家中水龙头，让水一滴一滴地流出，在水
龙头的正下方放一个盘子，调整盘子的高度，使一滴水刚碰到盘子时，恰好有另一滴水刚开始下落，而空
中还有一滴水正在下落。测出此时出水口到盘子的高度为h，从第1 滴水开始下落到第n 滴水刚落至盘中
所用时间为t。下列说法正确的是（ ）
A．第1 滴水刚落至盘中时，第2 滴水距盘子的距离为h 的一半
B．相邻两滴水开始下落的时间间隔为
C．每滴水在空中的下落时间为
D．此地重力加速度的大小为
7．将甲、乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间间隔
，它们运动的
图像分别如直线甲、乙所示．则（ ）
5
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A．
时，两球高度相差一定为
B．
时，两球相对于各自抛出点的位移不相等
C．两球从抛出至落到地面所用的时间相等
D．甲球与乙球从抛出至到达最高点的时间相等
8．2024 年7 月31 日，在巴黎奥运会女子双人十米台跳水决赛中，中国选手陈芋汐、全红婵获得冠军。假
设跳水运动员（视为质点）起跳离开跳板后在一条直线上运动，其离开跳板至入水后竖直向下速度减为零
的过程中，最大速度大小为，离开跳板时速度大小为
，不计空气阻力，在水中受到的阻力恒定，水中
竖直向下运动的时间与空中运动的时间相等，重力加速度大小为
，则下列说法不正确的是（ ）
A．运动员离水面最远距离为
B．运动员在空中运动的时间为
C．跳板离水面的高度为
D．运动员入水的深度为
二、多选题
9．吉林省广播电视塔被吉林人亲切地称为“吉塔”。某同学设想通过实验测量该塔的高度，从塔顶由静
止释放一颗石子，忽略空气阻力，重力加速度为g，测量下列物理量能计算出“吉塔”高度的有（ ）
A．石子下落的时间
B．石子下落最初2m 所用时间
C．石子下落最后2m 所用时间
D．石子下落最初1s 的距离
10．一科研气球携带设备以10m/s 的速度匀速上升到离地20m 时，设备上的一个小配件掉落，忽略配件受
到的空气阻力，重力加速度
，则配件离开气球后（ ）
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A．做自由落体运动
B．落地时的速度是
m/s
C．上升离地的最大高度是45m
D．上升的时间是1s
11．将甲、乙两个小球（可视为质点）在同一水平面相邻的两个位置先后以相同的初速度竖直向上抛出。
以抛出点所在水平面为参考平面，作出两小球的高度h 与时间t 的关系图像，如图所示。不计空气阻力，
重力加速度为g，结合图像所给的信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲回到抛出点的时刻为
B．乙回到抛出点的时刻为
C．乙距抛出点的最大高度为
D．乙距抛出点的最大高度为
12．某同学利用一根原长远远小于树高的弹簧、弹丸、手机粗略测量了大树的高度。该同学将弹簧竖直固
定在地面上，弹簧压缩一定程度后，将一弹丸由静止弹射出去，调整弹簧压缩量，直到弹丸能刚好到达与
树顶等高处，之后弹丸开始下落，用手机测出此时弹丸从离开弹簧到回到地面所用的时间t，忽略弹丸所
受的空气阻力和计时误差，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A．大树的高度约为
B．弹丸离开弹簧后的
时间内，上升的高度是树高的
C．将弹丸运动的时间平均分成三段，第二段时间内弹丸的位移大小是树高的
D．弹丸从离开弹簧到上升到树高的一半，需要的时间为
13．鸿恩寺公园的鸿恩阁为仿古建筑，共七层，是重庆主城最高观景台。登上鸿恩阁，渝中、南岸、江北、
渝北、沙坪坝、北部新区等6 个区的美景和两江上的舟桥都尽收眼底。某物理研究小组测量出鸿恩阁海拔
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高约为468m，甲同学在鸿恩阁阁楼，离地面45m 高处让物体A 由静止开始自由落下，同时乙同学将物体
B 自鸿恩阁地面以初速度
竖直上抛，且A、B 两物体在同一直线上运动，重力加速度为
。下
列说法正确的是（ ）
A．若
，则A、B 两物体在B 上升的最高点相遇
B．若
，则A、B 两物体在B 上升的过程中相遇
C．若
，A、B 两物体相遇时，B 正在下落途中
D．若
，A、B 两物体相遇时，B 正在下落途中
三、解答题
14．如图所示，一滴雨滴从离地面20m 高的楼房屋檐自由下落，下落5m 时，到达窗口上沿，再经
的时间通过窗口，g 取10m/s2，问：
(1)雨滴落地前瞬间的速度大小；
(2)窗口的高度h；
(3)该雨滴最后1s 内下落的平均速度大小。
15．如图所示，AB 为空心圆管、C 是可视为质点的小球，AB 长度为
，AB 与C 在同一竖直线上，
空心圆管处于初始位置时，A 与C 之间距离
，
。
8
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(1)若圆筒从初始位置做自由落体运动，圆筒落到地面所需的时间；
(2)若圆筒静止，小球从地面以初速度
开始做竖直上抛运动，穿过圆筒的时间为
，求小球上抛时的初
速度
；
(3)若圆筒从初始位置做自由落体运动的同时，小球从地面以初速度
开始做竖直上抛运动
①小球在圆筒落地前向上穿过圆筒，小球初速度
至少多大；
②小球向上穿过圆筒的时间为
，小球初速度
多大。
16．如图所示，一竖直固定的长直圆管内有一静止的薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为L。一小球从管的
上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，碰撞后小球做竖直上抛运动，圆盘做匀减速直线运动，在圆盘的速
度减为零的瞬间，小球第二次与圆盘发生碰撞。小球与圆盘发生碰撞的时间极短（可忽略），每次碰撞后
瞬间圆盘和小球的速率均为碰撞前瞬间小球速率的一半，不计空气阻力，重力加速度大小为g，小球在管
内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，且圆盘在圆管内做匀减速直线运动的加速度大小保持不变。
(1)求小球第一次与圆盘碰撞前瞬间的速度大小v；
(2)从第一次碰撞到第二次碰撞，求小球平均速度的大小
；
(3)求圆盘在圆管内做匀减速直线运动的加速度大小
；
17．如图，固定的两端开口竖直圆管内有一静止薄圆活塞，活塞离下开口距离
。从上端开口处向下
9
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运动的小球撞在活塞中心后，小球以
的速度竖直反弹，活塞向下匀速运动，刚好在下端开口处
两者再次相碰。运动中球与管壁不接触，不计空气阻力，重力加速度g 取
，求：
(1)活塞匀速运动的速度大小v；
(2)小球上升到最高点时，小球与活塞之间的距离l。
18．如图，同一竖直线上的小球A 和小球B 静止在地面上方，球B 距离地面的高度
，球A 在球B
的正上方，同时释放两小球，球B 每次与地面碰撞后均以原速率反弹，并在第一次上升到最高点时与球A
相碰，重力加速度g 取
，忽略球的直径、空气阻力及碰撞时间，求：
(1)球B 第一次落地时的速度大小；
(2)球A 的起始高度H。
19．跳水运动员从离水面10m 高的平台上跃起，举双臂身体竖直离开台面，此时其重心位于从手到脚全长
的中点，跃起后重心升高0.45m 达到最高点。入水时身体竖直，手先入水，从离开跳台到手刚触碰水面的
过程中，她可以用于完成空中动作的时间是多少?（在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计，忽略空
气阻力，计算时可以把运动员看成质点，
，结果保留两位有效数字）
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20．如图所示，直杆长
，圆筒高为
。直杆位于圆筒正上方
处。直杆从静止开
始做自由落体运动，并能竖直穿越圆筒，设圆筒离地面足够高，取
。求：
（1）直杆穿越圆筒所用的时间；
（2）若直杆刚开始下落时，圆筒同时以
的速度竖直上抛，经多长时间二者相遇。
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