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第 3 讲 自由落体运动和竖直上抛运动 多过程问题
目标要求 1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，知道竖直上抛运动的对称性.2.能
灵活处理多过程问题．
考点一 自由落体运动
自由落体运动
(1)运动特点：初速度为0，加速度为g 的匀加速直线运动．
(2)基本规律：
①速度与时间的关系式：v＝gt.
②位移与时间的关系式：x＝gt2.
③速度与位移的关系式：v2＝ 2 gx .
(3)方法技巧：
①比例法等初速度为0的匀变速直线运动规律都适用．
②Δv＝gΔt.相同时间内，竖直方向速度变化量相同．
③位移差公式：Δh＝gT2.
1．重的物体总是比轻的物体下落得快．( × )
2．同一地点，轻重不同的物体的g值一样大．( √ )
3．自由落体加速度的方向垂直地面向下．( × )
4．做自由落体运动的物体在1 s内速度增加约9.8 m/s.( √ )
考向1 自由落体运动基本公式的应用
例1 如图所示木杆长5 m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下(不计空气阻
力)，木杆通过悬点正下方20 m处的圆筒AB，圆筒AB长为5 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)木杆通过圆筒的上端A所用的时间t；
1(2)木杆通过圆筒AB所用的时间t.
2
答案 (1)(2－) s (2)(－) s
解析 (1)木杆由静止开始做自由落体运动，
设木杆的下端到达圆筒上端A所用的时间为t
下A
h ＝gt 2
下A 下A
h ＝20 m－5 m＝15 m
下A
解得t ＝ s
下A
设木杆的上端到达圆筒上端A所用的时间为t
上A
h ＝gt 2
上A 上A
解得t ＝2 s
上A
则木杆通过圆筒上端A所用的时间
t＝t －t ＝(2－) s
1 上A 下A
(2)设木杆的上端到达圆筒下端B所用的时间为t
上B
h ＝gt 2
上B 上B
h ＝20 m＋5 m＝25 m
上B
解得t ＝ s
上B
则木杆通过圆筒所用的时间t＝t －t ＝(－) s.
2 上B 下A
考向2 自由落体运动中的“比例关系”问题
例2 一石块从楼房阳台边缘做自由落体运动，到达地面，若把它在空中运动的距离分为
相等的三段，如果它在第一段距离内所用的时间是 1 s，则它在第三段距离内所用的时间是
(g取10 m/s2)( )
A．(－) s B. s C. s D．(－1) s
答案 A
解析 根据由自由落体运动规律，石块下落连续相等距离所用时间之比为：1∶(－
1)∶(－)，则它在第三段距离内所用的时间为(－) s，故选A.
考向3 自由落体运动中的“两物体先后下落”问题
例3 从高度为125 m的塔顶先后自由释放a、b两球，自由释放这两个球的时间差为1 s，
g取10 m/s2，不计空气阻力，以下判断正确的是( )
A．b球下落高度为20 m时，a球的速度大小为20 m/s
B．a球接触地面瞬间，b球离地高度为45 m
C．在a球接触地面之前，两球保持相对静止D．在a球接触地面之前，两球离地的高度差恒定
答案 B
解析 b球下落高度为20 m时t ＝＝ s＝2 s，则A下降了3 s，A的速度为v＝30 m/s，故A
1
错误；A球下降的总时间为：t＝ s＝5 s，此时B下降4 s，B的下降高度为：h′＝×10×42
2
m＝80 m，故B离地面的高度为h ＝(125－80) m＝45 m，故B正确；由自由落体的规律可
B
得，在a球接触地面之前，两球的速度差恒定，两球离地的高度差变大，故C、D错误．
考点二 竖直上抛运动
竖直上抛运动
(1)运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速运动，下降阶段做自由
落体运动．
(2)基本规律
①速度与时间的关系式： v ＝ v － g t；
0
②位移与时间的关系式：x＝vt－gt2.
0
1．物体做竖直上抛运动，速度为负值时，位移也一定为负值．( × )
2．做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，速度变化量方向是竖直向下的．( √ )
1.重要特性(如图)
(1)对称性
①时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间t 和下降过程中从C→A所用时间t 相等，
AC CA
同理t ＝t .
AB BA
②速度对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等．
(2)多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，
造成多解，在解决问题时要注意这个特性．2．研究方法
上升阶段：a＝g的匀减速直线运动
分段法
下降阶段：自由落体运动
初速度v 向上，加速度为－g的匀变速直线运动，v＝v －gt，h＝vt－gt2(以竖
0 0 0
直向上为正方向)
全程法
若v＞0，物体上升；若v＜0，物体下落
若h＞0，物体在抛出点上方；若h＜0，物体在抛出点下方
考向1 竖直上抛运动的对称性
例4 一个从地面上竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点 A的时间间隔是5 s，两次经
过一个较高点B的时间间隔是3 s，则A、B之间的距离是(不计空气阻力，g＝10 m/s2)( )
A．80 m B．40 m
C．20 m D．无法确定
答案 C
解析 物体做竖直上抛运动，根据运动时间的对称性得，物体从最高点自由下落到 A点的
时间为，从最高点自由下落到B点的时间为，A、B间距离为：h ＝g[()2－()2]＝×10
AB
×(2.52－1.52) m＝20 m，故选C.
考向2 竖直上抛运动的多解性
例5 (多选)从高为20 m的位置以20 m/s的初速度竖直上抛一物体，g取10 m/s2，当物体
到抛出点距离为15 m时，所经历的时间可能是( )
A．1 s B．2 s
C．3 s D．(2＋) s
答案 ACD
解析 取竖直向上方向为正方向，当物体运动到抛出点上方离抛出点15 m时，位移为x＝
15 m，由竖直上抛运动的位移公式得x＝vt－gt2，解得t ＝1 s，t ＝3 s；当物体运动到抛出
0 1 2
点下方离抛出点15 m时，位移为x′＝－15 m，由x′＝vt－gt2，解得t＝(2＋) s或t＝(2－)
0
s(负值舍去)，选项A、C、D正确，B错误．
考向3 竖直上抛和自由落体运动相遇问题
例6 (多选)如图所示，乙球静止于地面上，甲球位于乙球正上方 h处，现从地面上竖直上
抛乙球，初速度v ＝10 m/s，同时让甲球自由下落，不计空气阻力．(取g＝10 m/s2，甲、乙
0
两球可看作质点)下列说法正确的是( )A．无论h为何值，甲、乙两球一定能在空中相遇
B．当h＝10 m时，乙球恰好在最高点与甲球相遇
C．当h＝15 m时，乙球能在下落过程中与甲球相遇
D．当h<10 m时，乙球能在上升过程中与甲球相遇
答案 BCD
解析 设两球在空中相遇，所需时间为t，根据运动学公式可得gt2＋vt－gt2＝h，可得t＝，
0
而乙球的落地时间t ＝，两球在空中相遇的条件是t<t ，整理得h<20 m，A错误；若乙球恰
1 1
好在最高点与甲球相遇，满足的条件是t＝t ，代入数据整理得h＝10 m，B正确；由于10
1
m<h＝15 m<20 m，可得乙球能在下落过程中与甲球相遇，C正确；当h<10 m时，乙球还没
有上升到最高点就与甲球相遇，D正确．
考点三 多过程问题
1．一般的解题步骤
(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全
过程．
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量．
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程．
2．解题关键
多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对连接点速度的求解往往是
解题的关键．
例7 在一次低空跳伞演练中，当直升机悬停在离地面 224 m高处时，伞兵离开飞机做自
由落体运动．运动一段时间后，打开降落伞，展伞后伞兵以12.5 m/s2的加速度匀减速下降．
为了伞兵的安全，要求伞兵落地速度最大不得超过5 m/s.(g取10 m/s2)求：
(1)伞兵展伞时，离地面的高度至少为多少；
(2)以5 m/s着地时相当于从多高处自由落下；
(3)伞兵在空中的最短时间为多少．
答案 (1)99 m (2)1.25 m (3)8.6 s
解析 (1)设伞兵展伞时，离地面的高度至少为h，此时速度为v，
0
则有v2－v2＝－2ah
0
v2＝2g(H－h)
0联立解得h＝99 m，v＝50 m/s
0
(2)以5 m/s的速度落地相当于从h 高处自由落下
1
h＝＝1.25 m
1
(3)落地时速度刚好为5 m/s时在空中的时间最短．
设加速时间为t，减速时间为t，
1 2
t＝＝5 s
1
t＝＝3.6 s
2
总时间为t＝t＋t＝8.6 s.
1 2
例8 (2022·黑龙江牡丹江一中月考)一物体(可视为质点)以4 m/s的速度滑上光滑固定斜面，
做加速度大小为2 m/s2的匀减速直线运动，经过一段时间后上滑到最高点C点速度恰好减为
零，途经A、B两点，然后又以相同大小的加速度下滑到斜面底端D点，已知BC＝25 cm，
求：
(1)物体第一次经过B点的速度；
(2)物体由底端D点滑到B点所需要的时间．
答案 (1)1 m/s，方向沿斜面向上 (2)第一次滑到B点用时1.5 s，第二次滑到B点用时2.5 s
解析 (1)从B到C是匀减速直线运动，末速度为零，逆向思维，从 C到B是初速度为零的
匀加速直线运动，以沿斜面向下为正方向，
加速度a＝2 m/s2，位移大小为x ＝25 cm＝0.25 m
1 BC
根据位移—时间关系式，有x ＝at2
BC 11
解得t＝0.5 s
1
再根据速度－时间关系式，有v＝at
1 11
解得v＝1 m/s
1
故第一次经过B点时速度大小为1 m/s，方向沿斜面向上
(2)以沿斜面向上为正方向，对从D到B过程，由v＝v＋at
1 0
可得从D上滑第一次到达B点所用时间为：t＝＝ s＝1.5 s
由对称性可知：t ＝t ＝t＝0.5 s
BC CB 1
则t′＝t＋2t ＝1.5 s＋0.5×2 s＝2.5 s.
BC课时精练
1．伽利略为了研究自由落体的规律，将落体实验转化为著名的“斜面实验”，从而创造了
一种科学研究的方法．利用斜面实验主要是考虑到实验时便于测量小球运动的( )
A．速度 B．时间
C．路程 D．加速度
答案 B
2．(多选)物理图象能直观地反映物理量间的变化关系．关于自由落体运动的规律，下列各
物理量的图象正确的是(g取10 m/s2)( )
答案 AC
解析 根据速度与时间的关系式，有v＝gt＝10t∝t，故A正确，B错误；自由落体运动的
加速度始终等于重力加速度g，故C正确；根据位移与时间的关系式，有x＝gt2＝5t2，
x∝t2，故D错误．
3．一名宇航员在某星球上做自由落体运动实验，让一个质量为 2 kg的小球从一定的高度自
由下落，测得在第4 s内的位移是42 m，球仍在空中运动，则( )
A．小球在2 s末的速度大小是16 m/s
B．该星球上的重力加速度为12 m/s2
C．小球在第4 s末的速度大小是42 m/s
D．小球在0～4 s内的位移是80 m
答案 B
解析 设该星球的重力加速度为g，第4 s内的位移是42 m，有gt2－gt2＝42 m，t ＝4 s，t
4 3 4 3
＝3 s，解得g＝12 m/s2，所以小球在2 s末的速度大小为v ＝gt ＝24 m/s，故A错误，B正
2 2
确；小球在第4 s末的速度大小是v ＝gt ＝48 m/s，故C错误；小球在0～4 s内的位移是x
4 4 4
＝gt2＝96 m，故D错误．
44．(多选)物体以初速度v 竖直上抛，经3 s到达最高点，空气阻力不计，g取10 m/s2，则下
0
列说法正确的是( )
A．物体的初速度v 为60 m/s
0
B．物体上升的最大高度为45 m
C．物体在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为5∶3∶1
D．物体在前1 s内、前2 s内、前3 s内的平均速度之比为9∶4∶1
答案 BC
解析 物体做竖直上抛运动，有h＝vt－gt2①
0
v＝v－gt②
0
联立①②可得v ＝30 m/s，h＝45 m，故A错误，B正确；物体在第1 s内、第2 s内、第3 s
0
内的位移分别为25 m、15 m、5 m，已知＝，故在相等时间内的平均速度之比为 ∶
1
∶ ＝x ∶x ∶x ＝5∶3∶1，物体在前1 s内、前2 s内、前3 s内的平均速度之比为
2 3 1 2 3
′∶′∶′＝∶∶＝5∶4∶3，故C正确，D错误．
1 2 3
5．(2019·全国卷Ⅰ·18)如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大
高度为H.上升第一个所用的时间为t，第四个所用的时间为t.不计空气阻力，则满足( )
1 2
A．1<<2 B．2<<3
C．3<<4 D．4<<5
答案 C
解析 由逆向思维和初速度为零的匀加速直线运动比例式可知＝＝2＋，即3<<4，选项C正
确．
6.如图所示，地面上方离地面高度分别为h ＝6L，h ＝4L，h ＝3L的三个金属小球a、b、c.
1 2 3
若先后释放a、b、c，三球刚好同时落到地面上，不计空气阻力，重力加速度为g，则(
)
A．b与a开始下落的时间差等于c与b开始下落的时间差B．三小球运动时间之比为∶2∶1
C．a比b早释放的时间为2(－)
D．三小球到达地面时的速度大小之比是6∶4∶3
答案 C
解析 由h＝gt2，可得t ＝，t ＝，t＝，则(t －t)>(t －t)，三小球运动时间之比为∶2∶，a
a b c a b b c
比b早释放的时间为Δt＝t －t ＝2(－)，选项A、B错误，C正确；根据v2＝2gh可计算出三
a b
小球到达地面时的速度大小之比是∶2∶，选项D错误．
7．为了测一口枯井的深度，用一把玩具小手枪从井口竖直向下打出颗弹珠，1 s后听到弹珠
撞击井底的声音，然后再用玩具小手枪从井口竖直向上打出另一颗弹珠，2 s后听到弹珠从
井口落回井底撞击的声音，假设弹珠从枪口射出速度大小不变，忽略声音传播时间及空气阻
力．g＝10 m/s2，则( )
A．枯井的深度为5 m
B．弹珠从枪口射出速度大小为10 m/s
C．向下打出一颗弹珠运动过程平均速度为5 m/s
D．两次打出弹珠方式，弹珠到达井底的速度都为15 m/s
答案 D
解析 由h＝vt ＋gt2，h＝－vt ＋gt2，解得v ＝5 m/s，h＝10 m，故A、B项错误；向下
01 1 02 2 0
打出一颗弹珠运动过程平均速度＝10 m/s，C项错误；根据对称性，两次打出弹珠方式，弹
珠到达井底的速度一样，都为v＝15 m/s，D项正确．
t
8．屋檐离地面的高度为45 m，每隔相等时间滴下一滴水，当第7滴水刚滴下时，第一滴水
恰好落到地面上，则第3滴水与第5滴水的高度差为( )
A．5 m B．10 m C．15 m D．20 m
答案 C
解析 根据题意画出雨滴下落过程的示意图如图所示，根据自由落体运动的规律可知，在连
续相等的时间内位移之比为1∶3∶5…，所以第3滴水与第5滴水的高度差h＝H＝H＝15
m，故C正确，A、B、D错误．9．(多选)矿井中的升降机以5 m/s的速度竖直向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机底板松
脱，经过3 s升降机底板上升至井口，此时松脱的螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，取重
力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．螺钉松脱后做自由落体运动
B．矿井的深度为45 m
C．螺钉落到井底时的速度大小为25 m/s
D．螺钉随升降机从井底出发到落回井底共用时6 s
答案 BC
解析 螺钉松脱时具有与升降机相同的向上的初速度，故螺钉脱落后做竖直上抛运动，选项
A错误；取竖直向下为正方向，由运动学公式可得，螺钉自脱落至井底的位移 h ＝－vt＋
1 0
gt2＝30 m，升降机这段时间的位移h ＝vt＝15 m，故矿井的深度为h＝h ＋h ＝45 m，选项
2 0 1 2
B正确；螺钉落到井底时速度大小为v＝－v＋gt＝25 m/s，选项C正确；螺钉松脱前运动的
0
位移为h＝vt′，解得t′＝6 s，所以螺钉运动的总时间为t＋t′＝9 s，选项D错误．
1 0
10.在某星球表面，t＝0时刻小球以初速度v 开始做竖直上抛运动，取抛出位置位移x＝0，
0
以v 方向为正方向，则小球位移x随速度的平方v2变化的x－v2图象如图所示，下列说法正
0
确的是( )
A．小球的初速度为100 m/s
B．小球位移x＝5 m时对应的运动时间为2 s
C．小球加速度与初速度方向相反
D．图中m点坐标值为－7.2
答案 C
解析 t＝0时x＝0，由题图知v2＝100 (m/s)2，所以小球的初速度v ＝10 m/s，选项A错误；
0 0
由v2－v2＝2ax得x＝－，图线斜率k＝＝－，解得a＝－10 m/s2，小球位移x＝5 m时v＝
0
0，所以对应运动时间t＝＝1 s，选项B错误，C正确；由题图可知＝，解得m＝－2.2，选
项D错误．
11．(2022·陕西省黄陵县中学月考)某消防员在一次执行任务过程中，遇到突发事件，需从
10 m长的直杆顶端先从静止开始匀加速下滑，加速度大小a ＝8 m/s2，然后立即匀减速下滑，
1
减速时的最大加速度a＝4 m/s2，若落地时的速度不允许超过4 m/s，把消防员看成质点，求
2
该消防员下滑全过程的最短时间．
答案 2 s
解析 设匀加速直线运动的最大速度为v，加速下滑部分长为h ，减速下滑部分长为h ，最
1 2大速度为v，落地速度为v，由速度位移公式h＝，h＝，h＋h＝h，v＝at
1 1 2 1 2 11
联立以上各式解得v＝8 m/s，t＝1 s
1
落地前的速度为v＝4 m/s
1
由v＝v－at
1 22
解得t＝1 s
2
该消防员下滑全过程的最短时间为t＝t＋t＝2 s.
1 2
12.某人从同一点P以相同的速度先后竖直向上抛出两小球A、B，两球的v－t图象分别如图
中A、B所示，不计空气阻力，不考虑两球相撞，g取10 m/s2.下列说法正确的是( )
A．B球上升0.15 m时和A球相遇
B．若抛出两球的时间差合适，A球可以在上升过程中和B相遇
C．t＝0.2 s和t＝0.3 s时，两球的间距相等
D．t＝0到t＝0.3 s，A球运动的平均速度大小为 m/s
答案 C
解析 由题图可知，小球初速度为v ＝2 m/s，上升时间为t ＝0.2 s，上升最大高度为H＝＝
0 0
0.2 m，B球比A球晚Δt＝0.1 s抛出．B球上升0.15 m时，有h ＝vt －gt 2，代入数据解得t
B 0B B B
＝0.1 s或t ＝0.3 s(舍去)，则可知A球抛出时间为t ＝t ＋Δt＝0.2 s，则可知此时A球上升到
B A B
最大高度0.2 m处，故两球没有相遇，故A错误；因两球初速度相同，故A球不可能在上升
过程中和B球相遇，故B错误；当t＝0.2 s时，两球间距为Δh ＝(×2×0.2－0.15) m＝0.05
1
m，当t＝0.3 s时，B球上升到最大高度，A球从最大高度下降h′＝×10×0.12 m＝
0.05 m，则两球间距为Δh ＝0.05 m，故C正确；t＝0到t＝0.3 s，A球的位移为h＝vt－gt2
2 0
＝0.15 m，则A球运动的平均速度大小为＝＝0.5 m/s，故D错误．
