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专题08 电磁感应中的线框模型
一．线框模型常见的运动图像
（空气阻力不计）
二．线框模型进出磁场电荷量大小相等
如图所示，在光滑的水平面上，有一竖直向下的匀强磁场分布在宽度为L 的区域内，现有一
个边长为a(a<L)的正方形闭合线圈以初速度v0垂直磁场边界滑过磁场后，速度为v(v<v0)，
线圈进入磁场过程，由动量定理有－BI1L·Δt1＝mv′－mv0
线圈离开磁场过程，同理－BI2L·Δt2＝mv－mv′
进出磁场时磁通量变化数值相同，故q0＝q
q0＝I1·Δt1，q＝I2·Δt2
联立各式得v′－v0＝v－v′
所以v′＝，
1
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【模型演练1】（22-23 高二下·宁夏固原·期中）如图所示，矩形闭合导体线框在匀强磁场上方，由不同高
度静止释放，用
、
分别表示线框ab 边和cd 边刚进入磁场的时刻。线框下落过程形状不变，ab 边始终
保持与磁场水平边界线OO′平行，线框平面与磁场方向垂直。设OO′下方磁场区域足够大，不计空气影响，
则下列图像可能反映线框下落过程中速度v 随时间t 变化规律的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】AB．线框先做自由落体运动，若安培力大于重力，ab 边进入磁场先做减速运动，根据安培力公
式
可知，线框的加速度应该是逐渐减小，v-t 图象的斜率应逐渐减小，先线框所受的安培力与重力二力平衡后，
做匀速直线运动，速度不变；线框完全进入磁场后，磁通量不变，没有感应电流产生，线框只受重力，做
加速度为g 的匀加速直线运动，故v-t 图象的斜率可能先不变，后减小，再为零，最后又不变，故A 错误，
B 正确；
C．线框先做自由落体运动，ab 边进入磁场后因为重力大于安培力，做加速度减小的加速运动，cd 边离开
2
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磁场做匀加速直线运动，加速度为g，故C 正确;
D．线框先做自由落体运动，ab 边进入磁场后因为重力等于安培力，做匀速直线运动，cd 边离开磁场做匀
加速直线运动，加速度为g，故D 正确。
故选BCD。
【模型演练2】．（23-24 高二上·山东青岛·期末）由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭
合线圈，两线圈的质量相等，所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的3 倍。现两线圈在竖直平面
内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水
平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上下边保持水平。在线圈下边进入
磁场后且上边进入磁场前，关于甲、乙两物体的运动，下列说法可能正确的是（ ）
A．都减速运动
B．都加速运动
C．两物体的加速度一定相同
D．两物体的加速度一定不同
【答案】ABC
【详解】设线圈到磁场的高度为 h，线圈的边长为 l，则线圈下边刚进入磁场时
感应电动势为
两线圈材料相等 (设密度为
)，质量相同 (设为m)，则
设材料的电阻率为ρ，则线圈电阻
3
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感应电流为
安培力为
由牛顿第二定律有
联立解得
加速度和线圈的匝数、 横截面积无关，则甲和乙进入磁场时，具有相同的加速度。
当
时，甲和乙都加速运动，当
时，甲和乙都减速运动, 当
时都匀速。
故选ABC。
【模型演练3】（23-24 高二上·福建龙岩·期末）2023 年12 月26 日，“龙龙”高铁（龙岩段）正式开通，
高铁起于福建省龙岩市，终到广东省河源市龙川县，对促进闽西革命老区和粤港澳大湾区发展合作具有重
要意义。如图所示，一列动车水平驶入新建的武平车站，其进站的电磁制动原理可简化如下：在车身下方
固定一矩形线框，利用线框进入磁场时所受的安培力，辅助列车刹车。已知列车质量为m，车身长为s，
线框的ab 和cd 长度均为L（L 小于磁场的宽度），线框的总电阻为R。站台轨道上匀强磁场方向竖直向上，
其区域足够长，左边界与ab 平行，磁感应强度大小为B。车头进入磁场瞬间的速度为
，列车停止前所受
铁轨及空气阻力的合力恒为f。则（ ）
4
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A．列车进站过程中电流方向为badcb
B．列车ab 边进入磁场瞬间，加速度大小
C．列车从进站到停下来的过程中，线框产生的热量
D．列车从进站到停下来的过程中，通过回路的电荷量
【答案】BD
【详解】A．根据右手定则可知，列车进站过程中电流方向为abcda，故A 错误；
B．列车ab 边进入磁场瞬间，感应电动势为
感应电流为
根据牛顿第二定律有
解得
故B 正确；
5
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C．列车从进站到停下来的过程中，有铁轨及空气阻力的合力做功，因此有内能产生，根据能量守恒定律
可知，线框产生的热量
故C 错误；
D．令线框进入磁场中有感应电流产生过程的位移为x，可知
感应电动势的平均值为
感应电流为
解得
故D 正确。
故选BD。
【模型演练3】（22-23 高二上·河南·期末）如图所示，两个相同的矩形线圈甲、乙是由相同材料、粗细均
匀的金属丝做成的单匝线圈，矩形线圈的长为2L、宽为L，现分别把甲、乙两线圈从图示位置以相等的速
率匀速拉出匀强磁场，在该过程中，下列说法正确的是（ ）
6
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A．甲、乙两线圈的电流之比
B．流经甲、乙两线圈某一横截面的电荷量之比
C．甲、乙两线圈的热功率之比
D．甲、乙两线圈产生的热量之比
【答案】BD
【详解】A．匀速拉动过程中，根据闭合电路的欧姆定律可得
电流之比为
故A 错误；
B．通过线圈的电荷量为
可得
故B 正确；
C．根据
两线圈的热功率之比为
7
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故C 错误；
D．甲、乙两线圈产生的热量之比等于克服安培力做功之比，克服安培力做的功为
甲、乙两线圈产生的热量之比为
故D 正确。
故选BD。
一、单选题
1．（23-24 高二下·黑龙江绥化·开学考试）如图甲所示，边长为
的正方形导线框
位于纸面内，匀
强磁场区域宽为
，磁场方向垂直于纸面向里。导线框以垂直于磁场边界的恒定速度通过该磁场区
域，导线框四条边电阻均为
，在运动过程中，线框
边始终与磁场区域的边界平行。线框刚进入磁场
的时刻为
，线框中感应电流随时间变化的规律（即
图像）如图乙所示，以下分析错误的是
（ ）
A．在第
内，线框中感应电流为逆时针方向，大小恒定为
B．在第
内，感应电流大小为0，所以此时穿过线框的磁通量也为0
8
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C．在第
内，线框中感应电流方向为顺时针方向，大小恒定为
D．在第
内，线框中
两点间电压大小为
【答案】B
【详解】A．根据右手定则或楞次定律可知，在第
内（线圈进入磁场的过程）感应电流的方向为逆时针，
由乙图可知感应电流大小为
，A 正确；
B．根据乙图结合甲图可知在第
内线圈完全进入磁场，感应电流为零，但通过线圈的磁通量最大，不为
零，B 错误；
C．第
内线圈穿出磁场，与A 中方法相同，可知感应电流方向为顺时针，由乙图可知电流大小为
，
C 正确；
D．在第
内，
相当于电源，则
D 正确。
本题选错误的，故选B。
2．（23-24 高二上·浙江杭州·期中）如图所示，用粗细相同的铜丝做成边长分别为L 和2L 的两只闭合线框
a 和b，以相同的速度从磁感应强度为B 的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外，不考虑线框的动能变化，若
外力对环做的功分别为
、
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
【答案】A
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【详解】根据题意可知闭合线圈
、
产生的感应电动势分别为
，
因为
线圈的边长是
线圈边长的2 倍，所以周长也是
线圈的2 倍，根据电阻定律
可得用粗细相同的铜丝做成的两个线圈，电阻
所以根据
可得线圈
、
产生的电流之比为
线圈匀速拉出磁场的时间之比为
根据功能关系可知，外力对环做的功等于线框产生的焦耳热，即
故选A。
3．（23-24 高二上·贵州六盘水·期末）如图所示，用均匀导线做成边长为L、电阻为R 的正方形闭合线框
，在外力作用下以速度v 向右匀速进入匀强磁场的过程中，则下列说法正确的是（ ）
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A．c、b 两点间的电压为
B．c、b 两点间的电压为
C．线框进入磁场过程中，产生的热量为
D．线框进入磁场过程中，外力做功的功率为
【答案】D
【详解】AB．线框进入磁场过程中，bc 边切割磁感线产生的感应电动势
bc 边充当电源，另外三边为外电路。c、b 间电压为电源两端电压，即外电路电压
故AB 错误；
D．线框匀速进入磁场，外力大小为
功率为
故D 正确；
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C．线框进磁场过程中，经历的时间
线框产生得焦耳热
故C 错误。
故选D。
4．（23-24 高二上·广东深圳·期末）用同样的金属材料制成三个大小相同的线圈a、b、c，其中线圈a 的线
径较粗，b、c 两个的线径较细，且a、b 是闭合的，c 是开口的。它们从同样高度处自由落下，途中经一匀
强磁场区域后着地，则它们运动时间的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可知，线圈进入磁场时的速度相同，安培力为
根据牛顿第二定律
线圈质量为
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电阻为
得
a、b 是闭合的，加速度相同，运动时间相同。c 是开口的，不产生感应电流，安培力为零，始终做自由落
体运动，时间更短，故
故选D。
5．（22-23 高二上·北京海淀·期末）如图所示，将质量为m 的闭合矩形导线框abcd 先后两次从图示位置由
静止释放，穿过其下方垂直于纸面向里的匀强磁场。第一次线框恰好匀速进入磁场。已知ab 边长为3L，
bc 边长为L，磁场的宽度h>3L，不计空气阻力。下列判断正确的是（ ）
A．第一次进入磁场过程中，线框减少的重力势能为mgh
B．第二次刚进入磁场时，线框的加速度大小为2g
C．先后两次刚进入磁场时，ab 两点间的电势差之比为1:5
D．先后两次刚进入磁场时，线圈中的感应电流之比为1:1
【答案】C
【详解】A．根据题意可知，线框第一进入磁场的过程中，线框下降的高度为3L，则线框减少的重力势能
为3mgL，故A 错误；
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D．根据题意可知，由于线框两次从同一高度下降，则线框进入磁场时速度相等，设速度为v，线框第一次
进入磁场时，感应电动势为
线框第二次进入磁场时，感应电动势为
则先后两次刚进入磁场时，线圈中的感应电动势之比为
所以线圈中的感应电流之比为
故D 错误；
B．设线框的电阻为R，则线框进入磁场过程中，感应电流为
线框受到的安培力为
由题意可知，线框第一次进入磁场过程中，安培力与线框的重力大小相等，则有
则线框第二次刚进入磁场时的安培力为
所以第二次刚进入磁场时，线框的加速度大小为
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故B 错误；
C．根据题意可知，ab 间的电阻为
，第一次进入磁场时，两点间的电势差为
第二次进入磁场时，两点间的电势差为
则先后两次刚进入磁场时，ab 两点间的电势差之比为
故C 正确。
故选C。
6．（23-24 高二上·河南郑州·期末）如图所示，粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框abcd，置于有界匀强
磁场中，图中虚线为磁场边界，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。现使线框以同样大小的速度
匀速
沿四个不同方向平动进入磁场，并且速度方向始终与线框先进如磁场的那条边垂直，则在通过如图所示位
置时，下列说法正确的是（ ）
A．图①中ab 两点间的电势差最大
B．图②中ab 两点间的电势差最大
C．图③中回路电流最大
D．图④中回路电流最小
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【答案】A
【详解】设正方形线框边长为
，四个图中的电动势均为
设正方形线框的电阻为
，则四个图中回路的电流均为
其中图①中ab 边相当于电源，ab 两点间的电势差为
图②、③、④中ab 两点间的电势差均为
故选A。
7．（23-24 高二上·广东广州·期末）有一边长
、质量
的正方形导线框abcd，由高度
处自由下落，如图所示，其下边ab 进入匀强磁场区域后，线圈开始做匀速运动，直到其上边dc
刚刚开始穿出匀强磁场为止。已知匀强磁场的磁感应强度
，匀强磁场区域的高度也是l，g 取
，
则线框（ ）
A．电阻
B．进入磁场的过程通过线框横截面的电荷量
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C．穿越磁场的过程产生的焦耳热
D．穿越磁场的过程，感应电流方向和安培力方向都不变
【答案】C
【详解】A．线框由高度
处自由下落，有
v2=2gh
线框在磁场中做匀速运动，则
mg=BIl
又
E=Blv
联立解得
R=0.2Ω
A 错误；
B．线框进入匀强磁场的过程流过线框的电荷量
B 错误；
C．线框穿越匀强磁场的过程产生的焦耳热
Q=2mgl=0.02J
C 正确；
D．线框进入磁场和出离磁场时感应电流的方向相反；穿越磁场的过程安培力的方向没有变化，总是竖直
向上，D 错误。
故选C。
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8．（2023·吉林长春·一模）如图，在光滑水平桌面上有一边长为l、电阻为R 的正方形导线框，在导线框
右侧有一宽度为d（d＞l）的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的左、右边框平行，磁场方向竖直
向下。导线框以某一初速度向右运动并穿过磁场，在穿过磁场区域过程中，下列描述该过程的v—x（速度
—位移）图像中，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】线圈进入磁场时，设某时刻进入磁场的距离为x，此时线圈的速度为v，则由动量定理
其中
则
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当完全进入磁场后，不受到安培力，所以做匀速直线运动，当出磁场时，速度v 与位移x 的关系与进入磁
场相似。
故选B。
二、多选题
9．（23-24 高二下·黑龙江大庆·开学考试）如图所示，电阻为0.1Ω 的正方形单匝线圈abcd 的边长为
0.2m﹐bc 边与匀强磁场边缘重合。磁场的宽度等于线圈的边长，磁感应强度大小为0.5T。在水平拉力作用
下，线圈以8m/s 的速度向右穿过磁场区域，线圈在上述过程中（ ）
A．感应电动势的大小
B．线框穿过整个磁场的时间是0.025s
C．所受拉力的大小
D．线框穿越磁场的整个过程中产生的热量是0.16J
【答案】AC
【详解】A．感应电动势的大小
选项A 正确；
B．线框穿过整个磁场的时间是
选项B 错误；
C．所受拉力的大小
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选项C 正确；
D．线框穿越磁场的整个过程中产生的热量
选项D 错误。
故选AC。
10．（23-24 高二上·山东济南·期末）如图所示，
、
为相同的等腰直角三角形，且
、
、
在同一条直线上．
内有垂直纸面向里的匀强磁场，
内有垂直纸面向外的匀强磁场，两个磁场
的磁感应强度大小相等．一电阻分布均匀的正方形导线框的边长为，且为
长度的一半。该线框沿
向右以速度匀速穿过磁场，
时刻恰好位于图中所示位置．线框平行于
方向所受的安培力
为
，向左为正，导线框中电流
以顺时针方向为正方向，二者与时间的关系图像正确的是
（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】AC
【详解】
设线框边长为L，从位置1 到位置2，线圈切割磁感线的有效长度为vt，则电流
即电流从0 增加到
，方向顺时针为正方向；导体框受安培力
即安培力从零增加到
，方向向左为正方向；
从位置2 到位置3，线圈切割磁感线的有效长度为
l=L+L-vt=2L-vt
则电流
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则电流从
减到
零，方向顺时针为正方向；导体框受安培力
即安培力从
减小到
，该变化过程为开口向上的抛物线，安培力方向向左为正方向；
从位置3 到位置4，电流与从1 到2 变化相同，只不过电流方向为负方向；安培力的变化与从1 到2 相同，
仍为向左为正方向；
从位置4 到位置5，线圈切割磁感线的有效长度为L-vt，则电流
即电流从
减小到0，方向逆时针为负方向；导体框受安培力
即安培力从
减小到零，方向向左为正方向；
综上所述，结合图像可知，故AC 正确，BD 错误。
故选AC。
11．（23-24 高二上·河北邯郸·期末）如图所示，水平地面上方存在垂直纸面向里的有界匀强磁场，有界磁
场上边界与水平地面平行。两个边长相等的单匝闭合正方形线圈a 和b，分别用材料相同、粗细不同的导
线绕制，线圈a 和b 所用导线的横切面面积之比为1 3∶，线圈a 从距磁场上边界h 高处由静止开始自由下落，
再进入磁场，最后落到地面；线圈b 在相同高度以初速度
水平抛出，先做平抛运动，再进入磁场，最后
也落到地面。已知线圈运动过程中均不发生转动。设线圈a 和b 进入磁场的整个过程中，两线圈的运动时
间分别为
和
，通过两线圈的电荷量分别为
和
，不计空气阻力，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】AB．线圈a 和b 在竖直方向做自由落体运动，则两线圈刚进入磁场时的竖直分速度相等，由牛顿
第二定律得
又有
，
，
，
由以上各式可得
其中
为电阻率，
为密度，从该式可以看出，两线圈进入磁场时加速度
相同，那么线圈完全进入磁场
时的竖直分速度也相同，则进入磁场整个过程的时间相同，故A 正确，B 错误；
CD．由
和
，线圈a 和b 进入磁场的电流之比为
，由
，可得
故C 错误，D 正确。
故选AD。
12．（2024 高二下·河南商丘·期中）在如图所示的两平行虚线之间存在着垂直纸面向里、宽度为d、磁感
应强度为B 的匀强磁场，正方形线框abcd 的边长为L（
），质量为m，电阻为R。将线框从距离磁场
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的上边界为h 高处由静止释放后，线框的ab 边刚进入磁场时的速度为
，ab 边刚离开磁场时的速度也为
，在线框进入磁场的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．a 点的电势高于b 点
B．线框一定做减速运动
C．通过导线横截面的电荷量为
D．克服安培力所做的功为mgd
【答案】BCD
【详解】A．在线框进入磁场的过程中，ab 边切割磁感线，ab 边相当于电源，根据右手定则可知感应电流
为逆时针方向，a 点电势低于b 点，故A 项错误；
B．由于线框完全进入磁场之后，线框会做加速度为g 的加速运动，而ab 边刚离开磁场的速度与ab 边刚进
入磁场的速度相同，因此线框进入磁场的过程中，一定减速，故B 项正确；
C．线框进入磁场的过程中，线框的平均电动势为
线框的平均电流为
由电流公式有
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解得
故C 项正确；
D．从ab 边刚进入磁场到ab 边刚离开磁场这一过程进行研究，由于线框全部进入磁场之后，线框不受安
培力，设线框进入磁场过程中安培力做的功为
，根据动能定理可得
所以此过程中安培力做功为
所以克服安培力做功mgd，故D 项正确。
故选BCD。
13．（23-24 高二上·重庆沙坪坝·期末）如图（a）所示，在竖直平面内有宽度为L 的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、
Ⅳ，各磁场边界平行且在水平面内，四个区域内匀强磁场磁感应强度的大小均为B，磁场Ⅰ、Ⅲ的磁感应
强度的方向垂直于纸面向外，磁场Ⅱ、Ⅳ的磁感应强度的方向垂直于纸面向里，磁场Ⅰ、Ⅱ之间的距离为
L，磁场Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ依次相邻。一质量为m、边长为L 的正方形单匝闭合导线框从磁场Ⅰ上方某一位置静
止释放，从导线框下边到达磁场Ⅰ上边界开始计时，当导线框下边到达磁场Ⅳ的下边界时停止计时，此过
程中导线框内电流大小随时间的变化规律如图（b）所示，图中开始阶段和最后阶段的电流图线平行于时
间轴。在运动过程中导线框始终在竖直平面内且上下两边与各磁场边界始终平行，不计空气阻力，重力加
速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
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A．导线框刚进入磁场时做匀速直线运动的速度为
B．导线框的电阻R 为
C．从导线框上边到达磁场Ⅱ上边界至导线框下边到达磁场IV 下边界运动的总时间为
D．从导线框下边到达磁场Ⅱ上边界至导线框下边到达磁场IV 下边界过程中导线框中产生的热量为
【答案】BD
【详解】AB．由图像可知，线圈的下边进入磁场I 到线圈的下边到达磁场II 的下边界一直做匀速运动，则
运动速度为
根据受力平衡可得
又
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联立解得
故A 错误，B 正确；
C．从导线框上边到达磁场II 上边界至导线框下边到达磁场IV 上边界过程中，根据动量定理
其中
解得
从导线框上边到达磁场II 上边界至导线框下边到达磁场IV 下边界运动的总时间大于
，故C 错误；
D．从导线框下边到达磁场II 上边界至导线框下边到达磁场IV 下边界过程中导线框中由能量关系
解得产生的热量为
故D 正确。
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14．（23-24 高二上·黑龙江大庆·期末）如图所示，在倾角为
的光滑斜面上，存在两个大小相等、方向相
反的匀强磁场，磁场方向与斜面垂直，两磁场的宽度MJ 和JG 均为L，一个质量为m、电阻为R、边长也
为L 的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，当ab 边刚越过GH 进入磁场时，线框恰好以速度
做匀速
直线运动；当ab 边下滑到JP 与MN 的中间位置时，线框又恰好以速度v 做匀速直线运动，则（ ）
A．
B．线框离开MN 的过程中电流方向为
C．当ab 边刚越过JP 时，线框加速度的大小为
D．从ab 边刚越过GH 到ab 边刚越过MN 过程中，线框产生的热量为
【答案】BD
【详解】A．由题意当ab 边刚越过GH 进入磁场时，ab 切割磁感线产生的电动势大小为
，受到沿斜
面向上的安培力
重力沿斜面向下的分力与安培力平衡，线框恰好以速度v0做匀速直线运动，加速度为0；当ab 边下滑到JP
与MN 的中间位置时，ab 与cd 均切割磁感线，产生的电动势大小为2BLv，ab 和cd 均受到沿斜面向上的安
培力，安培力合力
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重力沿斜面向下的分力与安培力平衡，线框恰好以速度v 做匀速直线运动，平衡条件得
即可求出速度关系
故A 错误；
B．线框离开MN 的过程中，穿过线圈磁通量减小，由楞次定律可得，线圈产生的感应电流方向为adcba，
B 正确；
C．当ab 边刚越过JP 时，线框两边切割磁感线，导致线框做匀减速运动，受力分析，即
从而可求出线框加速度的大小为
，故C 错误；
D．从ab 边刚越过GH 到ab 边刚越过MN 过程中，线框的重力势能和动能均减小，根据功能关系得知，线
框克服安培力做功的大小等于重力势能的减少量与动能减小量之和。则线框产生的热量为
D 正确；
故选BD。
三、解答题
15．（23-24 高二下·河南·阶段练习）如图所示，光滑的绝缘斜面倾角为
，水平虚线上方存在垂直
斜面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为
，边长为
、质量为
、电阻值为
的正方形线框abcd 放在虚线下侧，其中cd 边与虚线平行，现在线框上施加沿斜面向上的恒力
使其由静止开始运动，经过一段时间线框刚好匀速进入磁场，直到ab 边与虚线重合，重力加速度
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为
，整个过程线框没有发生转动，求：
（1）线框出发瞬间cd 边到虚线的间距；
（2）线框从开始运动到ab 边与虚线重合的过程产生的焦耳热，以及该过程流过线框某一横截面的电荷量。
【答案】（1）18m；（2）
，
【详解】（1）线框进入磁场的过程中做匀速运动，则线框受平衡力的作用，有
cd 边进入磁场切割磁感线，产生的电动势
形成的感应电流
受到的安培力
代入数据解得
线框进入磁场前时，做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得
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导体框进入磁场前的加速度
线框出发瞬间cd 边到虚线的距离为
代入数据解得
（2）线框进场的时间为
则线框从开始运动到ab 边与虚线重合的过程产生的焦耳热为
线框进场的过程，由法拉第电磁感应定律得
线框进入磁场的过程，磁通量的变化量为
由闭合电路欧姆定律得
又
整理得
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代入数据解得该过程流过线框某一横截面的电荷量为
16．（2024·陕西·模拟预测）如图所示，在竖直面内有一宽
长
、垂直纸面向里的有界匀强
磁场区域，在磁场正上方
处有一边长
为
的正方形导线框，导线框的质量
，电阻
，当导线框做自由落体运动，其下边刚接触磁场区域时恰好可做匀速直线运动，取重力加速度大
小
，求：
（1）磁感应强度B 的大小；
（2）导线框下边刚离开磁场区域时的加速度
；
（3）导线框下边刚接触磁场至下边刚要离开磁场的过程中产生的焦耳热Q。
【答案】（1）
；（2）
，竖直向上；（3）
【详解】（1）线框从静止释放到下边缘刚进入磁场，根据动能定理
解得
线框下边切割磁感线，感应电动势为
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根据闭合电路欧姆定律
其下边刚接触磁场区域时恰好可做匀速直线运动，由平衡条件得
解得磁感应强度B 的大小为
（2）导线框下边刚离开磁场区域时速度为
，导线框完全在磁场中只受重力，则
解得
当导线框下边刚离开磁场区域时，对导线框受力分析由牛顿第二定律
其中
代入数据解得
方向竖直向上。
（3）当导线框进入磁场的过程中，电路中有感应电流，在该过程中导线框做匀速直线运动，则根据
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联立可得
因为导线框完全在磁场中只受重力，没有感应电流，故产生的焦耳热为
导线框下边刚接触磁场至下边刚要离开磁场的过程中产生的焦耳热为
17．（23-24 高二上·浙江杭州·期末）如图，在光滑水平面上存在宽度为d（d>2L）、方向竖直向上磁感应
强度为B 的匀强磁场。边长为L，质量为m，电阻为R 的单匝正方形线圈ABCD（AB、CD 边和磁场边界平
行）在外力作用下以速度v 向右匀速穿过该磁场。求：
（1）线圈进入磁场时线圈中电流的大小以及外力做功的功率；
（2）线圈进入磁场和离开磁场的过程中A、B 两点的电势差；
（3）如果线圈不受外力，线圈要穿过磁场需要的最小速度。
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【答案】（1）
，
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）线圈进入磁场时，根据法拉第电磁感应定律可得，产生的感应电动势大小为
感应电流
由于线框做匀速直线运动，则根据平衡条件有
而
,
联立解得外力做功的功率
（2）线圈进入磁场时，AB 边相当于外电路的电阻，且根据右手定则可知，B 端电势高于A 端电势，则有
线圈离开磁场时AB 边切割磁感线相当于电源，且根据右手定则可知，B 端电势高于A 端电势，则有
（3）设线框恰好穿过磁场的初速度为
，完全进入磁场时的速度为
，则由动量定理，对完全进入磁场
的过程有
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对完全出磁场的过程有
而根据法拉第电磁感应定律有
，
联立以上各式解得，线圈不受外力时要穿过磁场需要的最小速度
18．（23-24 高二下·河南·开学考试）如图所示，固定光滑绝缘斜面与水平面的夹角
，斜面所在空
间存在两个相邻且互不影响的有界匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁场边界水平，磁场Ⅰ的方向垂直斜面向里、磁感应
强度大小
，磁场Ⅱ的方向垂直斜面向外、磁感应强度大小
，磁场Ⅰ、Ⅱ的宽度均为L＝
2m。现有一边长也为2m、电阻
的正方形闭合导线框abcd 从距磁场Ⅰ上边界
处由静止释
放，已知线框ab 边刚进入磁场Ⅰ时线框恰好做匀速直线运动，进入磁场Ⅱ经一段时间后，在ab 边未出磁
场Ⅱ区域下边界之前线框又做匀速直线运动，整个线框在穿过磁场区域的过程中，ab 边始终水平，取重力
加速度大小
。求：
（1）线框abcd 的质量m；
（2）线框ab 边刚到达磁场Ⅱ下边界时线框的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
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【详解】（1）线框由静止开始做匀加速运动，设加速度大小为a，线框ab 边到达磁场I 上边界时速度为
，
根据牛顿第二定律有
根据运动学公式有
线框ab 边进入磁场I 边界切割磁感线产生感应电流，根据法拉第电磁感应定律有
根据闭合电路欧姆定律有
线框ab 边受到的安培力大小
线框ab 边刚进入磁场I 时恰好做匀速直线运动，
根据受力平衡有
解得
（2）当ab 边进入磁场Ⅱ后，线框再次匀速运动时的速度为
，线框ab 边和cd 边同时切割磁感线，产生
同方向感应电流，此时回路的感应电动势
此时线框abcd 中的电流
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线框ab 边和cd 边同时受到沿斜面向上的安培力，由受力平衡可得
解得
19．（23-24 高二上·河北邢台·期末）如图所示，固定光滑绝缘斜面与水平面的夹角θ=30°，斜面所在空间
存在两个相邻且互不影响的有界匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁场边界水平，磁场Ⅰ的方向垂直斜面向里、磁感应强
度大小B1=0.5T，磁场Ⅱ的方向垂直斜面向外、磁感应强度大小B2=0.5T，磁场Ⅰ、Ⅱ的宽度均为L=2m。
现有一边长也为2m、电阻R=2.0Ω 的正方形闭合导线框abcd 从距磁场Ⅰ上边界x=1.6m 处由静止释放，已
知线框ab 边刚进入磁场Ⅰ时线框恰好做匀速直线运动，进入磁场Ⅱ经一段时间后，在ab 边未出磁场Ⅱ区
域下边界之前线框又做匀速直线运动，整个线框在穿过磁场区域的过程中，ab 边始终水平，取重力加速度
大小g=10m/s2。求：
（1）线框abcd 的质量m；
（2）线框ab 边刚到达磁场Ⅱ下边界时线框的速度大小；
（3）线框从开始运动至ab 边刚到达磁场Ⅱ下边界的过程中，线框内产生的焦耳热Q。
【答案】（1）0.4kg；（2）1m/s；（3）11J
【详解】（1）线框由静止开始做匀加速运动，设加速度大小为a，线框ab 边到达磁场Ⅰ上边界时速度为
v1，根据牛顿第二定律有
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根据运动学公式有
线框ab 边进入磁场Ⅰ边界切割磁感线产生感应电流，根据法拉第电磁感应定律有
根据闭合电路欧姆定律有
线框ab 边受到的安培力大小
线框ab 边刚进入磁场Ⅰ时恰好做匀速直线运动，根据受力平衡有
解得
（2）当ab 边进入磁场Ⅱ后，线框再次匀速运动时的速度为v2，线框ab 边和cd 边同时切割磁感线，产生
同方向感应电流，此时回路的感应电动势
此时线框abcd 中的电流
线框ab 边和cd 边同时受到沿斜面向上的安培力，由受力平衡可得
解得
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（3）从线框开始运动到ab 边刚到达磁场Ⅱ下边界的过程中，设安培力做的功为W，根据动能定理有
根据功能关系有
解得
20．（23-24 高二上·河南洛阳·期末）如图所示，在倾角为
的粗糙绝缘斜面
上有一垂直斜面向
上的有界匀强磁场，虚线为磁场边界，
，磁场的边界与斜面底边
平行，在斜面上有一个
质量为
、电阻为
、边长为
的正方形金属线框，从磁场上方某一位置由静止释
放，沿斜面滑下，线框底边始终与斜面底边平行，若线框刚进入磁场时，恰好能做匀速运动，重力加速度
，求：
（1）线框刚进入磁场时的速度大小v；
（2）磁场宽度
，若线框上边框穿出磁场前也已匀速运动，则线框在穿过磁场的整个过程中产生的焦
耳热为多少？
【答案】（1）4m/s；（2）0.6J
【详解】（1）由平衡可知
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根据欧姆定律有
根据法拉第电磁感应定律有
解得
（2）由动能定理
解得
根据功能关系有
解得
21．（23-24 高二上·河南南阳·期末）一边长为
、质量为
、总电阻为
的正方形导线框
，自磁场
上方某处自由下落，如图所示。区域Ⅰ、Ⅱ内均为匀强磁场，磁感应强度大小分别为
，方向如图所
示，宽度分别为
，且
。导线框恰好匀速进入区域Ⅰ，一段时间后又恰好匀速离开区域Ⅱ，忽
略空气阻力，重力加速度为
，求：
（1）导线框释放时
边与区域Ⅰ上边界的距离；
（2）导线框
边刚进入区域Ⅱ时的加速度大小；
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（3）导线框穿过区域Ⅰ的过程产生的焦耳热。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）导线框恰好匀速进入区域I，则有
解得
（2）刚进入区域Ⅱ，则有
牛顿第二定律
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联立得
（3）设导线框刚开始穿区域Ⅱ的速度为
，设导线框穿过区域Ⅰ的过程产生的焦耳热为
，从导线框刚
开始进入区域Ⅰ到刚开始要离开区域Ⅱ的过程中，只有在导线框穿过区域Ⅰ的过程产生焦耳热
，导线框
完全离开区域Ⅰ，完全进入区域Ⅱ的过程中感应电流为0，不产生焦耳热，则对从导线框刚开始进入区域
Ⅰ到刚开始要离开区域Ⅱ的过程中运用动能定理有
由能量守恒有
联立得
22．（23-24 高二上·山西运城·期末）如图所示，相距为
的两条水平虚线间存在垂直纸面向里的匀
强磁场，磁感应强度大小为
。一质量为
、电阻为
、边长为
的正方形金属
框从磁场上方某处自由下落，之后匀速进入磁场区域，重力加速度g 取
，求：
（1）金属框自由下落的高度h；
（2）穿过磁场区域的过程中，金属框中产生的焦耳热Q。
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【答案】（1）0.2m；（2）0.2J
【详解】（1）金属框自由下落的过程中由动能定理可得
由金属框匀速进入磁场区域可知，金属框通过磁场区域时受力平衡
由联立解得
（2）金属框匀速通过磁场区域的过程中，产生的焦耳热等于克服安培力所做的功
解得
23．（23-24 高二上·河北承德·期末）边长
、质量
、电阻
的正方形线框cdef 以速度
沿倾角
的光滑斜面向上运动，在斜面上方有垂直斜面向下的匀强磁场区域，其宽度
，
，取重力加速度大小
，cf 边与磁场边界平行，当cf 边刚进入磁场区域时，
在cf 边加一沿斜面向上、大小为
的拉力F，线框恰好可做匀速直线运动，当线框完全进入磁场时撤去
F。
（1）求线框刚开始运动时，cf 边离磁场区域下边界的距离d；
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（2）判断cf 边能否通过磁场区域上边界；
（3）求线框产生的焦耳热Q。
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）
【详解】（1）线框刚开始运动时，由题意可得
可得
又
，
可得
根据牛顿第二定律和运动学公式可得
，
解得cf 边离磁场区域下边界的距离为
（2）当线框完全进入磁场区域后做匀减速直线运动，则有
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解得
由于
所以cf 边不能通过磁场区域上边界。
（3）线框往下运动通过磁场区域下边界时，根据对称性可知，线框的线速度大小为
则有
可知线框往下运动通过磁场区域下边界时做匀速直线运动，则有
解得
24．（23-24 高二上·辽宁丹东·期末）在如图所示的倾角为
的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度
大小为分别为
，
的匀强磁场，区域Ⅰ的磁场方向垂直斜面向上，区域Ⅱ的磁场方向垂
直斜面向下，磁场的宽度均为L=1m，一个质量为1kg、电阻为
、边长也为L 的正方形导线框，由静止
开始沿斜面下滑，当ab 边刚越过GH 进入磁场Ⅰ区时，恰好以速度
做匀速直线运动；当ab 边下滑至JP
与MN 的中间位置时，线框又恰好以速度
做匀速直线运动。g=10m/s²，求：
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（1）线框刚开始下滑时ab 边距GH 的距离x；
（2）线框ab 边刚越过JP 时的加速度大小；
（3）从ab 开始进入GH 到下滑至MN 与JP 的中间位置的过程中，线框产生的热量（结果保留到整数）。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）因为ab 边刚越过GH 进入磁场Ⅰ区恰好做匀速直线运动所以
由闭合电路欧姆定律得
由法拉第电磁感应定律得
由动能定理可得
联立可得
，
（2）ab 边刚越过JP 进入磁场Ⅱ区时，ab，cd 两边都切割磁感线，所以有
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两个边都受到向上的安培力，由牛顿第二定律得
联立可得
（3）因为ab 边下滑至JP 与MN 的中间位置时，线框又恰好以速度
做匀速直线运动所以
联立可得
从ab 开始进入GH 到下滑至MN 与JP 的中间位置的过程，由能量守恒定律可得
25．（21-22 高二下·天津南开·期末）如图所示，竖直平面内的两条水平虚线之间有垂直于纸面向外的匀强
磁场，磁场宽度
。一质量
，电阻
，边长
的正方形单匝导线框abcd，由
距磁场上边界高度
处自由下落，其ab 边进入磁场区域瞬间，线框恰好能匀速运动，其cd 边离开
磁场瞬间速度
。空气阻力忽略不计，重力加速度
求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
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（2）导线框穿越匀强磁场的整个过程中产生的焦耳热Q。
【答案】（1）0.5T；（2）0.0212J
【详解】（1）线框ab 边到达磁场上边界速度为v，线框在进入磁场前做自由落体运动，其速度为
解得
进入磁场瞬间，ab 边产生的感应电动势为
线框中的电流为
其ab 边受到的安培力大小为
由于进入磁场中匀速运动，所以有
解得
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（2）由能量守恒的观点可知，在整个运动过程中，其重力势能转化为线框的动能和产生的焦耳热，有
解得
26．（23-24 高二上·上海黄浦·阶段练习）如图，在绝缘的滑块上方固定一个竖直放置的正方形闭合线框，
线框边长为L，总电阻为R，滑块连同线框的质量为 m，滑块与水平地面间的动摩擦因数为μ。右侧长、
高均大于L 的虚线区域内存在垂直线框平面向里、大小为B 的匀强磁场，磁场区域的下边界恰好与线框的
中心线在同一水平面上。现给滑块施加一水平向右的拉力，使其以速度v 匀速进入磁场区域，重力加速度
为g，求：
（1）线框右侧刚进入磁场区域时，框中的电流I；
（2）线框右侧刚进入磁场区域时，拉力F 的大小；
（3）线框左侧进入磁场区域前的瞬间，拉力F 的大小；
（4）将线框拉进磁场的过程中，滑块与地面摩擦产生的热量Q 的大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）感应电动势为
感应电流为
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（2）根据平衡关系，拉力为
（3）线框左侧进入磁场区域前的瞬间，线框上侧边和右侧边均受安培力作用，根据右手定则，电流为逆
时针方向。根据左手定则，上侧边受安培力向下，右侧边受安培力向左，则竖直方向
水平方向
拉力为
（4）线框匀速运动，感应电流大小不变，但上侧边受安培力部分长度均匀增大，则安培力均匀增大，即
滑动摩擦力随位移均匀增大。滑块与地面摩擦产生的热量为
得
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