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专题16 电磁感应中的导体框模型
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类型1 线框穿越磁场过程的图像问题
类型2 线框穿越磁场过程的动力学及能量问题
类型3 线框穿越磁场过程的动量与电荷量问题
1.线框模型研究的是线框穿越匀强磁场时发生的电磁感应过程。高考试题通过此模型对电磁感应过程
中的电路、动力学、功能关系进行考查，在求解此类问题时，要注意分析清楚线框进入磁场和离开磁场时
的运动情况和受力情况。
2.解决线框模型问题的两大关键
(1)分析电磁感应情况：弄清线框在运动过程中是否有磁通量不变的阶段，线框进入和穿出磁场的过程
中，才有感应电流产生，结合闭合电路欧姆定律列方程解答。
(2)分析线框的受力以及运动情况，选择合适的力学规律处理问题：在题目中涉及电荷量、时间以及安培
力为变力时应选用动量定理处理问题；如果题目中涉及加速度的问题时选用牛顿运动定律解决问题比较方
便。
类型1 线框穿越磁场过程的图像问题
如图所示，有一边长为L的正方形线框abcd，由距匀强磁场上边界H处静止释放，下降过程中ab边始终
与磁场边界平行，且ab边刚进入匀强磁场区域时恰好能做匀速直线运动。匀强磁场区域宽度也为L。ab
边开始进入磁场时记为t，cd边出磁场时记为t，忽略空气阻力，从线框开始下落到cd边刚出磁场的过程
1 2
中，线框的速度大小v、加速度大小a、ab两点的电压大小U 、线框中产生的焦耳热Q随时间t的变化图
ab
像可能正确的是( )
【答案】C
【解析】： 线框在磁场上方H处开始下落到ab边开始进入磁场过程中线框做匀加速运动；因线框ab边
刚
进入匀强磁场区域时恰好能做匀速直线运动，可知线框直到cd边出磁场时也做匀速运动，选项A、B错
误。线框ab边进入磁场的过程：E＝BLv，则U ＝ BLv；ab边出磁场后cd边在磁场中运动的过程：E
ab
＝BLv，则U ＝ BLv；线框进入磁场和出离磁场过程中电动势相同，均为 E＝BLv，时间相同，则产
ab
生的热量相同，故选项C正确，D错误。
类型2 线框穿越磁场过程的动力学及能量问题
如图所示，一水平方向的匀强磁场，磁场区域的高度为 h，磁感应强度为B。质量为m、电阻为R、粗细均匀的矩形线圈，ab＝L，bc＝h，该线圈从cd边离磁场上边界高度H＝ 处自由落下，不计空气
阻力，重力加速度为g，设cd边始终保持水平，则( )
A．cd边刚进入磁场时速度大小v＝
B．cd边刚进入磁场时其两端电压U ＝
cd
C．线圈穿过磁场的时间t＝
D．线圈穿过磁场过程中，回路中产生的热量Q＝2mgh
【答案】CD
【解析】： 由题意可知，线圈从开始运动到cd边进入磁场时做自由落体运动，故cd边刚进入磁场时速
度大小满足v2＝2gH，解得v＝ ，故A错误；cd边刚进入磁场时其两端电压U ＝I R，IR
cd
＝BLv，解得U ＝ ，故B错误；cd边刚进入磁场时受安培力F＝BIL＝ ＝mg，所以
cd
线圈匀速穿过磁场，时间t＝ ＝ ，故C正确；回路中产生的热量等于重力势能的减少量，
即Q＝2mgh，故D正确。
类型3 线框穿越磁场过程的动量与电荷量问题
如图所示，在光滑的水平面上，有一竖直向下的匀强磁场分布在宽度为L的区域内，现有一个边长为
a(a<L)的正方形闭合线圈以初速度v 垂直磁场边界滑过磁场后，速度为v(v<v)，那么线圈( )
0 0
A.完全进入磁场中时的速度大于
B.完全进入磁场中时的速度等于
C.完全进入磁场中时的速度小于
D.以上情况均有可能
【答案】 B
【解析】 线圈进入磁场过程，由动量定理有－B L·Δt＝mv′－mv
1 1 0
线圈离开磁场过程，同理－B L·Δt＝mv－mv′
2 2
进出磁场时磁通量变化数值相同，故q＝q
0q＝ ·Δt，q＝ ·Δt
0 1 1 2 2
联立各式得v′－v＝v－v′
0
所以v′＝ ，故B正确。
【模型演练1】（2024上·山东淄博·高三统考期末）如图所示，一个直角边长为 的等腰直角三角形虚
线框内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个边长也为 的正方形导线框所在平面与磁场方向垂直，三
角形的高 与导线框的一条边垂直， 的延长线平分导线框。在 时，使导线框从图示位
置开始以恒定速度沿 方向移动，直到整个导线框离开磁场区域。 表示导线框中感应电流的强
度，取逆时针方向为正。下列关于感应电流的强度 随时间 变化关系的图像中，可能正确的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】从正方形线框下边开始进入到下边完全进入过程中，线框切割磁感线的有效长度逐渐增大，感应
电流也逐渐增大，如图的位置Ⅰ；从正方形线框下边完全进入至下边刚穿出磁场边界，切割磁感线的有效
长度不变，感应电流不变，如图的位置Ⅰ→Ⅱ；当正方形线框下边离开磁场，上边尚未进入磁场过程中，
穿过线圈的磁通量不变，感应电流为零。如图的位置Ⅱ→Ⅲ；当正方形线框下边继续离开磁场，上边也进
入磁场过程中，上下两边线框切割磁感线产生的感应电动势方向相反，切割磁感线的有效长度增大，产生
的感应电动势增大，感应电流增大，如图的位置Ⅲ→Ⅳ。从正方形线框上边完全进入到上边完全离开过程
中，切割磁感线的有效长度不变，产生的感应电动势不变，感应电流不变。如图的位置 。故选C。
【模型演练2】．（2023·山西·校联考模拟预测）如图1所示，光滑水平桌面上有竖直向下、宽度为
的匀强磁场，正方形闭合导线框 的边长为 ，放在桌面上， 边与磁场边界平行，
。让导线框在沿 方向的恒力 作用下穿过匀强磁场，导线框的 图像如图2所
示。以下判断正确的是（ ）
A． 时间内，导线框受到的安培力逐渐增大
B． 时间内， 对导线框做的功等于其动能的增加量
C． 时间内， 图中阴影部分的面积表示磁场的宽度
D． 时间内，导线框产生的焦耳热大于
【答案】D
【详解】A． 时刻，导线框开始进入磁场区域，减速运动，安培力大于恒力 ，加速度逐渐变
小，安培力减小，故A错误；
C． 时刻，导线框全部进入磁场区域， 时刻，导线框开始离开磁场区域， 时间段图
线和坐标轴围成的面积表示磁场的宽度 ，故C错误；
B． 时间内，由动能定理可得
故B错误；
D．因为 段的安培力大于恒力 ，位移是 ，故导线框产生的焦耳热大于 ，故D
正确。
故选D。
【模型演练3】．（2023上·陕西榆林·高三校联考阶段练习）如图所示，在竖直平面内有宽度为L的匀强
磁场Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，各磁场边界平行且在水平面内，三个区域内匀强磁场磁感应强度的大小均为B，匀强磁
场Ⅰ、Ⅲ的磁感应强度的方向垂直于纸面向外，匀强磁场Ⅱ的磁感应强度的方向垂直于纸面向里，匀强磁
场Ⅰ、Ⅱ之间的距离为L，匀强磁场Ⅱ、Ⅲ依次相邻。一质量为m、边长为L的正方形单匝闭合导线框从匀强磁场Ⅰ上方某
一位置静止释放，当导线框下边到达匀强磁场Ⅰ上边界时恰好做匀速直线运动，速度大小为 ，此时
回路中的电流为 ，在导线框下边达到匀强磁场Ⅲ的下边界前已经开始做匀速直线运动，速度大小为
，此时回路中的电流为 ，已知从导线框下边到达匀强磁场Ⅰ上边界运动到导线框下边到达匀
强磁场Ⅱ上边界所用的时间为 。在运动过程中导线框始终在竖直平面内且上下两边与各磁场边界始
终平行，不计空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．导线框中的电流之比
B．导线框运动的速度大小
C．导线框的电阻R为
D．从导线框下边到达匀强磁场Ⅱ上边界至导线框下边到达匀强磁场Ⅲ下边界过程中导线框中产生的
热量为
【答案】ABD
【详解】A．开始时匀速运动，导线框中的电流恒定，根据平衡条件可得
同理最后导线框也做匀速直线运动，最后阶段导线框上下两边都受到安培力，根据右手定则和左手定则可
知两安培力方向均竖直向上，根据平衡条件有
两式联立解得
故A正确；
B．开始阶段最后阶段根据法拉第电磁感应定律得感应电动势为
感应电流为
上下两边都受安培力作用，则
与以上各式联立可得
故B正确；
C．开始阶段导线框匀速运动的位移为2L，从导线框下边到达匀强磁场I上边界运动到导线框下边到达匀
强磁场Ⅱ上边界为匀速运动，匀速运动时间为 ，则速度
根据法拉第电磁感应定律得感应电动势为
又有
联立解得电阻
故C错误；
D．从导线框下边到达匀强磁场Ⅱ上边界至导线框下边到达匀强磁场Ⅲ下边界过程中，根据能量守律可得
又有
，
代入上式解得
故D正确。
故选ABD。
【模型演练4】（2024上·湖南长沙·高三长郡中学校考期末）如图所示，空间存在一有水平边界的条形匀
强磁场区域（边界有磁场），磁感应强度为B，磁场方向与竖直平面垂直（垂直纸面向里），边界间距为
L。一边长也为L、电阻为R、质量为m的正方形导线框沿竖直方向运动，线框所在平面始终与磁场方向
垂直，且线框上、下边始终水平。 时刻导线框的上边恰好与磁场的下边界重合（图中位置Ⅰ），导线框的初速度为 竖直向上，当线框的下边恰好与磁场的上边界重合（图中位置Ⅱ）时导线框的速
度刚好为零。然后线框又回到初始位置Ⅰ，此时线框的速度大小为v竖直向下。设重力加速度为g。求：
（1）线框从位置Ⅰ开始向上运动时线框中感应电流的方向（用“顺时针方向”或“逆时针方向”表示），以
及此时线框的加速度大小；
（2）线框运动全过程（从位置Ⅰ开始又回到位置Ⅰ）产生的焦耳热；
（3）线框运动全过程（从位置Ⅰ开始又回到位置Ⅰ）的时间。
【答案】（1）逆时针方向， ；（2） ；（3）
【详解】（1）据右手定则可得，线框中感应电流的方向为逆时针方向。线框在位置Ⅰ感应电动势
产生的感应电流
所受的安培力
合外力
解得
（2）据能量守恒可得
（3）对开始向上运动到下落回位置Ⅰ的整个过程，取向下为正方向，由动量定理
或
或
由于或
或
所以
一、单选题
1．（2024·吉林·校联考模拟预测）列车进站时如图所示，其刹车原理可简化如下：在车身下方固定一矩
形线框，利用线框进入磁场时所受的安培力，辅助列车刹车。已知列车的质量为m，车身长为s，线框的
ab和cd长度均为L（L小于匀强磁场的宽度），线框的总电阻为R。站台轨道上匀强磁场区域足够长，磁
感应强度的大小为B。车头进入磁场瞬间的速度为v0 ，列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f。车
尾进入磁场瞬间，列车恰好停止。下列说法不正确的是（ ）
A．列车进站过程中电流方向为abcd
B．线框ab边进入磁场瞬间，加速度大小
C．线框ab边进入磁场瞬间，线框的电流大小为
D．列车从进站到停下来的过程中，减少的动能等于线框产生的热量
【答案】D
【详解】A．列车进站过程中穿过线框的磁通量变大，由楞次定律可知列车进站过程中电流方向为abcd，
故A正确，不符合题意；
BC．列车ab边进入磁场瞬间产生的感应电动势为
由闭合电路的欧姆定律得
对列车由牛顿第二定律得
联立解得故BC正确，不符合题意；
D．列车从进站到停下来的过程中，减少的动能等于线框产生的热量与克服空气阻力产生的摩擦生热，故
D错误，符合题意。
故选D。
2．（2024·全国·模拟预测）如图所示，光滑绝缘水平面上有一正方形导线框，线框在水平向右的恒力F
作用下先、后两次从同一位置由静止开始向右运动，运动途中会穿过一个方向竖直向下的匀强磁场区域然
后到达挡板。第一次磁场区域离挡板较近，第二次磁场区域离挡板较远。下列说法正确的是（ ）
A．线框第一次到达挡板时的速度比第二次的速度小
B．线框第一次到达挡板时的速度比第二次的速度大
C．线框第一次穿过磁场过程中通过线框横截面的电荷量比第二次的电荷量多
D．线框第一次穿过磁场过程中通过线框横截面的电荷量比第二次的电荷量少
【答案】A
【详解】AB．设线框电阻为R，边长为L，则线框在进入磁场时受到的安培力
由图可知，两次线框进入磁场时的速度不同，有 ，则进入磁场时，第二次受到的安培力小，第
二次线框穿过磁场区域所受安培力做的功小于第一次线框穿过磁场区域所受安培力做的功，而整个过程
中，恒力F做的功相等，根据动能定理有
可得第一次线框到达挡板时的动能小，速度小，故A正确、故B错误；
CD．穿过磁场过程中通过线框横截面的电荷量
可知两次穿过磁场区域过程中通过线框的电荷量相等，故CD错误。
故选A。
3．（2023下·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）磁悬浮列车是高速低耗交通工具，如图
（a）所示，它的驱动系统简化为如图（b）所示的物理模型。固定在列车底部的正方形金属线框的边长为
L。匝数为N。总电阻为R；水平面内平行长直导轨间存在磁感应强度均为B、方向交互相反、边长均为L
的正方形组合匀强磁场。当磁场以速度v匀速向右移动时，可驱动停在轨道上的列车，则（ ）A．图示时刻线框中感应电流沿顺时针方向
B．列车运动的速度可以达到v
C．列车速度为v1 时线框中的感应电动势大小为
D．列车速度为v1 时线框受到的安培力大小为
【答案】A
【详解】A．线框相对磁场向左运动，根据右手定则可知图示时刻线框中感应电流沿顺时针方向，A正
确；
C．由于前后两个边产生的感应电动势顺次相加，根据法拉第电磁感应定律
C错误；
D．列车速度为v1 时线框受到的安培力大小为
D错误；
B．最终匀速时，安培力大小等于列车所受到的阻力，因此速度最大时安培力不为0，最大速度不等于v，
B错误。
故选A。
4．（2024上·天津南开·高三南开中学校考期末）由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭
合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平
面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的边界水
平，且磁场的宽度大于线圈的边长，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，
上、下边保持水平。甲的下边开始进入磁场时以速度 做匀速运动，下列判断正确的是（ ）
A．若乙的上边进入磁场前也做匀速运动，则速度大小为
B．甲和乙进入磁场的过程中，通过导线的电荷量之比为
C．一定是甲先离开磁场，乙后离开磁场
D．甲、乙下边开始离开磁场时，一定都做减速运动
【答案】D【详解】A．甲、乙两正方形线圈的材料相同，则它们的密度和电阻率相同，设材料的电阻率为 ，
密度为 ，两正方形线圈的边长相同，设线圈边长为L，设线圈的横截面积为S，线圈的质量
由题意可知，两线圈的质量相等，则
则
两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，设线圈下边到磁场的高度为h，设线圈下边刚进入
磁场时的速度为v，线圈进入磁场前做自由落体运动，则
由于下落高度h相同，则线圈下边刚进入磁场时的速度v相等。设线圈匝数为n，磁感应强度为B，线圈
进
入磁场过程切割磁感线产生的感应电动势
由电阻定律可知，线圈电阻
由闭合电路的欧姆定律可知，感应电流
线圈受到的安培力
由于
B、L、 、v都相同，则线圈进入磁场时受到的安培力F相同，甲的下边开始进入磁场时以速度v 做
匀速运动，则
所以乙的上边进入磁场前也做匀速运动，则速度大小为 ，故A错误；
B．线圈进入磁场的过程中，通过导线的电荷量为
由
可得
所以甲和乙进入磁场的过程中，通过导线的电荷量之比为 ，故B错误；
C．甲、乙进入磁场时速度相同，离开磁场时的速度也相同，所受安培力也相同，线圈离开磁场的加速度相同，所以甲、乙同时离开磁场，故C错误；
D．线圈完全进入磁场后通过线圈的磁通量不变，线圈中感应电流为0，线圈不再受安培力，线圈在磁场
中
做加速运动；线圈开始离开磁场时，速度比进入磁场时大，安培力也比重力大，所以甲、乙下边开始离开
磁场时，一定都做减速运动，故D正确。
故选D。
5．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）如图所示，竖直面内的正方形导线框，以某一初速度垂直进入水
平向里的有界匀强磁场并最终完全穿出。线框的边长小于磁场宽度，不计空气阻力。下列说法正确的是（
）
A．线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向
B．线框出磁场的过程中可能做匀减速直线运动
C．线框在进和出的两过程中受到安培力的冲量一定相等
D．线框在进和出的两过程中产生的焦耳热一定相等
【答案】C
【详解】A．线框进磁场的过程中，穿过线圈的磁通量向里增大，根据楞次定律可知，感应电流方向为逆
时针方向，故A错误；
B．根据
， ，
可得
当速度发生变化时，安培力发生变化，所以线框出磁场的过程中不可能做匀减速直线运动，故B错误；
C．安培力的冲量为
又
则有
可知线框在进和出的两过程中受到安培力的冲量一定相等，故C正确；
D．线框在进和出的两过程中，由于线框刚进入磁场时的速度与刚离开磁场时的速度不一定相等，所以两个过程不一定具有相同的运动情况，产生的焦耳热不一定相等，故D错误。
故选C。
6．（2023·江西鹰潭·校联考模拟预测）如图所示，在直角坐标系 的第一象限中，有一等腰直角
， 区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场， 点在 轴上， 点在
轴上，各点间距离 。边长也为 的正方形导线框 的 边在
轴上， 时刻，该导线框恰好位于图中所示位置（ 边与 轴重合），此后导线框
在外力的作用下沿 轴正方向以恒定的速度 通过磁场区域。若规定逆时针方向为导线框中电流
的正方向，则导线框通过磁场区域的过程中，导线框中的感应电流 、外力沿 轴方向的分量
随导线框的位移 变化的图像（图中曲线均为抛物线的一部分）中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】AB．导线框匀速穿过图示的等腰直角三角形磁场区域，进入的过程中，由楞次定律可知感应电
流沿逆时针方向，为正值，由几何关系知导线框 边切割磁感线的有效长度等于进入磁场的距离
，则感应
电流的大小为
导线框离开磁场的过程，由楞次定律可知感应电流沿顺时针方向，为负值，由几何关系知导线框 边
切割的有效长度等于离开磁场的距离，同理可得感应电流大小为
故A正确，B错误；
CD．导线框做匀速运动，外力沿 轴方向的分量 与导线框 边所受安培力等大反向，由左手定则可知安培力方向始终向左，则外力沿 轴方向的分量 方向始终向右，则
故CD错误。
故选A。
7．（2023上·湖北武汉·高三统考期末）如图， 为“日”字形导线框，其中 和 均
为边长为 的正方形，导线 的电阻相等，其余部分电阻不计。导线框右侧存在着宽度
同为 的匀强磁场，磁感应强度为 ，导线框以速度 匀速穿过磁场区域，运动过程中线框始
终和磁场垂直且无转动。线框穿越磁场的过程中， 两点电势差 随位移变化的图像正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】根据题意，设 的电阻均为 ，线框匀速通过磁场，且磁场宽度
可知，开始时， 切割磁感线，感应电动势为
棒中电流方向由 ，则 点电势高于 点电势，则有
棒离开磁场， 棒切割磁感线，感应电动势为棒中电流方向由 ，则 点电势高于 点电势，则有
棒离开磁场， 棒切割磁感线，感应电动势为
棒中电流方向由 ，则 点电势高于 点电势，则有
综上所述可知， 两点电势差 随位移变化一直保持不变为 。
故选B。
8．（2023上·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）如图所示，一个平行于纸面的等腰直角三角形导线
框，
水平向右匀速运动，穿过宽度为d的匀强磁场区域，三角形两直角边长度为2d、线框中产生随时间变化
的感应电流i，下列图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】在 时间内，线框进入磁场时磁通量向里增加，根据楞次定律可知，感应电流的磁场向
外，因此感应电流沿逆时针方向．随着线框的运动，导线切割磁感线有效长度均匀减小，产生的感应电动势均匀减小，感应电流均匀减小；在 时间内，穿过线框的磁通量向里减小，根据楞次定律知，
感应电流沿顺时针方向，穿过线框的磁通量均匀减小，产生的感应电流不变；在 时间内，时
间内，穿过线框的磁通量向里减少，根据楞次定律知，感应电流沿顺时针方向，线框有效切割长度均匀减
小，产生的感应电动势均匀减小，感应电流均匀减小。
故选C。
9．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三校联考期末）如图所示，两个有界匀强磁场的磁感应强度大小均为B，
方向分别垂直纸面向里和向外，磁场宽度均为L。距磁场区域的左侧L处，有一边长为L的正方形导体线
框，总电阻为R，且线框平面与磁场方向垂直。现用水平外力F使线框以速度v匀速穿过磁场区域，以初
始位
置为计时起点。规定：电流沿逆时针方向时电动势E为正，磁感线垂直纸面向里时磁通量 为正，水
平外力F向右为正。则下列关于线框中的感应电动势E、所受外力F、消耗的电功率P和通过线框的磁通
量 随时间变化的图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】D．进入磁场时磁通量随时间变化为
完全进入左边磁场后再运动0.5L时磁通量减为零，再运动0.5L磁通量变为反向的BL2 ，因此中间图像斜
率是两端的2倍，故D错误；
A．进入磁场时感应电动势
而运动到两磁场交接处时感应电动势
故A错误；
BC．根据 运动到两个磁场交接处时，回路中的电动势为刚进入磁场时的2倍，电流为刚进入
磁场时的2倍，并且在两个磁场交接处时，左右两边都受到向左的安培力，因此在中间时，安培力是在两端时的4倍，根据P=Fv，则在中间安培力的功率也是两端的4倍，故C错误，B正确。
故选B。
10．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在光滑水平桌面上有一边长为l、电阻为R的正方形导线框，在
导线框右侧有一宽度为d（d＞l）的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的左、右边框平行，磁场方
向竖直向下。导线框以某一初速度向右运动并穿过磁场，在穿过磁场区域过程中，下列描述该过程的v—
x（速度—位移）图像中，可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】线圈进入磁场时，设某时刻进入磁场的距离为x，此时线圈的速度为v，则由动量定理
其中
则
当完全进入磁场后，不受到安培力，所以做匀速直线运动，当出磁场时，速度v与位移x的关系与进入磁
场相似。
故选B。
二、多选题
11．（2024上·湖南·高三校联考阶段练习）如图所示，光滑绝缘水平桌面上放置一边长为L、质量为m、
阻值为R的正方形金属线框abcd，M、N是垂直于水平面向上匀强磁场I的边界，P、Q是垂直于水平面
向上匀强磁场II的边界，两磁场的磁感应强度大小均为B，磁场宽均为L，两磁场边界相互平行，N、P
间距为 ，给金属线框一个水平向右的初速度，使其滑进磁场，线框刚好能穿过两个磁场。则下列
说法正确的是（ ）A．线框穿过磁场I与穿过磁场II所用的时间相等
B．线框开始的初速度大小为
C．线框ab边刚进磁场I时的加速度大小为
D．穿过磁场I，线框中产生的焦耳热为
【答案】CD
【详解】A．线框穿过磁场I的平均速度大于穿过磁场II的平均速度，因此线框穿过磁场I所用的时间小
于穿过磁场II所用的时间，A错误；
B．设线框的初速度大小为v0 ，线框穿过两磁场过程中，根据动量定理
解得
B错误；
C．设线框刚进磁场I时的加速度大小为a，有
解得
C正确；
D．设cd边刚出磁场I时速度为v1 ，根据动量定理，有
解得
根据能量守恒，产生的焦耳热为
D正确。
故选CD。
12．（2024上·四川·高三校联考期末）如图所示，光滑绝缘水平桌面上有一均质正方形金属线框abcd，线
框以速度v进入一个有明显边界的匀强磁场（磁场的宽度大于线框的边长），当线圈全部进入磁场区域时，速度减小到 ，下列说法正确的是（ ）
A．线框进入磁场时与离开磁场时均做匀减速直线运动
B．线框能全部穿出磁场
C．线框进入磁场时与离开磁场时产生的热量之比为8：1
D．线框进入磁场时与离开磁场时通过线框某截面的电荷量之比为2：1
【答案】CD
【详解】A．线框进入磁场时与离开磁场时受安培力大小为
随着速度减小，安培力逐渐减小，加速度减小，所以线框进入磁场时与离开磁场时做变速直线运动，故A
错误；
BD．假设线圈能全部穿出磁场，线圈刚全部进入磁场时速度为 ，刚离开磁场时速度为 ，线圈
进入磁场的过程，取向右为正方向，由动量定理得：
通过线圈的电荷量
线圈离开磁场的过程，取向右为正方向，由动量定理得
通过线圈的电荷量
联立解得
所以线圈不能全部穿出磁场，则 ，代入上式可知
故B错误，D正确；
C．线圈进入磁场的过程，根据能量守恒定律有
线圈离开磁场的过程，根据能量守恒定律有解得
故C正确；
故选CD。
13．（2024上·天津南开·高二南开中学校考期末）如图，空间等距分布无数个垂直纸面向里的匀强磁场，
竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度大小B=1T，每一条形磁场区域宽度及相邻条形磁场区域间距均为
d=1m。现有一个边长 =0.5m、质量m=0.2kg，电阻R=1Ω的单匝正方形线框，以 的初
速度从左侧磁场边缘水平进入磁场，下列说法正确的是（ ）
A．线框刚进入第一个磁场区域时，加速度大小为
B．线框穿过第一个磁场区域过程中，通过线框的电荷量为零
C．线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热为6.4J
D．线框从开始进入磁场到竖直下落过程中能穿过5个完整磁场区域
【答案】ABC
【详解】A．根据题意可得
联立解得线框刚进入第一个磁场区域时受到的安培力为
N
则线框的加速度大小为
=
故A正确；
B．由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电荷量计算公式可知
解得通过线框的电荷量为穿过磁场区域过程中线框磁通量变化量为零，所以通过线框的电荷量为零，故B正确；
C．当线框水平速度减为零时竖直下落，线框受到安培力的合力水平向左，安培力对线框做的负功等于电
路
中产生的焦耳热，由功能关系可得
J
故C正确；
D．水平方向安培力大小为
设水平向右为正，由水平方向动量定理可得
解得
m
线框穿过1个完整磁场区域，有安培力作用的水平距离为2l，则有
则线框从开始进入磁场到竖直下落过程中能穿过6个完整磁场区域，故D错误。
故选ABC。
14．（2024·广东茂名·统考一模）如图（a）所示，底部固定有正方形线框的列车进站停靠时，以初速度v
水平进入竖直向上的磁感应强度为B的正方形有界匀强磁场区域，如图（b）所示，假设正方形线框边长
为 ，每条边的电阻相同.磁场的区域边长为d，且 ，列车运动过程中受到的轨道摩擦力和空
气阻力恒定，下列说法正确的是（ ）
A．线框右边刚刚进入磁场时，感应电流沿图（b）逆时针方向，其两端的电压为
B．线框右边刚刚进入磁场时，感应电流沿图（b）顺时针方向，其两端的电压为
C．线框进入磁场过程中，克服安培力做的功等于线框中产生的焦耳热
D．线框离开磁场过程中，克服安培力做的功等于线框减少的动能
【答案】BC
【详解】AB．根据右手定则，线框进入磁场时，感应电流沿顺时针方。线框此时切割磁感线产生的感应
电动势为 ，导线框右边两端的电压为路端电压，即为故A错误，B正确；
C．根据功能关系可知线框克服安培力做的功全部转化为电能，线框为纯电阻电路，则又全部转化为线框
中产生的焦耳热，则克服安培力做的功等于线框中产生的焦耳热。故C正确；
D．线框离开磁场过程中，根据动能定理可知克服安培力做功与克服摩擦力、空气阻力做功之和等于线框
和列车动能的减小量，故D错误。
故选BC。
15．（2024上·辽宁朝阳·高三统考期末）如图甲所示，有界匀强磁场垂直光滑水平面向下，质量为
、电阻为 粗细均匀的正方形金属线框 在光滑绝缘水平面上以速度 向右滑动并进入磁
场，从线框进入磁场开始计时，其速度 随滑行的距离 变化的规律如图乙所示，下列说法正确
的是（ ）
A．线框进磁场过程做变减速运动
B．线框进磁场过程，线框中产生的焦耳热为
C．线框刚进入磁场瞬间， 两点间的电势差为
D．线框进磁场过程，通过线框截面的电量为
【答案】AD
【详解】A．线框进磁场过程，速度越来越小，则受到的安培力越来越小，根据牛顿第二定律可知，加速
度越来越小，因此做的是变减速运动，A项正确；
B．根据能量守恒，线框中产生的焦耳热
B项错误；
D．根据动量定理
得到
结合图像乙可知解得
通过线框截面的电量
D项正确。
C．线框刚进入磁场瞬间，电动势
两点间的电势差为路端电压
故C错误；
故选AD。
16．（2023上·新疆·高三校联考阶段练习）如图所示，倾角为 的光滑绝缘斜面PQMN部分处
于垂直斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小 ，PQ、MN平行于斜面底端且QM长为
0.7m。粗细均匀的金属丝制成的单匝正方形线框ABCD边长为 ，质量 、电阻
，从磁场上方的某位置由静止开始下滑，下滑过程中AB边始终与磁场PQ边界线平行。导线
框AB边刚进入磁场和AB边刚穿出磁场时，线框加速度的大小都是 ，方向均沿斜面向上。已知
重力加速度g取 ， ， ，不计空气阻力。下列说法中正确的是（
）
A．导线框进入磁场的过程中，通过导线框的电荷量为0.25C
B．导线框AB边刚进入磁场时，A、B两点间的电势差为
C．导线框CD边刚进入磁场时，导线框的速度大小为0.6m/s
D．导线框进入磁场过程中，导线框中产生的焦耳热为0.42J
【答案】AD
【详解】A．导线框进入磁场的过程中，通过导线框的电荷量为
选项A正确；
B．导线框AB边刚进入磁场时
由右手定则可知，B点电势高于A点，则A、B两点间的电势差为联立解得
I=0.8A
选项B错误；
C．导线框AB边刚出离磁场时，仍满足
解得
v=1.6m/s
导线框CD边刚进入磁场到AB边刚出离磁场时做匀加速运动的加速度
a=gsin37°=6m/s2
下滑的距离为
x=0.7m-0.5m=0.2m
则根据
解得导线框CD边刚进入磁场时导线框的速度大小为
v1=0.4m/s
选项C错误；
D．从导线框AB边刚进入磁场到AB边刚穿出磁场时导线框的动能相等，则由能量关系
选项D正确。
故选AD。
17．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图甲是游乐园常见的跳楼机，跳楼机的电磁式制动原理如图乙所
示。跳楼机主干柱体上交替分布着方向相反、大小相等的匀强磁场，每块磁场区域的宽度均为0.8m，高
度均相同，磁感应强度的大小均为1T，中间座椅后方固定着100匝矩形线圈，线圈的宽度略大于磁场的
宽度，高度与磁场高度相同，总电阻为8Ω。若某次跳楼机失去其他保护，由静止从高处突然失控下落，
乘客与设备的总质量为640kg，重力加速度g取10m/s2 ，忽略摩擦阻力和空气阻力，则下列说法正确的是
（ ）A．线圈中电流方向始终为逆时针
B．跳楼机的最大速度为8m/s
C．当跳楼机的速度为lm/s时，线圈中感应电流为20A
D．跳楼机速度最大时，克服安培力做功的功率为12800W
【答案】CD
【详解】A．由右手定则可知，电流方向为逆时针与顺时针交替变化，故A错误；
B．跳楼机由静止下落后受安培力与重力，有
跳楼机受到的安培力为
由法拉第电磁感应定律得
且
可得
随着速度的增加，加速度减小，当加速度为0时，速度达到最大值，以后跳楼机做匀速运动，当跳楼机速
度最大时，安培力与重力平衡有
解得
故B错误；
C．由法拉第电磁感应定律得
由闭合电路欧姆定律，当跳楼机的速度为lm/s时，线圈中感应电流为
故C正确；
D．当跳楼机速度最大时，有
克服安培力做功的功率为
故D正确。
故选CD。
18．（2023上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图为两个有界匀强磁场，磁感应强度大小均为
B，方向分别垂直纸面向里和向外，磁场宽度均为L。磁场左侧有一个边长为L的正方形导体线框，其总
电阻为R，右边紧邻磁场边界，线框所在平面与磁场方向垂直。现用外力F使线框以速度v向右匀速穿过磁场区域，以初始位置为计时起点，规定磁感线垂直纸面向里时磁通量 的方向为正，电流沿逆时针
方向时为正，外力F向右为正。则以下关于线框中的磁通量 、感应电流I、外力F和导体线框的发
热功率P随时间变化的图像正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】A．线框进入磁场时磁通量随时间的变化率为
线框经过两磁场交界处时磁通量随时间的变化率为
线框出磁场时磁通量随时间的变化率为
故A正确；
B．线框进入磁场时感应电流
线框经过两磁场交界处时感应电流
线框出磁场时磁通量随时间的变化率为
故B正确；
CD．经过两磁场交界处时，回路中的电流为刚进入磁场时的2倍，并且左右两边都受到向左的安培力，
因此在中间时，安培力是在两端时的4倍，导体线框的发热功率P也是在两端时的4倍，故CD错误。故选AB。
19．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）如图所示，两个完全相同的矩形单匝导线框abcd、a'b'c'd'竖直
放置，其下方有一磁感应强度为B的有界匀强磁场区域，该区域的上边界PP'，下边界QQ'均水平，并分
别与线框的cd边、 边平行，磁场方向与线框平面垂直，磁场高度为2L。已知线框ab边长为2L，
ad边长为L，线框质量为m，总电阻为R。线框的cd边、b'c'边距磁场上方的距离为L，无初速地分别释
放线框abcd、a'b'c'd'，在下落过程中线框所在平面始终与磁场垂直，且线框的cd边、b'c'边始终与
平行。已知线框cd边进入磁场上边界时，恰好可以匀速运动进入磁场。已知重力加速度为g，不
计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．磁感应强度
B．导线框a'b'c'd'的b'c'边进入磁场时做匀速运动
C．导线框abcd的cd边离开磁场时做匀速运动
D．两个线框在进入磁场的过程中，流过导线横截面的电荷量相同
【答案】AD
【详解】A． 边可匀速运动进入磁场，即其受到的安培力和重力大小相等，有
根据机械能守恒有
解得磁感应强度为
故A正确；
B． 边进入磁场时，同理可得到安培力
故不能匀速运动，B错误；
C．导线框 完全进入磁场后，感应电流为零，导线框 不受安培力作用，将做匀加速运
动，当 边离开磁场时，速度大于其进入时的速度，感应电流变大，安培力变大，安培力大于重力，
此时线框做减速运动，故C错误；
D．线框在进入磁场的过程中，流过导线横截面的电荷量为故两个线框在进入磁场的过程中，流过导线横截面的电荷量相等，故D正确。
故选AD。
20．（2024·海南·校联考一模）如图所示，粗糙的水平桌面上有一个正三角形闭合单匝导线框，虚线MN
右侧存在垂直于桌面向下的匀强磁场。导线框在外力F的作用下沿垂直MN方向匀速进入磁场区域。在导
线框进入匀强磁场的过程中，导线框中产生的感应电流大小用i表示，导线框的电功率用P表示，通过导
线框某截面的电荷量用q表示，已知导线框受到桌面的摩擦阻力恒定不变。从导线框进入磁场开始计时，
则下列图像中可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【详解】A．线框匀速进入磁场，则在t时刻的感应电流为
则选项A正确；
B．外力F等于安培力与阻力之和，则
则F-t2 图像是不过原点的倾斜的直线，选项B正确；
C．导线框的电功率
则P-t2 图像是过原点的倾斜的直线，选项C错误；
D．通过导线框某截面的电荷量则q-t图像为曲线，选项D错误。
故选AB。
三、解答题
21．（2024·陕西西安·校考一模）磁力刹车是为了保证过山车在最后进站前的安全而新设计的一种刹车形
式。测试过山车磁力刹车的实验简化图如图所示，图中正方形线框的匝数 ，边长 ，
刹车时将该正方形线框置于磁感应强度大小 的有界匀强磁场（MN为边界）中，该线框停止时
ad边恰好刚通过磁场边界MN，已知该线框的电阻 ，初始速度大小 ，求：
（1）线框bc边刚从磁场穿出时的电流I；
（2）线框穿过磁场边界MN的过程中，通过线框某截面的电荷量q。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）当线框bc边刚从磁场穿出时有
根据欧姆定律
解得
（2）线框穿过磁场边界MN的过程中，有
解得
22．（2024上·河北承德·高三承德县第一中学校联考期末）边长 、质量 、电阻
的正方形线框cdef以速度 沿倾角 的光滑斜面向上运动，在斜面上方有
垂直斜面向下的匀强磁场区
域，其宽度 ， ，取重力加速度大小 ，cf边与磁场边界平行，当
cf边刚进入磁场区域时，在cf边加一沿斜面向上、大小为 的拉力F，线框恰好可做匀速直线运动，
当线框完全进入磁场时撤去F。
（1）求线框刚开始运动时，cf边离磁场区域下边界的距离d；（2）判断cf边能否通过磁场区域上边界；
（3）求线框产生的焦耳热Q。
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【详解】（1）线框刚开始运动时，由题意可得
可得
又
，
可得
根据牛顿第二定律和运动学公式可得
，
解得cf边离磁场区域下边界的距离为
（2）当线框完全进入磁场区域后做匀减速直线运动，则有
解得
由于
所以cf边不能通过磁场区域上边界。
（3）线框往下运动通过磁场区域下边界时，根据对称性可知，线框的线速度大小为
则有
可知线框往下运动通过磁场区域下边界时做匀速直线运动，则有
解得23．（2024上·江苏扬州·高三统考期末）如图所示，一个正方形导线框abcd，边长l＝0.1m，总电阻
，质量m＝0.01kg。线框从磁场上方 处自由下落，其下边ab进入匀强磁场区域
后，开始做匀速运动，磁场区域宽度 ，不计空气阻力，取 。求：
（1）磁感应强度的大小B；
（2）ab边下落至磁场下边界过程中，线框中产生的焦耳热Q。
【答案】（1）1T；（2）
【详解】（1）由动能定理得
线圈匀速进入磁场有
l
根据欧姆定律有
解得
（2）线圈匀速进入磁场过程中产生焦耳热，由能量守恒得
24．（2024上·江苏南通·高三统考期末）如图所示，竖直空间 区域内存在垂直纸面向外，大小为
的匀强磁场。一正方形单匝金属框阻值为 ，质量 ，边长
，在竖直向上的拉力F作用下从 位置向上运动。线框进入磁场时，速度v与进入磁场的位移y满
足关系 ，已知 ， ，重力加速度 。求：
（1）线框刚进入磁场时受到的安培力 ；
（2）线框进入磁场过程中，通过线框截面的电荷量q；
（3）线框进入磁场过程中，拉力F对线框做的功W。【答案】（1） ，竖直向下；（2） ；（3）
【详解】（1）线框刚进入磁场时受到的安培力
线框刚进入磁场时线框中的感应电流为
解得
根据左手定则可知，线框刚进入磁场时受到的安培力方向为竖直向下。
（2）线框进入磁场过程中，通过线框截面的电荷量
（3）线框出磁场时的速度为
线框进入磁场过程中受到的安培力
线框进入磁场过程中，安培力做的功为
线框进入磁场过程中，根据动能定理可得
解得拉力F对线框做的功为
25．（2024上·广东广州·高二统考期末）粗细均匀导线制成的单匝正方形闭合线框 ，边长
，总质量 ，总电阻R=0.01Ω。将其置于磁感应强度 的水平匀强
磁场上方 处，磁场区域的上下水平边界之间的高度 ，如图所示；线框由静止
自由下落，线框平面保持与磁场方向垂直，且cd边始终与磁场边界平行，取重力加速度
，求：
（1）当线框刚进入磁场时dc两点电势差Udc；
（2）cd边通过磁场区域过程中通过其横截面的电荷量q；
（3）线框通过磁场区域过程中cd边中产生的焦耳热Q。【答案】（1）-0.15V；（2）0.5C；（3）0.05J
【详解】（1）线框自由下落
边切割磁感线，产生感应电动势
dc边相当于电源，dc两点间电压为路端电压，c点电势高于b点电势，解得
E=0.2V
（2）根据
得，线框进入磁场过程中通过线框横截面的电荷量
（3）线框刚进入磁场时，所受安培力为
可得
F=1N=mg
因线框的宽度等于磁场的宽度，则线圈经过磁场时做匀速运动，线框通过磁场区域的整个过程中产生的焦
耳热
cd边中产生的焦耳热为
26．（2024·湖北武汉·校联考模拟预测）两正方形单匝线圈abcd和a'b'c'd'由同种材料制成，线圈abcd的
边长为l、导线截面半径为r、质量为m、电阻为R；线圈a'b'c'd'的边长为2l，导线截面半径为2r。现使两
线圈从距离磁场上部水平边界h处同时静止释放，线圈abcd恰好能匀速进入磁场。已知磁场下方范围足
够大，不考虑线框之间的相互作用力，重力加速度为g，求：（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（2）线圈a'b'c'd'在进入磁场的过程中产生的焦耳热；
（3）当线圈a'b'c'd'刚好完全进入磁场时，两线圈的下边ab与a'b'的高度差。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）设线圈abcd进入磁场时的速度为v，进入磁场过程中，感应电动势为E，回路中的电流为
I，恰好能匀速进入磁场，则进入磁场过程有
又
感应电动势为
进入磁场前由机械能守恒
联立解得
（2）同理，对线圈a'b'c'd'，进入磁场瞬间的安培力
设线圈乙材料的密度为 ，质量为m'，电阻率为 ，电阻为
由电阻定律
联立解得
线圈乙的重力
故线圈a'b'c'd'也匀速进入磁场，由能量守恒知，焦耳热等于重力势能的减少量（3）当线圈abcd刚好完全进入磁场时，线圈a'b'c'd'只有一半进入磁场，此时二者速度相等，此后线圈
abcd开始以加速度g加速，而线圈a'b'c'd'继续匀速直至完全进入磁场，设该过程时间为t，以a'b'c'd'为参
考系，当a'b'c'd'刚好完全进入磁场的瞬间，两线圈的下边相距
而
解得
27．（2024上·北京石景山·高三统考期末）如图a所示，在足够长的倾角 的光滑斜面上，宽度
D=0.4m的区域内有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.5T，单匝矩形线框cdef质量
m=0.1kg，总电阻R=0.25Ω。从t=0时刻开始，线框受到沿斜面向上的恒力F，从静止开始沿斜面向上做直
线运动，线框速度v随时间t变化的部分图像如图b所示。已知线框cd边的长度与磁场宽度D相等，重力
加速度g=10m/s2 。
（1）求恒力F的大小；
（2）求线框cf边的长度L；
（3）求整个过程中线框产生的焦耳热Q；
（4）请在图b中画出0.6s后线框速度随时间变化的图像。
【答案】（1） ；（2） =0.5m；（3） ；（4）
【详解】（1）由图像可知，0-0.4s线框运动的加速度由牛顿第二定律
解得
（2）线框进入磁场后匀速运动，受力平衡
由闭合电路欧姆定律
解得
（3）由于线框和磁场等宽，线框穿过磁场的过程为匀速运动
解得
由焦耳定律
解得
（4）0.4-0.8s线框做匀加速运动，0.8s后线框做匀加速直线运动。0.6s后线框速度随时间变化的图像如图
所示。
28．（2024上·海南海口·高三统考期末）如图所示，固定的光滑斜面倾角为30°，斜面上宽度为2L的矩形
区域内存在垂直斜面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为 B。 一边长为 、电阻为 R、质量为m的
单匝正方形线框efgh从距离磁场上边缘为 d 处由静止开始沿斜面下滑。 已知线框进、出磁场均做变速运
动且gh边进、出磁场时速度相等， ，重力加速度为 g。 求
（1） gh边刚进入磁场时受到的安培力大小 ； ∶
（2） 线框穿越磁场全过程产生的焦耳热 ；
（3） 线框进入磁场所经历的时间 。【答案】（1） ；（2）2mgL；（3）
【详解】（1）设线框gh边刚进入磁场时的速度为v1 ，则
回路中的感应电流为
gh边此时受到的安培力大小
= BIL
解得
=
（2）设线框全部进入磁场时速度为v，研究从全部进入到gh边刚出磁场的过程，有
研究线框穿越磁场的全过程，有
解得
Q=2mgL
（3）研究线框进入磁场的过程，根据动量定理有
线框进入磁场过程中产生的电动势为
线框中的电流为
解得
29．（2024·全国·模拟预测）有一种门禁系统是应用电磁感应原理进行控制的。如图甲所示，门禁的基座
产生垂直于纸面向里的磁场，其磁感应强度沿x轴正方向逐渐减小，满足 （k为已知常数，x为坐标值）；门禁的卡片在纸面内沿x轴负方向以速度v匀速运动。如图乙所示，门禁的卡片里有一个感应
天线连接一控制芯片（芯片部分不计电磁感应），感应天线类似一个压平的正方形线圈，其边长为a、共
3匝、电阻为R，天线的正方形线圈几何中心始终在x轴上。当天线的正方形线圈的几何中心在x轴上坐
标为 时，求：
（1）线圈中的感应电流的大小；
（2）线圈所受的安培力的大小。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）设线圈如图所示
线圈向左匀速运动时，只有AB和CD段切割磁感线，当正方形线圈的几何中心在x轴上坐标为
时，由 得AB段位置的磁感应强度为
CD位置的磁感应强度为
则线圈中总感应电动势为
联立解得
则感应电流大小为（2）对线圈分析由右手定则判断AB和CD段电流方向，由左手定则判断AB和CD段安培力的方向，如
（1）图所示，得BC和AD段所受安培力方向相反、大小相等，合力为零，线圈中总感应电流为逆时针方
向，大小为I，CD段安培力为
AB段安培力为
得线圈总安培力为
联立解得
