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专题06 电磁感应中的单棒模型
一.阻尼式单导体棒模型
【模型如图】
1．电路特点：导体棒相当于电源。当速度为v 时，电动势E=BLv
2．安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小：
F安=BIL= B2 L2v
R+r ∝v
3．加速度特点：加速度随速度减小而减小,
a= B2 L2v
m( R+r)+μg
4．运动特点：速度如图所示。a 减小的减速运动
5．最终状态:静止
6．四个规律
(1)全过程能量关系：
−μ mgx −Q=0−1
2 mv 0
2
,
1
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速度为v 时的能量关系
−μ mgx −Q=1
2 mv 2−1
2 mv 0
2
电阻产生的焦耳热
QR
Q = R
R+r
(2)瞬时加速度：
a= B2 L2v
m( R+r)+μg
，
(3)电荷量
q=¯I Δt= ¯E
R+r Δt=
Δφ
Δt(R+r) Δt= Δφ
R+r
(4)动量关系：μmg Δt−B¯I LΔt=μmg Δt−BqL=0−mv 0
(安培力的冲量¯F Δt=B¯I LΔt=BqL )
安培力的冲量公式是μmg Δt−B¯I LΔt=0−mv 0 ①
闭合电路欧姆定律
¯I=
¯E
R+r ②
平均感应电动势：¯E=BL { ¯v¿③
位移：x=¯v t ④
①②③④得
μ mg Δt+ B2 L2 x
R+r =mv 0
二．发电式单导体棒模型
【模型如图】
2
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1．电路特点：导体棒相当于电源，当速度为v 时，电动势E=BLv
2．安培力的特点：安培力为阻力，并随速度增大而增大.
F安=BIL= B2 L2v
R+r ∝v
3．加速度特点：加速度随速度增大而减小.
a= F
m−μg- B2 L2v
m(R+r)
4．运动特点：速度如图所示。做加速度减小的加速运动
5．最终特征：匀速运动
6．两个极值(1)v=0 时,有最大加速度：
a= F
m−μg
(2)
a=0 时,有最大速度：
a= F
m−μg- B2 L2v
m(R+r)=0 vm=( F−μ mg )( R+r )
B2 L2
7．稳定后的能量转化规律
Fv m=(BLv m)2
R+r
+μ mgv m
8．起动过程中的三个规律
(1)动量关系：
Ft−B¯I Lt−μmgt=mv m
Ft−B2 L2 x
R+r −μ mgt=mv m
3
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(2)能量关系：
Fx −μ mgx −Q=1
2 mv m
2
(3)电荷量
q=¯I Δt= ¯E
R+r Δt=
Δφ
Δt(R+r) Δt= Δφ
R+r
9．几种变化
(1) 电路变化
(2)磁场方向变化
(3) 导轨面变化（竖直或倾斜）
10.若F 的作用下使导体棒做匀加速直线运动则F 随时间线性变化。
证明：根据法拉第电磁感应定律
E=BLv ..................................................................（1）
闭合电路欧姆定律
I= E
R+r ..................................................................(2)
4
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安培力F＝BIL...............................................................（3）
由（1）（2）（3）得
F= B2 L2v
R+r
......................................（4）
由牛顿第二定律
F−B2 L2v
R+r =ma
.................................（5）得
由运动学公式 v=at ............................................(6)
(5)(6)联立得
F= B2 L2a
R+r t+ma
....................................(7)
由（7）式可以看出要让导体棒做匀加速直线运动所加外力必然随时间均匀变化即F=kt +b
【模型演练1】（23-24 高三上·浙江杭州·阶段练习）如图，一平行导轨静置于水平桌面上，空间中有垂直
于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为
，粗糙平行导轨间距为
，导轨和阻值
的
定值电阻相连，质量为
的导体棒和导轨垂直且接触良好，导体棒的电阻
，导体棒以初速度
向右运动，运动距离
后停止，此过程中电阻R 产生的热量为
，导轨电阻不计，则
（ ）
A．通过电阻R 的电荷量为
B．导体棒克服安培力做的功为
C．导体棒与导轨间的动摩擦因数为0.2
D．导体棒与导轨间产生的摩擦热为
【模型演练2】．（23-24 高二下·江苏·阶段练习）如图甲所示，空间存在方向竖直向下的匀强磁场，MN、
5
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PQ 是水平放置的平行长直导轨，其间距为L=1m，R1和R2是并联在导轨一端的电阻，且R1=12Ω、
R2=6Ω，ab 是垂直导轨放置的质量为m=1kg 的导体棒，导轨和导体棒之间的动摩擦因数各处均相同。从零
时刻开始，对ab 施加一个大小为F=0.75N，方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，滑动
过程中棒始终保持与导轨垂直且良好接触，图乙是棒的v-t 图像，其中O 点为坐标原点，其坐标为（0，
0），AO 是图像在O 点的切线，AB 是图像的渐近线。除R1、R2以外，其余部分的电阻均不计，设最大静
摩擦力等于滑动摩擦力，已知当棒的位移为20m 时，其速度达到了最大速度1m/s。求（结果可以保留分
数）
（1）导体棒ab 运动中受的摩擦力f 的大小和磁感应强度B 的大小；
（2）在导体棒ab 的位移为20m 过程中R2电阻上产生的焦耳热；
（3）若在导体棒ab 的位移为20m 时立即将恒定拉力F 撤掉，此后导体棒ab 滑行到停止的过程中流过R1
的电量为
C，求摩擦力在导体棒ab 整个运动过程的平均功率。
【模型演练3】（22-23 高二上·湖北武汉·期末）如图，间距
的U 形金属导轨，一端接有0.1Ω 的定
值电阻R，固定在高
的绝缘水平桌面上。质量均为0.1kg 的匀质导体棒a 和b 静止在导轨上，两导
体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，接入电路的阻值均为0.1Ω，与导轨间的动摩擦因数均为0.2（设
最大静摩擦力等于滑动摩擦力），导体棒a 距离导轨最右端2.25m。整个空间存在竖直向下的匀强磁场
（图中未画出），磁感应强度大小为0.1T。用
沿导轨水平向右的恒力拉导体棒a，当导体棒a 运
动到导轨最右端时，导体棒b 刚要滑动，撤去F，导体棒a 离开导轨后落到水平地面上。重力加速度取
，不计空气阻力，不计其他电阻，下列说法正确的是（ ）
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A．导体棒a 离开导轨至落地前，其感应电动势一直在变大
B．导体棒a 离开导轨至落地过程中，水平位移为2.4m
C．导体棒a 在导轨上运动的过程中，通过电阻R 的电荷量为0.75C
D．导体棒a 在导轨上的运动时间为1.5s
一、单选题
1．（23-24 高二下·天津·阶段练习）如图所示，在磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，
用外力拉动金属杆
在平行金属导轨上向右以速度
匀速滑动，金属导轨电阻不计，金属杆的电阻为
，长度为
，
间电阻为
，则（ ）
A．通过电阻
的电流方向为
B．外力与速度方向同向且大小为
C．
两端的电势差为
D．金属棒所受安培力大小时刻发生改变
2．（23-24 高二上·河南洛阳·期末）如图所示，
和
是位于水平面内足够长的光滑平行金属轨道，轨道
7
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间距为
之间连接一阻值
的电阻，其余电阻可忽略不计，空间有垂直导轨平面向下的匀
强磁场，已知磁感应强度
随时间的关系为
，比例系数
时刻，金属杆紧靠在
端，
在外力作用下，由静止开始以恒定加速度
向右滑动，则
时回路中电流大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二上·山东泰安·阶段练习）如图甲所示，一倾角为30°、上端接有R=3Ω 定值电阻的粗糙导轨，
处于磁感应强度大小为B=2T、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中，导轨间距L=1.5m，导轨电阻忽略不
计、且ab 两点与导轨上端相距足够远。一质量m=3kg、阻值r=1Ω 的金属棒，在棒中点受到沿斜面且平行
于导轨的拉力F 作用，由静止开始从ab 处沿导轨向上加速运动，金属棒运动的速度—位移图像如图乙所示
（b 点位置为坐标原点）。若金属棒与导轨间动摩擦因数
，
，则金属棒从起点b 沿导轨
向上运动。x=1m 的过程中（ ）
A．金属棒做匀加速直线运动
B．通过电阻R 的感应电荷量为1C
C．拉力F 做的功为38.25J
D．金属棒上产生的焦耳热为2.25J
4．（22-23 高二上·湖北武汉·期末）如图甲所示，MN、PQ 两条平行的光滑金属轨道与水平面成
角
固定，间距为
，质量为m 的金属杆ab 垂直放置在轨道上且与轨道接触良好，其阻值忽略不计。空
8
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间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为
。P、M 间接有阻值为
的定值
电阻，Q、N 间接电阻箱R。现从静止释放ab，改变电阻箱的阻值R，测得最大速度为
，得到
与
的
关系如图乙所示。若轨道足够长且电阻不计，重力加速度g 取
，则（ ）
A．金属杆所受的安培力沿轨道向下
B．金属杆中感应电流方向为a 指向b
C．金属杆的质量为0.4kg
D．定值电阻的阻值为
5．（23-24 高二上·黑龙江哈尔滨·期末）倾斜金属导轨表面光滑，与水平方向夹角为
，上端连一电阻
，导轨宽度
，阻值可忽略不计，金属棒质量为
，与导轨接触良好且接入电路的电阻
，空间存在垂直轨道向下的匀强磁场，若金属棒刚好能在导轨上以
的速度匀速下滑，
，磁感应强度
的大小为（ ）
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A．
B．
C．
D．
二、多选题
6．（23-24 高二上·陕西宝鸡·期末）如图所示，平行光滑金属导轨水平放置，间距
，导轨左端接一
阻值
的电阻，图中虚线与导轨垂直，其右侧存在磁感应强度大小
、方向垂直纸面向里的匀
强磁场。质量为
的金属棒垂直导轨放置在虚线左侧，距虚线的距离为
。某时刻对金属棒施
加一大小为
的向右的恒力，金属棒在磁场中运动
的距离后速度不再变化，金属棒与导轨的电
阻忽略不计，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，则金属棒从静止到开始匀速运动的过程中，下列说法正
确的是（ ）
A．金属棒刚进入磁场时的速度为
B．金属棒开始匀速运动的速度为
C．金属棒从开始进入磁场到匀速过程中通过电阻R 的电荷量为2C
D．金属棒从开始进入磁场到匀速过程中所用时间为1s
7．（23-24 高二上·山东青岛·期末）如图甲，MN、PQ 为两根间距为L 的足够长固定平行光滑金属导轨，
导轨平面与水平面间夹角
，上端M、P 间接一个阻值为R 的定值电阻，两导轨间存在垂直导轨平面
向上的匀强磁场，长为L、质量为m 的金属棒ab 放置在导轨上。现将棒由静止释放，同时对棒施加一个沿
导轨向下的恒定拉力F，当棒下滑距离d 时，棒刚好达到匀速运动状态，此过程中棒的加速度大小随其速
度变化的关系图像如图乙。重力加速度为g，金属棒及导轨电阻不计，棒始终与导轨垂直且接触良好，下
列说法正确的是（ ）
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A．拉力的大小
B．匀强磁场的磁感应强度
C．金属棒加速过程中通过棒某一截面的电量为
D．金属棒加速过程中，电阻
上产生的焦耳热
8．（23-24 高二下·四川广安·开学考试）如图所示，MN 和PQ 是两条固定放置的电阻不计的平行金属导轨，
其间距为L，导轨弯曲部分光滑，水平部分粗糙，其右端接一个阻值为R 的定值电阻．水平部分导轨左边
区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。现将一质量为m、有效电阻也为R 的
金属棒从导轨弯曲部分高度为h 处静止释放，其到达磁场右边界处恰好停止。已知金属棒与水平部分导轨
间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，金属棒与导轨间接触良好。则金属棒穿过磁场区域的过程中，下列
说法正确的是（ ）
A．流过金属棒的最大电流为
B．通过金属棒的电荷量为
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C．金属棒克服安培力所做的功为mgh
D．金属棒产生的焦耳热为
9．（23-24 高二上·湖北·期末）如图所示，足够长的金属导轨
和
平行且间距为
左右两侧导轨
平面与水平面夹角分别为
、
，导轨左侧空间磁场平行导轨向下，右侧空间磁场垂直导轨平面
向下，磁感应强度大小均为
。均匀金属棒
和
质量均为
，长度均为
，电阻均为
，运动过程中，
两金属棒与导轨保持良好接触，始终垂直于导轨，金属棒
与导轨间的动摩擦因数为
，金属棒
光滑。同时由静止释放两金属棒，并对金属棒
施加外力
，使
棒保持
的加速度沿斜面向下匀
加速运动。导轨电阻不计，重力加速度大小为
，
，
。则（ ）
A．金属棒
运动过程中最大加速度的大小
B．金属棒
运动过程中最大加速度的大小
C．金属棒
达到最大速度所用的时间
D．金属棒
运动过程中，外力
对
棒的冲量大小为
10．（23-24 高二上·福建福州·期末）如图甲所示，两固定平行且光滑的金属轨道MN、PQ 与水平面的夹
角
，M、P 之间接电阻箱，电阻箱的阻值范围为
导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂
直于轨道平面向上，磁感应强度大小为
。质量为m 的金属杆ab 水平放置在轨道上，其接入电路的
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电阻值为r。现从静止释放杆ab，测得最大速度为
，改变电阻箱的阻值R，得到
与R 的关系如图乙所
示。已知轨道间距为
，重力加速度，
，轨道足够长且电阻不计，则（ ）
A．金属杆的质量
B．金属杆接入电路的电阻
C．当
时，杆ab 匀速下滑过程中R 两端的电压为4V
D．当
时，杆的最大速度为7m/s
11．（22-23 高二上·北京海淀·期末）如图所示，足够长的U 形光滑金属导轨平面与水平面成θ 角，其中
MN 与PQ 平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度为B 的匀强磁场垂直，导轨电阻不计。金属棒ab 由静
止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且接触良好，ab 棒接入电路的电阻为R，当流过ab 棒某一横
截面的电荷量为q 时，棒的速度大小为v，则（ ）
A．金属棒ab 在从速度从0~v 的下滑过程中的平均速度大小为
B．金属棒ab 在从速度从0~v 的下滑过程中产生的焦耳热为
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C．金属棒ab 在从速度从0~v 的下滑过程中受到的最大安培力大小为
D．金属棒ab 在整个下滑过程中，金属杆加速运动过程中克服安培力做功的功率小于匀速运动过程中
克服安培力做功的功率
12．（23-24 高二下·湖南长沙·期末）如图所示，两根等高光滑的
圆弧导轨，导轨电阻不计。在导轨顶端
右侧连有一阻值为R 的电阻，整个装置处在竖直向上的匀强磁场中。现有一根长度稍长于导轨间距的金属
棒从导轨最低位置cd 开始，在外力作用下以初速度
沿轨道做匀速圆周运动，由cd 运动至最高位置ab，
则该过程中，下列说法正确的是（ ）
A．通过R 的电流方向由里向外
B．通过R 的电流大小在变小
C．金属棒所受安培力一直减小
D．外力做的功等于整个回路产生的焦耳热
13．（22-23 高三上·广西柳州·阶段练习）如图所示，电阻不计的光滑金属导轨
水平放置，间距为
，两侧接有电阻
，阻值均为
右侧有磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向里的匀强磁场，
质量为
、长度也为
的金属杆置于
左侧，在水平向右、大小为
的恒定拉力作用下由静止开始运动，
经时间到达
时撤去恒力
，金属杆在到达
之前减速为零，已知金属杆电阻也为
，与导轨始终
保持垂直且接触良好，下列说法正确的是（ ）
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A．杆减速的最大加速度大小为
B．电阻
两端的最大电势差为
C．杆在磁场中前进的距离为
D．整个过程电阻
上产生的焦耳热为
14．（23-24 高二上·重庆璧山·阶段练习）如图所示，足够长的U 形光滑金属导轨平面与水平面成θ 角（0
＜θ＜90°），其中MN 与PQ 平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度为B 的匀强磁场垂直，导轨电阻不计，
金属棒ab 由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab 棒接入电路的电阻为R，当流
过ab 棒某一横截面的电荷量为q 时，棒的速度大小为v，则金属棒ab 在这一过程中（ ）
A．加速度大小为
B．下滑位移大小为
C．产生的焦耳热为qBLv
D．受到的最大安培力大小为
15．（23-24 高二上·广东茂名·期中）如图甲所示，固定在同一绝缘水平面上的两根平行光滑金属导轨，两
导轨间的距离为1.5 m，左端接有阻值为
的定值电阻R。阻值为
、质量为1kg 的金属棒ab 跨接在导
轨上，形成闭合回路。空间有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为2T。ab 棒在外力 F 的作用下沿着
导轨运动的速度时间图像如图乙所示。导轨的电阻忽略不计，且运动过程中金属棒始终与导轨垂直。下列
15
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说法正确的是（ ）
A．0~ 3s 内通过ab 棒的电荷量为1.5C
B．0 ~3s 内外力F 的冲量大小为11N·s
C．3s ~6s 内ab 棒两端电压为6V
D．3s~6s 内回路产生的焦耳热为18J
16．（23-24 高二上·河南·期中）如图所示，电阻不计的两条足够长的光滑平行金属导轨放置在同一水平面
内，导轨间距为
，与导轨连接的定值电阻
，质量为
、垂直于导轨放置的金属
棒接入电路中的电阻为
，整个装置处于磁感应强度大小为
、方向竖直向下的匀强磁场中。
某时刻，金属棒在与导轨平行的外力F 作用下以
的加速度由静止开始运动，向右匀加速运动8m
时撤去外力F，然后逐渐减速直至停止运动。则（ ）
A．外力F 撤去后金属棒做匀减速运动
B．金属棒减速时间内电路中产生的热能为1.6J
C．金属棒减速时间内电路中产生的热能为0.8J
D．金属棒加速时间内通过电阻
的电量为4.0C
17．（2023 高二·云南保山·期中）光滑导轨固定于水平面上，导轨宽度为L=0.5m，导轨处于垂直水平面竖
直向下的匀强磁场中，俯视图如图1 所示，质量为1kg 的金属棒置于导轨上，金属棒在外力作用下由静止
开始运动，已知外力随金属棒速度变化规律如图2 所示，导轨左端连接阻值为R=4
的电阻，其余电阻不
计，则关于金属棒运动过程下列说法正确的是（ ）
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A．金属棒做加速度逐渐减小的加速运动
B．
内通过电阻R 的电量为3C
C．磁感应强度大小为4T
D．5s 内外力的冲量大小为35N·s
18．（23-24 高二上·河北邢台·阶段练习）如图所示，间距为 L 的光滑平行直导轨倾斜固定放置，导轨平
面的倾角为
导轨上端接有阻值为R 的定值电阻。垂直于导轨平面向上的有界磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强
度大小均为 B，磁场的边界均垂直于导轨，两个磁场的宽度均为 d，磁场Ⅰ的下边界与磁场Ⅱ的上边界间
的距离也为d。质量为m、有效电阻为 R 的金属棒ab 垂直导轨放置，离磁场Ⅰ上边界的距离为2d，由静
止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，金属棒进入两个磁场时的速度
相同，导轨电阻不计，重力加速度大小为g，则（ ）
A．金属棒出磁场Ⅰ时的速度大小为
B．金属棒通过磁场Ⅰ 的过程中，通过电阻 R 的电荷量为
C．金属棒通过磁场Ⅱ的过程中，金属棒克服安培力做的功与电阻 R 中产生的焦耳热相等
D．金属棒通过两个磁场过程中，电阻R 中产生的焦耳热为
19．（23-24 高二上·辽宁·阶段练习）如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN 和PQ，
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两导轨间距为l，电阻均可忽略不计。在M 和Q 之间接有一阻值为R 的电阻，导体棒ab 质量为m、长度也
为l、电阻为r，并与导轨接触良好，整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中。现给ab
棒一个初速度
，使棒向右运动，最后停在导轨上，对该过程下列说法正确的是（ ）
A．导体棒做匀减速运动
B．电阻
产生的焦耳热为
C．通过电阻
的电荷量为
D．
棒的位移为
20．（23-24 高二上·河北衡水·期中）如图甲所示，竖直放置的“
”形光滑导轨宽为L，导轨上端连接
阻值为R 的电阻。导轨间存在两个完全相同的矩形匀强磁场Ⅰ、Ⅱ。质量为m 的金属杆在重力作用下向下
运动，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，其速度v 随时间t 变化图像如图乙所示。
时刻金属杆恰好进入
磁场Ⅱ，图中物理量均为已知量，不计其他电阻。下列说法正确的是（ ）
A．金属杆初始位置与磁场Ⅰ上边界距离为
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B．通过两磁场区域时，流经金属杆的电荷量相等
C．金属杆在磁场Ⅱ中回路产生的焦耳热比金属杆在磁场Ⅰ中的少
D．磁场的磁感应强度大小为
21．（2022·全国·模拟预测）如图甲所示，水平面内的粗糙导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感
应强度
，导轨间距
，导轨左右两侧各接有阻值
的定值电阻。一质量为
，电
阻值
的金属棒在外界拉力的作用下，从MN 处由静止开始沿导轨向右加速运动，运动过程中流过金
属棒的感应电流的大小随金属棒的位移变化的图像如图乙所示。已知金属棒与导轨间的动摩擦因数
，
重力加速度g 取
，导轨电阻不计，则金属棒从位置MN 处开始运动
位移的过程中（ ）
A．金属棒中产生的焦耳热是0.25J
B．整个装置中产生的总热量为0.5J
C．外界拉力做功为2.0J
D．金属棒在1m 处的动能为0.25J
三、解答题
22．（23-24 高二下·河北·开学考试）如图所示，相互平行的轨道由半径为r 的四分之一圆弧和水平部分
（靠右端的一部分DE、HI 段粗糙，接触面与物体间动摩擦因数为μ，HI=DE，其余部分光滑）构成，两
部分相切于C、G，CG 连线与轨道垂直，轨道间距为L，在最右端连接阻值为R 的定值电阻，整个轨道处
在竖直向上磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，一质量为m，电阻为2R 的金属导体棒从四分之一圆弧的
最高点静止释放，导体棒在下滑过程中始终与导轨接触良好，且与导轨垂直，其它电阻不计，当导体棒运
动到与CG 重合时，速度大小为v，导体棒最终静止在水平轨道DE、HI 段某处，整个过程中定值电阻R 上
产生的热量为Q，重力加速度为g，求：
（1）导体棒从静止释放到与CG 重合，通过定值电阻R 的电量；
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（2）导体棒运动到CG 前瞬间，导体棒的加速度的大小；
（3）导体棒因摩擦产生的热量及在粗糙轨道DE、HI 段的位移。
23．（23-24 高二下·湖北·阶段练习）如图，半径
的固定水平金属圆环内存在方向竖直向上，磁感
应强度
的匀强磁场，可绕圆心O 转动的金属棒
的A 端与圆环接触良好。间距
的两平行长
直导轨
和
与水平面的夹角
，导轨
与金属环相连，
与金属杆O 端相连。导轨平面的
矩形区域内存在垂直导轨平面向上、磁感应强度大小
的匀强磁场。初始时，一质量
、长
的金属棒
垂直导轨放置并锁定。当杆
以角速度
沿顺时针方向匀速转
动时，解除
的锁定，之后在
时刻
以速度
进入磁场，同时用外力控制
棒，使
棒在磁场中做匀加速直线运动，
后以
的速度离开磁场，此过程中
棒始终与导轨接触良好。
已知重力加速度g 取
，
，金属棒
、
的电阻均为
，其余电阻均不计。求
（1）
时刻
棒受到的安培力大小
；
（2）
棒受到的外力
与时间的关系式；
（3）在磁场运动的过程中，通过
棒的电荷量。
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24．（2024 高二下·重庆·期中）如图所示，固定在同一水平面内的两根平行长直金属导轨的间距为
（导轨电阻不计），其右端接有阻值为
的电阻，整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度
大小为
。一质量为
、电阻也为
的匀质导体杆ab 垂直于导轨放置，与导轨接触良好，
杆与导轨之间的动摩擦因数为
，对ab 施加水平向左的恒力
，使ab 从静止开始沿导轨运动，
当运动距离为
时，速度恰好达到最大。已知重力加速度大小为g。在此过程中，求：
（1）导体杆ab 的最大速度
；
（2）电阻R 产生的焦耳热
。
25．（23-24 高二下·四川泸州·开学考试）如图所示，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ 固定在水
平面内，相距为l，导轨左端接一电容器，电容器的电容为C，有一质量为m，长也为l 的金属杆，搁置在
两根金属导轨上与导轨垂直且接触良好，整个装置处于竖直的匀强磁场中，磁感应强度为B，设磁场区域
无限大，框架无限长，导轨和金属杆电阻不计。若金属棒在恒定外力F 作用下，从静止开始运动，求金属
棒的速度大小随时间变化的关系。
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26．（23-24 高二下·四川广安·开学考试）如图所示，间距为
的光滑平行金属导轨固定在水平地面
上，现垂直导轨放置一个有效电阻为
的直导体棒，在导轨的两端分别连接两个电阻，阻值分别为
，
，其他电阻不计，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度
，当直导
体棒在导轨上以
的速度向右匀速运动时，求：
（1）流过
和
的电流大小；
（2）导体棒克服安培力做功的瞬时功率。
27．（23-24 高二上·浙江杭州·期末）如图所示，一个质量为m、电阻不计、足够长的光滑U 形金属框架
MNQP，位于光滑水平桌面上，分界线
分别与平行导轨MN 和PQ 垂直，两导轨相距L。在
的左右
两侧存在着区域很大、方向分别为竖直向上和竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B。另有质量
也为m 的金属棒CD，垂直于MN 放置在
左侧导轨上，并用一根细线系在定点A。已知细线能承受的
最大拉力为
，CD 棒接入导轨间的有效电阻为R。现从
时刻开始对U 形框架施加水平向右的拉力，
使其从静止开始做加速度为a 的匀加速直线运动。
（1）求框架从开始运动到细线断裂时速度
的大小，以及所需的时间
；
（2）求在细线尚未断裂的某一时刻t，水平拉力F 的大小；
（3）若在细线断裂时，立即撤去拉力F，试说明框架与金属棒最后的运动状态，并求出此后回路产生的总
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焦耳热Q。
28．（23-24 高二下·河北衡水·开学考试）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ 间距l =
1m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角。杆1、杆2 是两根用细线连接的金属杆，
质量分别为m1 = 0.1kg 和m2 = 0.4kg，两杆垂直导轨放置，且两端始终与导轨接触良好，两杆的总电阻R
= 2Ω，两杆在沿导轨向上的外力F 作用下保持静止。整个装置处在磁感应强度B = 1T 的匀强磁场中，磁
场方向与导轨所在平面垂直，在t = 0 时刻将细线烧断，保持F 不变，重力加速度g 取10m/s2，求：
（1）烧断绳子瞬间杆1 的加速度大小；
（2）细线烧断后，两杆最大速度v1、v2的大小；
（3）两杆刚达到最大速度时，杆1 上滑了0.8m，则从t = 0 时刻起到此刻用了多长时间？
29．（23-24 高二下·安徽芜湖·阶段练习）如图甲所示，粗细均匀的无限长平行金属导轨固定在倾角
的斜面上，在边界
下方区域存在垂直导轨平面向下的匀强磁场
，在
时有两根相同导体棒
、
分别从磁场边界
上方某位置和边界EF 位置同时由静止释放，在
时
棒恰好进入磁场。
棒运动的
图像如图乙所示，其中
段为曲线，其他段为直线。已知磁感应强度
，导
轨间距
导体棒与导轨间的动摩擦因数
，导体棒的质量均为
，导体棒电阻均为
，两导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，g 取
。求：
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（1）2s 时导体棒ab 的速度v 和导体棒cd 的速度
；
（2）
内通过导体棒
横截面的电荷量
和导体棒cd 产生的焦耳热Q；
（3）若从ab 棒进入磁场到与cd 棒共速的过程中通过ab 棒横截面的电荷量为
，求在磁场中两棒之间
的最小距离。
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