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第 5 课时 专题强化：动量观点在电磁感应中的应用
目标要求 1.掌握应用动量定理处理电磁感应问题的方法技巧，能识别几种应用动量定理
的模型。2.建立电磁感应问题中动量守恒的模型，并用动量守恒定律解决问题。
考点一 动量定理在电磁感应中的应用
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，当题目中涉及速
度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解。
1．“单棒＋电阻”模型
(1)水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻阻值为R，导体棒初速度为v ，质量
0
为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足够长且电阻不计，从导体棒开始运动
至停下来。求：
①此过程中通过导体棒横截面的电荷量q＝；
②此过程导体棒的位移x＝；
③若导体棒从获得初速度v 经一段时间减速至v，通过导体棒的电荷量为q，则v＝v－；
0 1 1 1 0
④导体棒从获得初速度v 经过位移x，速度减至v，则v＝v－。
0 0 2 2 0
(2)间距为L的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质量为m、接入电路的阻值为
R的导体棒，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直导轨所在倾斜面向下(重力加速度为g，
导轨电阻不计)。
①经Δt＝，通过横截面的电荷量为q，速度达到v。
1 1
②经Δt＝，导体棒下滑位移为x，速度达到v。
2 2
例1 (多选)(2023·云南昆明市一中质检)如图所示，一光滑轨道固定在架台上，轨道由倾斜
和水平两段组成，倾斜段的上端连接一电阻 R＝0.5 Ω，两轨道间距d＝1 m，水平部分两轨
道间有一竖直向下、磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场。一质量m＝0.5 kg、长为l＝1.1 m、
电阻忽略不计的导体棒，从轨道上距水平面h ＝0.8 m高处由静止释放，通过磁场区域后从
1
水平轨道末端水平飞出，落地点与水平轨道末端的水平距离 x ＝0.8 m，水平轨道距水平地
2
面的高度h＝0.8 m。通过计算可知(g取10 m/s2，不计空气阻力)( )
2A．导体棒进入磁场时的速度为3 m/s
B．导体棒整个运动过程中，电阻R上产生的热量为3 J
C．磁场的长度x 为2 m
1
D．整个过程通过电阻R的电荷量为2 C
答案 BCD
解析 设导体棒进入磁场时的速度为 v ，根据机械能守恒定律有 mv2＝mgh ，解得v ＝4
0 0 1 0
m/s，故A错误；导体棒从水平轨道水平飞出做平抛运动，则水平方向有x ＝vt，竖直方向
2
有h＝gt2，联立代入数据解得v＝2 m/s，导体棒通过磁场区域过程中，根据能量守恒定律有
2
Q＝mv2－mv2，则导体棒整个运动过程中，电阻R上产生的热量为Q＝3 J，故B正确；导
0
体棒通过磁场区域过程中，根据动量定理有 t＝Bdq＝mv－mv，又有q＝t＝＝，联立代入
安1 0 1
数据解得q＝2 C，x＝2 m，故C、D正确。
1
2．不等间距的双棒模型
例2 (多选)(2023·辽宁抚顺市模拟)如图所示，M、N、P、Q四条光滑的足够长的金属导轨
平行放置，导轨间距分别为2L和L，两组导轨间由导线相连，装置置于水平面内，导轨间
存在方向竖直向下的、磁感应强度大小为B的匀强磁场，两根质量均为m、接入电路的电阻
均为R的导体棒C、D分别垂直于导轨放置，且均处于静止状态，其余部分电阻不计。t＝0
时使导体棒C获得瞬时速度v 向右运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并与导轨
0
接触良好，且达到稳定运动时导体棒C未到两组导轨连接处，则下列说法正确的是( )
A．t＝0时，导体棒D的加速度大小为a＝
B．达到稳定运动时，C、D两棒速度之比为1∶1
C．从t＝0时至达到稳定运动的过程中，回路产生的内能为mv2
0
D．从t＝0时到达到稳定运动的过程中，通过导体棒的电荷量为
答案 ACD
解析 开始时，导体棒中的感应电动势E＝2BLv，电路中感应电流I＝，导体棒D所受安培
0
力F＝BIL，导体棒D的加速度为a，则有F＝ma，解得a＝，故A正确；稳定运动时，电路
中电流为零，设此时C、D棒的速度分别为v 、v ，则有2BLv ＝BLv ，对变速运动中任意
1 2 1 2
极短时间Δt，由动量定理得，对C棒有2BLΔt＝m(v －v)，对D棒有BLΔt＝mv ，故对变速
0 1 2
运动全过程有v －v ＝2v ，解得v ＝v ，v ＝v ，故B错误；根据能量守恒定律可知回路产
0 1 2 2 0 1 0生的内能为Q＝mv2－mv2－mv2，解得Q＝mv2，故C正确；由动量定理，对C棒有2BLΔt
0 1 2 0
＝m(v－v)，可得2BLq＝m(v－v)，解得q＝，故D正确。
0 1 0 1
不等间距的两导体棒处于同一磁场中所受安培力不相等，它们分别做变速运动；涉及电荷量、
速度、时间等，一般先根据动量定理列方程；若求焦耳热可对系统应用能量守恒定律列方程。
3．“电容器＋棒”模型
(1)无外力充电式
基本模型
规律
(导轨光滑，电阻阻值为R，电容器电容为C)
电路特点 导体棒相当于电源，电容器充电
安培力为阻力，棒减速，E减小，有I＝，电容器充电U 变大，当BLv
C
电流特点
＝U 时，I＝0，F ＝0，棒匀速运动
C 安
运动特点和 棒做加速度a减小的减速运动，最终做匀速运动，此时I＝0，但电容器
最终特征 带电荷量不为零
电容器充电电荷量：q＝CU
C
最终电容器两端电压U ＝BLv
C
最终速度
对棒应用动量定理：mv－mv＝－BL·Δt＝－BLq
0
v＝
v－t图像
(2)无外力放电式
基本模型
规律
(电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C)
电路特点 电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动
电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时阻碍放电，导致电
电流特点
流减小，直至电流为零，此时U ＝BLv
C m
运动特点及
做加速度a减小的加速运动，最终匀速运动，I＝0
最终特征
最大速度v 电容器初始电荷量：Q＝CE
m 0放电结束时电荷量：Q＝CU ＝CBLv
C m
电容器放电电荷量：ΔQ＝Q－Q＝CE－CBLv
0 m
对棒应用动量定理：mv －0＝BL·Δt＝BLΔQ
m
v ＝
m
v－t图像
例3 (多选)(2023·辽宁沈阳市东北育才学校一模)如图所示是某同学模拟电磁炮的工作原理
和发射过程，水平台面上有足够长的平行光滑金属导轨MN和PQ置于塑料圆筒内，质量为
m的金属炮弹置于圆筒内的轨道上，轨道间距为L，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，
磁感应强度大小为B。导轨左端连着平行板电容器和电动势为E的电源。先让单刀双掷开关
接1接线柱对电容器充电，充电结束后，将开关接2接线柱。金属炮弹在安培力作用下开始
运动，达到最大速度后离开导轨，整个过程通过炮弹的电荷量为 q。已知在圆筒中金属炮弹
始终与导轨接触良好，不计导轨电阻和电源内阻，炮弹电阻为R。在这个过程中，以下说法
正确的是( )
A．炮弹离开导轨时的速度为
B．电容器的电容C＝
C．炮弹在导轨上的位移x＝
D．在其他条件不变时，炮弹的最大速度与电容器电容大小成正比
答案 AB
解析 对炮弹，根据动量定理t＝mv，其中，平均安培力＝BL，可得v＝＝，故A正确；刚
充电结束时，电容器电荷量为Q＝CE，炮弹达到最大速度时，电容器电荷量Q′＝Q－q，此
时电容器电压U＝，则此时炮弹产生的感应电动势等于U，故BLv＝U，联立可得＝BLv，
解得C＝，故B正确；炮弹在导轨上运动过程，电容器有电压存在，通过炮弹的平均电流并
不是，则t≠q，x≠，故C错误；根据B项分析可知E＝v(BL＋)，故炮弹的最大速度与电容器
电容大小并不成正比，故D错误。
考点二 动量守恒定律在电磁感应中的应用
1．在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解
题比较方便。
2．双棒模型(不计摩擦力)
模型示意图及条件
水平面内的光滑等距导轨，两个棒的质量分别为m、m，电
1 2
阻分别为R、R，给棒2一个初速度v
1 2 0
棒2相当于电源；棒1受安培力而加速运动，运动后产生反电
电路特点
动势
棒2做变减速运动，棒1做变加速运动，随着两棒相对速度的
电流及速度变化 减小，回路中的电流减小，I＝BL，安培力减小，加速度减
小，稳定时，两棒的加速度均为零，以相等的速度匀速运动
最终状态 a＝0，I＝0，v＝v
1 2
动量守恒mv＝(m＋m)v
2 0 1 2
系统规律 能量守恒Q＝mv2－(m＋m)v2
2 0 1 2
两棒产生焦耳热之比＝
例4 (多选)如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金
属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上，t＝0时，棒ab以初速度v 向右滑动。
0
运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v 、v 表示，回路中的
1 2
电流用I表示。下列图像中可能正确的是( )
答案 AC
解析 棒ab以初速度v 向右滑动，切割磁感线产生感应电动势，使整个回路中产生感应电
0流，判断可知棒ab受到与v 方向相反的安培力的作用而做变减速运动，棒cd受到与v 方向
0 0
相同的安培力的作用而做变加速运动，它们之间的速度差 Δv＝v －v 逐渐减小，整个系统
1 2
产生的感应电动势逐渐减小，回路中感应电流逐渐减小，最后变为零，即最终棒 ab和棒cd
的速度相同，v＝v，这时两相同的光滑导体棒ab、cd组成的系统在足够长的平行金属导轨
1 2
上运动，水平方向上不受外力作用，由动量守恒定律有 mv ＝mv ＋mv ，解得v ＝v ＝，选
0 1 2 1 2
项A、C正确，B、D错误。
例5 如图所示，在磁感应强度大小为B的匀强磁场区域内，垂直磁场方向的水平面中有
两根固定的足够长的平行金属导轨，在导轨上面平放着两根导体棒ab和cd，两棒彼此平行
且相距d，构成一矩形回路。导轨间距为L，两导体棒的质量均为m，接入电路的电阻均为
R，导轨电阻可忽略不计。设导体棒可在导轨上无摩擦地滑行，初始时刻 ab棒静止，给cd
棒一个向右的初速度v，求：
0
(1)当cd棒速度减为0.6v 时，ab棒的速度v及加速度a的大小；
0
(2)ab、cd棒间的距离从d增大到最大的过程中，通过回路的电荷量q及两棒间的最大距离
x。
答案 (1)0.4v (2) d＋
0
解析 (1)两棒组成的系统所受合外力为零，因此满足动量守恒定律，有mv＝0.6mv＋mv
0 0
解得v＝0.4v
0
回路感应电动势E＝0.6BLv－0.4BLv，此时回路电流I＝，因此加速度a＝
0 0
整理得a＝
(2)ab、cd棒速度相等时有最大距离，根据动量守恒定律可得mv＝2mv
0 共
对ab棒，根据动量定理有BLΔt＝mv
共
而q＝Δt，解得q＝
在这段时间内，平均感应电动势＝BL
回路平均电流＝
因此流过某截面的电荷量q＝Δt＝Δt＝，解得最大距离x＝d＋。
课时精练1.(多选)如图所示，半径为r的粗糙四分之一圆弧导轨与光滑水平导轨平滑相连，四分之一
圆弧导轨区域没有磁场，水平导轨区域存在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场，
导轨间距为l，ab、cd是质量为m、接入电路中电阻为R的金属棒，导轨电阻忽略不计。cd
静止在水平导轨上，ab从四分之一圆弧导轨顶端由静止释放，在圆弧导轨上克服阻力做功
mgr，水平导轨足够长，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，且不会相撞，重力加速度为
g。从ab棒进入水平导轨开始，下列说法正确的是( )
A．ab棒先做匀减速运动，最后做匀速运动
B．cd棒先做匀加速直线运动，最后和ab以相同的速度做匀速运动
C．ab棒刚进入磁场时，cd棒电流为
D．ab棒的最终速度大小为
答案 CD
解析 ab棒进入磁场受到向左的安培力，做减速运动，所以安培力减小，则ab棒先做加速
度减小的减速运动，cd棒与ab棒串联，所以先做加速度减小的加速运动，最后它们共速，
做匀速运动，故A、B错误；ab棒刚进入磁场的速度就是它下滑到底端的速度，根据动能定
理mgr－mgr＝mv2，可得速度为v＝，则感应电动势为E＝Blv，两金属棒串联，故两棒瞬时
电流为I＝，两棒共速时由动量守恒定律有 mv＝2mv′，得速度大小为v′＝，故C、D正
确。
2．(多选)(2024·广东广州市开学考)如图，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为
L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，二者平滑连接，右端接一个阻值为R的定值电阻。
平直部分导轨左边宽度为d区域有方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为
m、长为L、电阻为2R的金属棒从高为h处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。已知
金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，金属棒与导轨间接触良好。
则金属棒穿过磁场区域的过程中( )
A．流过定值电阻的电流方向是Q→N
B．金属棒两端电势差的最大值为BL
C．电阻R产生的焦耳热为mg(h－μd)
D．金属棒通过磁场所用的时间为－
答案 AD
解析 由右手定则可知，流过定值电阻的电流方向是 Q→N，故A正确；金属棒刚进入磁场
时，速度最大，金属棒两端电势差最大，由动能定理可知 mgh＝mv 2，解得v ＝，感应电
m m动势为E＝BLv ＝BL，金属棒两端电势差的最大值为E′＝E＝，故B错误；由能量守恒定
m
律可知，金属棒穿过磁场区域的过程中电路中产生的焦耳热为 Q＝mgh－μmgd，电阻R产生
的焦耳热为Q ＝Q＝mg(h－μd)，故C错误；由动量定理可知－μmgt－BLt＝0－mv ，又t
R m
＝，解得t＝－，故D正确。
3．(多选)(2023·湖南长沙市长郡中学二模)如图所示，两平行光滑导轨MN、M′N′左端通
过导线与电源和不带电电容器相连，导轨平面水平且处于竖直向下的匀强磁场中，有一定阻
值的导体棒ab垂直导轨处于静止状态。现将开关S与1闭合，当棒达到稳定运动状态后S
与2闭合，导轨足够长，电源内阻不计。则( )
A．S与1闭合后，棒ab做匀加速直线运动
B．从S与1闭合到棒ab达到某一速度，电源消耗的电能等于棒获得的动能和电路产生的焦
耳热之和
C．S与2闭合后，棒ab中电流不断减小直到零
D．S与2闭合后，棒ab的速度不断减小直到零
答案 BC
解析 根据题意可知，S与1闭合后，棒受安培力作用做加速运动，棒切割磁感线产生感应
电动势，棒中的电流减小，受到的安培力减小，则棒的加速度减小，直到感应电动势等于电
源电动势，棒最后匀速运动，故A错误；根据题意，由能量守恒定律可知，从S与1闭合到
棒ab达到某一速度，电源消耗的电能等于棒获得的动能和电路产生的焦耳热之和，故 B正
确；S与2闭合后，棒ab相当于电源给电容器充电，此过程棒受到的安培力水平向左，棒
减速运动，则电动势减小，电容器两板间电压升高，棒ab中的电流不断减小，当棒ab产生
的感应电动势与电容器两板间的电势差相等时，电路中的电流减小到零，随后棒做匀速直线
运动，故D错误，C正确。
4.(多选)(2023·辽宁省名校联盟一模)如图所示，水平面上固定着两根相距L且电阻不计的足
够长的光滑金属导轨，导轨处于方向竖直向下的匀强磁场中，铜棒 a、b的长度均等于导轨
间距，a、b两棒的电阻不为零，质量均为m，铜棒平行放置在导轨上且始终与导轨接触良
好。现给铜棒a一个平行导轨向右的初速度v，下列说法正确的是( )
0
A．若此后运动过程中两棒不发生碰撞，则最终v
