文档内容
难点 23 电磁感应中的动力学和能量问题
一、电磁感应中的动力学问题
1．导体的两种运动状态
(1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态．
处理方法：根据平衡条件列式分析．
(2)导体的非平衡状态——加速度不为零．
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
2．用动力学观点解答电磁感应问题的一般步骤
3．导体常见运动情况的动态分析
v 若F ＝0 匀速直线运动
合
↓ v增大，若a恒定，拉力F增大
E＝Blv v增大，F 增大，F 减小，a减小，做加速
安 合
a、v同向
↓ 度减小的加速运动，减小到a＝0，匀速直线
若F ≠0
合
I＝
运动
↓
↓
F ＝ma
合
F 安 ＝BIl v减小，F 安 减小，a减小，当a＝0，静止或
a、v反向
↓ 匀速直线运动
F
合
（一）“单棒＋电阻”模型
【例1】（2022·江苏·南京市第二十九中学高三阶段练习）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨
MN、PQ相距为L=0.1m，导轨平面与水平面的夹角为 ，导轨上端连接一定值电阻R=0.3Ω，导轨的
电阻不计，整个装置处于方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，长为L的金属棒cd垂直于MN、PQ放置在导轨上，且与导轨保持良好的接触，金属棒的质量为m=0.2kg，电阻为r=0.1Ω，现将金属棒从紧靠
NQ处由静止释放，当金属棒沿导轨下滑距离为S=12m时，速度达到最大值 ，重力加速度g取
，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（2）若将金属棒下滑12m的时刻记作t=0，假设此时的磁感应强度 为已知，从此时刻起，让磁感应强度
逐渐减小，可使金属棒中不产生感应电流，请用 和t表示出这种情况下磁感应强度B变化的表达式。
（二）“单棒＋电容器”模型
【例2】(2021·河北卷·7)如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨
间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处O点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为θ，一电容为C的
电容器与导轨左端相连，导轨上的金属棒与x轴垂直，在外力F作用下从O点开始以速度v向右匀速运动，
忽略所有电阻，下列说法正确的是( )
A．通过金属棒的电流为2BCv2tan θ
B．金属棒到达x 时，电容器极板上的电荷量为BCvxtan θ
0 0
C．金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电
D．金属棒运动过程中，外力F做功的功率恒定
二、电磁感应中的能量问题
1．电磁感应中的能量转化
――――――→―――→
2．求解焦耳热Q的三种方法3．解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化；
(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解．
（一）应用功能关系解决电磁感应中的能量问题
【例3】(多选)如图，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分
粗糙，两部分平滑连接，平直部分右端接一个阻值为R的定值电阻．平直部分导轨左边区域有宽度为d、
方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场．质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处由静止释
放，到达磁场右边界处恰好停止．已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，
金属棒与导轨间接触良好，则金属棒穿过磁场区域的过程中( )
A．流过金属棒的最大电流为
B．通过金属棒的电荷量为
C．克服安培力所做的功为mgh
D．金属棒内产生的焦耳热为mg(h－μd)
（二）应用能量守恒定律解决电磁感应中的能量问题
【例4】如图甲所示，一足够长阻值不计的光滑平行金属导轨MN、PQ之间的距离L＝0.5 m，NQ两端连
接阻值R＝2.0 Ω的电阻，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨所在平面向上，导轨平面与水平面间的夹
角θ＝30°，一质量m＝0.40 kg、接入电路的阻值r＝1.0 Ω的金属棒垂直于导轨放置并用绝缘细线通过光滑
1
的轻质定滑轮与质量m＝0.80 kg的重物相连．细线与金属导轨平行．金属棒沿导轨向上滑行的速度 v与时
2
间t之间的关系如图乙所示，已知金属棒在0～0.3 s内通过的电荷量是0.3～0.6 s内通过电荷量的，g＝10
m/s2，求：(1)0～0.3 s内金属棒通过的位移大小；
(2)金属棒在0～0.6 s内产生的热量．
一、单选题
1．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，ABCD是固定的水平放置的足够长的U形导轨，整个导轨处于
竖直向上的匀强磁场中，在导轨上架着一根金属棒ef，在极短时间内给棒ef一个水平向右的速度，ef棒开
始运动，最后又静止在导轨上，则ef在运动过程中，就导轨是光滑和粗糙两种情况相比较（ ）
A．整个回路产生的总热量相等
B．安培力对ef棒做的功相等
C．安培力对ef棒的冲量相等
D．电流通过整个回路所做的功相等
2．（2023·全国·高三专题练习）在光滑的水平面上方，有两个磁感应强度大小均为B、方向相反的水平匀
强磁场，如图所示。PQ为两个磁场的边界，磁场范围足够大。一个边长为a、质量为m、电阻为R的金属
正方形线框，以速度v垂直磁场方向从如图实线位置开始向右运动，当线框运动到分别有一半面积在两个
磁场中时，线框的速度为 ，则下列说法正确的是（ ）A．此过程中通过线框截面的电荷量为
B．此时线框的加速度为
C．此过程中回路产生的电能为2mv2
D．此时线框中的电功率为
3．（2022·全国·高三专题练习）如图1、2中，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，图1中的电容
器C原来不带电。设导体棒、导轨电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计，图中装置均在水平面内，
且都处于方向垂直于水平面（即纸面）向里的匀强磁场中，导轨足够长。现给导体棒ab一个向右的初速度
v，在图1、2两种情形下，关于导体棒ab的运动状态，下列说法正确的是（ ）
0
A．图1中，ab棒先做匀减速运动，最终做匀速运动
B．图2中，ab棒先做加速度越来越小的减速运动，最终静止
C．两种情况下通过电阻的电荷量一样大
D．两种情形下导体棒ab最终都保持匀速运动
4．（2022·全国·高三专题练习）如图甲所示，光滑“∠”形金属支架ABC固定在水平面上，支架处在垂
直于水平面向下的匀强磁场中，一金属导体棒EF放在支架上，用一轻杆将导体棒与墙固定连接，磁感应
强度随时间变化的规律如图乙所示，取垂直于水平面向下为正方向，则下列说法中正确的是（ ）
A．t 时刻轻杆对导体棒的作用力最大
1
B．t 时刻轻杆对导体棒的作用力最大
2
C．t 到t 时间内，轻杆对导体棒的作用力先增大后减小
2 3
D．t 到t 时间内，轻杆对导体棒的作用力方向不变
2 45．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，两完全相同的阻值可忽略的平行导轨倾斜地固定在水平面上，
两导轨之间的距离为L，导轨与水平面之间的夹角为θ，在导轨的顶端连接一阻值为R的定值电阻。在导
轨间有4条与导轨垂直的虚线1234，且相邻两虚线之间的距离均为d，整个装置处在垂直导轨平面向上、
磁感应强度大小为B的匀强磁场中。一质量为m、阻值可忽略的金属棒垂直导轨从虚线1处由静止释放，
已知金属棒仅与虚线23间涂有绝缘涂层的导轨有摩擦，金属棒在整个运动过程中始终与导轨垂直且接触良
好，金属棒到达虚线2之前已经开始做匀速直线运动，并一直匀速运动到达虚线4处，重力加速度为g，
则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒在开始做匀速运动之前做匀加速直线运动
B．在虚线23之间，金属棒与导轨间的动摩擦因数为tanθ
C．金属棒在虚线4处的速度大小为
D．金属棒由虚线1到达虚线4的过程中定值电阻产生的焦耳热为2mgdsinθ
6．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，水平面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计，阻值为R
的导体棒垂直于导轨放置，且与导轨接触良好。导轨所在空间存在匀强磁场，匀强磁场与导轨平面垂直。
t=0时，将开关S由1掷向2，分别用q、i、v和a表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度大小
和加速度大小，则下列图像中正确的是（ ）A． B．
C． D．
7．（2022·广东·开平市忠源纪念中学模拟预测）如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为
，水平U型导体框左端接一阻值为 的电阻，导体棒 质量为 、电阻为 ，垂直导轨置于导体框上，
导体框宽度为 导体棒与导轨接触良好。不计导体框的电阻和导体棒与导体框间的摩擦。 棒以水平向右
的初速度 开始运动，最终停在导体框上。此过程中说法正确的是（ ）
A．导体棒做匀减速直线运动
B．导体棒中感应电流的方向为b→a，所以b点电势高于a点电势
C．刚开始运动时，ab两端电压为
D．电阻R消耗的总电能为
8．（2022·上海市南洋模范中学模拟预测）两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，导轨上
垂直放置两根导体棒a和b，俯视图如图所示。在整个导轨平面内有竖直向上匀强磁场，导体棒与导轨接
触良好且均可沿导轨无摩擦地滑行，若给a棒一初速度的同时释放b棒，在一段时间内a棒动能的减小量
为 ，b棒动能的增加量为 ，a棒克服磁场做功为 ，ab棒上产生总热量为Q，（不计ab棒间相互作
用）则（ ）A． ＝ +Q
B． ＝Q+
C． ＝Q
D． ＝Q
二、多选题
9．（2022·河南·模拟预测）如图甲所示，光滑平行金属导轨水平放置，处在垂直于导轨平面向上的匀强磁
场中，磁场的磁感应强度大小为B=2T，导轨左端接有阻值为R=10Ω的定值电阻，导轨间距为d=1m。长为
L=1m、电阻为r=10Ω、质量为m=0.5kg的金属棒垂直放在导轨上。t=0时刻，用水平向右的拉力F拉金属
棒，金属棒从静止开始运动，电阻R中的电流随时间变化的规律如图乙所示，金属棒运动过程中始终与导
轨垂直并接触良好，则（ ）
A．金属棒做加速度越来越大的变加速运动
B．拉力F的最小值为1.25N
C．0~4s内，通过金属棒横截面的电荷量为4C
D．0~4s内，拉力F的冲量大小为9N·s
10．（2022·山西大同·高三阶段练习）如图所示，水平放置的平行金属导轨，相距 ，左端接一电
阻 ，磁感应强度 的匀强磁场方向垂直于导轨平面，导体棒垂直放在导轨上，并能无摩擦
地沿导轨滑动，导轨和导体棒的电阻均可忽略不计。在导体棒的中点施加一个垂直棒的水平拉力 ，
使其从静止开始运动，运动 速度达到了最大，则从开始运动到达到最大速度过程中（ ）A．导体棒做匀加速直线运动 B．导体棒最大速度为
C．电路中的最大电流为 D．通过导体棒的电荷量为
三、解答题
11．（2022·贵州贵阳·高三开学考试）如图所示，相距为d的两根足够长平行光滑直导轨放置在绝缘水平
面上，导轨左侧与阻值为 的电阻相连，虚线右侧导轨处于坚直向下、磁感应强度大小为 的匀强磁场中。
一质量为 、电阻为 、长度略大于 的导体棒垂直于导轨放置在虚线左侧，导体棒到虚线的距离为 。
某时刻给导体棒一沿导轨向右的水平恒力，导体棒进入磁场后恰好做匀速直线运动，不计导轨电阻。若导
体棒刚进入磁场时撤去水平恒力，导体棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，则下列说法正确的是
（ ）
A．导体棒所受的水平恒力大小为
B．导体棒刚进入磁场时，电阻 两端的电压为
C．从刚撤去水平恒力至导体棒停下，通过导体棒的总电荷量为
D．进入磁场后，导体棒向右运动的最大位移为2
12．（2023·全国·高三专题练习）如图所示（俯视），MN、PQ为水平放置的足够长的水平平行光滑导轨，
导轨间距为L，导轨左端连接的定值电阻R，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B，将电
阻为r的金属棒ab垂直放置在导轨上，且与导轨接触良好，导轨电阻不计，现对棒施加水平向右的恒力F
作用，使棒由静止开始向右运动，当通过R的电荷量达到q时，导体棒ab刚好达到最大速度。求：
（1）导体棒从释放到棒达到的最大速度 ；
（2）导体棒从释放到棒达到最大速度时滑动的距离s；（3）导体棒从释放到棒达到最大速度的过程中电路产生的热能Q。
13．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，水平面上固定一个顶角为60°的光滑金属导轨MON，导轨处
于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中。质量为m的导体棒CD与∠MON的角平分线垂直，
导轨与棒单位长度的电阻均为r。t=0时刻，棒CD在水平外力F的作用下从O点以恒定速度v 沿∠MON
0
的角平分线向右滑动，在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。若棒与导轨均足够长，求:
（1）流过导体棒的电流I；
（2）t 时刻导体棒的发热功率；推导出回路中的热功率P随时间变化的关系式，并画出图像。
0
14．（2022·江西省乐平中学高三阶段练习）如图，宽度为L的足够长光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面
上，导轨左端接有阻值为R的定值电阻，整个导轨处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，
质量为m、电阻也为R的导体棒ab垂直导轨放置。不计导轨的电阻，导体棒ab与导轨始终垂直且接触良
好。现给导体棒ab一个水平向右的初速度，使其向右滑行，最终停在图中虚线的位置，整个过程中导体棒
ab的最大加速度为a，求：
（1）导体棒开始运动时的初速度大小；
（2）整个过程，电阻R上产生的焦耳热。
15．（2022·上海市复兴高级中学二模）如图，两根质量、电阻均相同的金属棒MN、PQ分别置于光滑的
金属导轨上，导轨水平和倾斜部分均处在垂直于导轨、强度相同的匀强磁场中，倾斜导轨与水平方向的夹
角α=37°，不计导轨的电阻，MN与固定在水平导轨上的力传感器连接。现对PQ施加平行于倾斜导轨的随时间由0开始逐渐增大的作用力F，使其在距导轨底端x=3m处由静止开始运动，棒与导轨始终垂直且接
1
触良好，电脑显示MN受到力传感器水平向右的拉力F 与时间成正比，即F=0.5t。MN始终保持静止状态，
2 2
重力加速度g取10m/s2。
（1）判断PQ的运动情况，并说明理由。
（2）判断F 的方向，并写出F 的大小与时间t的关系式。
1 1
（3）求PQ运动到导轨底端时，速度v的大小。
（4）若PQ运动到底端的过程中，F 做功W=1.5J，则MN产生的焦耳热Q为多少？
1
