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专题03 动态圆模型
模型(一) “平移圆”模型
适用
条件
粒子源发射速度大小、方向一定，
入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周
运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示
圆心
共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连
线平行
界定
方法
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移
圆”法
模型(二) “旋转圆”模型
适用
条件
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子垂直进入匀强磁场时，它们在
磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径
为R＝，如图所示
圆心
共圆
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R＝的
圆上
界定
方法
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称
为“旋转圆”法
模型(三) “放缩圆”模型
适用
条件
粒子源发射速度方向一定、大小不同的同种带电粒子垂直进入匀强磁场时，这些带
电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
圆心
1
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共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。可以发
现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定
方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界
条件，这种方法称为“放缩圆”法
【模型演练1】（2023 上·河南洛阳·高二统考期中）在 Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B 的匀
强磁场，磁场方向如图所示，AD、AC 边界的夹角为30°，边界 AC 与边界 MN 平行，Ⅱ区域宽度为d、
质量为m、电荷量为q 的正粒子，可在边界AD 上的不同点以垂直AD 且垂直磁场的方向射入磁场，若入射
速度大小为
不计粒子重力，则（ ）
A．粒子在磁场中运动的半径为0.5d
B．粒子在距A 点0.5d 处射入，会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A 点1.5d 处射入，在 Ⅰ 区域内运动的时间为
D．能够进入 Ⅱ 区域的粒子，在 Ⅱ区域内运动的最短时间为
【模型演练2】．（2022·黑龙江·统考二模）如图所示，半径为R 的圆形区域内有一垂直纸面向外的匀强磁
场，磁感应强度大小为B ，P 是磁场边界上的最低点。大量质量均为m，电荷量为-q（q > 0）的带电粒子，
以相同的速率从P 点向纸面内的各个方向射入磁场区域。已知粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r =
2
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2R， A、C 为圆形区域水平直径的两个端点，粒子的重力、空气阻力和粒子间的相互作用均不计，则下列
说法正确的是（ ）
A．粒子射入磁场时速率为
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．不可能有粒子从C 点射出磁场
D．不可能有粒子从A 点沿水平方向射出磁场
【模型演练3】（2024 上·四川内江·高二统考期末）如图，在真空中有一等腰直角三角形ADC 的区域内，
存在方向垂直纸面向外的匀强磁场。图中D、O、C 三点在同一直线上，AO 与CD 垂直。A 点处的粒子源
持续将比荷一定但速率
不同的带正电的粒子沿AO 方向射入磁场区域中，不计粒子的重力及粒子之间的
相互作用。关于粒子在匀强磁场中运动的情况，下列说法正确的是（ ）
A．从AD 边出射的粒子，入射速度越大，其运动轨迹越短
B．从CD 边出射的粒子，入射速度越大，其运动轨迹越短
C．从AD 边出射的粒子的运动时间不相等，从CD 边出射的粒子的运动时间不相等
D．从AD 边出射的粒子的运动时间都相等，从CD 边出射的粒子的运动时间都相等
3
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一、单选题
1．（2020·全国·统考高考真题）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中
虚线所示，
为半圆，ac、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q
（q>0）的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。
在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面
向外，其边界如图中虚线所示，
为半圆，ac，bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径R。一束
质量为m、电荷量为q（
）的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不
计粒子之间的相互作用，在磁场中运动时间最长的粒子，其对应的运动速率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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3．（2024 上·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）如图，空间分布着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面
向外的匀强磁场。关于O 点对称的薄板MN 的长度为3a，O 点到MN 的距离为a。O 点有一粒子源，能沿
纸面内任意方向发射速率相同、质量为m、电荷量为q 的正电粒子。已知水平向右发射的粒子恰能垂直打
在MN 上，打到MN 上、下表面的粒子均被吸收。不计粒子的重力，则被MN 吸收的粒子在磁场中运动的
最长时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 上·辽宁丹东·高二统考期末）如图所示，以三角形ACD 为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强
度为B，
，
，AO 垂直于CD。在O 点放置一个电子源，在ACD 平面中，磁场范围内均
匀发射相同速率的电子，发射方向由CO 与电子速度间夹角
表示。（不计电子重力），恰好有三分之一
的电子从AC 边射出，则下列说法正确的是（ ）
A．没有电子经过D 点
B．
为
时电子在磁场中飞行时间最短
C．AC 边上有电子射出区域占AC 长度的三分之一
D．经过AC 边的电子数与经过AD 边的电子数之比为
5．（2023·云南·一模）空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面，线段
是屏与纸面
的交线，长度为
，其左侧有一粒子源S，可沿纸面内各个方向不断发射质量为m、电荷量为q、速率相
同的粒子；
，P 为垂足，如图所示，已知
，若
上所有的点都能被粒子从其右侧
直接打中，则粒子的速率至少为（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
6．（2024 上·海南海口·高二海南中学校考期末）如图所示，在矩形GHIJ 区域内分布着垂直纸面向里的匀
强磁场，P 点是GH 边的中点，四个完全相同的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下，以大小不同的速率从P
点射入匀强磁场，它们的轨迹在同一平面（纸面）内，下列说法正确的是（ ）
A．④粒子的速率最大
B．③粒子的向心加速度最大
C．②粒子在矩形GHIJ 磁场区域运动的时间最长
D．①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ 磁场区域的运动周期不相同
7．（2024 上·湖南邵阳·高二统考期末）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界
如图中虚线所示，
为半圆，ac，bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆半径的
。一束质量为m、电
荷量为
的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相
互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
8．（2024 上·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）如图（a）是一种防止宇宙射线危害字航员的装置，在
航天器内建立半径分别为R 和
的同心圆柱，圆柱之间加上沿轴向方向的磁场，其横截面如图（b）所
示。宇宙射线中含有大量的质子，质子沿各个方向运动的速率均为
，质子的电荷量为e、质量为m。下
列说法中正确的是（ ）
A．若沿任何方向入射的质子都无法进入防护区，则磁感应强度大小至少为
B．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则磁感应强度大小为
C．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则该情况下质子从进入磁场到离开磁场的总时
间为
D．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则该情况下质子在磁场中的轨迹对应的圆心角
为60°
9．（2024 上·四川攀枝花·高二统考期末）如图所示，水平直线边界
的上方空间内有方向垂直纸面向外、
磁感应强度大小为
的匀强磁场，长为
、与
平行的挡板
到
的距离为
，边界
上的点处
7
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有一电子源，可在纸面内向
上方各方向均匀的发射电子。已知电子质量为
、电荷量为，速度大小均
为
，N、S 的连线与
垂直，不计电子之间的作用力，则挡板
的上表面没有被电子击中部分的长
度为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023 上·黑龙江大庆·高二铁人中学校考期末）如图所示，在直角坐标系xOy 的第一象限内存在磁感
应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在y 轴上S 处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方
向射出速率相等、质量均为m、电荷量均为q 的同种带负电粒子，所有粒子射出磁场时离S 最远的位置是x
轴上的P 点。已知
，
，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则（ ）
A．粒子的速度大小为
B．从O 点射出的粒子在磁场中运动的时间为
C．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最短时间与最长时间之比为2 9∶
D．沿平行于x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O 点的距离为
8
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11．（2023 上·河北邢台·高二校联考期中）如图所示，边长为L 的等边三角形ABC 内有垂直于纸面向里、
磁感应强度大小为
的匀强磁场，D 是AB 边的中点，一质量为m、电荷量为
的带电的粒子从D
点以速度v 平行于BC 边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子可能从B 点射出
B．若粒子垂直于BC 边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为
C．若粒子从C 点射出，则粒子在磁场中运动的时间为
D．若粒子从AB 边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短
二、多选题
12．（2024 上·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）如图所示，在荧光板MN 的上方分布了水平方向的匀强
磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。距荧光板距离为d 处有一粒子源S。能够在纸面内不断均
匀地向各个方向发射速度大小为
、电荷量为q、质量为m 的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒
子源发射粒子的总个数为N，则（ ）
A．从粒子源出发到板的最短时间为
B．同一时刻发射的粒子打到荧光板上的最大时间差为
C．粒子能打到板上的区域长度为2d
9
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D．打到板上的粒子数为
13．（2023 上·辽宁·高三校联考阶段练习）如图所示，多边形区域内有磁感应强度为B 的垂直纸面向里的
匀强磁场（边界处有磁场），粒子源P 可以沿底边向右发射质量为m、电荷量为
的粒子，粒子速率各不
相同；右侧边界中点处有一粒子源Q 可以在纸面内沿各个方向向磁场内部发射质量为m、电荷量为
、
速率为
的粒子。下列说法正确的是（ ）
A．由粒子源P 发射的粒子，能够到达的边界长度为3a
B．由粒子源P 发射的粒子，能够到达的边界长度为4a
C．由粒子源Q 发射的粒子，首次到达边界（除Q 所在的边界）的最短时间为
D．由粒子源Q 发射的粒子，首次到达边界的最长时间为
14．（2023·全国·高二专题练习）如图所示，A 点的离子源沿纸面垂直OQ 方向向上射出一束负离子，离子
的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP 之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A 两点间
的距离为s，负离子的比荷为
，速率为v，OP 与OQ 间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B 的
大小和方向可能是（ ）
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A．
，垂直纸面向里
B．
，垂直纸面向里
C．
，垂直纸面向外
D．
，垂直纸面向外
15．（2024 上·河南新乡·高二统考期末）如图所示，∠C=30°的直角三角形ABC 中存在一匀强磁场（边界
有磁场），比荷相同的两粒子沿AB 方向从A 点射入磁场，分别从AC 边上的三等分点P，Q 射出，下列说
法正确的是（ ）
A．从Q 点射出的粒子速度较小
B．两粒子在磁场中运动的时间一样长
C．只改变粒子的入射速度的大小，不可以使粒子从C 点射出磁场
D．若改变粒子的入射速度的大小，能从BC 边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为二分之一周期
16．（2024 上·安徽芜湖·高二统考期末）如图所示，等腰直角三角形
区域内（包含边界）有垂直纸面
向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为
，在
的中点
处有一粒子源，沿与
平行的方向发射速率不
同，质量为
，电荷量为
的带负电粒子，已知这些粒子都能从
边离开
区域，
，不计粒子重
力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．速度的最大值为
B．速度的最大值为
C．在磁场中运动的最长时间为
D．在磁场中运动的最长时间为
17．（2023 上·湖北十堰·高二郧西县第一中学校联考阶段练习）如图所示，边界
与
之间分布有垂直
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纸面向里的匀强磁场，边界
上有一粒子源S。某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电
的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量
粒子从边界
射出磁场。已知
，从边界
穿出的粒子在磁场中运动的最长时间等于
（
为
粒子在磁场中运动的周期），则从边界
穿出的粒子在磁场中运动的时间的说法正确的是（ ）
A．若
，则从边界
穿出的粒子在磁场中运动的时间最短为
B．若
，则从边界
穿出的粒子在磁场中运动的时间最短为
C．若
，则从边界
穿出的粒子在磁场中运动的时间最短为
D．从边界
穿出的粒子在磁场中运动的时间的长短与
的大小无关
图1 图2
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图3 图4
三、解答题
18．（2024 上·广东江门·高二统考期末）阿尔法磁谱仪是目前在太空运行的一种粒子探测器，其关键的永
磁体系统是由中国研制的。如图，探测器内矩形OMPN 空间内存在垂直于平面向里、磁感应强度大小为B
的匀强磁场，有大量速率不同、质量均为m、带电量均为
的带负电粒子从O 点沿着ON 方向进入磁场，
OM 长度为3d，ON 长度为2d，忽略粒子间的相互作用，粒子重力不计，求
（1）粒子在磁场里运动的最长时间；
（2）从MP 上射出的粒子的最大速度及有粒子射出部分的长度。
19．（2024 上·四川成都·高二统考期末）如图，在
平面内存在垂直纸面向里的范围足够大的匀强磁场，
O 点右侧与O 相距d 处有一与x 轴垂直的足够大的收集板。某时刻，大量速率介于v 到
（v 与
未知且
）的电子同时从坐标原点O 沿各个方向垂直磁场射入Ⅰ、Ⅱ象限。已知速率为
且沿y 轴正方向射
入磁场的电子刚好垂直打在收集板上，磁场磁感应强度大小为B，电子比荷为
，不计电子间的相互作用
及电子的重力。求：
（1）速度
的大小；
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（2）收集板上电子击中的范围大小；
（3）若磁场仅存在于
的足够宽的范围内，从发射电子到电子全部离开磁场（打在收集板或
从边界离开）经历的时间恰好为电子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。最后离开磁场的电子从O 射入
磁场时的速度的大小。
20．（2023 上·天津河西·高二统考期末）如图所示，矩形ABCD 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁
场的磁感应强度大小为B，AB 边长为d，BC 边长为2d，O 是BC 边的中点，E 是AD 边的中点。在O 点有
一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子
射出的速度大小相同，速度与OB 边的夹角为60°的粒子恰好从E 点射出磁场，不计粒子的重力，求：
（1）粒子带电荷的电性；
（2）粒子运动的速度大小；
（3）从AD 边离开的粒子在磁场中运动的最短时间；
（4）从AD 边离开的粒子在磁场中经过的区域形成的面积。
21．如图所示，一足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从矩
形区域ad 边的中点O 处垂直磁场射入一速度方向跟ad 边夹角θ＝30°、大小为v0的带正电粒子，已知粒子
质量为m，电荷量为q，ad 边长为L，ab 边足够长，粒子重力不计。
（1）求粒子能从ab 边上射出磁场的v0大小范围。
（2）问粒子在磁场中运动的最长时间是多少？在这种情况下，粒子v0大小范围。
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