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专题01 平衡问题七类热点模型
目录
【模型一】 三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知的静态平衡模型.............................1
【模型二】三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知的静态平衡模型...............................................................4
【模型三】三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知但存在几何边长的变化关系的静态平衡模型。...........7
【模型四】应用矢量三角形法类解的动态态平衡模型。......................................................................................9
【模型五】应用相似三角形法求解的动态态平衡模型。....................................................................................11
【模型六】应用单位圆或正弦定理法求解的动态态平衡模型。........................................................................14
【模型七】“衣钩”模型-----“Y”字型平衡模型。...............................................................................................18
【模型一】 三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知的静态平衡模型
1.模型情境联想
2.解决该类模型常用的方法有以下三种
①力的合成法
②力的正交分解法
③正弦定理（力的三角形）法
【模型演练1】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，
为球心，一质量为
的小滑块，在水平
力
的作用下静止
点。设滑块所受支持力为
。
与水平方向的夹角为
。下列关系正确的是（
）
1
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A．
B．
C．
D．
【模型演练2】（2019·全国·高考真题）用卡车运输质量为m 的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将
其置于两光滑斜面之间，如图所示．两斜面I、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°．重力加速度为g．
当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面I、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则
A．
B．
C．
D．
【模型演练3】【多选】（2023·河南·统考二模）如图所示，所受重力大小为G 的物体A 静止在倾角
的固定斜面上，现用水平力推A，在水平力由零逐渐增加至G 再逐渐减为零的过程中，物体A 始终
保持静止。取
，
。在水平力变化的过程，下列说法正确的是（ ）
A．A 对斜面的压力的最大值为
B．A 对斜面的压力的最小值为零
C．A 所受摩擦力的最大值为
D．A 所受摩擦力的最小值为零
【模型二】三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知的静态平衡模型
1.模型情境联想
2.解决该类模型常用的方法有以下二种
2
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①力的正交分解法
②正弦定理（力的三角形）法
【模型演练1】（2023 春·山西·高三校联考阶段练习）如图所示，在演示带电体
间的相互作用时发现，用绝缘细线悬挂在支架上质量为m 的带电小球B，在均匀带电小球A 的作用下保持
静止。且知细线与竖直方向夹角
，两球心连线与水平方向所成角
，重力加速度为g，则下列
判断正确的是（ ）
A．细线中张力的大小为
mg
B．小球A 所受静电力的大小为
mg
C．细线中张力的大小为
mg
D．小球A 对小球B 的引力要大于小球B 对小球A 的引力
【模型演练2】（2023 春·贵州·高三校联考阶段练习）如图所示，a、b 两个小球穿在一根与水平面成
角
的光滑固定杆上，并且通过一条细绳跨过定滑轮连接，当两球静止时，
段绳与杆的夹角也为
，
段
绳沿竖直方向。已知a 球质量为m，重力加速度为g，不计所有摩擦，则下列说法正确的是（ ）
A．a 受到2 个力的作用
B．b 受重力、绳子的拉力、杆的支持力
C．b 的重力为
D．绳子对b 的拉力等于
【模型演练3】如图所示，四分之一光滑圆弧面AB 与倾角为60°的光滑斜面AC 顶部相接，A 处有一光滑的
定滑轮，跨过定滑轮用轻质细绳连接质量分别为m1、m2的两小球，系统静止时连接的绳子与水平方向的夹
角为60°.两小球及滑轮大小可忽略，则两小球质量的比值m1∶m2为( )
3
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A．1 2∶ B．3 2∶ C．2 3
∶
D. 2∶
【模型三】三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知但存在几何边长的变化关系的静态平衡
模型。
1.模型情境联想
2.解决该类模型常用的方法有以下二种
①相似三角形法法
②解析法
【模型演练1】如图所示，表面光滑为R 的半球固定在水平地面上，球心O 的正上方Oˊ 处有一个无摩擦定
滑轮，轻质细绳两端各系一个小球挂在定滑轮上，两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为
l2=2.4 R ，
l1=2.5 R .则这两个小球的质量之比m1∶m2为(不计小球大小)
A．24 1∶
B．25 1
∶
C．24 25
∶
D．25 24
∶
【模型演练2】如图所示，质量均为m 的小球A、B 用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B 球用长为L 的细绳悬
于O 点，A 球固定在O 点正下方L 处，当小球B 平衡时，绳子所受的拉力为FT1，弹簧的弹力为F1；现把
A、B 间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2>k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，
此时绳子所受的拉力为FT2，弹簧的弹力为F2.下列关于FT1与FT2、F1与F2大小之间的关系，正确的是( )
4
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A. FT1>FT2 B. FT1＝FT2 C. F1<F2 D. F1＝F2
【模型四】应用矢量三角形法类解的动态态平衡模型。
1.模型情境联想
2.该类模型的基本特点
（1）、三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
（2）、另一个力方向不变，大小可变，
（3）、第三个力大小方向均可变，
方法：矢量三角形法分析第三个力的方向变化引起的物体受力的动态变化情况。
【模型演练1】【多选】（2019·全国·高考真题）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定
滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N．另一端与斜面上的物块M 相连，系统处于静止状态．现用水
平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N 的细绳与竖直方向成45°．已知M 始终保持静止，则在此过程中（
）
A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M 所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M 所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M 所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
【模型演练2】．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）如图所示，用OA、
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OB 两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间。开始时OB 绳处于水平状态。现保持O 点位置不变，只通过改变
OB 绳长使绳右端由B 点缓慢上移至
点，此时
与OA 之间的夹角
。设此过程中OA、OB 绳的
拉力分别为
、
，下列说法正确的是（ ）
A．
先增大后减小
B．
先减小后增大
C．
先增大后减小
D．
先减小后增大
【模型演练3】如图所示，一铁球用一轻绳悬挂于O 点，用力F 拉住小球，要使轻绳与竖直方向保持60°
角不变，且F 最小，则F 与竖直方向的夹角θ 应为( )
A. 90° B. 60° C. 30° D. 0°
【模型五】应用相似三角形法求解的动态态平衡模型。
1.模型情境联想
2.该类模型的基本特点
（1）三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
（2）其余两个力方向、大小均在变
（3）有明显长度变化关系
方法：相似三角形法
【模型演练1】．（2023·云南大理·统考一模）如图所示，木板B 放置在粗糙水平地面
6
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上，O 为光滑铰链。轻杆一端与铰链O 固定连接，另一端固定连接一质量为m 的小球A。现将轻绳一端拴
在小球A 上，另一端通过光滑的定滑轮
由力F 牵引，定滑轮位于O 的正上方，整个系统处于静止状态。
现改变力F 的大小使小球A 和轻杆从图示位置缓慢运动到
正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中
（ ）
A．外力F 大小不变
B．轻杆对小球的作用力大小变小
C．地面对木板的支持力逐渐变小
D．地面对木板的摩擦力逐渐减小
【模型演练2】．（2023·山东·校联考模拟预测）如图所示，质量为100g 的带电小球A 和不带电滑环B 用
绕过光滑定滑轮的不可伸长的轻绳连接，滑环B 套在与竖直方向成
的粗细均匀的固定杆上，滑环和
杆间的动摩擦因数
，连接滑环B 的绳与杆垂直并在同一竖直平面内，杆下端固定带电小球C，
，由于空气潮湿小球带电量逐渐减小为零，滑环B 始终静止。设滑环和
杆间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，带电小球可看作点电荷。（
）
则（ ）
A．绳子拉力逐渐变小
B．滑环B 的质量不超过0.05kg
C．固定杆给滑环B 的弹力方向垂直于杆向上 D．滑环B 受到的摩擦力逐渐变小
【模型演练3】如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC 是质量不计的撑杆，A 端与竖直墙用铰链连接，
一滑轮固定在A 点正上方，C 端吊一重物。现施加一拉力F 缓慢将重物P 向上拉，在AC 杆达到竖直前，
下列说法正确的是（ ）
A．BC 绳中的拉力FT越来越大 B．BC 绳中的拉力FT越来越小
C．AC 杆中的支撑力FN越来越大 D．AC 杆中的支撑力FN越来越小
【模型六】应用单位圆或正弦定理法求解的动态态平衡模型。
1.模型情境联想
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2.该类模型的基本特点
（1）三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
（2）其余两个力方向、大小均在变
（3）有一个角恒定不变
【模型演练1】【多选】（2017·全国·高考真题）如图，柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某点M 拴一
重物，用手拉住绳的另一端N．初始时，OM 竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的夹角为α（
）．
现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α 不变．在OM 由竖直被拉到水平的过程中( )
A．MN 上的张力逐渐增大
B．MN 上的张力先增大后减小
C．OM 上的张力逐渐增大
D．OM 上的张力先增大后减小
【模型演练2】．【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别
系于固定环上的M、N 两点，O 点下面悬挂一小球。细线OM、ON 与竖直方向夹角分别为
、
。用
、
分别表示OM、ON 的拉力，将两绳同时缓慢顺时针转过45°，并保持两绳之间的夹角
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始终不变，且小球始终保持静止状态，则在旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．
在逐渐增大
B．
先增大再减小
C．
与
的水平分量大小相等
D．
与
的竖直分量大小相等
【模型演练3】．【多选】（2023·全国·高三专题练习）粗糙水平地面上有一质量为M、倾角为30°的粗糙
楔形物体C，斜面上有一个质量为
的物块B，B 与一轻绳连接，且绕过一固定在天花板上的定滑轮，另
一端水平与一结点连接一个质量为m 的小球A，右上方有一拉力F，初始夹角
，如图所示。现让
拉力F 顺时针缓慢转动90°且保持α 角大小不变，转动过程B、C 始终保持静止。已知B 与滑轮间的细绳与
斜面平行，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．拉力F 一直减小
B．BC 间的摩擦力先减小再增大
C．物体C 对地面的压力先减小再增大
D．物体C 对地面的摩擦力的最大值为
【模型七】“衣钩”模型-----“Y”字型平衡模型。
1.模型情境联想
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2.模型识别
(1).一根绳子绕过光滑的滑轮或者光滑挂钩下挂一个物体，呈现“Y”字型结构特征。
(2).物体处于平衡状态。
3.模型构建
(1).受力大小特征—无论绕过光滑的滑轮、圆环、挂钩，只要是一根绳子，张力大小处处相等。
(2).受力方向特征—“Y”字型平衡模型，等大的两个拉力关于竖直方向对称。
4.经典情景如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N 上的a、b 两点，悬挂衣服的衣
架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。
设两杆间距离为d，绳长为l，Oa、Ob 段长度分别为la和lb，则l＝la＋lb，两部分绳子与竖直方向夹角分别
为α 和β，受力分析如图所示。
绳子中各部分张力相等，Fa＝Fb＝F，则α＝β。
平衡条件2Fcos α＝mg，
d＝lasin α＋lbsin α＝lsin α，即sin α＝，
F＝，绳的右端上移到b′，d 和l 均不变，则sin α 为定值，α 为定值，cos α 为定值，绳子的拉力保持不变，
将杆N 向右移一些，d 增大，则sin α 增大，cos α 减小，绳子的拉力增大；若换挂质量更大的衣服，d 和l
均不变，绳中拉力增大，但衣服的位置不变。
5.建模感悟
(1)该平衡模型首先形状上呈现Y 字形，应用力学对称思想。对称思想是物理学习中最重要的思想方法之一，
运动学中竖直上抛模型就具有空间的对称性，根据对称性我们研究其一半运动，就可以化繁为简。同理后
边我们还要学习能量守恒、动量守恒，他们具有关系对称，掌握了对称性，就掌握了一把打开物理殿堂的
金钥匙。另外大多数对称模型属于见“形”起“意”，见“形”思“迁”，学习画图，根据图形特征，选
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择对应的解题技巧，是学习物理的重要方法。
6.“Y”字型平衡模型解决问题的两个要点
①绕过光滑的滑轮、圆环、挂钩，只要是一根绳子，张力大小处处相等
②平衡条件：
【模型演练1】．（2023·北京·统考模拟预测）某课外活动小组设计了如图所示的实验装置，光滑水平轻杆
固定在竖直杆的O 点，在水平轻杆上离O 点为L 处固定一个小的轻质定滑轮P，现
将长为3L 的光滑轻细线一端固定在O 点，另一端通过轻质滑轮P 与质量为m 的滑
块A 相连，在轻细线上通过轻的光滑滑轮Q 挂上滑块B，装置静止时，三角形
OPQ 刚好构成一个等边三角形，下列说法正确的是（ ）
A．可求得滑块B 的质量为mB=m
B．若将O 点处的线端沿水平杆向右缓慢移动
L，则细线拉力大小减小，滑块A 下降
C．若将O 点处的线端沿竖直杆向下缓慢移动
L，则细线拉力大小不变，滑块A 上升
D．若将O 点处的线端沿竖直杆向下缓慢移动
L，则细线拉力大小不变，滑块A 高度不变
【模型演练2】．（2016·全国·高考真题）如图，两个轻环a 和b 套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一
细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m 的小球。在a 和b 之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b 间
的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。小物块的质量为（ ）
A．
B．
C．m
D．2m
【模型演练3】．(2023·江西省横峰中学、铅山一中等校联考)有甲、乙两根完全相同的轻绳，甲绳A、B 两
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端按图甲的方式固定，然后将一挂有质量为M 的重物的光滑轻质动滑轮挂于甲轻绳上，当滑轮静止后，设
甲绳子的张力大小为FT1；乙绳D、E 两端按图乙的方式固定，然后将同样的定滑轮且挂有质量为M 的重物
挂于乙轻绳上，当滑轮静止后，设乙绳子的张力大小为FT2.现甲绳的B 端缓慢向下移动至C 点，乙绳的E
端缓慢向右移动至F 点，在两绳的移动过程中，下列说法正确的是( )
A．FT1、FT2都变大 B．FT1变大、FT2变小 C．FT1、FT2都不变
D．FT1不变、FT2变大
1.（2023 秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）如图所示，顶端有定滑轮的斜面体A 固定在水
平面上，跨过滑轮细绳一端接物块B，另一端与竖直杆相连，另有轻质动滑轮跨过细绳与重物C 相连，整
个系统处于静止状态。现缓慢地向右移动竖直杆，B 保持不动，下列说法正确的是（ ）
A．细绳的拉力先增大再减小
B．B 受到的摩擦力可能一直增大
C．B 受到的摩擦力一直减小
D．B 受到的摩擦力可能先增大后减小
2．（2023 秋·河南三门峡·高三统考阶段练习）如图所示，倾角为
、质量为
的斜面
置于粗糙的水平
面上，斜面上放有质量为
的物体B，一被压缩的轻弹簧水平夹在B 与竖直墙壁之间。已知
与
间，
与地面间的动摩擦因数分别为
和
，最大静摩擦力等于动摩擦力，重力加速度为
，弹簧处于弹性限度
内。若
、B 始终保持静止，则（ ）
A．A 一定受到5 个力作用
B．A 受到地面对其水平向左的摩擦力
C．弹簧的弹力一定为
D．A 受到地面的摩擦力大小一定为
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3．（2023 春·全国·高三校联考阶段练习）如图所示，倾角为
的斜面体c 置于水平地面上，质量为
的小
物块b 置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与沙桶a 连接，连接物块b 的一段细绳与斜面平行，现给a
中缓慢加入沙子，a、b、c 始终处于静止状态，沙桶a 和沙子的总质量
为
，重力加速度为g。则
A．c 对b 的摩擦力一直增大
B．地面对c 的支持力先增大后减小
C．当
时，c 对地面的摩擦力方向水平向左
D．当
时，地面对c 的摩擦力为
4.【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图（a）所示，将一右端固定有光滑定滑轮的轻杆固定在竖直挡
板上，轻绳ABC 跨过光滑的定滑轮悬吊质量为m1=1kg 的物块；如图（b）所示，将一轻杆用转轴固定在竖
直挡板上，两段轻绳DE、EF 系在杆的右端并悬吊质量为m2=1.5kg 的物块。已知两杆均水平，且绳子的倾
斜部分与水平方向的夹角均为30°，重力加速度g 取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．图（a）中AB 绳的拉力大小为10N
B．图（b）中DE 绳的拉力大小为15N
C．图（a）中轻杆对滑轮的支持力大小为10N
D．图（b）中轻杆对结点的支持力大小为15N
5．（2023 春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）如
图所示，
倾角为
的固定细杆上套有一小球P，另一个小球Q 通过细线与小球P 连接，对小球Q 施加一个水平
向右的作用力F，系统静止时，两小球之间的细线恰好与细杆垂直，已知小球
的质量分别为m、
，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．作用力F 的大小为
B．细杆对小球P 的摩擦力
的大小为
C．细线张力
的大小为
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D．细杆对小球P 的弹力
的大小为
6．（2023·全国·高三专题练习）春节期间人们都喜欢在阳台上挂一些灯笼来作为喜庆的象征。如图所示，
是由六根等长的轻质细绳悬挂起五个质量相等的灯笼1、2、3、4、5，中间的两根细绳BC 和CD 的夹角
，下列选项中正确的是（ ）
A．MA 的延长线能平分1 灯与绳AB 之间的夹角
B．AB 的延长线不能平分2 灯与绳BC 之间的夹角
C．绳AB 与绳BC 的弹力大小之比为
D．绳MA 与绳AB 的弹力大小之比为
7．（2023·山东·统考二模）为庆祝全国两会胜利召开，某景区挂出34 个灯笼（相邻两个灯笼之间用轻绳
等距连接），灯笼上依次贴着“高举中国特色社会主义伟大旗帜，为全面建设社会主义现代化国家而团结
奋斗”的金色大字，从左向右依次标为1、2、3、……、34。无风时，灯笼均自然静止，与“全”字灯笼
右侧相连的轻绳恰好水平，如图所示。已知每个灯笼的质量均为
，取重力加速度
，悬挂
灯笼的轻绳最大承受力
，最左端悬挂的轻绳与竖直方向的夹角为θ。
，
。下列说法正确的是（ ）
A．夹角θ 的最大值为45°
B．当夹角θ 最大时，最底端水平轻绳的拉力大小为
C．当
时，最底端水平轻绳的拉力大小为204N
D．当
时，第4 个灯笼与第5 个灯笼之间的轻绳与竖直方向的夹角为45°
8.【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，质量为m = 5kg 的物体放在水平面上，物体与水平面
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间的动摩擦因数
，g 取10m/s2。当物体做匀速直线运动时，下列说法正确的是（ ）
A．牵引力F 的最小值为25N
B．牵引力F 的最小值为
C．最小牵引力F 与水平面的夹角为30°
D．最小牵引力F 与水平面的夹角为45°
9.(2023·广东百校联盟)质量为M 的半圆柱体P 放在粗糙的水平地面上，其右端固定一个竖直挡板AB，在
P 上放两个大小相同的光滑小球C 和D，质量均为m，整个装置的纵截面如图所示．开始时P、C 球心连线与
水平面的夹角为θ，点P、D 球心连线处于竖直方向，已知重力加速度为g.则下列说法正确的是
( )
A．P 和挡板对C 的弹力分别为和 B．地面对P 的摩擦力大小为零
C．使挡板缓慢地向右平行移动，但C 仍在P 和挡板AB 作用下悬于半空中，则地面对P 的摩擦力将不断增
大
D．使挡板绕B 点顺时针缓慢转动，P 始终保持静止，则D 一定缓慢下滑
10.(2023·商丘模拟)如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔．质量为m 的小球
套在圆环上．一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住．现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在
移动过程中手对线的拉力F 和轨道对小球的弹力FN的大小变化情况是 ( )
A．F 不变，FN增大 B．F 不变，FN减小 C．F 减小，FN不变
D．F 增大，FN减小
11．（2022·浙江·统考高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m 的石墩，石墩与水平地面
间的动摩擦因数为
，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为
，
则下列说法正确的是（ ）
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A．轻绳的合拉力大小为
B．轻绳的合拉力大小为
C．减小夹角
，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
12.（2017·全国·高考真题）一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80cm 的两点上，弹性绳
的原长也为80cm；将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100cm；再将弹性绳的两端缓慢
移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为（弹性绳的伸长始终处于弹性限度内）（ ）
A．86cm
B．92cm
C．98cm
D．104cm
13．【多选】（2016·全国·高考真题）如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO'悬挂于O 点；另一细绳跨过滑轮，
其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F 向右上方拉b，整个系统处于静止状
态。若F 方向不变，大小在一定范围内变化，物块b 仍始终保持静止，则（ ）
A．绳OO'的张力也在一定范围内变化
B．物块b 所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a 和b 的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b 与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
14.(2023·黑龙江省齐齐哈尔市调研)重力都为G 的两个小球A 和B 用三段轻绳按如图所示连接后悬挂在O
点上，O、B 间的绳子长度是A、B 间的绳子长度的2 倍，将一个拉力F 作用到小球B 上，使三段轻绳都伸
直且O、A 间和A、B 间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F 的最小值为( )
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